MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder, allra först följden (a n ) 0 =, 2, 4,... där a n ges av den explicita formeln a n = 2 n. Vi skulle ha kunnat börja indiceringen med istället för 0 och skrivit (a n ), d.v.s. a, a 2, a,.... Den explicita formlen för a n blir då en annnan. Tänk själv efter hur formeln ser ut. Om man kallar första talet för a 0 eller a eller kanske något tredje, är alltså av betydelse. Betrakta nu följden (a n ) 0 =,,,,,.... Eftersom mönstret är så uppenbart kan vi utan risk för missförstånd skriva.... Det är den enda naturliga tolkningen som gäller. Men observera att t.ex.,,,,, 2,, 4, 5,... också är en talföljd. En talföljd behöver inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men finns det någon explicit formel för a n i följden (a n ) 0 =,,,,,...? Visst, det är helt OK att skriva { an = då n är jämnt a n = då n är udda () Det bestämmer talföljden fullständigt och ingen tvekan råder längre. Men om nu detta skall kallas en explicit formel är en smaksak. Kanske skulle vi kalla det för två formler, en som gäller för jämna värden på n och en som gäller för udda värden på n. Men det finns ett alternativ: a n = ( ) n (2) som du själv noga kontrollerar. Uttrycket ( ) n har man ofta nytta av. Betrakta t.ex. följden (b n ) 0 = 2, 0, 2, 0, 2,.... Kan du finna en explicit formel för denna? Jämför b n med a n. Skillnaden är uppenbar: b n a n = för alla n. Alltså b n = + ( ) n. I resten av detta avsnitt skall vi arbeta med talföljden (c n ) 0 =, 5, 7,.... Men här finns nog ingen naturligaste tolkning. Flera möjligheter är lika naturliga:, 5, 7,, 5, 7,, 5, 7,... eller, 5, 7, 7, 5,,, 5, 7,.... En precisering behövs. I själva verket fortsätter den talföljd, jag tänker på, på följande sätt (c n ) 0 =, 5, 7, 7,,... () men helt klart hur jag tänker mig fortsättningen är det inte. Jag måste precisera mig ytterligare: Min följd följer principen att varje tal är summan av närmast föregående tal och 2 gånger näst närmast föregående tal. Är det klart vad jag menar? Kanske några exempel behövs: 7 = 5 + 2, 7 = 7 + 2 5 och = 7 + 2 7. Nästa tal i följden är
c 5 = + 2 7 = 65. Det är lite tungt att uttrycka principen i ord. Men i symboler går det lätt: c n+2 = c n+ + 2c n gäller för alla n 0 (4) Varje tal symboliseras här av c n+2, närmast föregående tal symboliseras av c n+ och näst närmast föregående tal symboliseras av c n. Formeln (4) är ett exempel på en så kallad rekursionsformel. Det finns oändligt många talföljder som uppfyller rekursionsformeln (4), t.ex. 2,, 7,,... eller, 4, 6, 4, 26,.... Men det finns bara en talföljd som uppfyller (4) och börjar med c 0 =, c = 5. För att talföljden skall vara entydigt bestämd måste vi både ange rekursionformel och startvärden. Så här c 0 =, c = 5, och c n+2 = c n+ + 2c n för n 0 (5) Kan du beräkna c 00? Visst. Det är bara att successivt beräkna c 6, c 7, c 8,..., c 00. Men nog vore det bekvämt med en explicit formel för c n. Kanske kan man gissa sig till en formel; ett explicit uttryck som till att börja med är hypotetiskt. Jämför vi med följden, 2, 4, 8, 6, 2,... av 2-potenser, ser vi ett mönster: c n är omväxlande ett större och ett mindre än en 2-potens, åtminstone så här långt. Vi har c 0 = 2, c = 2 2 +, c 2 = 2. En inte helt orimlig hypotes är att detta gäller generellt. Det kan vi uttrycka på följande sätt: c n = { 2 n+ + om n udda 2 n+ om n jämnt eller enklare c n = 2 n+ + ( ) n+ (6) Tänk igenom detta noga. Detta är än så länge bara en hypotes. Låt oss försöka bevisa hypotesen med induktion och kalla högerledet för h n. Vi har alltså h n = 2 n+ + ( ) n+ och skall visa att c n = h n för n = 0,, 2,.... Induktionsbevis utgörs av induktionsbas och induktionssteg. Vi har c 0 = och h 0 = 2 + ( ) =. Som vi redan konstaterat tidigare är alltså c 0 = h 0. Låt oss tills vidare kalla detta för