Fyrors bråkuppfattning Gunhild Matérn Utifrån Nämnarens artikelserie om taluppfattning och kursplanens betoning av taluppfattningens betydelse, har några elevers uppfattningar av enkla bråk undersökts. Hur de angriper problem med tal i bråkform har studerats med hjälp av videoinspelningar. Vad säger lösningsstrategierna om deras taluppfattning? Undersökningen genomfördes som en del av en kurs i matematikämnets didaktik vid Lärarhögskolan i Stockholm. Bakgrund Under 1995 och 1996 fanns i Nämnaren en artikelserie om taluppfattning. Forskare har under många år studerat och funnit att de elever som haft framgång i sina matematikstudier också visat sig ha en god taluppfattning. I det amerikanska måldokumentet Standards, liksom i den svenska kursplanen i matematik, betonas elevers taluppfattning. Svenska läromedel, undervisning och framförallt utvärderingar har i mycket liten utsträckning ägnats elevers taluppfattning, utan mera deras räknefärdigheter. Eftersom en djupare förståelse av tal och en lust att söka förstå är något som bevisligen krävs för att lyckas gå vidare i matematikens värld måste vi lärare lära oss mer om mekanismerna bakom detta. För att förändra vår undervisning måste vi först lära oss mer själva och ta reda på vad eleverna faktiskt kan. Mot denna bakgrund har jag undersökt mina elevers uppfattningar om enkla bråk. Jag ville se hur några elever i årskurs 4 angriper nya uppgifter inom det för dem delvis obekanta området bråk. Vad säger lösningsstrategierna om deras taluppfattning? Var fastnar de och varför? Gunhild Matérn arbetar som klasslärare i Tornbergsskolan i Botkyrka. Inledande undervisning Eleverna i min klass hade inledningsvis mycket vaga uppfattningar om tal mellan noll och ett. Målet för undervisningen var att ge dem lite förförståelse som förhoppningsvis skulle sjunka in och ge en grund att stå på för senare fördjupningar. Undervisningen som föregick själva undersökningen var upplagd enligt följande: 1. Finns det tal mellan noll och ett? Vilka? Hur kan man skriva? 2. Laboration med cirkelsektorer. Alla får klippa ut tre förtryckta cirklar i olika färger. röd 1/2, 1/4, 1/8, 1/8. blå cirkel: 1/3, 1/3, 1/6, 1/6. gul cirkel: 1/5, 1/5, 1/5, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10. Eleverna skriver additions- och subtraktionsuppgifter till varandra. 3. Storleksordning av ovanstående tal på tallinjen med cirkelsektorerna framme på bänken. 4. Procentintroduktion. 5. Introduktion av tal i decimalform. Gula cirkeln med femtedelar och tiondelar används som jämförelse. 34 Nämnaren nr 2, 1997
Undervisningen kom säkert att påverka elevernas uppfattning av bråk, vilket ju är syftet med undervisning. Med undersökningen ville jag dock tränga lite djupare in i elevernas föreställningar och deras lösningsstrategier. Hur jag gjorde Jag utgick ifrån att det inte skulle bli helt lätt att testa elevers taluppfattning inom ett såpass begränsat ämnesområde. En svårighet var att hitta lämpliga uppgifter så att elevernas taluppfattning skulle framgå så tydligt som möjligt. Många elever i klassen har mycket bristfälliga kunskaper i svenska språket och undersökningen riskerade därför att bli mer en undersökning av språkkunskaper än av matematikuppfattningar. Jag valde därför tre elevgrupper som kunde föra givande diskussioner. Eleverna i grupp 1 och 2 presterar bättre än genomsnittet i