Åh! Ett hemligt tal!

Rapport nr: 2011ht4956 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp Åh! Ett hemligt tal! En kvalitativ studie av yngre elevers resonemang vid problemlösning i matematik Marie Nyqvist Handledare: Johan Prytz Examinator: Lena Nilsson

Innehållsförteckning... 1 Sammanfattning... 3 Nyckelord... 3 Förord... 4 Inledning... 4 Bakgrund... 4 Litteraturgenomgång... 6 Forskningsläget... 6 Studiens teoretiska utgångspunkt... 11 Matematiska resonemang... 11 Syfte och frågeställningar... 13 Metod... 14 Genomförande... 14 Etiska överväganden... 14 Reflektioner över metoden... 15 Elevunderlag och urval... 15 Beskrivning av uppgiften... 16 Resultat och analys... 17 Grupp A... 17 Analys av resultaten för grupp A... 21 Grupp B... 21 Analys av resultaten för grupp B... 24 Grupp C... 25 Analys av resultaten för grupp C... 29 Grupp D... 29 Analys av resultaten för grupp D... 31 Sammanfattning av resultaten i undersökningen... 32 Diskussion... 33 Slutsatser... 34 Fortsatt forskning... 34 Referenslista... 35 Bilaga 1... 36 Brev till föräldrar... 36 Bilaga 2... 37

Intervjuguide... 37 2

Sammanfattning Syftet med detta examensarbete var att undersöka om det kan finnas ett samband mellan den språkliga utformningen av en matematisk problemuppgift och elevers val av resonemang. Två grupper av elever fick arbeta med varsin matematisk uppgift med likadant innehåll men olika språklig utformning. Om det fanns skillnader i elevernas val av resonemang mellan de båda uppgifterna så kunde det indikera att det kan finnas ett samband mellan den språkliga utformningen av en matematisk problemuppgift och elevernas val av resonemang. Jag valde att arbeta med två kvalitativa metoder som i min undersökning kompletterade varandra, observation och intervju. Resultatet av undersökningen visar på ett mycket svagt samband mellan den språkliga utformningen och elevernas val av resonemang. Istället väcker resultatet nya frågor om språkets betydelse vid inlärning i matematik. Nyckelord Didaktik, grundskola årskurs 1-3, observation, resonemang. 3

Förord Jag vill sända ett stort varmt och innerligt tack till de fantastiska elever som deltagit i min undersökning. Utan ert arbete skulle det inte ha blivit någon uppsats! Inledning Elevers resonemang inom alla ämnesområden har alltid intresserat mig. Jag har i mitt yrke som förskollärare haft den stora förmånen att få ta del av de mest fantastiska resonemang och slutsatser! De senaste åren har jag undervisat i matematik i förskoleklass och därför har mitt intresse kommit att riktas mot elevernas begreppsbildning, matematiska resonemang och problemlösningsförmåga. Jag har många gånger i min matematikundervisning sett skillnader i hur elever resonerar. En del använder sina kunskaper för att resonera i en problemlösningssituation, en del resonerar utan att koppla till sina förvärvade kunskaper och andra tar till den senast använda strategin och prövar helt okritiskt. Detta har väckt mina frågor kring hur det egentligen förhåller sig med elevers resonemang då de arbetar med att lösa matematiska uppgifter. Jag bestämde mig för att utnyttja mitt examensarbete till att fördjupa min kunskap inom ämnet och styra min undersökning i en riktning som kan berika min framtida undervisning och förhoppningsvis även ge andra lärare en ny syn på elevers resonemang. Jag har sökt efter någon slags modell för olika typer av resonemang. Jag är även intresserad av om det är så att olika typer av uppgifter kan leda till olika typer av resonemang. Jag tänker mig att elevernas matematiska kunskaper är deras redskap och att resonemang och problemlösningsförmåga är förknippat med deras förmåga att utnyttja sina kunskaper. Att undervisa i matematik i de yngre åren är komplext. Det är viktigt att eleverna får bygga upp en grundläggande taluppfattning och begreppsbildning men även att de får möjlighet att utforska områden där de kan använda sig av sina kunskaper i matematik. Det är viktigt att eleverna upptäcker samband mellan sina kunskaper och verkligheten, att det de lär kan användas praktiskt till något. Bakgrund Resonera betyder samtala, språkas vid, utbyta tankar; tänka. 1 För mitt examensarbete är det elevernas resonemang då de arbetar med problemlösning i matematik som är av intresse. Problemlösning är inget nytt fenomen i skolan utan har funnits med i matematikundervisningen under lång tid. 2 Att arbeta med problemlösning kan ses som en möjlig väg att uppnå matematisk förståelse. Fritz Wigforss argumenterade för detta 1952 när han beskrev hur elevernas arbete med vardagsproblem kunde komplettera lärobokens 1 Prismas främmande ord. Stockholm: Prisma, 1984, s. 430. 2 G Emanuelsson & B Johansson & R Ryding (redaktion): Problemlösning. Lund: Studentlitteratur AB, 1991, s. 14-17. 4