induktionsbasen. Induktionssteget uttryckte vi förra gången lite informellt på följande sätt. Visa att om k är ett lyckligt tal så är också k + ett lyckligt tal. Att k är lyckligt betyder i detta fall att c k = h k, d.v.s. att c k = 2 k+ + ( ) k+ och att k + är lyckligt betyder att c k+ = h k+, d.v.s. att c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2. Finns det något samband mellan c k och c k+ som gör att lyckan hos k sprider sig och gör k + lyckligt? Vi har ett samband, nämligen formel (5), som uttrycker det enda vi säkert vet om talföljden. Med n = k kan vi skriva rekursionsformeln som c k+2 = c k+ + 2c k. Men denna rekursionsformel innehåller tre tal i följd och hjälper oss inte att uttala oss om ett tal bara genom att känna närmast föregående. Vi måste känna de två föregående talen. Vi försöker oss istället på följande variant av induktionssteg. 2
Visa att om k och k + är lyckliga så är k + 2 lyckligt (7) Att k och k + är lyckliga betyder att c k = 2 k+ + ( ) k+ och c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2 (8) Vi skall visa, med detta som utgångspunkt, att även k + 2 är lyckligt: c k+2 = 2 k+ + ( ) k+ (9) Vi använder förstås rekursionsformeln (5) och får c k+2 = c k+ + 2c k = [enligt (8)] 2 k+2 + ( ) k+2 + 2 (2 k+ + ( ) k+ ) = 2 k+2 + 2 2 k+ + ( ) k+2 + 2 ( ) k+ = 2 k+2 + 2 k+2 + ( )( ) k+ + 2 ( ) k+ = 2 2 k+2 + ( ) k+ ( + 2) = 2 k+ + ( ) k+ ty ( ) k+ = ( ) k+ och vi har visat (9). Induktionssteget, i vår alternativa form, är nu klart och vi vet att om två på varandra följande tal (k och k + ) är lyckliga så är även nästa tal (k + 2) lyckligt. Induktionssteget skall tillämpas på induktionsbasen. Men som induktionsbas nöjde vi oss ovan med c 0 = h 0, som visar att 0 är lyckligt. Men det räcker inte. För att induktionssteget skall kunna tillämpas behöver vi två lyckliga tal efter varandra. Lyckligtvis har vi redan tidigare konstaterat att c = h och ytterligare några likheter. Men att 0 och är lyckliga räcker. Induktionssteget, tillämpat med k = 0 visar då att även 2 är lyckligt. Att och 2 är lyckliga ger omedelbart att är lyckligt. Och så vidare. Lyckan sprider sig till alla naturliga tal. Därmed har vi visat allmänt att c n = 2 n+ + ( ) n+ för n = 0,, 2,.... Detta exempel visar att induktionssteget kan behöva varieras jämfört med våra exempel från Dag. Det viktiga är att induktionsbas och induktionssteg är anpassade till varandra. Induktionssteget måste ha möjlighet att så att säga gripa tag i induktionsbasen. 2. En abstrakt analys. I våra första induktionsbevis var induktionssteget av följande typ: vi visar att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. I exemplet i förra avsnittet behövde vi en variant av induktionssteg: vi visar att om k och k+ är lyckliga så är k+2 lyckligt. Induktionsbasen måste anpassas efter induktionssteget, så att induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen och föra oss framåt. Många varianter finns. T.ex. kan ett induktionssteg vara av följande typ: vi visar att om k, k + och k + 2 är lyckliga så är k + lyckligt. För att induktionssteget skall kunna
användas måste vi finna tre tal i följd som är lyckliga. Induktionsbasen måste omfatta tre på varandra följande tal. Ovanstående är en abstrakt beskrivning av vad vi har ägnat oss åt hittills, men jag har utelämnat en detalj. Att k är lyckligt har hela tiden i våra exempel inneburit att en likhet av typen v k = h k är uppfylld. Gemensamt för alla våra exempel har varit att vi bevisat en likhet. Men om vi igen läser igenom den abstrakta beskrivningen ovan av induktionsbevis, ser vi att resonemanget naturligtvis håller även om lyckan är av annat slag än just en likhet. Betrakta följande påstående 2 + 2 2 + + (n ) 2 < n för n = 2,,... (0) där det utan missförstånd bör kunna underförstås vad prickarna står för. Med summasymbol kan vi