matematik. en pojkgrupp: Gunnar, Anton, Henrik och Paul. Grupp 2 en flickgrupp: Hanna, Liv och Agneta. Grupp 3 Hanna, Fabian och Karl (Deltog endast i uppgift 1.) För att försöka täcka lite av vad taluppfattning innebär utgick jag från den indelning i sex aspekter som nämnts tidigare (Reys m fl, 1995) och formulerade uppgifter som var något svårare än vad eleverna sysslat med tidigare. Grupperna instruerades att först läsa igenom uppgiften, och att sedan tänka tyst några minuter innan de började diskutera med varandra. Till förfogande fanns rutat papper, pennor, meterlinjal, garn, sax, måttband och miniräknare. Allt de sade och gjorde videofilmades. Ibland gick jag in och tipsade dem om att använda något hjälpmedel, och om de var inne helt på avvägar så påpekade jag det för dem. Bandningen pågick under flera timmar, och jag presenterar här några avsnitt som jag tycker är intressanta. Nämnaren nr 2, 1997 Hur eleverna resonerade Uppgift 1 Vad skulle du välja 1/3 m godisrem eller 30 cm? Grupp 3 Fabian: 5 och 5 och 5. Det är 15. Titta här. 15 cm. Det är 1/3 m. 30 cm är dubbelt. Karl är tyst hela tiden. Hanna försöker få lite stöd för att dela meterlinjalen i 3 delar. Fabian tycker att en tredjedel det är tre stycken och väljer då fem-cm avsnitten på meterlinjalen som råkar vara tydligt markerade. Han ger ett mycket säkert intryck och Hanna blir för en stund osäker på sin ståndpunkt. Hon försöker förstå vad Fabian menar. Så småningom Hanna: Vi ska dela den i tre (visar på meterlinjalen). Kommer ni ihåg cirkeln när vi delade i tre. Det blev en tredjedel. Kanske vi ska dela den här i tre? Fabian vidhåller 5 + 5 + 5. Fabian: Hur många procent är en tredjedel? Jag bryter in och försöker stödja Hanna i att dela meterlinjalen i tre, och tipsar dem om garnet. Nu turas Fabian och Hanna om att vika. Fabian viker i tre och vill ha saxen. Hanna rycker åt sig garnet och viker hela tiden på mitten, om och om igen. Efter att jag avbrutit några gånger och bett dem läsa upp uppgiften för mig, klipper de garnet i tre lika stora delar och kommer fram till att 1/3 m är mer än 30 cm. De tre eleverna hade olika svårigheter att klara uppgiften. Karl visade aldrig vad han förstod eller inte förstod. Han är annars den av de tre som lyckas bäst på traditionella prov. Fabian hade inte alls klart för sig vad 1/3 innebar (han hade varit frånvarande under de tidigare genomgångarna). Hanna hade nog klart för sig vad 1/3 innebar men kunde inte riktigt identifiera en tredjedels meter som mått. Hennes dåliga självförtroende gjorde att hon inte utvecklade sina egna tankar. Hon visade också att hon inte kunde dela en sträcka i tre lika stora delar genom att vika den i tre, 35
varken i tanken eller praktiken. Fabian gjorde det direkt så fort han fick klart för sig att man skulle dela 1 m i tre lika delar för att få 1/3 m. Alla hade en klar uppfattning om vad 1/3 innebar. De visste att 1/3 m 33 cm. Grupp 2 De ber om en meterlinjal. Hanna och Liv försöker resonera sig fram till hur de ska få reda på hur mycket 1/3 m är. Agneta sitter och tänker med papper och penna. De tar ett måttband. Liv: Om man delar 1 m i tre tredjedelar blir kanske varje del en tredjedel? Då blir det mer än 30 cm. Jag: Hur vet ni det? Liv försöker hitta 1/3 m. Liv: 30 cm + 30 cm + 30 cm =, det blir 10 över. Då måste det (1/3 m) vara lite mer. Denna grupp hade en bra strategi. Uppgift 