övningar. 3 Han menade att verkligheten erbjuder matematiska problem som inte läroboken kan erbjuda vilket kan utveckla elevernas kunskaper i matematik. Flera moderna läromedel, till exempel Eldorado, framhåller problemlösning som huvudmålet i grundskolans matematik. 4 Elevers förmåga att föra resonemang och lösa problem kan kopplas samman med elevernas kunskaper i matematik och deras förmåga att använda sig av dessa. Detta görs bland annat i TIMSS. TIMSS står för Trends in International Mathematics and Science Study och genomförs vart fjärde år. (Undersökningen organiseras av The International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA. Sverige har deltagit 1995, 2003, 2007 och 2011. Resultaten för TIMSS 2011 väntas bli klara under slutet av 2012.) 5 Första gången Sverige deltog i TIMSS med elever i årskurs fyra var 2007 och resultaten visar att svenska elever i årskurs fyra presterar under EU/OECD genomsnittet för delområdena aritmetik och geometri i årskurs fyra. Sverige hamnar på 18:e plats med 503 poäng, genomsnittet för EU/OECD-länderna ligger på 515 poäng. 6 I TIMSS 2007 mättes bland annat elevers förmåga att tillämpa sin kunskap och sin begreppsförståelse för att lösa problem. Även elevers förmåga att resonera i en ny situation, där rutinmässiga lösningsprocesser inte är möjliga, mättes. 7 Tre kognitiva förmågor identifierades som är gemensamma för både matematik och naturvetenskap. De resultat som presenteras här gäller matematikdelen. Dessa är: Att kunna fakta, begrepp och metoder avser elevens kännedom om ämnesfakta, begrepp, verktyg och proceduren. Inom detta område har Sverige 508 poäng och genomsnittet för EU/OECD-länderna ligger på 518 poäng. Använda fakta, begrepp och metoder avser elevens förmåga att tillämpa sin kunskap och begreppsförståelse för att lösa ett problem. Sverige når här upp till 482 poäng, genomsnittet för EU/OECD-länderna ligger högre, 509 poäng. Att resonera i en ny situation avser elevens förmåga att kunna använda sin kunskap i nya situationer där rutinmässiga lösningsprocesser inte är möjliga och där lösningen kräver flera steg. Sveriges poäng inom detta område, 519, visar på ett resultat som ligger något över genomsnittet för EU/OECD-länderna, 518. Svenska elever i årskurs fyra är förhållandevis duktiga på att resonera men sämre på att använda sina kunskaper då de ska lösa problem. 8 3 G Emanuelsson & B Johansson & R Ryding, s. 15 4 Ingrid Olsson & Margareta Forsbäck, Matte Eldorado Lärarbok 2 B, Stockholm: Natur & Kultur, 2009, s. 9 5 Skolverket. TIMSS 2007. Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport 323. Stockholm: Fritzes. 2008 6 Skolverket, rapport 323, s. 18 7 Skolverket, rapport 323, s. 28 8 Skolverket, rapport 323, s. 28 5

Matematik ses inom skolan som ett viktigt ämne och kunskaper i ämnet är en förutsättning för att vi bland annat ska kunna fatta riktiga beslut i vårt vardagliga liv. I syftet till ämnet matematik i Lgr 11 kan man läsa: 9 Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. I kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 i Lgr 11 kan man läsa att eleverna ska kunna lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven ska beskriva sitt tillvägagångssätt och ge enkla omdömen om resultatens rimlighet. Utifrån detta bör elevers resonemang och förmåga att lösa problem ses som viktiga områden i skolans matematikundervisning. Litteraturgenomgång Forskningsläget Georg Polya (1887 1985) utvecklade ett problemlösningsschema som bygger på fyra steg. I det första steget handlar det om att förstå problemet. Vad är det som söks? Det andra steget handlar om att göra upp en plan för hur problemet ska lösas. Känns problemet igen på något sätt? Finns det ett närbesläktat problem? I det tredje steget genomförs planen och kontrolleras i varje steg. Är de genomförda stegen korrekta? Det fjärde steget innebär att man ser tillbaka och kontrollerar sitt resultat. 10 Polya skriver att i förståelsen av problemet ligger att förstå vad som efterfrågas och att inse hur uppgiftens olika delar är sammanlänkade med varandra. Det gäller alltså att koppla samman den information som är given i uppgiften med den som saknas för att man ska få en idé om hur lösningen ska se ut så att man kan göra upp en plan för hur problemet kan lösas. För att kunna utarbeta en plan krävs att man sedan tidigare har förvärvade kunskaper inom ämnesområdet och förmåga att koncentrera sig. Själva genomförandet kräver uthållighet och att man kontrollerar de steg man tar i problemlösningsprocessen. Genom att se tillbaka på en löst uppgift och på nytt undersöka sitt resultat kan man befästa sina kunskaper och även förbättra sin problemlösningsförmåga. 11 Problemlösningsuppgifter i matematik framställs ofta i form av text vilket innebär att eleverna måste behärska språket väl. För att kunna omformulera en i text beskriven problemsituation till ett matematiskt språk krävs bland annat att eleven har en god läsförståelse. 12 Mary J. 9 Skolverket: Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket, 2011, s. 62 10 George Polya, Problemlösning, Lund: Berlingska Boktryckeriet, 1970, s. 17 11 Polya, s. 26 33 12 Myndigheten för skolutveckling, Mer än matematik - om språkliga dimensioner i matematikuppgifter 6

Schleppegrell har forskat om språkets betydelse för elevernas matematiska förståelse och utveckling av kunskaper. 13 Hon hänvisar till Halliday som betonar att det handlar om att få elever att utveckla sitt vardagliga språk till att omfatta språkets nya användning inom matematikens område. 14 Många matematiska ord har även en annan vardaglig betydelse, till exempel plats, låna, produkt. Det kan ibland vara lättare att lära sig matematiska ord och uttryck än att lära sig nya matematiska betydelser av redan inlärda ord. Det handlar inte om att lära sig nya ord utan om att förstå ordens nya innebörder i andra sammanhang, i nya kombinationer. Språket måste uttrycka att det används med matematiska avsikter. Att lära sig språket i en ny disciplin är en del i att lära sig den nya disciplinen; språk och inlärning kan därför inte separeras. 15 Med språk avses inte enbart skriven text eller verbalt språk, man kan säga att eleverna möter flera semiotiska system. Semiologi betyder läran om tecknens betydelse för språklig kommunikation. 16 Schleppegrell skriver att i matematiskt arbete handlar det inte om att arbeta enskilt med språket. Det handlar istället om att generera meningsskapande system för att konstruera kunskap. I dessa system ingår symboler, talat och skrivet språk, visuella representationer som grafer och diagram. Det matematiska språket har ett sätt att uttrycka sig på som det vardagliga inte har. Det matematiska språket innehåller symboler som har utvecklats för att beskriva samband inom matematiken. Det är viktigt att utveckla vår förståelse för språkliga frågor i matematiken, bortom vokabulär och specialiserad terminologi. Schleppegrell föreslår att man fokuserar på funktionerna av språket genom vilken matematiken är konstruerad för att hjälpa eleverna till engagemang och ge stöd i utbildningen/kunskapsutvecklingen. Genom att hjälpa elever att upptäcka hur matematik är konstruerad, kan lärare stödja tekniska strukturer och kunskaper som måste uppnås för inlärning. Tekniken är viktig men utvecklingen av ett matematiskt register bygger på verbalt språk och går från det vardagliga till det tekniska. Viktigt, som med all språklig utveckling, är att eleverna får praktisera sitt matematiska register i meningsfulla sammanhang. Konstruktionen av matematisk kunskap hos eleverna beror på lärarens muntliga förklaringar och interaktionen med läraren. Det talade språket är länken mellan symboler och visuella representationer och är därmed en viktig faktor i inlärningsprocessen. Språket ger en kontextuell mening åt situationen. Det är avgörande att lärare förmår ta eleverna in i matematikens tekniska språk. 17 Per Olof Bentley och Christine Bentley tar också upp aspekten på matematik och språk. Deras forskning bygger dels på djupanalyser av TIMSS 2007 och dels på djupintervjuer av elever vid två grundskolor i Lilla Edet. Författarna skriver att ett matematiskt problem för elever ofta framställs i form av text. Det kräver av eleverna att de kan omformulera texten till ett matematiskt språk, så kallad enkodning. Processen innebär att eleven efter att ha läst en 13 Mary J. Schleppegrell, The linguistic challenges of mathematics teaching and learning: a research review. (Reading and Writing Quarterly; 23:139 159, 2007) 14 Schleppegrell, s. 140. 15 Schleppegrell, s. 140. 16 Främmande ord, Prisma, 1984 17 Schleppegrell, s. 141-154 7

