Stjärnors struktur och utveckling Ulf Torkelsson

Föreläsning 22/4 Stjärnors struktur och utveckling Ulf Torkelsson 1 Observationer av stjärnhopar I allmänhet är det svårt att säga något om stjärnutvecklingen direkt från observationer av stjärnor i vår närhet, eftersom dessa har en stor spridning i ålder. Det blir enklare om vi tittar på stjärnhopar, gravitationellt sammanhållna grupper av stjärnor. Alla stjärnorna i en hop bör ha bildats vid praktiskt taget samma tidpunkt. Om vi därför ritar in stjärnorna i en stjärnhop i ett HR-diagram får vi en bild av hur stjärnor av just den åldern bör se ut, även om vi inte vet vilken ålder det är. Vi kan hitta två typer av stjärnhopar i Vintergatan, öppna och klotformiga stjärnhopar. De öppna stjärnhoparna består av upp till ett par hundra relativt lösligt sammanhållna stjärnor. De klotformiga stjärnhoparna å andra sidan är sfäriska ansamlingar av omkring 100 000 stjärnor. En klotformig stjärnhop har vanligen en radie på ett par parsek. En öppen stjärnhop har vanligen en praktiskt taget fullständig huvudserie, även om den mest blåa delen av huvudserien saknas i större eller mindre utsträckning. Ju mer av huvudserien som saknas i en stjärnhop desto mer jättar hittar man i stjärnhopen. De klotformiga stjärnhoparna är mer extrema i det här fallet, och har bara den allra rödaste delen av huvudserien. Å andra sidan har de gott om stjärnor ovanför huvudserien. Den här effekten är lätt att förstå. Genom studier av dubbelstjärnor vet vi att en huvudseriestjärnas luminositet beror på dess massa som ( ) 4 L M = (1) L för stjärnor tyngre än 0.4M. Det betyder för det första att de ljusstarkaste och blåaste huvudseriestjärnorna är också de som är tyngst. För det andra är det rimligt att anta att en stjärnas bränslemängd är proportionell mot dess massa. Då följer att stjärnans livstid M t M L M M 4 M 3. (2) Alltså gör de tunga stjärnorna snabbast av med sitt bränsle, och försvinner från huvudserien. Vi kan också dra slutsatsen att efter huvudserien så utvecklas stjärnan till en jätte. 2 Stjärnors struktur Under större delen av sin livstid befinner sig stjärnor i hydrostatisk jämvikt. Betrakta en tunn skiva på avståndet r från stjärnans centrum med ytan δs och tjockleken δr. På insidan påverkas skivan av en tryckkraft p r δs, och på utsidan av en tryckkraft p r+δr δs. Dessutom utsätts skivan för en gravitationskraft ρ r g r δsδr, där tyngdaccelerationen g r = GM r /r 2. Lägg märke till att det bara är massan M r innanför r som bidrar till tyngdkraften vid radien r. Vid jämvikt skall summan av alla dessa krafter vara 0 Vi kan nu dividera med δs och utnyttja att p r δs p r+δr δs GM rρ r r 2 δsδr = 0. (3) p r+δr p r δr så att vi får villkoret för hydrostatisk jämvikt dp dr, (4) dp dr = GM rρ r r 2. (5) 1