2 a) Ni är tre stycken och ska dela på fyra chokladkakor. b) Nu har ni bara två chokladkakor som ni ska dela på tre. Hur gör ni? Visa! Om ni kan förklara med siffror. De börjar med att försöka lösa a-uppgiften med procent, vilket inte går så bra. Efter en stund Anton: Vi kör med bråktal. Gunnar: Så alla får, och en tredjedel. Anton: Alla får en och en tredjedel. Han ritar och förklarar. Jag ber dem förklara med siffror. Gunnar: En kaka är lika med 100%. Anton: Nej vi skriver 400 delat i tre. Nej det går inte. Jag ingriper och ber dem lämna procentberäkningen. Gunnar försöker förklara med siffror. Henrik försöker förklara bilden. Jag ber dem räkna ut talet. Paul skriver då 4/3 = 1 1/3. b-uppgiften: Anton: Så här alla får en halv här, här, och här. Sen delar vi den sista halvan i tre delar så alla får... så där. Gunnar: Alla får två tredjedelar. Anton: (tänker) En halv ska man dela i! Gunnar: Kolla, om vi delar den här i tre delar, då får alla en tredjedel. Sen delar vi den här också i tre delar, då får alla två tredjedelar. Att visa hur man delar chokladkakor är lätt, men att förklara blev lite svårare. Antons delning av kakorna är byggd på erfarenhet, men blir en sämre strategi som utgångspunkt för att ge ett numeriskt svar, medan Gunnars bild ger svaret direkt. Att bråket 4/3 också kan betyda divisionen 4:3, är tydligen inte uppenbart ännu. Grupp 2 De ritar upp a-uppgiften; Fyra chokladkakor och tre personer 1 1/3 till var och en. Även flickorna hittar i b-uppgiften två sätt att dela. Liv: En och en halv var. Agneta: Nej, två tredjedelar var. Liv: Men, jag tänker på ett annat sätt. Eftersom Liv inte kommer på hur hon ska benämna lösningen så ansluter hon sig till Agnetas uppdelning. Liv: Skriv med siffror Tre delat i fyra. Hur mycket är det? Återigen ritar de tre personer och fyra kakor. Båda två funderar. Liv: Det här med delat är nog ingen bra idé. De fortsätter att försöka rita. Även denna grupp lyckas tillsammans klara att dela kakorna och benämna lösningarna, men inte heller de relaterade bråk till division. 36 Nämnaren nr 2, 1997
Uppgift 4 a) Hur löser ni det här problemet? 2 5 + 1 10 Visa hur ni tänker! Kan man skriva det med siffror? b) Hur löser ni detta? 2 5 1 10 Visa hur ni tänker! Kan man skriva det med siffror? Grupp 2 De försöker räkna ut a-uppgiften, men trasslar in sig. På mitt förslag ritar de cirkelsektorer istället. Liv: Om man delar en femtedel så blir det två tiondelar. Agneta: (Igenkännande) Ååh! Liv: Två femtedelar är nog en tredjedel Nej. Hanna prövar miniräknaren men klarar inte decimalformen. De andra fortsätter med cirkelsektorerna. Agneta: Två femtedelar är fortfarande två femtedelar eller? Agneta: (senare) En femtedel är lika mycket som två tiondelar och två femtedelar lika mycket som fyra tiondelar. Och så har vi en till. Då blir det fem tiondelar. Jag ber dem skriva på ett annat sätt och att slå in talet som division på miniräknaren. Liv: 0,5 En halv. Alla: Nä, men åh, vad lätt! De börjar med b-uppgiften. Agneta: Det blir tre tiondelar kvar eller 0,3 eller en och en halv femtedel. Att de ritade cirkelsektorer beror nog på att de behärskade det bäst, snarare än att det var ett medvetet val. Tyvärr ritade de mycket illa och kunde därför inte se det självklara resultatet. När de sen fick fram resultatet 5/10 såg de inte omedelbart att det var 1/2. Förmodligen var de lite