problemtext skapar en matematisk modell av problemet. Problemet som situationen beskriver kan variera och skapa olika slags typsituationer som utmärks av sina matematiska egenskaper och en matematisk modell kan skapas utifrån typsituationen. En typsituation kännetecknas av ett visst räknesätt, exempelvis addition, och då krävs det att eleven behärskar räkneoperationen addition. Bentley och Bentley skriver att för att en elev ska kunna utföra en enkodning av en i text beskriven situation måste eleven kunna identifiera, och utföra, den grundläggande räkneoperation som just den typsituationen kännetecknas av. 18 Enligt Bentley och Bentley är det som kallas procedurell och konceptuell kunskap relevanta begrepp inom problemlösningens område. De beskriver procedurell kunskap som elevens kunnande när det gäller lösningsprocedurer som är kopplade till specifika kontexter. 19 Eleven har en kunskap om vissa procedurer och deras användning inom vissa kontexter. Den konceptuella kunskapen vilar istället på förmågan att kunna överföra kunskaper från en viss kontext till en annan. Den konceptuella kunskapen innefattar förståelse av begrepp och har en förankring i dessa. Författarna skriver att svenska elever har svårigheter med att överföra sina matematiska kunskaper från en kontext till en annan. Det handlar om deras begreppsförståelse, att ett begrepp är samma begrepp i olika sammanhang. Författarna skriver också att överföring av matematiska kunskaper innebär att eleven kan föra över sina matematiska kunskaper från ett område till ett annat utan att eleven behöver lära om något och att en sådan överföring underlättas om undervisningen har en begreppslig inriktning. 20 Om eleverna övas i att förändra en procedur så att den fungerar i olika kontexter så kan eleverna utveckla en gemensam grund för denna förändring. De skriver: Om elever tränar att modifiera en procedur för att passa flera olika kontexter, så kan en sammanfattande princip som styr denna modifiering utvecklas hos eleven. 21 Per Olof Bentley och Christine Bentleys forskning är intressant för mitt examensarbete eftersom den bland annat beskriver en del av den process som eleverna utför då de ska lösa ett problem som framställs i text. Den beskriver också vikten av att elever uppnår en förståelse av olika begrepp och dess användning i olika situationer. Jag saknar dock en mer ingående beskrivning över själva resonemangsprocessen och hur eleverna resonerar. Jag söker en mer renodlad beskrivning av hur eleverna bygger upp sitt resonemang. Bentley och Bentley tillför enbart kunskap om vilket slags arbete som ligger före själva resonemanget och vilka kunskaper eleven behöver. Ann Ahlbergs forskning riktar sig mot lågstadieelever, 1 3, och ger en bild av hur eleverna uppfattar den matematik de möter i skolan och hur de förhåller sig till problemlösning. Ahlberg beskriver vilka faktorer som kan påverka elevernas förhållningssätt och hur dessa kan inverka på elevens olika problemlösningsstrategier. Författaren skriver att det är när elevernas föreställningsvärld möter problemens innehåll som en matematisk utveckling kan ske. 22 Det är därför viktigt att undervisningen utgår från elevernas eget sätt att bearbeta 18 Per-Olof Bentley & Christine Bentley: Det beror på hur man räknar. Stockholm: Liber AB, 2011, s. 129 19 Bentley & Bentley, s. 64 20 Bentley & Bentley, s. 62 21 Bentley & Bentley, s. 65 22 Ann Ahlberg: Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur AB, 1995, s. 35. 8

problemen och att det finns en anknytning till elevernas erfarenheter. Det är också betydelsefullt att eleverna får möta många olika typer av problem och att innehållet varierar samt att de kan upptäcka matematiken i problemen. Författaren skriver vidare att problemlösning är en relation mellan problemet och eleven. Elevens tidigare erfarenheter av problemlösning påverkar elevens attityder och känslor inför den här typen av arbetsuppgifter vilket har inverkan på lösningsprocessen. 23 Elevens förhållningssätt till problemlösningssituationer är alltså kopplat till elevens tidigare erfarenheter. Ahlberg skriver att elevernas förhållningssätt kan vara ett förgivettaget förhållningssätt och att eleverna då har en operandinriktning och fokuserar på tal och att ge ett svar på problemet utan att relatera svaret till det matematiska innehållet i problemet. Om eleverna har en procedurinriktning så är de inriktade på att ge ett svar på problemet och fokuserar då på tal och räknesätt i problemet. Inte heller här relaterar eleven sin räkneoperation till problemets matematiska innehåll och problemlösningen innebär att utföra en beräkning. Om eleverna har ett öppet förhållningssätt så kan de ha en hypotesinriktning eller en gestaltinriktning. En hypotesinriktning innebär att de försöker se samband mellan de olika innehållsliga delarna i problemet och relatera dessa till varandra. En hypotesinriktning fokuserar på relationer. En gestaltinriktning hos eleverna innebär att de inriktar sig på det matematiska innehållet i problemet och de är i huvudsak intresserade av att finna ett svar på problemet. De strävar efter att förstå problemet och uppmärksammar samtliga innehållsliga delar och har förståelse för den matematiska strukturen. 24 Ann Ahlbergs forskning är intressant för mitt examensarbete eftersom den beskriver olika förhållningssätt hos eleverna då de arbetar med problemlösning och vad dessa innebär för problemlösningsprocessen. Min tolkning av hennes forskning är att den endast tillför detta och jag riktar en liknande kritik mot Ahlberg som jag gör mot Bentleys: Jag söker en ännu mer renodlad beskrivning över elevernas resonemang vid problemlösning i matematik När man talar om problemlösning så kan det även vara intressant att ta del av forskning som visar hur det matematiska problemets innehåll kan inverka på elevernas sätt att arbeta med problemlösning. Eva Taflin har forskat kring detta och visar i sin avhandling bland annat hur undervisningen i samband med problemlösning kan utformas för att stärka elevernas kunskaper i matematik. För att en matematisk uppgift ska uppfattas som ett problem så måste den som ska lösa problemet vilja göra det även om man inte vet hur man ska gå tillväga för att lyckas. 25 Det krävs också att problemlösaren gör en särskild ansträngning för att lösa problemet. Hon skriver: En av de viktigaste aspekterna vid problemlösning är att öva det matematiska resonemanget, att skapa en matematisk diskurs. 26 Eva Taflin definierar begreppet rika problem i sin avhandling. Definitionen avgränsar rika problem från vanligen förekommande rutinuppgifter och problem. 27 Ett rikt problem har inneboende möjligheter 23 Ahlberg, s. 111 24 Ahlberg, s. 111 115 25 Eva Taflin Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande. Avhandling, Umeå Universitet, 2007, s. 21 26 Taflin, s. 21 27 Taflin, s. 56 9

