Utveckling av talbegrepp

Utveckling av talbegrepp Ingemar Holgersson Denna artikel tar upp vikten av att barn utvecklar ett strukturerat talbegrepp. En intervjustudie redovisas. En mer fullständig redogörelse för undersökningen ges i en särskild rapport. Under ht-94 och vt-95 genomförde jag intervjuer med en grupp 6-åringar i Kristianstad. Jag intervjuade dem en gång på hösten och en gång på våren och min tanke var att kartlägga var i utvecklingen av ett talbegrepp var och en befann sig. Som förberedelse till intevjuerna hade jag tagit del av inte bara det fåtal undersökningar som gjorts i Sverige (Neuman, 1987; Doverborg, 1987; Ahlberg & Hamberger, 1995), utan framför allt översikter av den omfattande utländska, främst nordamerikanska, litteraturen på området (Fuson, 1988, 1992). Vad är ett talbegrepp? Vad innebär det att ha ett talbegrepp? Ett första svar man kan möta är att det rör sig om förmågan att koppla antal, dvs ett räkneord, till en given mängd. Ett andra betonar vikten av att kunna konservera antal i Piagets mening, t ex att förstå att fyra prickar är färre än fem fastän de kanske är utspridda över ett större område än de fem. Men analyserar man vad det innebär att ha ett utvecklat talbegrepp finner man att detta är mycket mer komplext än så. Det omfattar inte bara de ovan nämnda förmågorna, utan framför allt att vi har rika relationer mellan olika tal och de situationer i vilka vi använder talen. Så är det t ex viktigt att veta att 8 är ett mer än 7 och att 5 är ett mindre än 6, att 13 är mycket mer än 4 och Ingemar Holgersson är lektor i matematik, fysik och datateknik vid Högskolan Kristianstad. 8 mycket mindre än 20, att 8 är detsamma som 5 plus 3 eller 10 minus 2 etc (van de Walle, 1990). Nämnarens artiklar om Number Sense har säkert givit flera av oss läsare ytterligare tankar om vad det innebär att ha ett väl utvecklat talbegrepp och en god taluppfattning (Reys & Reys m fl, 1995). För att dessa relationer mellan talen ska växa fram måste vi redan i förskoleåldern få erfarenhet av att använda tal, ta reda på antal samt lösa problem av olika slag där tal ingår i situationer som vi känner meningsfulla och stimulerande. Utvecklingsschema Hur ett barns talbegrepp utvecklas är inte lätt att beskriva. Att identifiera ett utvecklingsschema är inte helt enkelt eftersom det finns många dimensioner att ta hänsyn till. Vi använder oss av tal på olika sätt och i många olika situationer. Vi anger antal, vi anger olika mått, vi utnyttjar ordningstal etc. Färdigheter i att hantera dessa olika situationer utvecklas normalt på något olika sätt och vid olika ålder (Fuson, 1988). Dessutom är den utvecklingsnivå ett barn uppvisar beroende på storleken av de tal han/hon använder. En 6-åring kan t ex ha ett väl utvecklat och integrerat talbegrepp med rika relationer och förmåga att dela upp antal i talområdet 1 till 5, sakna förmåga att dela upp antal i talområdet 6 till 10 och ha ett ganska dåligt utvecklat talbegrepp för talområdet större än 10, samtidigt som han/hon kan återge talramsan till 100. Fuson (1988) är en mycket ambi- 19

tiös genomgång av vad man vet om talbegreppets utveckling i framför allt förskoleåldern, och den innehåller flera schematiska sätt att beskriva denna utveckling. I Sverige har Neuman (1989) angett ett utvecklingsschema. Men Neumans utgångspunkt är inte att beskriva det enskilda barnets utvecklingsgång. Istället beskriver hon som fenomenograf vilka olika sätt barn har att uppfatta antal. Hon identifierar olika kategorier. Det hon ger är ett schema över hur dessa kategorier logiskt förutsätter varandra och har aldrig mig veterligt jämförts med utvecklingen hos enskilda förskolebarn. Utgångspunkter För mig har den naturliga utgångspunkten varit individen. Jag gjorde intervjuer med 17 stycken som gick i s k 6-årsverksamhet. Ett par dagar i veckan samverkade de också med en årskurs 1. Min målsättning var att försöka kartlägga vilka färdigheter som varje barn hade utvecklat och hur de förändrades under ett år i en 6-årsgrupp. Att