skriva olikheten som n i 2 < n. Observera att vänsterledet saknar mening i= om n < 2. Att n är lyckligt innebär att n uppfyller olikheten i (0). Vi kan även här kalla vänster- och högerled för v n respektive h n. Vi får v 2 = 2 =, v = 2 + 2 2 = 5 och h 2 = 8, h = 9, vilket visar att v 2 < h 2 och v < h. Talen 2 och är alltså lyckliga i den meningen att olikheten (0) gäller för dem. Induktionssteget bör se ut så här: vi visar att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Men först några allmänna allvarsord. Det är en konst, en nyttig övning och mycket viktigt att formulera sådana här resonemang så att de är läsbara och logiskt uppbyggda. Det vanligaste nybörjarfelet är att inte göra det tillräckligt tydligt om det sagda är något redan känt, något vi just visar eller fortfarande en fråga eller ett påstående. Man anger inte uttalandets status. Jämför följande: (i) v 8 = h 8 (ii) som vi just visat är v 8 = h 8 (iii) det följer nu att v 8 = h 8 (iv) är v 8 = h 8? (v) jag påstår att v 8 = h 8 (ii)-(v) är alla godtagbara formuleringar. Läsarna lämnas inte i tvivel om vilken status det sagda har. Däremot är (i) ensamt inte en acceptabel formulering. Den är alldeles för otydlig. Vi går tillbaka nu till vårt induktionsbevis av olikheten (0). Vi har redan visat att v 2 = h 2 och v = h. Med det induktionssteg vi satsar på räcker v 2 = h 2 som induktionsbas. Läs nu det följande resonemanget noga, speciellt kursiverade ord som vi kan se som statusmarkörer. 4
Låt oss nu äntligen ge oss i kast med induktionssteget att visa att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Låt alltså k vara ett lyckligt tal 2, d.v.s. antag k 2 och 2 + 2 2 + + (k ) 2 < k () Vi skall visa att k + är lyckligt, d.v.s. att 2 + 2 2 + + (k ) 2 + k 2 < (k + ) (2) Vi får 2 + 2 2 + + (k ) 2 + k 2 < k + k2 direkt ur induktionsantagandet (). Om vi lyckas visa att k + k2 < (k + ) () så följer också 2 + 2 2 + + (k ) 2 + k 2 < (k+) och då har vi visat (2). Olikheten () är ekvivalent med k + k2 < k +k 2 +k+, som vi får genom att utveckla högerledet. Det räcker alltså att visa denna olikhet. Jag påstår att den är sann. Lite förenklat påstår jag alltså att k + k2 < k + k2 + k +, eller efter ytterligare förenkling att 0 < k +. Så ser påståendet ut i sin mest förenklade form. Men k 2, så 0 < k + är uppenbart sant. Därmed är mitt påstående visat och eftersom det räckte för att visa (2) så är induktionssteget klart. Därmed är hela induktionsbeviset klart ty induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen. 2 är lyckligt, alltså är lyckligt, alltså är 4 lyckligt och så vidare.. Ännu ett exempel. Betrakta nu följande hypotes Det finns ett positivt heltal N sådant att n! > (n + )2 n gäller för alla n N (4) Som du väl minns står n!, som utläses n fakultet, för produkten av alla heltal från upp till n, m.a.o. n! = 2 (n ) n. Vi kan också definiera n! med en rekursionsformel:! = och (n + )! = (n + ) n! för n. Låt oss kalla vänster- och högerled för v n respektive h n som vanligt. Vi har då v =, v 2 = 2, v = 6, och h = 4, h 2 = 2 och h = 2. För n =, 2, gäller alltså inte olikheten i (4), men vi har anledning tro att olikheten så småningom gäller ty vänsterledet multipliceras med allt större tal när n växer medan högerledet inte ökar lika snabbt. Låt oss vänta ett tag med ytterligare experiment och istället försöka oss på ett induktionssteg: Visa att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. Antag alltså att k är lyckligt (hittills har vi inte träffat på något lyckligt tal). Vi antar alltså 5