som kan leda till givande samtal om matematiska begrepp och principer. Dessa sju kriterier ska vara uppfyllda för att problemet ska räknas som ett rikt problem. Problemet ska vara av sådan art att viktiga matematiska idéer eller speciella tillvägagångssätt införs. Det är viktigt att problemet är lätt att förstå och att alla ska kunna arbeta med det. Problemet bör också uppfattas som en utmaning som kräver ansträngning och tid. Det ska finnas flera olika sätt att lösa problemet på där olika strategier kan fungera. Problemet bör även kunna leda fram till matematiska samtal om elevernas olika lösningar, metoder och matematiska föreställningar. Det är också viktigt att problemet verkar som en länk mellan olika matematiska områden. Slutligen bör problemet kunna leda till nya intresseväckande matematiska problem. 28 För att ett rikt problem ska fungera i en klassrumsmiljö måste flera faktorer vara uppfyllda. Läraren måste vara medveten om vilka matematiska idéer som kan behandlas och inte förstöra elevernas resonemang genom att komma med ledtrådar som tar bort eller missar elevernas idéer. Taflin skriver: Om eleverna ska lära sig förstå och kommunicera olika matematiska tankeprocesser och inte bara kunna tillämpa givna matematiska metoder måste, som jag ser det, läraren organisera för en typ av undervisning som utgår från väl valda problem och genomförs på ett medvetet sätt. 29 Taflins forskning tillför detta examensarbete kunskap om utformningen av matematiska problem och hur dessa kan inverka på elevernas problemlösningsarbete. Min beskrivning över forskningsläget när det gäller elevers resonemang vid problemlösning visar på en mångfald av infallsvinklar ur vilka man kan betrakta elevers resonemang. De är alla intressanta för mitt examensarbete men jag söker en än mer tydlig beskrivning över elevers resonemang. Lovisa Sumpter har i sin avhandling forskat kring svenska gymnasieelevers matematiska resonemang utifrån ett teoretiskt ramverk över elevers matematiska resonemang som har utvecklats av professor Johan Lithner vid Umeå universitet. 30 Både Sumpters och Lithners forskning bygger på äldre elevers (högstadiet och gymnasiet) matematiska resonemang. Sumpter och Lithner uppmärksammar inte heller den språkliga aspekten i designen av de uppgifter eleverna arbetar med. Mitt examensarbete utgår också från Lithners teoretiska ramverk över elevers matematiska resonemang men riktar sig mot yngre elever. Bakgrunden till elevers förmåga till problemlösning förefaller att höra hemma i en god taluppfattning samt förmågan att överföra begrepp till nya situationer och se i vilka kontexter dessa fungerar. En god språklig förmåga är också viktig, att från en text skapa en matematisk modell kräver inte bara matematiska kunskaper utan även förmågan att översätta text till 28 Taflin, s. 56 29 Eva Taflin, s. 56 30 Lovisa Sumpter, On Aspects of Mathematical Reasoning. Affect and Gender. Umeå Universitet: 2009 10

matematikspråk. Jag saknar dock forskning som beskriver de yngre elevernas resonemang på ett än mer renodlat sätt och även har en koppling till den språkliga utformningen av de matematiska problemen och valet av resonemang. Studiens teoretiska utgångspunkt I mitt examensarbete baserar jag min analys på Johan Lithners teoretiska ramverk över olika typer av resonemang. Den bildmässiga analysen handlar om att utforma två uppgifter, en med bild och en utan. Utifrån det vill jag försöka säga något om den språkliga utformningens betydelse för barnens val av resonemang. Matematiska resonemang Johan Lithner har formulerat ett teoretiskt ramverk för olika typer av resonemang 31. Han redogör för att resonemang kan vara imitativa eller kreativa. De imitativa resonemangen bygger på utantillinlärd kunskap och de kreativa resonemangen bygger på matematisk förståelse där argumenten för valda steg i lösningen ska vara styrkt av matematiska egenskaper. 32 Argumenten för valda steg i lösningen ska till exempel kunna styrkas av varför vissa delar av en uppgifts komponenter har vissa konsekvenser. Ett resonemang är den serie av tankar som eleven antar för att nå fram till en slutsats eller ett svar i problemlösning. Lithner ser resonemang som en produkt av tankeprocesser som uppstår då en uppgift tas emot och slutar med att en slutsats dras. Resonemang behöver inte nödvändigtvis leda till konkreta lösningar bara det finns vettiga argument som ger stöd för resonemanget hos den som resonerar. Enligt Lithner har ett matematiskt resonemang följande struktur: 1. En uppgift tas emot och uppfattas som ett problem där det inte är uppenbart hur det ska lösas. 2. Ett strategival görs där strategin rangordnas från lokala rutiner till generella tillvägagångssätt och val i ett mer vitt perspektiv. (Välja, minnas, konstruera, upptäcka och gissa.) Detta kan stödjas av förutsägande argumentation. Varför ska/kan strategin lösa uppgiften? 3. Strategin genomförs vilket kan stödjas av kontrollerande argumentation. Varför löste strategin uppgiften? 4. Slutsatsen erhålls. 33 Argumenten i ett resonemang kan ha många funktioner. De kan vara kontrollerande, förklarande, systematiserande, upptäckande, kommunicerande och konstruerande för att nämna några. Lithners ramverk förordar att fokus riktas mot faserna i problemlösning som 31 Johan Lithner, A research framework for creative and imitative reasoning, Educational Studies in Mathematics, 67:255-276, 2008 32 Lithner, s. 256 33 Lithner, s. 257 11

