Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Relevanta dokument
Formell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

MA2047 Algebra och diskret matematik

7, Diskreta strukturer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion Varför logik? Satslogik... 2

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer Domäner Tolkningar... 3

Grundläggande logik och modellteori

7, Diskreta strukturer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Kap. 7 Logik och boolesk algebra

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet

Logik och modaliteter

Logik och kontrollstrukturer

Logik. Dr. Johan Hagelbäck.

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

En introduktion till logik

Semantik och pragmatik

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II

Lite om bevis i matematiken

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Robin Stenwall Lunds universitet

Semantik och pragmatik (Serie 3)

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

Sanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52

Robin Stenwall Lunds universitet

Logik en introduktion. Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition

Logik och bevisteknik lite extra teori

Grundläggande logik och modellteori

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 5: Deduktion

Svar och lösningar, Modul 1.

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

Digital- och datorteknik

Grundläggande logik och modellteori

Formell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall

Introduktion till predikatlogik. Jörgen Sjögren

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition

EDA Digital och Datorteknik 2009/2010

Varför är logik viktig för datavetare?

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 18. Robin Stenwall Lunds universitet

ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

EDA Digital och Datorteknik 2010/2011

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

A. MENING OCH SANNINGSVÄRDE HOS IDENTITETSPÅSTÅENDE. antag att namn A står för objekt a och namn B står för objekt b antag att a och b är distinkta

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?

Tal till Solomon Feferman

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

Föreläsning 5. Deduktion

Hur implementera algoritmerna på maskinnivå - datorns byggstenar

9. Predikatlogik och mängdlära

Switchnätsalgebra. Negation, ICKE NOT-grind (Inverterare) Konjunktion, OCH AND-grind. Disjunktion, ELLER OR-grind

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Boolesk algebra

Finns det tillräckligt med information för att bestämma hur många av eleverna som fick 1 poäng? Vad tycker du?

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Induktion och rekursion

Något om logik och logisk semantik

Booleska variabler och översättning mellan programuttryck och booleska variabler

Grundläggande logik och modellteori

Mängdlära. Kapitel Mängder

Föreläsning 6. pseudokod problemlösning logik algoritmer

Semantik och logik. Semantik: Föreläsning 3 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet

1 Suddig logik och gitter

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

7. FORMELL SATSLOGIK (SL)

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

Introduktion till logik

Om semantisk följd och bevis

John Perrys invändning mot konsekvensargumentet

8. Naturlig härledning och predikatlogik

Elementär logik och mängdlära

Transkript:

Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet

Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element som är gemensamma för alla FOL De Booleska konnektiven svarar mot orden och, eller och det är inte fallet att (efter den brittiske logikern George Boole)

Kapitel 3.1: Negationssymbolen Den atomära satsen Hemma(john) uttrycker att John är hemma Vi kan negera satsen på följande sätt: Hemma(john) Denna sats uttrycker att John inte är hemma Allmänt gäller: Om P är en sats i FOL, så är P också en sats i FOL

Sanningsvärdet hos P anges av följande sanningstabell: P P En literal är en sats som är antingen atomär eller negationen av en atomär sats

Kapitel 3.2: Konjunktionssymbolen Om vi har två satser kan vi alltid bilda en ny sats genom att sätta en konjunktionssymbol mellan dem. Exempelvis: Hemma(john) Hemma(mary) Satsen uttrycker att John är hemma och Mary är hemma De satser som förbinds med konjunktionssymbolen kallas konjunkter

I vardagsspråk kan vi sätta konjunktionen mellan namn: John och Mary är hemma. Översättning: Hemma(john) Hemma(mary) I vardagsspråk kan vi sätta konjunktionen mellan verb: John halkade och föll. Översättning: Halkade(john) Föll(john) En sats i FOL kan innehålla en konjunktion även om dess vardagsspråkliga motsvarighet saknar konjunktion Pålle är en vit häst översätts Vit(pålle) Häst(pålle)

Sanningstabellen för konjunktion: P Q P Q En konjunktion är sann om och endast om båda konjunkterna är sanna

Kapitel 3.3: Disjunktionssymbolen Om vi har två satser kan vi bilda en ny sats genom att sätta en disjunktionssymbol mellan dem: Hemma(john) Hemma(mary) Satsen uttrycker att John är hemma eller Mary är hemma En sats som har formen P Q kallas för en disjunktion De satser som förbinds med disjunktionssymbolen kallas disjunkter

I logiken förstås eller i dess inklusiva bemärkelse, dvs en disjunktion är sann även i det fall då båda disjunkterna är sanna Vi kan uttrycka den exklusiva innebörden av eller på följande sätt: (Hemma(john) Hemma(mary)) (Hemma(john) Hemma(mary)) Satsen säger att John eller Mary är hemma men att det inte är så att båda är hemma ( antingen John eller Mary är hemma ) Vi kan nu även uttrycka varken eller : (Hemma(john) Hemma(mary)) Satsen säger att varken John eller Mary är hemma

Sanningstabellen för disjunktion: P Q P Q En disjunktion är falsk om och endast om båda disjunkterna är falska

