Matematisk Modellering Föreläsning 6 Kalle Åström Matematikcentrum Lunds Universitet Matematisk Modellering p.1/??
Dagens föreläsning Mål Redovisning projekt 3 Modelleringsexempel från projekt 2 Matlab Mer om modellering och historia Matematisk Modellering p.2/??
Redovisning projekt 3 Skicka elektronisk version av projektrapport 3 till mig kalle@maths.lth.se och till er handledare fredagen den 5 december. Muntlig redovisning projekt 3 1,2,4,5,6 Måndag 8/12 kl 10-12 i V:C. 7,8,9,10, torsdag 11/12 kl 10-12 i MA:? 11,12,13,14, torsdag 11/12 kl 13-15 i MA:? Ni får förbättringstips av er handledare under veckan. Matematisk Modellering p.3/??
Redovisning projekt 3 Lämna in förbättrad version till er handledare fredag 12/12. När rapporterna är helt godkända av er handledare vill jag ha dem (rapport 1, 2 och 3) elektroniskt. Absolut deadline för detta är onsdagen den 21 januari. Om man inte är klar då finns det ett fönster 1-12 mars då man kan slutföra projekten. Matematisk Modellering p.4/??
Matlabtenta Observera att skriptet marker.p fungerar tills 31 december 2003. Nästa tillfälle att göra matlabtentan blir 1-12 mars 2004. Matematisk Modellering p.5/??
Mer om modellering En viktig egenskap hos en matematisk modellerare är att veta vilka matematiska problem som är lätta att lösa och vilka som är svåra. Exempel - transportproblemet och handelsresandeproblemet. Matematisk Modellering p.6/??
Exempel Problem: Givet en k k matris n, där n ij anger nyttan att person j gör uppgift, finn den matris x ij, med x ij Z, x ij 0, x ij 1, k i=1 x ij = 1, k j=1 x ij = 1 som maximerar k k i=1 j=1 n ijx ij. max x k i=1 k j=1 n ij x ij,, Matematisk, Modellering p.7/?? x ij Z x ij 0 x ij 1
Exempel Linjär målfunktion Linjära bivillkor Detta visar sig vara ett lätt problem. Det finns bra algoritmer som hittar lösningar för stora problem (miljontals variabler) på kort tid som man kan bevisa är optimala. Linjärprogrammering (Läs optimering och linjär och kombinatorisk optimering) Matematisk Modellering p.8/??
Exempel Handelsresandeproblemet visar sig vara ett svårt problem. Redan vid ganska litet antal städer tar det för lång tid att hitta den bästa lösningen. Matematisk Modellering p.9/??
Fördjupning Ytterligare fördjupning och resultat (som russin i en stor kaka). Exempel på delresultat. Användning av definitioner, sats och bevis som kompakt kunskapsrepresentation. Ett sätt att packa analysresultat på ett tydligt sätt så att kunskapen går att återanvända. Exempel från transportproblemet. Theorem 1 Transportproblemet är ett konvext optimeringsproblem Matematisk Modellering p.10/??
Matlab - 1.4 Strängar och workspace En variabel med sträng kan anges med enkla citat-tecken. str = abcdefgh ; Internt lagras och behandlas strängar som matriser. Konvertering från sträng till tal och vice versa sker med tal = double(str); str = char(tal); Matematisk Modellering p.11/??
Matlab - 1.4 Strängar och workspace Om man vill generera en sträng från tal så att a = 102 blir str = 102 så kan man använda num2str strcmp(s1,s2)=1 om s1 och s2 är samma sträng lower - konverterar till gemener upper - konverterar till versaler Precis som men matriser kan man sätta samman strängar med nnystr = [str1 str2 str3]; Matematisk Modellering p.12/??
Matlab - 1.4 Strängar och workspace who - talar om vilka variabler som är satta whos - ger mer information om satta variabler save - sparar alla eller vissa variabler till fil load - laddar in variabler från fil pwd resulterar i en sträng till aktuell katalog. dir - listar alla filer i aktuell katalog. Matematisk Modellering p.13/??
Matlab - 1.5 Grafer plot(x) - gör en graf av värdena i vektorn x. Om x är en matris så blir resultatet en graf för varje kolumn? plot(x,y) - om x = [4 2 3] och y = [7 8 9] så blir består grafen av tre punkter (4, 7), (2, 8) och (3, 9). Man kan exportera en graf till en fil med print. Det finns många formatval, t ex print -deps filnamn.eps print -djpeg filnamn.jpg print -dbitmap filnamn.bmp Matematisk Modellering p.14/??
Matlab - 1.6 Polynom Polynom anges som en vektor med koefficienter, t ex motsvarar p1 = [1 3 4] polynomet 1x 2 + 3x + 4 En operation som kallas faltning (conv) kan användas för att räkna ut produkten av två polynom. conv([1 1],[1 1])=[1 2 1] Funktionen roots räknar ut alla komplexa rötterna till ett polynom. Matematisk Modellering p.15/??