formulerats av Polýa 34. Lithner föreställer sig att analys, utforskning och planering understödjs av i första hand förutsägande argumentation. Analys - varför vissa delar av uppgiftens komponenter har vissa konsekvenser Utforskande varför vissa utfall är användbara Planering varför vissa förutsättningar bättre leder fram mot en lösning Genomförandet och kontroll bistås av kontrollerande argumentation. Genomförandet metakognitiva argument som rör varför det fungerar i en viss riktning och kanske varför strategin behöver omformuleras. Kontroll en förklaring av varför en lösning har uppnåtts. 35 Lithner delar in matematiska resonemang i imitativa resonemang och kreativa resonemang. En grundläggande idé i ramverket är att utantillinlärt resonemang är imitativt och den motsatta typen av resonemang är kreativt. Med avsikten att förstå varför olika tankeprocesser är aktiverade eller inte så ser detta ramverk dem som ledda av eller begränsade av elevens kompetenser som utvecklats i en sociokulturell miljö. Fig. 1. Schema över Lithners teoretiska ramverk för matematiska resonemang. Imitativa resonemang imiterar en memorerad lösningsprocedur. Det finns två huvudtyper av imitativa resonemang, memorerade resonemang och algoritmiska resonemang. Memorerade resonemang ska uppfylla följande kriterier: Strategivalet görs genom att i minnet återkalla ett komplett svar. Genomförandet av strategin består i att skriva ned svaret. 34 Polya, s. 26 33 35 Lithner, s. 260 12

All uppgiftslösning bygger delvis på erinring men som övergripande strategi är den bara användbar i ett fåtal uppgiftstyper, exempelvis de som frågar efter fakta och bevis. Det är ett ytligt sätt att resonera, ofta utan matematisk förståelse. Genomförandet av själva uppgiften består av att minnas ett helt svar och därefter skriva ned svaret. De algoritmiska resonemangen kännetecknas av att följa en förutbestämd procedur där valet av lösningsstrategi bestäms av att man minns vilken slags algoritm som kommer fungera. Man behöver då inte tänka ut en ny lösning eller minnas en speciell lösning. När man tänkt ut vilken algoritm som kommer att fungera är det bara en felräkning som kan leda till att uppgiften besvaras fel. De algoritmiska resonemangen har tre undergrupper: Familjärt algoritmiskt resonemang, FAR, som kännetecknas av att uppgiften känns igen på något sätt och på så vis kan eleven välja en känd algoritm som tros fungera. Begränsat algoritmiskt resonemang, BAR, innebär att eleven väljer bland kända algoritmer som har ytliga likheter med uppgiften. Guidat algoritmiskt resonemang, GAR, kännetecknas av att man på något sätt styrs mot att lösa uppgiften. Man kan styras av exempelvis en lärare, person, som lotsar en fram till rätt lösning eller genom att titta på liknande uppgifter, text, med lösningar. De kreativa resonemangen kännetecknas av att eleven utnyttjar sin matematiska förståelse för att kunna lösa en uppgift som uppfattas som ny av eleven. Elevens argumentation för sitt strategival bygger på inre matematiska egenskaper. Ramverket beskriver tre kriterier som ska vara uppfyllda för att resonemanget ska betecknas som kreativt. Dessa är: Något nytt, eleven skapar ett nytt resonemang eller återskapar ett glömt resonemang. Rimlighet, eleven ska kunna argumentera för och motivera varför de valda strategierna är de rätta för att lösa problemen. Matematiskt grundat, de valda stegen ska vara styrkt i matematiska egenskaper. 36 Syfte och frågeställningar Syftet med undersökningen är att undersöka om det kan finnas ett samband mellan den språkliga utformningen av en matematisk problemuppgift och elevens val av resonemang. Om det finns skillnader i valet av resonemang mellan de båda grupperna så kan det indikera att det kan finnas ett samband mellan den språkliga utformningen och elevernas val av resonemang. Vilka typer av resonemang kan jag finna hos eleverna som överensstämmer med Johan Lithners teoretiska ramverk över matematiska resonemang? Finns det skillnader i elevernas resonemang som kan relateras till uppgiftens utformning? 36 Lithner, s. 255 272 13

Metod I min undersökning har två grupper av barn fått arbeta med var sin uppgift. Det matematiska innehållet är detsamma men presentationerna skiljer sig åt på så sätt att den språkliga utformningen är olika. I den ena förekommer bara text och i den andra förekommer både text och bild. Jag har valt att arbeta med två kvalitativa metoder som i min undersökning är tänkta att komplettera varandra, observation och intervju. Observationen är en öppen observation vilket innebär att den/de som observeras är informerade om observatörens roll och att de själva deltar i en studie.37 Intervjuerna i min undersökning är av respondentkaraktär. Esaiasson et al skriver att det vid en respondentundersökning är svarspersonerna själva som är intressanta, man vill komma åt personernas föreställningar och tankar. 38 Intervjuerna i min undersökning går ut på att tydliggöra elevernas val av strategier, eventuella resonemang och argumentation för metodval. 39 Observationsdelen belyser hur eleven gör och intervjudelen hur eleven resonerar kring det den gör. Observationen och intervjun genomfördes vid samma tillfälle och i den ordningen. Jag dokumenterade arbetet genom att spela in det eleverna sa då de arbetar med uppgiften, genom att anteckna det eleven gjorde samt ta med elevens egna eventuella anteckningar. Även intervjuerna spelades in. Transkriberingen av materialet skedde ibland samma dag och ibland med någon/några dagars fördröjning. Genomförande Avsikten med min undersökning var att utforska om och i vilken omfattning jag kunde finna de resonemangstyper som ingår i Lithners ramverk över resonemang vid problemlösning. Jag hade också för avsikt att utforska ifall den språkliga utformningen av uppgiften kunde sättas i relation till vilket slags resonemang eleven valde. Undersökningen gick till så att eleverna arbetade enskilt med en av de två varianterna av det matematiska problemet. Eleven och jag satt i ett mindre grupprum gränsande till ett annat klassrum där det pågick lektioner. Inspelningen skedde via en bärbar dator med inspelningsprogram. Det fanns ingen tidsbegränsning för eleverna och arbetstiden varierade mellan tre och cirka 40 minuter. Vissa partier av inspelningarna är ohörbara vilket ibland beror på otydligt tal och ibland på störande bakgrundsljud från lektioner som pågick i angränsande utrymmen. Etiska överväganden I min undersökning arbetade jag med minderåriga och det kräver att jag inhämtade samtycke från förälder/vårdnadshavare. 40 Även deltagarnas samtycke till att delta i studien inhämtades. 37 Charlotta Einarsson & Eva Hammar Chiriac; Gruppobservationer. Teori och praktik (Lund: Studentlitteratur AB, 2002) s. 26 38 Esaiasson et al, Metodpraktikan Konsten att studera samhälle, individ och marknad (Norstedts Juridik AB, 2007) s. 258 39 Bilaga 2, intervjuguide 40 Vetenskapsrådet (2002) Forskningsetiska principer inom humanistisk - samhällsvetenskaplig forskning. Vetenskapsrådet, s. 9 14