Kapitel 3.5: Mångtydighet och parenteser Följande mening är mångtydig: Max är hemma eller Clair är hemma och Carl är glad I FOL undviker vi den typen av (syntaktisk) mångtydighet med hjälp av parenteser: Exempel: Betydelse 1: Hemma(max) (Hemma(clair) Glad(carl)) Betydelse 2: (Hemma(max) Hemma(clair)) Glad(carl) Parenteser används också vid negation för att indikera vad det är som negeras Hemma(clair) Hemma(max) betyder något annat än (Hemma(clair) Hemma(max))

Kapitel 3.6: Olika sätt att säga samma sak Låt P och Q vara satser i FOL DeMorgans lagar Exempel (P Q) säger samma sak som P Q (P Q) säger samma sak som P Q (Hemma(max) Hemma(john)) är ekvivalent med Hemma(max) Hemma(john)

Kapitel 3.7: Översättning till FOL Hur vet man att en översättning från vardagsspråk till FOL är korrekt? FOL-satsen ska ha samma sanningsvärde som originalsatsen under alla omständigheter Dessutom: Vi föredrar översättningar som bibehåller originalsatsens struktur Exempel: Översätt Clair och Max är inte båda hemma (Hemma(clair) Hemma(max)) är bättre än Hemma(clair) Hemma(max)

Kapitel 4: De Boolska konnektivens logik De Booleska konnektiven är sanningsfunktionella: sanningsvärdet hos en konjunktion/disjunktion/negation är en funktion av delsatsernas sanningsvärden Om vi vet sanningsvärdet hos P och sanningsvärdet hos Q, så vet vi också sanningsvärdet hos P P Q P Q Det här kapitlet handlar om hur vi med hjälp av sanningstabeller kan studera begreppen: logisk konsekvens logisk ekvivalens logisk sanning

Kapitel 4.1: Tautologi och logisk sanning Logiska sanningar: satser som inte kan vara falska Exempel: a = a är en logisk sanning En sats är logiskt möjlig om dess sanning inte kan uteslutas på rent logiska grunder Är det logiskt möjligt för ett objekt att inte vara identiskt med sig självt? Är det logiskt möjligt att färdas snabbare än ljuset?

Vi kan också säga: En sats är logiskt möjlig om det finns en möjlig situation ( värld ) i vilken satsen är sann. En sats är logiskt nödvändig om satsen är sann i alla möjliga situationer ( världar ) Finns det någon säker metod för att ta reda på om en sats är logiskt möjlig/nödvändig? Programmet Tarski s World ger en metod för att avgöra om en sats är logiskt möjlig genom att skapa en enkel värld bestående av olika block Sanningstabellmetoden är en metod för att avgöra om en sats är logiskt nödvändig på grund av meningen hos konnektiven

Om en sats är möjlig i Tarski s World är den också logiskt möjlig. Det omvända gäller dock inte i allmänhet Om en sats befinns vara nödvändigt sann med hjälp av sanningstabellen är den också logiskt nödvändig. Det omvända gäller dock inte i allmänhet Exempel: a = a är en logisk sanning (den är nödvändigt sann), men inte en tautologi. Samma sak gäller för ex. (Larger(a,b) Larger(b, a)).

Sanningtabellmetoden Metoden går ut på att se om en sats är sann oberoende av hur man tilldelar sanningsvärden till de atomära delsatserna En sådan sats sägs vara en tautologi Metoden gås igenom steg för steg på sidorna 95-100 i kursboken

Övning Konstruera en sanningstabell för satsen (Cube(a) Cube(a)) Cube(b) Tautologi? Övning Konstruera en sanningstabell för satsen (Cube(a) Cube(b)) Cube(c) Tautologi?

En tautologi har alltid bara sanningsvärdet T () i kolumnen under sitt huvudkonnektiv Låt S vara en sats innehållande n olika atomära satser. Hur många rader har sanningstabellen för S? Annat sätt av visa att en sats är logiskt nödvändig: bevisa satsen utan att använda några premisser i beviset (se nästa föreläsning)

Kapitel 4.2: Logisk och tautolog ekvivalens Två satser är logiskt ekvivalenta om och endast om det har samma sanningsvärden i alla situationer Två satser är tautologt ekvivalenta om och endast om de är logiskt ekvivalenta i kraft av meningen hos de ingående konnektiven Övning (De Morgans lag) Visa att (A B) och A B är tautologt ekvivalenta Observera: Om två satser är tautologt ekvivalenta så är de också logiskt ekvivalenta. Men det omvända gäller inte i allmänhet (se sidan 107-8 i boken) Exempel: a = b Cube(a) är logiskt ekvivalent med a = b Cube(b) utan att satserna är tautologt ekvivalenta.

Kapitel 4.3: Logisk och tautolog konsekvens P är en tautolog konsekvens av Q om och endast om varje rad i sanningstabellen där Q är sann också är en rad där P är sann Övning: Visa med sanningstabell att A B är en tautolog konsekvens av A B Varje tautolog konsekvens är också en logisk konsekvens. Men det omvända gäller inte i allmänhet Exempel: a =c är en logisk konsekvens av a = b b = c utan vara en tautolog konsekvens Flera premisser P är en tautolog konsekvens av Q 1, Q 2,, Q n om och endast om varje rad i sanningstabellen där alla premisserna är sanna också är en rad där P är sann Övning: Visa med sanningstabell att B är en tautolog konsekvens av premisserna A B och A