Matlab - 1.6 Matrisalgebra Användbara matrisoperationer inv - matrisinvers det - determinant rank - rang eig - beräknar egenvärden och egenvektorer svd - s k singulärvärdesfaktorisering norm - matrisnorm cond - konditionstal Matematisk Modellering p.16/??
Matlab - 1.7 Avancerad grafik meshgrid - genererar matriser x, y som kan användas för att göra 3d grafer. mesh - gör 3Dfunktioner av ytor givna av en matris. varianter av mesh är surf, meshc, meshz, waterfall och surfl. contour ritar ut nivåkurvor till en yta plot3 liknar plot plot(x,y,z) - om x = [4 2 3], y = [7 8 9] och z = [3 2 1] så ritas en 3D plot av tre punkter (4, 7, 3), (2, 8, 2) och (3, 9, 1). Matematisk Modellering p.17/??
Matlab - Egna verktygslådor En verktygslåda är en katalog (en mapp) som innehåller ett antal matlabfiler (funktioner och skript). Dokumentation för varje skript och funktion kan man lägga in i början av funktionen skriptet. funktion b = minfunk(a); % b=minfunk(a) % funktionen beräknar kvadraten på varje eleme Genom att skriva help minfunk skrivs hjälptexten ut. b=minfunk(a) funktionen beräknar kvadraten på varje element Matematisk Modellering p.18/??
Matlab - Egna verktygslådor Dokumentation för en katalog (toolbox/verktygslåda) kan man lägga in i en speciell fil Contents.m % Verktygslåda för matematisk modellering % % minfunk - beräknar kvadraten % hejhopp - är en annan skoj funktion Genom att skriva help matmod1 så skrivs hjälptexten ut Verktygslåda för matematisk modellering minfunk - beräknar kvadraten hejhopp - är en annan skoj funktion På så sätt kan man ganska enkelt dokumentera sin kod. Matematisk Modellering p.19/??
Varför modeller Kompakt informationsrepresentation Reduktionism Tycho Brahe, Kepler och Newton Kommunikation Utbildning Enklare och säkare än verkligheten Modeller nödvändiga om systemet inte finns än Matematisk Modellering p.20/??
Varning En model beskriver bara en del av verklighetens egenskaper Sparsmakad Soldathandboken: Om naturen skiljer sig från kartan, lita på naturen! Håll reda på modellens giltighetsområde Matematisk Modellering p.21/??
Förenklingar Fysiska förenklingar Systemteori (Linjär analys ÅK 2) Systemidentifiering (f k reglerteknik) Modellfamiljer Matematisk Modellering p.22/??
Modelleringsverktyg Fysik Matematik Matematisk statistik Numerisk analys Datavetenskap Mjukvaruutveckling Reglerteknik Systemteori Matematisk Modellering p.23/??
En röst från det förflutna Vannevar Bush 1927 Engineering can proceed no faster than the mathematical analysis on which it is based. Formal mathematics is frequently inadequate for numerous problems pressing for solution, and in the absence of radically new mathematics, a mechanical solution offers the most promising and powerful attack... The mechanical differential analyzer 1928-1931. Matematisk Modellering p.24/??
En röst från industrin Ralph P Schlenker, Exxon: Modeling and simulation technologies are keys to achieve manufacturing excellence and to assess risk in unit operations. As we make our plant more flexible to response to business opportunities efficient modeling and simulation techniques will become commonly used tools. Matematisk Modellering p.25/??
Drivande krafter Ekonomi och resursoptimering Kvalitets och prestationskrav Säkerhetskrav Miljökrav Lagar Nya teknologier och möjligheter Matematisk Modellering p.26/??
Användning Förståelse Analys Simulering Optimering av design Reglerteknik Implementation Matematisk Modellering p.27/??
Vad är en model? A model M for a system S and an experiment E is anything to which E can be applied in order to answer questions about S. Marvin Minsky Matematisk Modellering p.28/??
Kosmologi - en förebild Problemet: Förutspå himlakroppars placeringar. Naturvetenskapens födelse Insikt Hur rör de sig? Vad orsakar rörelsen? Hur kan rörelsen beskrivas? Abstraktion - Naturlagar Sidoeffekter Ett utmärkt modelleringsexempel som spänner över flera århundraden med fantastiska bidrag och revolutionerande konsekvenser. Matematisk Modellering p.29/??
Naturvetenskap och teknikvetenskap Många likheter och skillnader Naturfenomen Analys Isolering Naturlagar Tekniska system Syntes Interaktion Systemprinciper Matematisk Modellering p.30/??