snurriga av alla nya begrepp och de insikter som de gjort under diskussionen. Hade de associerat 5/10 till en längd är jag övertygad om Nämnaren nr 2, 1997 att de direkt hade sett 5/10 = 1/2. Deras förståelse för tal i bråkform var ännu så ny och osäker att de inte hade förmåga att laborera mellan olika representationer för samma tal, t ex bilden med cirkelsektorer, bilden av tallinjen, numeriska tal i bråkform respektive decimalform. Men när de sen skulle ta sig an b-uppgiften använde de den insikt de just förvärvat. Anton: En tiondel är en halv femtedel. Så det blir två och en halv femtedel. Jag: Kan du visa det med någon figur? Anton ritar noggranna cirkelsektorer och skuggar mycket fint, men upptäcker inte vad han ritat. Henrik och Paul tittar på och tänker. Paul: (tyst, osäkert) En halv. Henrik: Det är en halv. Anton tar ingen notis, och snart tror inte Henrik och Paul längre på sitt svar. Jag ber Anton lyssna på sina kompisar och han inser då det uppenbara. b-uppgiften: Anton: Blir det en fjärdedel? Han ritar. Paul: Jo, det blir det. Anton: Nej. Anton: Det blir nog en tredjedel Upp till bevis. De gör om till tiondelar, och svaret är nu givet, 3/10. Jag frågar om 3/10 är detsamma som 1/3. De provar med cirkelsektorer, vilket blir kladdigt. De provar med meterlinjal. Efter en stund kommer Anton ihåg problemet med godisremmen och förklarar så relationen mellan 3/10 och 1/3. Pojkgruppen var väldigt dominerad av Anton. I stället för att tänka och fundera själva, började de direkt försöka följa hans tankebanor. Han var så inne i sin noggranna ritning att han inte såg att han ritat en halv, när han ritat två och en halv femtedel. Eftersom de inte löste a-uppgiften med tiondelar blev det inte självklart för dem att göra det på b-uppgiften heller, (jämför med flickgruppen). Anton började med ett påstående som han försökte bevisa (1/4), och när det visade sig fel prövade han ett nytt. Min avslutande fråga låg utanför uppgiften, men jag var nyfiken på vad de kom 37
ihåg. Vid det tidigare tillfället kom ju svaret direkt. Jag antar att de helt enkelt hade lättare för att relatera till längd som ju är mer konkret. Uppgift 5 a) Är 2 5 + 3 7 mer än ett? 2 b ) Är 3 + 1 mer eller mindre än ett? 4 Visa hur ni tänker! De tror att de måste räkna ut talet. Anton: Först ska man rita (en cirkel), den här, i sju. Paul följer med. Henrik leker. Det blir trassligt. De slår in på miniräknarna. Anton: En hel delat i sju. Det här går inte att läsa. Vi tar inte det. 7 x 7 = 49. Vi säger att det är en hel. De försöker få hjälp av meterlinjalen, men lyckas inte riktigt. De är dock helt överens om att det är mindre än ett, men vet inte hur de ska visa det. De kan se på cirkelsektorerna att det är mindre än ett, men de vill pröva med miniräknarna. Jag visar hur de kan slå in talet. Sen är ju svaret givet. b-uppgiften Anton: Det är mindre än ett. Det ser man på direkten. Jag: Hur mycket är det kvar? Paul: En tolftedel. Det ser man. Han ritar och visar med cirkelsektorer. Anton: Om man ska räkna ut t ex ett bråktal, då måste man ha med alla bråktalen i cirkeln. Han ritar också upp cirkelsektorer, fjärdedelar och tredjedelar i samma cirkel. De saknade här erfarenhet för att använda en lämplig strategi, trots att kunskaperna fanns. De såg inte att de kunde gå via 1/2. Ändå frågade jag vid något tillfälle om 3/7 var större eller mindre än 1/2. På b-uppgiften, där ju talen var mer välbekanta, kunde de se lösningen i huvudet. Att de skulle hitta 1/12, där Anton började utveckla en insikt om att använda minsta gemensamma nämnare hade jag inte förväntat mig. Flickorna i grupp 2 löste uppgifterna på samma sätt som pojkarna. Inte heller de kunde se att talen i a-uppgiften var mindre än 1/2 och deras summa därför mindre än 1, trots att jag gav dem en vink därom. Uppgift 6 Du ska baka dina favoritkakor. Här är receptet. 