s. 2 PROBLEMLÖSNING Kapitel 4 PROBLEMLÖSNING ARBETSGÅNG Hmmm...vad är det egentligen som är mitt problem? Hur ska ni lösa problemet? Tänk fritt! Jag ska ställa upp en ekvation Jag ska göra en skiss Jag gör ett diagram Jag ska gissa! Vad ska jag ska svar på? GÖR DET Metod Välj strategi! Använd matematik! Räkna, mät, avläs... Tycker du att mitt svar verkar vettigt? Fortsätt, ge inte upp! Din modell för att flyga har testats i miljoner år kan inte slå fel! Gick det bra? JA NEJ svar Krångel med metoden? Fixa en ny strategi? Resonera! Är ditt svar rimligt?
PROBLEMLÖSNING s. 3 Skolverkets beskrivning av ämnets syfte De förmågor som du ska utveckla i detta kapitel är skrivna i svart. I nästa problemlösningskapitel kommer vi också att behandla de formuleringar som är skrivna i grått. Som elev ska du utveckla din förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Centrala innehåll i kapitel 4 I detta kapitel fokuserar vi på de centrala innehåll som finns under rubriken Problemlösning Problemlösning Strategier för problemlösning med och utan digital teknik i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden. Värdering av valda strategier och metoder. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.. Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer. Innehåll En arbetsmetod för problemlösning 71 Problemlösningsmall 72 Problemlösning i par Hur fungerar en bra par? Problemlösningsmall för arbete i par Problemlösning i par - Skördetid Problemlösning i par: Shopping på Nova Lund 73 Problemlösning i par: Vilket är talet? 76 Problemlösning i par Imelda Marcos skor
s. 4 PROBLEMLÖSNING Om problemlösning När du på förhand inte vet hur du ska lösa en matematisk uppgift har du ett matematiskt problem. Om du på förhand vet hur du ska lösa en uppgift har du en rutinuppgift. I detta kapitel får du lära dig arbetsmetoder för att arbeta med matematiska problem, individuellt och i par. De arbetsmetoder som vi visar hjälper dig att bryta ner och strukturera problemlösningsuppgifter i mindre bitar. Att förstå ett matematiskt problem kräver en god läsförståelse. Man kan inte lösa ett problem som man inte förstår. Problemlösning kräver tålamod och tid. Ge inte upp! Problemlösning är matematikens själ.
PROBLEMLÖSNING s. 5 Arbetsmetod för problemlösning På denna och nästa sida får du en arbetsmetod för problemlösning. Genom att följa metoden, steg för steg, kan du vara säker på att du får en strukturerad och genomtänkt lösning. Du kommer även att få en problemlösningsmall som du kan använda. De olika stegen i problemlösningsmetoden Steg 1: Förstå problemet. Vad ska jag svara på? När du möter ett matematiskt problem behöver du förstå problemet. Vad är det som du ska lösa? När du har förstått vad det är som du ska svara på så skriver du ner det med egna ord. Läsförståelsen är avgörande. Eftersom matematiska problem inte brukar vara vanliga problem kan detta ta tid och kräva tålamod. I detta steg ingår också att du sorterar ut den information som du behöver för att lösa uppgiften. Steg 2: Välj strategi Ett matematiskt problem uppstår i en situation eller i en uppgift där du i förväg inte känner till hur du ska lösa ett problem. Därför måste du välja en strategi, ett sätt, för att kunna lösa problemet. Nu ska du fundera ut ett sätt för hur du tänker lösa ditt problem. Detta är din strategi, din plan. Skriv ner din strategi. Ibland kan du behöva mer än en strategi. Exempel på strategier är : välja ett eller flera räknesätt att arbeta med rita bilder söka mönster arbeta baklänges göra en lista skriva upp en ekvation göra en tabell eller ett diagram gissa och kontrollera lösa ett enklare problem använda laborativt material dramatisera resonera med ord
s. 6 PROBLEMLÖSNING Steg 3: Använd matematik i en eller flera metoder Nu ska du med matematiska metoder genomföra din strategi, din plan. Beskriv vilken metod eller vilka metoder du använder. En metod kan till exempel vara att man dividerar en sträcka med en tid för att få en hastighet. Nu när du är klar med din eller dina metoder föreslår du ett svar. Steg 4: Kontrollera ditt svar. Resonera! Är ditt svar rimligt? Nu ska du resonera matematiskt för att kontroller om ditt förslag till svar är rimligt. Överslagsräkning är användbart i detta steg. Om det visar sig att ditt svar inte är rimligt så ska du undersöka om det var din metod som inte fungerade. Om du anser att din metod fungerade men att svaret ändå är orimligt så prövar du en annan strategi. Försök då att lösa problemet på ett annat sätt. Steg 5: Skriv ner ditt svar När du har resonerat klart så är det dags att skriva ner ditt svar på problemet. Ditt svar skriver du som en fullständig mening. Kommunicera och resonera under hela arbetsgången Under hela arbetsgången ska du tänka på hur du kommunicerar. Din lösning ska vara väl strukturerad och lätt att följa. Du ska använda korrekta begrepp när du kommunicerar. Till exempel ska du använda addera istället för att plussa och dividera istället för dela. Under hela problemlösningen ska du också tänka på att resonera. Detta gör du genom att förklara och skriva ner hur du tänker. Din lärare och dina klasskompisar måste kunna förstå hur du har tänkt. Även du själv måste kunna föstå hur du har tänkt när du ska repetera. Mall för problemlösning För att underlätta vid problemlösning har vi gjort en problemlösningsmall till dig. Till problemlösningsmallen finns det också anvisningar för bedömning. I det pedagogiska materialet finns det tomma problemlösningsmallar som du kan använda. Dessa finns i dokumentet problemlösningsmall. När du har löst tillräckligt många problem behöver du nog inte mallen mer. Då kommer du säkert ihåg arbetsgången.