kartlägga var ett barn står när det gäller talbegreppets utveckling är inte helt lätt. De många dimensionerna och aspekterna gör detta till en mycket omfattande uppgift. I en intervju är det naturligt att begränsa sig till en halvtimme, vilket i sin tur medför begränsningar i vad man kan undersöka. Jag har då valt att försöka få en form av helhetsbild av ett barns talbegrepp genom att välja några centrala områden, utan att kunna täcka varje område i detalj. Dessa områden har varit: färdigheter i att använda talramsan förmågan att räkna ett antal brickor (sådana som används i Othello) eller antalet prickar ordnade på olika sätt i olika mängder (linjärt, cirkulärt och oordnat) förmågan att tänka mer abstrakt om antal (i t ex den av Dagmar Neuman (1987) introducerade gissningsleken) hur barnet hanterar enkla additions- och subtraktionsproblem. Min målsättning med intervjuerna har varit att försöka finna ett barns gränser. Därför har jag inte ställt samma frågor till var och en utan utgått från ett frågeschema och varierat frågorna beroende på vad som efter hand framkommit i intervjun. Vid intervjuerna har papper och penna och ett antal Othellobrickor legat framme, och barnen har om de velat kunnat använda dessa, men har inte uppmuntrats till det. Det enda konkreta material barnen nästan uteslutande använt är sina egna fingrar. Några exempel Det som förvånade mig mest, när jag började analysera intervjuerna, var att det hos ett enskilt barn är så små skillnader i färdigheter mellan intervjuerna på hösten och de på våren. Detta speglar kanske en naiv fördom hos mig, att utvecklingen i den här åldern går snabbt. Variationen mellan olika barn är givetvis mycket större än förändringen eller utvecklingen hos en enskild individ. Ett par exempel. Karin Karin kan på hösten räkna till 20 och talramsan är ganska stabil, men hon kan inte räkna baklänges. Hon har problem med koordinationen öga hand och pekar ofta snabbare än vad hon säger räkneorden. När hon löser uppgiften: Du har 5 kastanjer och hittar 2 till. Hur många har du då tillsammans? räknar hon först fram 5 fingrar och fortsätter med 6, 7. Här vet hon direkt att hon lagt till 2. På motsvarande uppgift med 7 och 3 gör hon på samma sätt, men är påtagligt osäker på om 8, 9, 10 verkligen är 3 enheter. Uppgiften med 2 och 5 kan hon ej lösa eftersom hon inte klarar av att räkna vidare från 2 och avgöra när hon sagt 5 ord. På våren kan hon räkna till 40 och baklänges från 10. Hon har fortfarande en klar tendens att skena iväg med pekfingret, men koordinationen öga hand är nu mer stabil. När hon löser samma uppgifter som på hösten använder hon nu fingerbilder av 5 och 2 resp 7 och 3 och räknar sedan respektive summa. Däremot klarar hon inte motsvarande uppgift med 3 och 6, p g a samma svårigheter som förut. Hon har inte 20

lärt sig utnyttja strategin Störst Först (Kilborn, 1991). Förändringen mellan vår och höst är inte påtaglig om man bara ser till vilka uppgifter hon klarar respektive inte. Däremot ser man kvalitativa förändringar i hur hon hanterar dessa uppgifter. Ett sådant exempel är att hon på våren använder fingerbilder. Emilia och Filip Situationen är annorlunda för Emilia. Hon har på hösten en väl utvecklad ramsa till 200, på våren är den bara till 199. Hon har inga problem med att ta reda på antalet prickar i olika slags mängder, men pekräknar på hösten och använder endast en lätt nickning på våren. Vid problemlösning använder hon konsekvent strategin Störst Först och är på våren säkrare på att räkna baklänges vid Ta Bort-händelser än på hösten. Precis som hos Karin rör det sig inte om stora förändringar. För att undersöka om barn spontant utnyttjar visuella strukturer för att bedöma antal fick de se på olika A4-blad med prickar på under ca 1 sek per blad. På en del av bladen var prickarna oordnade. På an- Figur 1. Mängd med tydlig femstruktur. Undersökningen bekräftar det som väl var och en som arbetat med 6-åringars matematik vet, nämligen att det är kvalitativt stora skillnader mellan