Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras
Föreläsning 10 Inferens för genomsnitt, t-fördelningen (okänt σ), 7.1 konfindensintervall hypotesprövning stickprov i par
Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x µ σ/ N(0, 1) n
Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x är normalfördelad, eller x µ σ/ N(0, 1) n
Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x är normalfördelad, eller x µ σ/ N(0, 1) n vi har många observationer i vårt stickprov (n stort)
Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen
Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen Hypotesprövning: H 0 : µ = µ 0, H a : µ µ 0 Beräkna z = x µ 0 σ/, P-värdet = 2 P(Z > z ) n från normalfördelningen.
Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen Hypotesprövning: H 0 : µ = µ 0, H a : µ µ 0 Beräkna z = x µ 0 σ/, P-värdet = 2 P(Z > z ) n från normalfördelningen. Vad göra om σ är okänt?
Okänt σ Vi skattar σ med stickprovsstandardavvikelsen s = s x. x µ σ/ N(0, 1) n x µ s/ n?
Okänt σ Vi skattar σ med stickprovsstandardavvikelsen s = s x. x µ σ/ N(0, 1) n ( s/ n kallas för standard felet ) x µ s/ n?
t-fördelningen, s401 Om stickprovet kommer från en N(µ, σ)fördelnings så gäller: t = x µ s/ n (t-fördelning med n-1 frihetsgrader) t(n 1)
t-fördelningen forts t-fördeningen liknar N(0,1) fördelningen men har mer area i ändarna
t-fördelningen forts t-fördeningen är: symmetrisk kring 0 mer och mer lik N(0,1) när antalet frihetsgrader växer
Okänt σ. Hur gör vi? s402
Okänt σ. Hur gör vi? s402 Betrakta t = x µ s/ t(n 1) n Beräkna s (kräver observationsvärden) och x och räkna som vanligt Exempel: Konfidensintervall för µ: I stället för x ± z σ/ n, får vi
Okänt σ. Hur gör vi? s402 Betrakta t = x µ s/ t(n 1) n Beräkna s (kräver observationsvärden) och x och räkna som vanligt Exempel: Konfidensintervall för µ: I stället för x ± z σ/ n, får vi x ± t s/ n där t kommer från t(n-1)-fördelningen.
Exempel 7.4 i minitab, s 408-409
Exempel 7.4 i minitab, s 408-409
Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden?
Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n.
Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n. Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. Gör analys på d-datat Om d-värdena är normalfördelade? Använd t-test.
Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n. Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. Gör analys på d-datat Om d-värdena är normalfördelade? Använd t-test. H 0 : µ = 0, H a : µ > 0 konfidensintervall för µ
Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad?
Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x
Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x Använd metoder för andra fördelningar.
Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x Använd metoder för andra fördelningar. Använd icke-parametrisk metod (utnyttjar ej ngn fördelning). T.ex. teckentest
Teckentest för stickprov i par
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0).
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0.
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5.
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden.
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden. P-värde = P(X 8) när X B(11, 0.5). = 1 P(X 7) = 1 0.89 = 11%
Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden. P-värde = P(X 8) när X B(11, 0.5). = 1 P(X 7) = 1 0.89 = 11% Vi utnyttjar dock inte mätvärderna fullt ut. Om nästan normalfördelat så använd t-test.