PROBLEMLÖSNING s. 7 Förstå Steg 1 I detta steg måste jag förstå problemet. Jag skriver vad jag ska lösa med egna ord. Vad vet jag och vad behöver jag veta för att lösa mitt problem? I detta mellansteg sorterar jag ut vad jag behöver veta. Vad behöver jag veta? Strategi Steg 2 Kommunikation: Använd ett korrekt matematiskt språk och se till att din lösning är lätt att följa. Resonemnag: Resonera under hela arbetsgången. Nu skriver jag ner min strategi, min plan. Om det finns delproblem kan jag behöva flera strategier. Metod Nu genomför jag min strategi, min plan. Jag skriver ner mitt förslag till svar. Kontroll / Resonemang Jag kontrollerar om mitt svar är rimligt. Om mitt svar inte verkar vara rimligt så kontrollerar jag min metod. Om jag inte hittar några fel i min metod så prövar jag en ny strategi. Svar Jag skriver ner mitt svar med en hel mening. Jag föreslår ett svar. Steg 3 Steg 4 Steg 5
s. 8 PROBLEMLÖSNING Problemlösningsstjärnan För att komma ihåg de olika stegen när du löser matematiska problem har vi gjort en problemlösningsstjärna till dig. Denna är en förenklad bild av problemlösningsmallen. Steg 1 FÖRSTÅ Steg 5 SVAR Steg 2 STRATEGI Kommunikation Resonemang Steg 4 KONTROLL Steg 3 METOD
PROBLEMLÖSNING s. 9 Exempel på lösningar med problemlösningsmallen Exempel Lösning med problemlösningsmallen När Håkan Hellström spelade på Ullevi så kom det 65 000 personer. Då kostade en ståplatsbiljett 1200 kr. En sittplatsbiljett kostade 1950 kr. På svarta börsen såldes samma typ av ståplatsbiljett för 4400 kr och samma typ av sittplatsbiljett för 4990 kr. Hur många procent dyrare blev ståplatsbiljetten på svarta börsen? Förstå Kommunikation: Använd ett korrekt matematiskt språk och se till att din lösning är lätt att följa. Resonemang: Resonera under hela arbetsgången. Jag ska ta reda på hur mycket dyrare en ståplatsbiljett blir om man köper den på svarta börsen. Jag ska svara i procent. Ståplatsbiljett vanlig: 1200 kr Ståplatsbiljett svarta börsen: 4400 kr Jag behöver inte veta vad sittplatsbiljetter kostar så den informationen kan jag hoppa över. Hur många som såg konserten behöver jag inte heller veta för att lösa problemet. Strategi Min strategi är att arbeta med vanlig procenträkning. Metod Jag räknar ut med vilken andel priset har ökat: del andel = hel del = ökning av priset på svarta börsen. del = 4400 kr - 1200 kr = 3200 kr hel = det ursprungliga priset = 1200 kr del 3200 kr andel = hel = 1200 kr andel = 2,67 = 267% Min beräkning pekar mot att priset ökade med 267 % Kontroll Då priset är nästan gånger tre gånger så mycket för ståplatsbiljetten på svarta börsen verkar 267 % vara ett rimligt svar. Hade priset på den svarta börsen varit det dubbla hade priset ökat med 100 %. Om priset hade varit tre gånger så mycket hade priset ökat 200 %. Svar Ståplatsbiljetten är 267 % dyrare än det ordinarie priset på svarta börsen. Vad behöver jag veta? Jag föreslår ett svar.