k! > (k + )2 k (5) och vill visa (k + )! > (k + 2)2 k+ (6) Använder vi (5) så får vi (k + )! = (k + )k! > (k + )(k + )2 k = (k + ) 2 2 k. Om vi lyckas visa att (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+, så är vi klara ty då följer (k + )! > (k + 2)2 k+. Men observera att det skulle kunna tänkas att (k + )! > (k + 2)2 k+ även om (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ inte gäller. Hur som helst låt oss satsa på att visa (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ (7) vilket är ekvivalent med (k + ) 2 > (k + 2) 2, som i sin tur kan skrivas k 2 + 2k + > 2k + 4 eller ännu enklare som k 2 >. Detta är givetvis sant om k 2. Induktionssteget fungerar alltså så snart k 2, men vi kan inte använda induktionssteget på k = 2 eftersom ju 2 inte är lyckligt. Formeln i (4) gäller ju inte för n = 2. Induktionsbasen måste vi alltså söka högre upp. Vi fortsätter och får v 4 = 24, h 4 = 80, v 5 = 20, h 5 = 92, v 6 = 720, h 6 = 448. Talet 6 är alltså det första lyckliga talet. Induktionssteget kan här gripa tag i 6 och vi sluter oss till att n! > (n + )2 n för n 6. Påståendet (4) är alltså sant, med N = 6. 4. Om världens bästa lärare. Det verkar kanske förmätet, men nu skall jag bevisa att jag är bäst i hela världen, eller med andra ord att så snart jag är med i en församling om säg n personer, så är jag den bäste. Om du betvivlar detta så uppmanas du att hitta felet i detta bevis. Vi börjar med induktionsbasen n =. Om jag är med i en församling av bara person, så är jag förstås bäst, så induktionsbasen innebär inga problem. Antag nu att påståendet är sant för n = k, d.v.s. att så snart jag är med i en församling av k personer så är jag bäst. Vi skall visa att detsamma gäller om jag är med i en församling av k + personer. Så låt p, p 2, p,..., p k, p k+ vara k + personer, där jag är p. Om vi utesluter p 2 så har vi k personer, nämligen p, p, p 4,..., p k, p k+. Enligt induktionsantagandet är jag bäst av dessa. Jag är alltså bättre än p, p 4,..., p k, p k+. Men är jag bättre än p 2? Visst, om vi istället utesluter p har vi k personer, nämligen p, p 2, p 4, p 5,... p k, p k+, där jag är den bäste. Jag är alltså också bättre än p 2. Kort sagt jag är bäst av p, p 2, p,..., p k, p k+, och därmed är induktionssteget också klart. Och vi drar slutsaten att jag alltid är bäst i alla församlingar. 5. Övningar. 6
Övning. Bestäm alla naturliga tal n som uppfyller olikheten n > 4n 2. Övning 2. Finn felet i Avsnitt 4. Övning. (dåligt induktionsbevis) Nu följer att induktionsbevis, som är uselt formulerat. Min allvarligaste invändning är att det inte finns någon text som talar om ifall en utsaga (t.ex. en likhet eller olikhet) är a) en förutsättning b) en slutsats eller c) ett ännu obevisat påstående. Med en del kompletteringar av text samt någon omstrukturering skulle beviset dock gå att rädda. I sin nuvarande form är det oläsligt. Det är din uppgift att rädda beviset. Du kan börja med att markera varje utsaga med a), b) eller c) enligt ovan. Problem. Bevisa olikheten Lösning. 2 4 5 6 2n 2n n +, n Induktionsbas. n = 2 + = 4 = 2. Stämmer. Induktionssteg. Antag n = k. 2 4 5 6 2k 2k k + Alltså n = k + 2 4 5 6 2k 2(k + ) 2k 2(k + ) = 2 4 5 6 2k 2k + 2k 2k + 2 = (k + ) + 7 k + 4
2k + k + 2k + 2 k + 4 k + 4 (2k + ) k + (2k + 2) (k + 4)(4k 2 + 4k + ) (k + )(4k 2 + 8k + 4) 2k + 2k 2 + k + 6k 2 + 6k + 4 = 2k + 28k 2 + 9k + 4 2k + 24k 2 + 2k + 4k 2 + 8k + 4 = 2k + 28k 2 + 20k + 4 0 k Alltså n = k +. V.S.B. Övning 4. Granska ditt eget bevis i Övning, liksom dina bevis i övningarna till Dag, lika kritiskt och förbättra dem om så behövs. Övning 5. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a = och a n+2 = a n+ 2a n. Beräkna a 2, a, a 4 och a 5. Gissa en allmän formel för a n. Bevisa denna formel. Övning 6. En talföljd definieras rekursivt av a 0 = 2, a = 2 och a n+2 = 2a n+ + a n. Beräkna a 2, a och a 4. Bevisa sedan att a n = n + ( ) n för n = 0,, 2,.... Övning 7. Bevisa med induktion att + 2 + + + n > + 2n n för n = 2,, 4,... Övning 8. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a n+ = 2 + a n. Bevisa att a n < 4 för n = 0,, 2,.... 4n 8