Lösningar tentamensskrivning i stokastik MAGB64 den 7 juni 2013 Då detta skrivs är tentorna inte färdigrättade, det tar väldig tid och blir nog inte klart före helgen (jag har annat också), men jag har en uppfattning att resultatet inte är så bra som jag hade förväntat med tanke på det ambitiösa arbete som vi sett under övningstillfällena. Man kan se att många pluggat flitigt, men ibland saknar jag en eftertanke då en krånglig formel använts i stället för ett enkelt resonemang. Det är absolut värt att titta på dessa lösningar även om man klarat sig. 1a Du drar kort ur en kortlek utan återläggning. Vad är sannolikheten att det andra kortet är en kung? Lösning: Varje kort har sannolikheten 1/13 att vara en kung. Svar: 1/13. Anm: Många löser en annan uppgift, sh att den första kungen är det andra kortet. 1b I en urna ligger 10 röda kulor, 11 gröna kulor och 10 blåa kulor. Du drar 30 kulor utan återläggning. Vad är sannolikheten att du får 10 kulor av varje färg? Lösning: Sh för 10 kulor av varje färg = sh sista kulan är grön = sh första kulan är grön = 11/31. Svar: 11/31 2 Låt vara Poissonfördelad med parameter, dvs [ = ] = Visa att väntevärdet för är. Lösning: E[] = 0 (0) + 1 (1) + 2 (2) + = = () = = = (Maclaurin) = = Svar: E[] = Anm: Många bestämmer med ML-skattning, men det är att lösa ett helt annat problem. 3 En grön och en blå tärning kastas med utfallen G respektive B. (Tärningarna är vanliga symmetriska sexsidiga tärningar.) Betrakta absolutbeloppet av differensen, dvs =. a Ange sannolikhetsfunktionen för. Lösning: Det finns 36 lika sannolika utfall (G, B). 6 utfall ger D = 0; 10 utfall ger D = 1; " osv. Svar: 0 = " ; 1 = " ; 2 = " ; 3 = " ; 4 = " ; (5) = " ; p(k) = 0 övr k
Anm: Några skapar en formel eller ritar en graf, men det är inte nödvändigt; en funktion kan gärna ges som en lista (ifall det inte handlar om otympligt många värden). b Låt F(x) vara fördelningsfunktionen för. Bestäm F(1). Lösning: F(1) = P[D 1] = p(0)+p(1) = " " = Anm: Många vet inte vad F står för. Det är ett fundamentalt begrepp. 4 Vi vill undersöka om en tärning är symmetrisk och formulerar hypotesen : Tärningen är symmetrisk. Tärningen kastas 30 gånger med följande resultat: utfall 1 2 3 4 5 6 frekvens 0 2 4 6 8 10 Testa hypotesen med -test (1% signifikansnivå). Lösning: Teoretisk frekvens är 5 för alla utfall. = + + + " Svar: accepteras. 2 (5+1.8+0.2) = 14 < 15.1 5 Låt (X,Y) vara en diskret slumpvariabel med sannolikhetsfunktion (1,1) = " ; (1,2) = " ; (1,3) = (2,1) = (2,2) = (3,1) = " Bestäm a [] b [ = 2] c ["] d (2,2) Lösning: a [] = 1 0.6 + 2 0.3 + 3 0.1 =.. b [ = 2] =.. = c ["] = 1 0.4 + 2 (0.1 + 0.2) + 3 (0.1 + 0.1) + 4 0.1 = 2 d F(2,2) = P[X 2 och Y 2] = 0.4+0.2+0.1+0.1 = Anm: Den svåraste här var d (liksom i 3b); många vet inte vad F betyder. 6 En viss typ av flygmaskiner har 3 motorer, en på varje vinge och en längst fram på nosen av flygkroppen. För att planet ska kunna hålla sig i luften krävs att motorn på nosen fungerar eller att båda vingmotorerna fungerar. a Antag att nosmotorn har sannolikhet u och att vardera vingmotorn har sannolikhet v att klara en viss sträcka. (Motorerna fungerar oberoende av varandra). Med vilken sannolikhet klarar flygplanet den sträckan? =
Lösning: Man kan rita ett parallellt kopplat schema med u på ena grenen och två vkomponenter i serie längs den andra. Sh att "u-grenen" fungerar är u och att "vgrenen" fungerar är. Sh att den ena eller den andra fungerar är +. (I så fall använder man alltså att [ ] = [] + [] [ ]). Alternativ lösning: Sh att planet flyger är P[nosmotorn funkar eller båda vingmotorerna funkar] = = 1 P[nosmotorn fung ej och någon vingmotor fung ej] = (oberoende händelser) = = 1 P[nosm fung ej] P[någon vingm fung ej] = = 1 P[nosm fung ej](1 P[båda vingm fung]) = 1 (1 u)(1 ) = + b En annan flygplanstyp har exponentialfördelad återstående flygtid (enhet timmar) med fördelningsfunktion () = 1.". Om 100 sådana flygplan ger sig ut på ett uppdrag som tar 4 timmar, vad är sannolikheten att minst ett plan tvingas nödlanda? Lösning: P[ett visst plan klarar turen] = 1 P[planet klarar inte turen] =." =.". Det ger: P[något nödlandar] = 1 P[alla klarar turen] = 1." "" = 1. 