A

Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du 6y(t) = 6u(t) + dt dt a. Berakna systemets overforingsfunktion och ange dess poler och nollstallen. (3 p) b. Avgor om systemet ar stabilt. ( p) c. Berakna systemets impulssvar. (3 p) c. Berakna systemets stegsvar. (3 p) 2. Foljande system ar givna via sina overforingsfunktioner: G (s) = s + 2 G 2 (s) = s 2 + s + 2 e 0:5s G 3 (s) = + 2s e s G 4 (s) = 2 + 4s (s + ) 2 a. Kombinera var och en av overforingsfunktionerna med motsvarande systems stegsvar som visas i Fig.. (4 p) 0.9 A 2.5 2.0.5 B C D Figur. Stegsvar i uppgift 2.

b. Bestam den statiska forstarkningen for vart och ett av systemen G { G 4. (2 p) c. Bestam tidsfordrojningen (dodtiden) for vart och ett av systemen G { G 4. (2 p) d. Tva av systemen ar stabila vid proportionell aterkoppling med vilken positiv forstarkning K som helst (K > 0). Ange vilka tva system som detta galler for. (2 p) 3. Foljande gur (Fig. 2) visar ett reglersystem. R(s) + Σ E(s) Regulator G (s) R U(s) Process G (s) P Y(s) Figur 2. Reglersystem i uppgift 3. Processens overforingsfunktion ar G P (s) = 2 s + a. En P-regulator G R (s) = K anvands. Vilket varde pa K skall valjas for att det kvarstaende reglerfelet lim t! e(t) skall bli da borvardet ar ett enhetssteg r(t) = (t)? (3 p) b. Hur skall K valjas i en P-regulator for att det slutna systemets pol skall vara s = 2? (3 p) c. Anvand denna gang en PI-regulator G R (s) = K + T i s Berakna hur K och T i skall valjas for att det slutna systemets poler skall vara 2 och 5. (4 p) 4. Ett system med insignalen u(t) och utsignalen y(t) beskrivs av d 2 y dy (t) + 0:4 (t) + y(t) = 2u(t) dt2 dt a. Berakna systemets relativa dampning. (2 p) b. Antag att systemet aterkopplas proportionellt enligt u(t) = K(r(t) y(t)) dar r(t) ar en borvardessignal. Finns det nagot varde pa K som gor att det aterkopplade systemets poler blir respektive 2? Svaret skall naturligtvis motiveras. (2 p) c. Berakna ett varde pa K sa att det slutna systemet i (a) far poler med relativa dampningen = 0:5 (det ar tillatet att ha negativt varde pa K). (3 p) d. Byt ut P-regulatorn mot en PD-regulator u(t) = K e(t) + T d de dt. Berakna varden pa regulatorparametrarna K och T d som resulterar i att det aterkopplade systemets poler blir och 2. (3 p)

N enhetscirkeln N2 N3 N4 2.0.5.5 2.0 N2 N4 N3 N.5 2.0 Figur 3. Nyquistkurvor for oppna system (med K=) i uppgift 5..6.4.2.4.2 S S3.2 0.9 S2 S4 Figur 4. Stegsvar for slutna system (med K=) i uppgift 5. 5. I Fig. 3 visas nyquistkurvor for fyra olika system (oppet system med K = ). a. Uppskatta fasmarginal och amplitudmarginal for vart och ett av systemen. (4 p) b. I Fig. 4 visas systemen aterkopplade med forstarkning K =. Para ihop var och en av nyquistkurvorna i ovanstaende nyquistdiagram med ratt stegsvar. (3 p) c. I Fig. 5 visas systemen aterkopplade med forstarkning K = 2. Kombinera var och en av nyquistkurvorna ovan med ratt stegsvar aven i detta fall. (3 p)

0.9 S5 4 3 2 0 S6 2 S7 S8 Figur 5. Stegsvar for slutna system (med K=2) i uppgift 5. 6. I Fig. 6 visas ett reglersystem dar systemet med overforingsfunktion G p (s) = ( + s) 2 regleras med en proportionell regulator (G R (s) = K). Givarens dynamik representeras av overforingsfunktionen H ( s). Regulator R(s) + E(s) U(s) Y(s) Σ G (s) G (s) R P Givare H(s) Process Figur 6. Reglersystem i uppgift 6. a. Visa att det aterkopplade systemet ar stabilt for alla K > 0 om givarens dynamik kan forsummas (H(s) = ). (2 p) I sjalva verket ar det en viss dodtid (tidsfordrojning) L i givaren. Antag att dodtiden ar L = 2 (sekunder). Berakna for vilka K som det aterkopplade systemet ar stabilt genom att anvanda foljande bada alternativa metoder (i deluppgifterna (b) respektive (c>): b. Approximera tidsfordrojningen genom att anta att H(s) = sl=2 + sl=2 = s + s och berakna for vilka K som slutna systemet ar stabilt. (4 p)

c. Antag att givaren utgors av en "akta" dodtid dvs H(s) = e Ls = e 2s Berakna for vilka K som det slutna systemet ar stabilt. Ledning: Ekvationen c = ax + b arctan x kan losas numeriskt genom att satta x till nagot startvarde (t.ex. x 0 = ) och sen iterera fram en numerisk losning genom rekursionen x n = (c b arctan x n )=a. Det racker med 2-3 decimalers noggrannhet (konvergensen ar langsam med denna metod). (4 p)