Kosmologi Heliocentriskt synsätt Phytagoras kosmologi Aristarchus 300 BC De mörka åren Återupptäckt heliocentriskt synsätt Kopernikus 1474-1542 Galilei 1564-1642 Experiment Tycho Brahe 1546-1601 Timur Lenk Insikt från data J. Kepler 1571-1630 En teori växer fram I. Newton 1643-1727 Matematisk Modellering p.31/??
Ideernas ursprung De tidiga modellerna baserades på grova observationer, filosofi, matematik. Pytagoras hade ett synsätt med solen i centrum. Aristoteles satte jorden i centrum. Detta synsätt var elenarådande under en lång tid p g a religioösa skäl. Ptolemaios hade en bra modell som byggde på ciklar. Kopernikus återinförde synsättet med solen i centrum. Det vetenskapliga synsättet började med datainsamling av Tycho Brahe, data analys av Kepler, som gått i skola i Kopernikus anda. Newton gjorde den slutgiltiga syntesen. Matematisk Modellering p.32/??
Tidig kosmologi I Pytagoras modell rörde sig jorden solen, månen och planeterna runt en kropp som kallades den centrala elden,.... Pytagoras astronom Aristachus förenklade modellen genom att sätta solen i centrum. Wertheim s. 32: Ptolemaios (cirka 100-165 FK) hade ett jordcentrerat synsätt. Månen, Merkurius, Venus och solen roterade rund jorden. rörelsen var cykloider. Cirklar och sfärere ansågs vara de perfekta formerna. Nationalencyclopedin: Kopenrikus (1474-1542) föreslog ett solcentrerat synsätt. Förklarade omloppstider, Merkurius 88, Venus 225, Jorden 365, Mars 687, Jupiter 4333, Saturnus 10759. Planeterna rörde sig i s k epicykler, minst lika komplicerade som Ptolemaios. Wertheim s. 66: Matematisk Modellering p.33/??
Data från observatorier Tycho Brahe var matematiker vid Kejsare Rudolf II s hov i Prag. Kepler var Tycho Brahes assistent. Brahe gav motvilligt data till Kepler om Mars rörelse. Mars ver den planet som avvek mest från cirkelrörelse. Genom att analysera rörelsedata fann Kepler tre naturlagar. 1. Planeterna rör sig i ellipser med solen som en av brännpunkterna 2. Lika area täcks på samma tid 3. Tiden runt solen är kopplad till storleken på omloppsbanan 4. Keplers formel M = E e sin E Matematisk Modellering p.34/??
Exempel - De stora modellerarna Problem: Förutspå himlakropparnas positioner Olika faser Observationer: Tycho Brahe och Timur Lenk Hitta särdrag: Kepler Teoriutveckling: Newton Förbättrad databehandling: Gauss Abstraktion: Euler, Lagrange och Hamilton Ytterligare abstraktion: Poincare, Birkhoff Nya bidrag: Smale, Arnold och Chaos Matematisk Modellering p.35/??
Ideer, observationer och mönster Tidiga astronomer presenterade ideer om att planeterna rörde sig runt solen i cirklar. För att få det att stämma med verkligheten fick man införa komplicerade rörelsemönster som cykloider. Tycho Brahe och Timur Lenk utförde nogranna observationer av planeterna och samlade på sig ett stort experimentellt material. Kepler analyserade Tycho Brahes data och fann att planeterna rörde sig i ellipser. Han observerade också flera oregelbundenheter. Newton använde sig av Keplers resultat när han uppfann gravitationslagen, Newtons ekvationer och differentialkalkylen. Matematisk Modellering p.36/??
Newton - en modelleringsjätte Newton undersökte rörelsen hos två planeter som påverkades av gravitation. Han formulerade gravitationslagen. F = k mm r 2. Han formulerade också lagen om momentbalans d mv = F, dt F = ma = md2 x dt 2 och motsvarande lag om rotationsmoment. Han utvecklade också differentialkalkylen (kursen analays 1 och analys 2) för att kunna analysera sin modell. Teorin och analysverktygen gick att tillämpa på många fler Matematisk Modellering p.37/??
Effektiv användning av observationer Historien om planeten Ceres, som upptäcktes 1781, hade en nästan cirkulär rörelse. Försvann. Återupptäcktes tack vara Gauss metod 1801. K. F. Gauss Teoria Motus Corporum Coelestium 1809. The most probable values of the unknown parameters, are those which minimize the sum of the squares of the differences between the observed and computed values. The principle that the sum of the squares of the differences between observed and computed quantities must be a minimum may be considered independently of the calculus of probabilities. Instead of using the sum of squares (our principle) we could use sum of any even power of the errors. But of all these principles ours is the most simple. Minstakvadratmetoden! Matematisk Modellering p.38/??
Lycka till! Lycka till med slutförandet av kursen! Hoppas ni får nytta av kunskaperna i kurser projektkurser egna projekt matematisk modellering 2 examensarbeten jobb forskning Matematisk Modellering p.39/??