0.33 7 Betrakta en Poissonprocess med intensitet 0.2. Bestäm [ (10) (2) = 2 (5) = 1 ] Lösning: Det finns två möjligheter: (i) Om N(2) = 0 så N(5) N(2) = 1 och N(10) N(5) = 1 (ii) Om N(2) = 1 så N(5) N(2) = 0 och N(10) N(5) = 2 Antal händelser under en tidsenhet är Po(0.2), under två t.e. är Po(0.4) under tre t.e. är Po(0.6) och under 5 t.e. är Po(1). Det ger (i) Om N(2) = 0 så N(5) N(2) = 1 och N(10) N(5) = 1 (ii) Om N(2) = 1 så N(5) N(2) = 0 och N(10) N(5) = 2... dvs (10) (2) = 2 (5) = 1 =.. +.. = och [(5) = 1] =, alltså sökt sh är. =. 0.2943. Anm: Om det kan glädja någon så löste jag uppgiften fel och fick. Först då jag rättat ett antal av tentorna insåg jag misstaget och fick korrigera rättningen. 8 Vi antar att sannolikheten är en sjundedel att en slumpmässigt vald person är född på en söndag. Staden East Saint Louis på Mississippis östra strand har 29400 invånare. Bestäm ett 99.9% konfidensintervall för antal personer i staden som är födda på en söndag.
Lösning: Förväntat antal söndagsbarn: 29400/7 = 4200 Vi antar binomialfördelning och får varians 4200 = 3600; dvs standardavvikelsen är 60. Approximera med normalfördelning Konfidensintervallet är 4200 ± 3.2905 60, dvs konfidensintervallet är [4003, 4397]. Anm 1: Några beräknar konfidensintervallet för andelen söndagsbarn i staden: 1 7 ± 3.2905 1 7 6 7 29400 Det går också bra, men gränserna måste multipliceras med 29400 för att man ska få antalet. Anm 2: Några för in korrektionsfaktorn. Det är helt fel, det gör man då man utifrån ett stickprov vill skatta sannolikheten att vara född en söndag. Men här har vi redan antagit att denna sannolikhet är exakt 1/7 och vi har inte frågat någon vilken dag den är född. 9 Vi antar att mäns längd upp till axlarna är normalfördelad med väntevärde 165 cm och standardavvikelse 12 cm. Nio män vill se över en hög mur och ställer sig på varandras axlar. Kvinnors längder till axlarna antas normalfördelad med väntevärde 150 cm och standardavvikelse 9 cm. Vad är sannolikheten att tio kvinnor på varandras axlar når högre än de nio männen? (Bortse från storleken av den översta personens huvud i respektive fall.) Lösning: Väntehöjden för kvinnorna är 1500 cm, för männen 1485 cm. Förväntad differens 15 cm. Varians en kvinna är 81 cm, varians 10 kvinnor 810 cm Varians en man 144 cm, varians 9 män 1296 cm Varians för differensen mellan kvinnostapeln och mansstapeln 2106 cm Standardavv för denna differens 45.8912 cm P[kvinnostapel högre än mansstapel] = Φ " Φ 0.32686 0.628 "#$ 10 Lisa har tre försök på 2 meter i höjdhoppsfinalen. Sannolikheten att hon klarar första försöket är. Om hon river blir hon arg och hoppar bättre, sannolikheten att hon klarar andra försöket är. River hon även i andra försöket blir hon ännu argare och klarar tredje försöket med sannolikheten. Om hon klarar något försök vinner hon tävlingen och hoppar inte mer. River hon alla tre försöken vinner hon inte tävlingen. Betingat av att hon vann tävlingen, vad är sannolikheten att hon klarade a första försöket b andra försöket c tredje försöket?
Lösning: a P[Lisa klarar förs 1 betingat av att hon klarar något förs] = = {P[L klarar försök 1 och L klarar ngt förs]} / {P[L kl ngt förs]} = = {P[L klarar försök 1]} / {1 P[L kl inget förs]} = / 1 = b Som ovan men vi måste också anta att Lisa misslyckas i förs 1. Det ger = / 1 c Den totala sh är 1 så svaret är 1 =. Anm 1: En snygg lösning var de som struntade i betingningen och räknade ut att sh måste vara lika stor att hon klarar höjden i försök 1 som i försök 2 som i försök 3. Så betingat av att hon klarade höjden i något av försöken måste den vara en tredjedel i vart och ett av dem. Anm 2: Påfallande många klarar denna uppgift som jag tyckte var svår. Allmänt är lösningsfrekvensen ofta förvånande låg på uppgifter som jag trodde var lätta, men god på dem jag bedömde som svårare.