3 ägg 100 g smör 1 1/2 dl mjöl 2 dl socker 1 msk vaniljsocker 1/2 dl kakao Men du har bara ett ägg. Vad gör du? Räkna om receptet! De tar en ingrediens i taget, och jag ger följdfrågor. Anton är van att baka. De inleder med att resonera om med vilken noggrannhet man måste mäta smöret, 33 1/3g? Anton: 11/2 dl mjöl. Det blir bara 1/2 dl. 2 dl socker ska man dela i tre,.. en tredjedel plus en tredjedel, det är två tredjedelar Ja det blir två tredjedelar. En matsked Är femton gram en matsked? Jag förklarar att en matsked är ett volymmått och 15 ml. Anton: En tredjedels matsked. Jag: Hur mycket är det? Anton: Fem milliliter. Jag frågar hur man mäter det och berättar om teskedsmåttet. Gunnar: Kakaon kan man räkna så här. Den sista tvåan kan man räkna gånger med tre. De är eniga om att 1/2 dl kakao då blir 1/6. Jag: Hur mäter man en sjättedels dl? De kommer fram till ca 16 1/2 ml. Jag påminner dem om matskedsmåttet och berättar om kokbokstermen rågad. Trots att Anton var mycket dominerande så var alla med i diskussionen. Jag deltog själv för mycket i resonemangen den här gången. Bakmåtten var, trots Antons 38 Nämnaren nr 2, 1997
bakvana, rätt okända. Deciliter och matsked verkade vara de mest bekanta måtten som de kunde referera till när de mötte andra enheter. Intressant var också Gunnars upptäckt hur man dividerar ett bråktal, dvs när han skulle ta en tredjedel av en halv så multiplicerade han nämnaren med tre. Några reflektioner Videofilmen visade tydligt hur eleverna resonerade när de försökte lösa uppgifterna, som alla innehöll för dem obekanta eller nyförvärvade bråkbegrepp. De elever som deltog, utnyttjade de förkunskaper de hade och prövade friskt på helt nya. Visst kände de flesta till 1/2, 1/3 och 1/4 sen tidigare, men endast på ett mycket konkret sätt, t ex 1/4 äpple. Just de här eleverna hade nog en rätt god taluppfattning. De visade nyfikenhet, lust och förväntan att vinna nya insikter, inte bara att hitta rätt svar. Det gick inte att missta sig på deras förtjusning när de gjorde nya upptäckter av relationer mellan tal. Aspekter av taluppfattning Hur använde eleverna de olika aspekter av taluppfattning som finns beskrivna i Nämnaren nr 2, 1995? (Uppgifterna har samma nummer som aspekterna.) 1. Förståelse av tals betydelse och storlek. Alla kunde snabbt identifiera 30 cm, men 1/3 m var svårare. En elev med språksvårighet förstod inte begreppet 1/3. Två strategier att lösa uppgiften förekom. 30 cm x 3 < 1 m = 3 x 1/3 m 1/3 m 33 cm > 30 cm 2. Förståelse och användning av ekvivalenta uttryck och representationer av tal. Representationerna i denna uppgift var: Bilden av chokladkakorna och deras delningslinjer Bråktalen i svaren (1 1/3 och 2/3) Divisionerna (antalet chokladkakor dividerat med antalet personer) De två första fann eleverna flera varianter av, medan en elev möjligtvis insåg divisionen i b-uppgiften. Observera Livs försök till division i a-uppgiften. 