Föräldrarnas/vårdnadshavarnas samtycke inhämtades via ett informationsbrev som i god tid före undersökningen skickades hem. 41 Eleverna som deltog i studien informerades om att de kunde avbryta sin medverkan i studien om de så önskade. Konfidentialitetskravet tillgodosågs på så sätt att alla uppgifter förvaras på ett sådant sätt att ingen utomstående kan identifiera de deltagande eleverna. Texten formulerades också på ett sådant sätt att identifiering försvårades och elevernas namn fingerades. Reflektioner över metoden Att använda sig av observation som metod innebar vissa nackdelar. Några av eleverna tänkte tyst för sig själva, gjorde få anteckningar, ställde få frågor och ville inte heller kommunicera på andra sätt. I de fallen kom undersökningen att vila på intervjudelen och mina anteckningar. Andra elever samtalade hela tiden då de arbetade. En del av intervjufrågorna ställdes under observationsdelen då det uppstod naturliga tillfällen att fråga. Min roll i undersökningen var komplex. Jag instruerade eleverna, skötte all teknik och observerade/intervjuade och gav akt på interaktionen mellan mig och eleven. Några elever blev ledsna när de inte omedelbart förstod uppgiften, kunde börja arbeta med den och hitta lösningen. Det uppstod ibland svåra situationer när en elev blev ledsen och samtidigt vägrade ge upp och lämna undersökningen. Det krävdes mycket arbete från min sida för att ge stöd på ett sådant sätt att eleven lämnade undersökningen med bibehållen självkänsla utan att jag därmed lotsade eleven till rätt svar. Det var även svårt att tillgodose de elever som sökte mycket stöd och bekräftelse i sitt arbete och undvika lotsning till rätt svar. Elevunderlag och urval Jag genomförde min undersökning i en klass som går i årskurs tre i en mellanstor F 9 skola i en tätort. Motiveringen till att välja en årskurs tre är att eleverna kommit en bit i sin kunskapsutveckling inom matematik. De har arbetat med en del grundläggande begrepp och lagt en grund för sin taluppfattning. Inför undersökningen genomförde jag en mindre intervju med klassläraren där elevernas förkunskaper diskuterades. I intervjun framkom att eleverna i klassen generellt sett har kunskap om positionssystemet upp till 1000. De känner även till likhetstecknets betydelse. De har arbetat med, och har kännedom om, de fyra räknesätten och förstår sambandet mellan addition och subtraktion. Däremot så har inte alla insett sambandet mellan multiplikation och division. Samtliga elever i klassen har svenska som förstaspråk. Klassens läromedel är Eldorado och grundtankarna hos författarna till Eldorado är att det är själva förståelsen som är grunden för att eleverna ska uppleva matematiken som meningsfull och intressant. En viktig väg till förståelse är samtalet. Författarna menar att då eleven ges möjlighet att använda sig av sitt eget språk och att kommunicera med andra så utvecklas förståelsen av begrepp. 42 Då eleverna arbetar med textuppgifter uppmanas de att utgå från det författarna kallar Fingerfemman. 43 Arbetsprocessen beskrivs i fem steg, läs uppgiften, förstå frågan, rita enkelt till en mening i taget, skriv på mattespråk och slutligen bedöm svarets rimlighet. 41 Se bilaga 1 42 Forsbäck & Olsson, Eldorado 2A Lärarbok, Stockholm: Natur och Kultur, 2009 43 Forsbäck & Olsson, s. K12 15

Beskrivning av uppgiften Då jag konstruerade det matematiska problemet i min undersökning var min ambition att efterlikna Eva Taflins sju kriterier för rika problem. 44 Utformningen av en uppgift som ska fungera som ett rikt problem skiljer sig från den typ av uppgifter som eleverna vanligtvis möter. Eleverna kan uppleva uppgiften som ny, de behöver tänka på ett nytt sätt för att kunna arbeta med den. Min uppgift innehåller matematik som svarar mot deras förkunskaper och därför bör alla kunna arbeta med den. Mitt matematiska problem kan lösas på olika sätt och olika strategier fungerar. Arbetet med uppgiften kan leda till samtal om matematik och olika slags lösningar. Uppgiften skulle kunna fungera som en länk mellan olika områden i matematiken och leda till nya intresseväckande matematiska problem. När jag konstruerade uppgiften till min undersökning lät jag den bygga på de förkunskaper eleverna har. Räkneoperationerna i min uppgift kan relateras till räkneoperationer eleverna är bekanta med i sitt läromedel. Skillnaden är att min uppgift består av fler moment än de eleverna vanligtvis möter i sitt läromedel. Räknesätten som ingår är addition, multiplikation och subtraktion. Det krävs av eleverna att de kan formulera om problemet från text, text/bild, till matematikspråk, det vill säga matematiska symboler. Det krävs vidare att de kan förstå vad det är de ska ta reda på, vad som är själva frågan i uppgiften. Eleverna måste kunna strukturera uppgiften och förstå vilka komponenter den består av samt hur dessa påverkar varandra. Figur 2 Undersökningens matematiska problem, uppgift 1, text. 44 Taflin, s. 56 16