olika barn. Inte bara förmågan att lösa olika uppgifter varierar utan också sättet att göra det på. Utvecklingen går inte med stormsteg, men innehåller subtila landvinningar av strukturerande och integrerande karaktär. Vad händer så när barnen blir något äldre? En engelsk undersökning (Gray, 1991) belyser detta. Den visar att det finns kvalitativa skillnader mellan olika barn även i 7-12-årsåldern. Lärare på två skolor fick välja ut 6 elever var två som de bedömde som bra, två de ansåg var medelgoda och två de bedömde som svaga i aritmetik. På detta sätt fick man en grupp på sammanlagt 72 elever. Den bestod av 12 i varje åldersgrupp från 7 till 12 år, och i varje åldersgrupp var 4 bedömda som starka, 4 som svaga och 4 som medel. Alla elever intervjuades om hur de löser vissa enkla additions- och subtraktionsuppgifter. Svaren indelades i kategorier allteftersom elevdra var de ordnade i grupper om 5 eller 3 prickar, se figur 1. Därefter frågade jag dem: Hur många tror du att det var? När Filip hade sett bilden spreds ett leende över hans läppar, och istället för att svara med en gång var han tyst ett slag. Troligen sysselsatt med sin inre bild av vad han hade sett. Så log han igen och svarade 18. När jag frågade honom hur han gjort, visade det sig att han tagit 5, 10, 15 och sedan 16, 17,18. Emilia såg troligen också en bild inom sig, som hon utnyttjade för sitt svar, medan Karin på denna bild gissade antalet prickar på ungefär samma sätt som om mängden varit oordnad. Då hon såg en bild med 5 + 3 prickar utnyttjade hon däremot sin inre bild och tänkte ett tag innan hon gav svaret 8. För Filip var däremot femman något särskilt. Inte bara tärningsfemman utan också 2 + 3-strukturer. Han utnyttjade femstrukturer konsekvent även när han bestämde antalet i oordnade mängder. Ja, t o m med 12 prickar i cirkel, där fem-strukturen inte alls är framträdande, grupperade Filip i femmor. Eftersom Filip kommer från östasien är det möjligt att det är den mycket klara strukturen kring talet fem som finns i namnen på räkneorden i hans modersmål, som naturligt leder honom till att utnyttja femman på detta sätt. Eller kanske det är ett uttryck för en påverkan av någon förälder eller äldre släkting,vilket möjligen också kan spegla en annorlunda kulturell tradition vad gäller räknande än vår egen. Filip har ett mycket mer utvecklat sätt att hantera uppgifterna på än något annat barn i gruppen. Han använder flitigt 5- grupper, men räknar även fram- och baklänges med 2 och 3 i taget. Diskussion 21

en direkt visste resultatet, använde någon form av härledning, använde någon form av räknande uppåt eller nedåt eller där eleven använde en mer primitiv strategi som kan kallas räkna alla. Resultaten har sedan redovisats i diagram liknande det i figur 2. Det intressanta med undersökningen är för det första att den visar att det är långt ifrån alla elever på mellanstadiet som har s k automatiserade tabellkunskaper. För det andra visar den att det är stora kvalitativa skillnader mellan de starkas och de svagas sätt att hantera uppgifterna. Framför allt är den lilla andelen härledningar bland de svaga slående. De elever som bedömts som bra i aritmetik lär sig ett begränsat antal talsamband eller basfakta såsom dubblorna, att 3 + 4 är 7 och liknande samband mellan ensiffriga tal. Dessa utnyttjar de sedan på ett flexibelt och kreativt sätt för att lösa mer komplicerade uppgifter där t ex den ena termen är tvåsiffrig. De har på detta sätt tillägnat sig en tankeekonomisk och väl fungerande metod för att hantera aritmetiska problem. Många av de svagpresterande tycks ha ett kvalitativt helt annorlunda sätt att hantera dessa uppgifter. Även om de kan ett antal av de enklare talsambanden, såsom att 2 och 3 är 5 etc, utnyttjar de dem i mycket liten utsträckning för att härleda andra samband. Istället förlitar de sig på någon form av räknande. Antingen räknar de på Figur 2 22

