SF1624 Algebra och geometri

Relevanta dokument
16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Måndagen den 24 september, 2012

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

A = x

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

Vektorgeometri för gymnasister

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

SF1624 Algebra och geometri

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Linjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Linjär Algebra, Föreläsning 8

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Facit/lösningsförslag

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

SF1624 Algebra och geometri

x + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

LINJÄRA AVBILDNINGAR

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X =

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

Vektorgeometri för gymnasister

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

Transkript:

Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016

Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Linjära avbildningar och matriser Linjära avbildningar och matrisavbildningar. En linjär avbildning L från R n till R m är en funktion sådan att för alla x, y R n och alla t R gäller att L( x + y) = L( x) + L( y) L(t x) = tl( x) Sats. Alla matrisavbildningar är linjära avbildningar och alla linjära avbildningar är matrisavbildningar. Den linjära avbildningens matris har bilderna av basvektorerna som kolonner.

En tentamensuppgift Gårdagens tentaproblem. Låt T A : R 2 R 2 vara den linjära avbildning som har standardmatris [ ] 1 3 A =. 2 6 (a) Låt L vara den linje som ges av 2x 3y = 11. Visa att T A avbildar L på en linje T A (L). (b) Hitta en linje L sådan att T A (L ) är en punkt. Ange en ekvation för L.

Exempel Några geometriska avbildningar R 2 R 2 som är linjära. 1. Rotation θ radianer moturs 2. Projektion på en linje genom origo (ex linjen x 2 = 2x 1 ) 3. Spegling i en linje genom origo (ex linjen x 2 = 2x 1 )

Sammansättning av Linjära avbildningar Sats. Om den linjära avbildningen g : R n R m ges av matrisen A och den linjära avbildningen f : R m R p ges av matrisen B så är den sammansatta avbildningen f g : R n R p linjär och ges av matrisen BA. Exempel. Bestäm matrisen för den linjära avbildning R 2 R 2 som består i att man först roterar alla vektorer π/4 radianer moturs och sedan projicerar resultatet på x 1 -axeln.

Exempel Några geometriska avbildningar R 3 R 3 som är linjära. 1. Rotation θ radianer i positiv led runt x 3 -axeln (eller runt någon annan linje) 2. Projektion på en linje eller ett plan genom origo (ex planet x 1 + x 2 + x 3 = 0) 3. Spegling i en linje eller ett plan genom origo (ex planet x 1 + x 2 + x 3 = 0)

Lösningsrum Lösningsrum till homogent linjärt ekvationssystem. Låt A vara en m n matris. Då är mängden S = { x : A x = 0} ett delrum till R n. S kallas lösningsrummet till ekvationssystemet A x = 0. Bevis?

Nollrum Nollrum till en linjär avbildning / matris. Låt L vara en linjär avbildning från R n till R m. Då är mängden ett delrum till R n. N = { x : L( x) = 0} N består alltså av alla vektorer som avbildas på nollvektorn och kallas nollrummet till L alternativt kärnan till L. Betecknas ofta Null(L) eller ker(l). Eftersom linjära avbildningar ges av matriser talar man också om nollrum till matriser, men oftast säger man då nullity, dvs om A är en matris så är nullity(a) = { x : A x = 0}

Bildrum Bildrum till en linjär avbildning / matris. Låt L vara en linjär avbildning från R n till R m. Då är mängden ett delrum till R m. B = { y : y = L( x) för något x} B består alltså av alla vektorer som är funktionsvärden till L och kallas bildrummet till L. Betecknas ofta Range(L) eller Im(L). Eftersom linjära avbildningar ges av matriser talar man också ibland om bildrum till matriser. I detta fall talar man hellre om kolonnrummet till A, Col(A), som är det delrum till R m som spänns upp av A :s kolonner.

Nollrum och Bildrum Exempel. 1. Låt L vara den linjära avbildning som ges av multiplikation 1 3 2 med matrisen A = 2 6 4. Bestäm ker(l) och Im(T ). 1 21 2 Ange baser för ker(t ) och Im(T ). Ange dimensionerna av ker(t ) och Im(T ). 2 2. Låt v = 1. Bestäm nollrum och bildrum till avbildningen 3 f : R 3 R 3 som ges av f ( x) = proj v x

Exempel Exempel. 1. Låt T vara den linjära avbildning från R 4 till R 3 som ges av matrisen 1 1 3 1 A = 2 3 8 4 0 1 2 3 Bestäm baser för ker(t ) och Im(T ) och ange deras dimensioner. 2. Bestäm nollrum och bildrum till den linjära avbildning i planet som består i projektion på linjen x 1 = 3x 2.

Dimensionssatsen / Rangsatsen Dimensionssatsen för linjära avbildningar: Om T : R n R m är en linjär avbildning så är dim Im(T ) + dim ker(t ) = n Rangsatsen för matriser: Om A är en m n matris så gäller att rank(a) + nullity(a) = n Observera att Dimensionssatsen och Rangsatsen är samma sats!

Ytterligare metoder Några observationer. 1. ([ Om]) T är en [ ] linjär avbildning ([ ]) från [ ] R 2 till R 2 sådan att 1 2 3 1 T = och T = så är det lätt att bestämma 3 5 2 1 standardmatrisen för T genom att lösa ett ekvationssystem. 2. Om T är den linjära avbildning från R 2 till R 3 som ges av 1 2 matrisen A = 3 4 ) så är det lätt att avgöra om vektorn 3 2 2 5 ligger i bildrummet för T genom att lösa ett 1 ekvationssystem.