Figur 3. Undersökningens matematiska problem, uppgift 2, text och bild. I uppgiften förekommer ord som kan uppfattas som svåra att förstå vilket också kom fram i min undersökning. Några av eleverna hade problem med den matematiska betydelsen av styck och rabatt. Jag skriver mer utförligt om detta i kapitlet Resultat och analys. Styck, chokladkakorna kostar sex kronor styck. Här gäller det för eleven att förstå att varje chokladkaka kostar sex kronor. Hemligt, kolapåsen har ett hemligt pris. Eleven måste koppla samman det hemliga priset med frågan i uppgiften. Det är också viktigt att eleven förstår att det går att laborera med kolapåsens pris. Rabatt, Putte får en krona i rabatt. En rabatt kan man ha i sin trädgård och då har man ofta blommor i den. Men rabatt i butiken innebär ett lägre pris på en vara, något blir billigare och det indikerar subtraktion. Det är även betydelsefullt att eleven förstår att en vara har ett pris före rabatten och ett pris efter rabatten. Rabatt är ett vardagligt uttryck som i min uppgift får en matematisk betydelse. Sammanlagt, den totala summa som Putte betalar. Sammanlagt är ett signalord som indikerar addition. Uppgift två innehåller, till skillnad från uppgift 1, mer information då de matematiska tecknen för addition, subtraktion samt likhetstecknet finns utsatt. Denna information finns inte i uppgift 1. Resultat och analys 14 elever deltog i min undersökning, fördelningen mellan uppgifterna är jämn, sju elever arbetade med uppgift 1 och sju elever arbetade med uppgift 2. Då jag sammanställde mitt undersökningsmaterial kunde jag urskilja fyra olika nivåer i elevernas resonemang. Jag delade därför in eleverna i fyra grupper. Jag redovisar resultaten för varje grupp för sig och analyserar resultaten gruppvis. Resultaten redovisas på så sätt att jag redogör för en grupp i taget, först beskriver jag gruppens sammansättning och därefter resultat och analys utifrån Lithners ramverk över resonemang och avslutar med en sammanfattning. Resultat och analys sammanställs även i en tabell. Grupp A Grupp A består av tre elever. Två av dem arbetade med uppgift 1 och en med uppgift 2. Det som är gemensamt för dessa elever är att de för ett imitativt resonemang. Först ut är Emil som arbetade med uppgift 1, versionen med bara text. Han läste uppgiften och satt tyst. Marie: Vad tänker du nu? Emil: Jag tänker att tre gånger sex plus, eh, kanske 12, det blir ju 30 (lång tystnad). Marie: Berätta! Emil: Jag tänker såhär att om Putte köper, hm, om Putte köper tre chokladkakor som kostade sex kronor styck och då blir det ju tre gånger sex. Marie: Hur mycket är det då? 17

Emil: Det är 18. Marie: Mm Emil: Plus tolv då borde det vara 36 näe (ohörbart.) Marie: Mm, hur menar du att ni har hållit på med det? Vad är det ni har hållit på med av det du berättar? Emil: Eh, alltså, det här med att Putte köper till exempel (ohörbart) sju påsar, bullar. Marie: Mm Emil: Och sånt Marie: Mm Emil: Vi har hållit på med det ganska mycket. Marie: Så du håller på och försöker tänka hur du gjort förut? Emil: Det är nästan precis, fast det blir inte 36 om man tar 18 för det blir bara 30 då måste det bli 18. Lite senare under observationen uppstod följande situation: Marie: Vad är det du ska ta reda på? Emil: Jag ska ta reda på hur mycket det blir och eh, vilken summa. Marie: Vadå vilken summa? Berätta, hur menar du? Emil: Summan blir 39. Marie: Mm, och vad är din fråga? Som du ska besvara? Emil: Eh, hur mycket Putte betalar sammanlagt. Marie: Är det det du ska svara på? Emil: Ja och då måste ju påsen med kolor kosta 21 kronor. I intervjudelen frågade jag Emil återigen vad det var han skulle svara på och jag fick än en gång till svar att det var hur mycket Putte skulle betala. Jag lyckades inte få fram om Emil menade den totala summan eller priset för kolapåsen. När jag bad Emil sammanfatta sin uträkning så sa han För om det här blir 18 då + 1 blir 19 + 30 blir 39, så tänkte jag. Emil förklarade sig inte tydligare än så. Emil verkar föra ett imitativt resonemang, närmare bestämt ett familjärt algoritmiskt resonemang. Han grundar sitt resonemang på att han tycker sig ha gjort liknande uppgifter med Putte i huvudrollen. Emil räknade ut att chokladen skulle kosta 18 kronor och därefter prövade han att sätta in olika tal i sin uträkning och använde sig av addition för att få summan 39. Han nämnde inte rabatten på en krona i sitt resonemang, som indikerar subtraktion, och han gick inte heller tillbaka till uppgiften för att kontrollera sina uträkningar. Lithner skriver att argument kan ha många funktioner, bland annat kan de vara analyserande och utreda varför vissa delar av uppgiftens komponenter har vissa konsekvenser. De kan vidare utforska 18

varför vissa utfall är användbara. Emil argumenterade inte för sina strategier genom att visa på vilka konsekvenser de fick. Ett annat exempel på familjärt algoritmiskt resonemang gav Anton som arbetade med uppgift 2, versionen med text och bild. Anton började med att räkna ut hur mycket chokladen skulle kosta och kom fram till att priset för den var 18 kronor. Han ritade av uppgiften. Bild 4. Antons uträkning Anton: Mm 18 gånger + vadå eh en krona (ohörbart) det här är 39. Marie: Mm Anton: (mumlar, slår med pennan) Näe, jag fattar inte riktigt det här. Marie: Om du tittar på den här, på hela den, (visar på papperet) nu har du tittat på bilderna, eller hur? Finns det någonting annat på papperet? Anton hittade texten och läste hela talet. Därefter sa han att han nu försökte tänka på ett annat sätt. Han sa följande samtidigt som han med fingrarna täcker pengarna i uppgiften. Anton: 21 då är det här 18 tillsammans om man tar bort den en tia sex 18 och då är det här 25. 20 kronor tror jag att den kostar! Marie: Mm Anton: 21 1. I intervjun försökte jag få Anton att utveckla sitt resonemang lite och han beskrev då sin uträkning såhär: Eh, jag räknade ut att tre chokladpaket, ett sånt här, kostade sex kronor styck och då är det 18, om man tar bort 18 härifrån, då fick man 21 och då var det minus en krona då fick man 20 i den. Det som talar för ett familjärt algoritmiskt resonemang är att Anton tyckte att han kände igen typen av uppgift och sa att han brukar göra på det här sättet och att det brukar bli rätt. Hans strategi är att använda pengarna i bilden som ett konkret material för att med hjälp av dem räkna ut hur mycket pengar som finns kvar när han räknat ut vad chokladkakorna kostar tillsammans. Anton fick då fram talet 21 och därifrån subtraherade han ett och fick fram att kolapåsen borde kosta 20 kronor. Han konstaterade att de 18 han räknat ut att chokladen 19