3. Förståelse av operationers innebörd och funktion. Denna uppgift blev tyvärr obegriplig för eleverna, och finns inte med här. Ingen av de andra uppgifterna visade denna aspekt särskilt väl. 4. Förståelse och användning av ekvivalenta uttryck. 1/5 = 2/10, 5/10 = 1/2 och 3/10 = 0,3. Dessa likheter fann de genom diskussion. 5. Strategier för beräkning och antalsbestämning. Den strategi jag tänkt mig på a-uppgiften var att gå via 1/2. Ingen hittade den metoden, utan de ritade i stället cirkelsektorer. En grupp bekräftade, med min hjälp, svaret med miniräknare. Eleverna löste b-uppgiften genom att rita cirkelsektorer, men de verkade nu såpass säkra på tredje- och fjärdedelar att några såg svaret i huvudet. 6. Referenspunkter vid mätning. De enheter de kände bäst till var dl, msk och g. Uppgiften avslöjade inte särskilt väl olika referenspunkter vid mätning, även om Anton, som var van att baka, verkade ha en ganska säker uppfattning av måtten. Vilka representationer användes? Eleverna prövade tallinjen, cirkelsektorer, procent, bråkform, decimalform samt konkreta representationer (bilder av chokladkakor och människor). De använde oftast cirkelsektorer, trots att det var lite ovant för dem. Jag hade nog förväntat mig att de skulle pröva tallinjen oftare. Procent blev till fallgropar och prövades nog för att vi nyligen haft det i klassrummet. Ingen av uppgifterna passade bra att lösa med procent. Även om de var osäkra på användningen av olika representationsformer, var de ivriga att försöka, vilket måste sägas vara en god strategi i alla lägen. Nämnaren nr 2, 1997 39
Stötestenar Vid de flesta tillfällen när eleverna fastnade berodde det på brister i förkunskaperna eller på att de helt enkelt inte var tillräckligt säkra på bråkbegreppet för att kunna laborera med det. Dåligt självförtroende. Det hände några gånger att en elev övergav ett bra ansats pga dåligt självförtroende, t ex i uppgift 1 när Hanna ville dela en meter i tre, men i stället försökte förstå Fabians helt felaktiga teori. Eller när Paul i uppgift 4 först tyst viskade 1/2, men inte hävdade det utan i stället lyssnade vidare på Anton. De gav sig in på operationer de inte behärskade, t ex procent. De glömde eller missförstod frågan. Roliga upptäckter Pauls upptäckt hur man dividerar bråk i uppgift 6. 1/2 dl kakao delat med tre är 1/6 dl. Antons upptäckt att för att få fram 1 (2/3 + 1/4), i uppgift 5b, så måste man omvandla till ett tal där både 3 och 4 får plats alltså 3 x 4 = 12, dvs tolftedelar (minsta gemensamma nämnaren). Agnetas belåtna min när hon briljerade; 3/10 eller 0,3 eller 1 1/2 femtedel. Alla elever tyckte att det var mycket roligt att delta och att de lärde sig mycket matematik. Undersökningen visade hur elever med en relativt god taluppfattning löste uppgifter med bråk. Det vore intressant att jämföra med hur elever med sämre taluppfattning skulle gå tillväga. Referenser McIntosh, A., Reys, B. & Reys, R. (1992). A proposed framework for examining basic number sense; For the learning of mathematics, 12:2 8. Reys, B., Reys, R., Emanuelsson, G. m fl (1995). Vad är god taluppfattning? Nämnaren 22(2). Reys, B., Reys, R., Emanuelsson, G. m fl (1995). Uppslaget: Taluppfattningstest. Nämnaren 22(2). Reys, B., Reys, R. & Emanuelsson, G. (1996). Uppskattning av överslag. Nämnaren 23(1). 40 Nämnaren nr 2, 1997