från första eller från största eller räknar de baklänges, beroende på uppgiften. Detta är en metod som de efter ett par års övning i skolan lärt sig bli trygga med och lita på. Den har blivit deras generella redskap för att hantera denna typ av uppgifter. Nackdelen med metoden är dels att den blir allt mer orimlig att genomföra ju större de ingående talen är, dels att den inte på ett aktivt sätt utnyttjar relationer mellan talen, vilket gör att metoden inte ger någon vägledning för att bedöma rimligheten i det svar man kommit fram till. Tvärtom defokuserar den från en sådan bedömning. Detta påminner starkt om de nackdelar som finns med att använda våra standardmetoder för räkning med papper och penna de s k algoritmerna jämfört med att använda någon form av huvudräkning. För att beskriva denna kvalitativa skillnad i att hantera enkel aritmetik har Gray och David Tall (1994) infört beteckningen the proceptual divide. Ordet procept är en sammanslagning av de båda orden procedure och concept. För de svaga har proceduren att räkna blivit det viktiga kunnandet. Med den kan man t ex ta reda på vad 5 + 8 är, om man inte redan vet det. Men någon bestående inlärning av sambandet 5 + 8 ger den inte, utan varje gång barnet ställs inför uppgiften måste det lösa den på nytt. Här har aldrig proceduren som hos de starka smält samman med begreppen 13 eller 8. Genom att flexibelt utnyttja härledningar har de starka dessutom skaffat sig många metoder (procedurer) för att skapa ett tal. Så är t ex 8 detsamma som 5 + 3 och 5 + 5 detsamma som 10, vilket man kan utnyttja för 5 + 8. Denna sammansmältning mellan en procedur och det den producerar kallar de ett procept. Det vi kan lära av denna undersökning, menar jag, är hur viktigt det är att barn verkligen lär sig de enklaste sambanden mellan heltalen. Något också Dagmar Neuman (1989) påpekat. Men detta räcker inte, utan de måste också stimuleras till att utnyttja dem för olika slag av härledningar och slutsatser, så att de blir ett aktivt redskap de har förtroende för och trygghet i att själva hantera. Hos 6-åringen finns en naturlig tendens till ökad struktur och integration av samband mellan tal och erfarenhet av olika sätt att skapa och hantera dem. Det är här vi lärare och (inte minst) förskollärare har en viktig uppgift i att stimulera och utveckla denna spontana strävan efter ett kreativt och skapande förhållande till aritmetik. Det är då naturligt att olika strukturerande aktiviteter står i centrum vid arbetet med matematik. Detta arbete grundläggs i förskolan och måste få vara centralt även i barnskola och skola. Annars är risken stor att barnens aritmetik stelnar i rutinmässiga och föga utvecklande procedurer. Referenser Ahlberg, A. och Hamberger, B. (1995). Att möta matematiken i förskolan 6-åringars förståelse av tal och räkning. Rapport 1995:08. Institutionen för pedagogik, Göteborgs universitet. Doverborg, E. (1987). Matematik i förskolan? Rapport 1987:05. Göteborg: Inst för pedagogik. GU. Fuson, K. C. (1988). Children s counting and concepts of number. New York: Springer Verlag. Fuson, K. C. (1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. A. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning, pp 243-275. New York: Macmillan. Gray, E. M. (1991). An analysis of diverging approaches to simple arithmetic: Preference and its consequences. Educational Studies in Mathematics, 22, 551-574. Gray, E. M. & Tall, D. O. (1994). Duality, ambiguity, and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25, 116-140. Kilborn, W. (1991). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1. Grundläggande aritmetik. Stockholm: Utbildningsförlaget. Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget. Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills: A phenomenographic approach. (No. 62, 5-24, Göteborg Studies in Educational Sciences). Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Reys, B., Reys, R. m. fl. (1995). Perspektiv på Number sense och taluppfattning. Nämnaren 22(2), 23-26. van de Walle, J. (1990). Concepts of number. in Payne, J. N. (ed) Mathematics for the young child, NCTM, Reston Va. 23