kostar plus de 20 han tror att kolorna kostar tillsammans ger summan 38. Trots att det i uppgiften framgår att summan ska vara 39 och han själv konstaterade skillnaden så svarade han att man kan ta bort en krona i summan. Anton försökte inte ta reda på om något, och i så fall vad, kunde vara fel i hans uträkning. I likhet med Emil så uppfattade inte Anton uppgiften som något nytt, han säger sig känna igen typen av uppgift och refererar till att han brukar lösa dem på det här sättet. Han skapar inte ett nytt resonemang. Han bedömer inte rimligheten i sitt svar genom att argumentera matematiskt och visa vilka konsekvenser hans uträkningar får. Han vill helt enkelt ta bort en krona från summan i uppgiften för att det ska stämma med hans uträkning. Det som är gemensamt för Emil och Anton är att de valde att resonera utifrån tidigare kända mönster, de ansåg sig känna igen uppgiften. En skillnad är att Anton gjorde en uträkning från summan 39 och fick fram talet 21 som han subtraherade ett ifrån. Det visar att Anton hade en förståelse för ordet rabatt i det här sammanhanget och att han tog med det i sin uträkning. Den tredje eleven i gruppen, Simon, arbetade med uppgift 1, text, och hade svårigheter med att läsa texten och därmed svårt att förstå vad uppgiften handlade om. Simon: (pekar på Putte ). Det var det jag inte fatta Marie: Det är ett namn, det är farbrorn som heter Putte. Simon: Jaha Marie: Som du heter Simon och jag heter Marie. Simon: Ja, då har jag sagt rätt på det Marie: Ja, det har du. Simon: Då har jag sagt rätt på allting Marie: Då är det inga svåra ord som du undrar vad de betyder? Simon: Nej, kolor stavas, då vet jag hur nästan allting stavas Då Simon rett ut det språkliga kom nästa steg i hans arbete, att påbörja problemlösningen. Simon: Jag har gjort sånt här för ganska länge sen, nu är jag ju åtta och ska snart fylla nio, då var jag nog fem när jag gjorde sånt här sist. Marie: Då är det ju ganska länge sedan faktiskt. Har du någon idé om vad du skulle vilja börja räkna ut? Simon: Nån de, och de som det första, går uppifrån och ned. Därefter försökte Simon lösa problemet. Han arbetade uppifrån och ned som han själv uttryckte det och räknade ut att chokladen kostar 18 kronor. Att arbeta uppifrån och ned verkar vara en känd metod för honom som fungerat tidigare. Sedan gjorde Simon en ansträngning för att finna ett pris på kolapåsen. Han försökte tänka efter vad en kolapåse kostar i affären. Det högsta pris han sett är 15 kronor men han trodde att kolapåsen kunde kosta mellan tio och 20 kronor. Istället för att använda sig av den information som fanns i 20

uppgiften så ansträngde sig Simon för att minnas det verkliga priset på en kolapåse i ICAbutiken. Det kanske man kan säga är kreativt i sig men eleven relaterade inte till innehållet i uppgiften som gav antydningar om priset för kolapåsen. Sedan gav Simon upp och började istället tala om sin födelsedag och jag avbröt observationen. Analys av resultaten för grupp A Ett imitativt resonemang är enligt Lithner ytligt och bygger på memorerade lösningsprocedurer. Eleverna i den här gruppen motiverade sina val av strategier med att det är så de brukar göra och att det brukar bli rätt. I den här gruppen är det svårt att ha någon uppfattning om ifall den språkliga utformningen av uppgiften hade någon inverkan på elevernas val av strategier och hur de resonerade. Anton använde sig exempelvis av pengarna då han gjorde sin uträkning, kanske underlättade informationen från bilderna då han ritade uppgiften. Simon hade svårigheter med att förstå språket i uppgiften och att omformulera hela texten till ett matematiskt problem. Han räknade utan svårighet ut att priset för chokladen var 18 kronor men sedan blev det för svårt för honom vilket han själv insåg och uttryckte. Jag tror att svårigheten för Simon inte var matematiken i sig utan själva omformuleringen från text till ett matematiskt problem var svår för honom. För en elev som Simon, som förefaller att vara i lässvårigheter, blir det en nästan oöverkomlig uppgift att förstå en uppgift formulerad i enbart text och omarbeta den till ett matematiskt språk. Den första delen som bestod av att räkna ut priset för chokladkakorna klarade han av men att sedan ta in resterande information för att resonera sig fram till en lösning blev för svår. Han gör undanmanövrer som att tala om sin födelsedag istället för att resonera om problemet. Grupp B Grupp B består av fyra elever, två av dem arbetar med uppgift 1,text, och två av dem med uppgift 2, text och bild. Det som är gemensamt för dessa elever är att de uttrycker stor osäkerhet och att deras resonemang växer fram i samspel med mig. De för ett imitativt resonemang, närmare bestämt ett personguidat algoritmiskt resonemang. Elvira arbetade med uppgift 2, text och bild. Elvira: Åh! Ett hemligt tal! Marie: (skrattar) Ett hemligt tal! Vad är det som är ett hemligt tal då? Elvira: (ohörbart) Marie: Vad är det du ska ta reda på? Elvira: Hur mycket kulorna kostar. (läser fel och kallar kolapåsen kulpåsen till en början men rättar sig senare) Min lotsning bestod i att återföra Elvira till uppgiften och uppmuntra henne. Marie. Nu håller du på att vingla iväg 18, vad betyder 18? Elvira: Det är för chokladen Marie: För chokladen och 22 kronor är för? Elvira: Det är kolapåsen. 21