Uppenbarligen behöver vi också en ekvation för att beskriva M r. Vi konstaterar då att ett sfäriskt skal vid radien r har en yta 4πr 2, och med en tjocklek dr får vi att skalets massa blir dm r = 4πr 2 ρ r dr, (6) som vi kan skriva om som dm r dr = 4πr2 ρ r. (7) De ekvationer som vi har härlett så här långt säger inget om stjärnans temperatur. För att beskriva stjärnans temperatur måste vi förstå varifrån stjärnan får sin energi. Antag att det i ett sfäriskt skal med volymen 4πr 2 dr bildas energi med en effekt ρ r ɛ r. Då bidrar skalet med en luminositet dl r = 4πr 2 ρ r ɛ r dr (8) till stjärnans totala luminositet. Vi kan skriva ekvationen som dl r dr = 4πr2 ρ r ɛ r, (9) där L r kan tolkas som den energi som frigörs innanför radien r. Slutligen behöver vi en ekvation för att beskriva värmetransporten genom stjärnan. Det finns i huvudsak två sätt på vilka värme kan transporteras genom en stjärna, genom strålning eller konvektion. Låt oss först studera strålningstransport. Fotonerna som bygger upp strålningen kommer att kollidera med elektroner i stjärnmaterien, både sådana som är bundna till atomer och fria elektroner. Vid dessa kollisioner sprids eller absorberas fotonerna för att sedan fortsätta i en helt annan riktning. Dessa växelverkningar mellan fotoner och elektroner gör materien ogenomskinlig för vilken elektromagnetisk strålning. Graden av ogenomskinlighet beskrivs av opaciteten κ. I solens inre är den typiska sträckan, 1/κρ, som en foton går mellan det att den skapas och det att den absorberas, för att sedan återutsändas i en annan riktning mindre än en meter. Detta leder till att det tar ungefär 100 000 år för en foton att gå från solens inre till dess yta. Genom de många kollisionerna kommer fotonernas energier att anta en svartkroppsfördelning. I det här fallet blir strålningstransporten en form av diffusionsprocess som beskrivs av ekvationen dt dr = 3 κ r ρ r L r 64πσ r 2 T 3, (10) där σ är konstanten i Stefan-Boltzmanns lag F = σt 4. Om temperaturgradienten blir alltför stor, antingen på grund av att materialet har en ovanligt hög opacitet eller på grund av en hög energifrigöring, så kan värmetransporten bli konvektiv, det vill säga värmen transporteras av heta gasbubblor som stiger uppåt och kalla gasbubblor som rör sig nedåt. Konvektionen kommer att ställa in temperaturen så att den praktiskt taget följer den adiabatiska temperaturfördelningen dt dr = γ 1 T dp γ p dr, (11) där γ kommer från att gasen följer den adiabatiska ekvationen p/ρ γ =konstant. För den joniserade gasen i en stjärna är γ = 5/3. Vi har nu tagit fram de fyra differentialekvationer som beskriver en stjärnas struktur. Vi behöver också algebraiska uttryck för att beskriva hur p, ɛ och κ beror på T och ρ. 3 Stjärnmateriens egenskaper Först behöver vi en tillståndsekvation, ett samband mellan tryck, temperatur och densitet för gasen i stjärnan. Vanligen kan gasen beskrivas med den allmänna gaslagen p = nkt = 2 ρ µm H kt, (12)

där µ är gasens medelmolekylvikt. Vi kan beräkna µ genom att notera att väte, som har molekylvikten 1, i fullt joniserat tillstånd ger upphov till två partiklar, en proton och en elektron, vilket ger medelmolekylvikten 1/2. Helium med molekylvikten 4 ger upphov till tre partiklar, atomkärnan och två elektroner, vilket ger medelvikten 4/3. För något tyngre grundämnen gäller att atomkärnorna består av lika många protoner som neutroner, och atomen har lika många elektroner som protoner. Om vi bara räknar antalet elektroner, så följer att medelvikten blir 2. Vi kan då skriva 1 µ = 2X + 3 4 Y + 1 Z, (13) 2 där X, Y, och Z är massandelarna för väte, helium och metaller (allting tyngre än helium), vilket kommer av att det totala trycket är summan av trycken för de olika gaskomponenterna var för sig. För opaciteten kan man ofta använda Kramer s lag κ = konstz (1 + X) ρ. (14) T 3.5 I huvudseriestjärnor frigörs energin genom att 1 H-kärnor slås samman till 4 He-kärnor. 4 1 H- kärnor är något tyngre än en 4 He-kärna, så masskillnaden mc 2 = (4m H m He ) c 2 = 0.0286m u c 2 = 26.6MeV (15) frigörs som energi. Det finns två sätt på vilka väte kan omvandlas till helium. I lätta stjärnor som solen dominerar proton-proton-kedjan 1 H + 1 H 2 H + e + + ν (16) Det finns också ett par sidogrenar 2 H + 1 H 3 He + γ (17) 3 He + 3 He 4 He + 2 1 H. (18) 3 He + 4 He 7 Be + γ (19) 7 Be + e 7 Li + ν (20) 7 Li + 1 H 2 4 He, (21) eller 7 Be + 1 H 8 B + γ (22) 8 B 8 Be + e + + ν (23) 8 Be 2 4 He. (24) Energifrigörelsen per massenhet kan skrivas som ɛ X 2 ρt 4, där det starka energiberoende beror på att protonerna måste övervinna Coulomb-potentialen kring atomkärnorna. I tyngre stjärnor så dominerar CNO-cykeln där kol fungerar som en katalysator för att omvandla väte till helium 12 C + 1 H 13 N + γ (25) 13 N 13 C + e + + ν (26) 13 C + 1 H 14 N + γ (27) 14 N + 1 H 15 O + γ (28) 15 O 15 N + e + + ν (29) 15 N + 1 H 12 C + 4 He. (30) Denna reaktion har ett ännu starkare temperaturberoende ɛ XρT 20. 3

4 Huvudseriestjärnor Låt oss först se om vi på ett enkelt sätt kan härleda mass-luminositets-relationen för huvudseriestjärnor. Vi kan grovt skriva den hydrostatiska jämvikten som p c Mρ/R. (31) För en ideal gas gäller att så att det vill säga Ur strålningstransportekvationen får vi p c ρt c, (32) ρt c Mρ/R, (33) T c M/R. (34) T c R κρ L Tc 3 R 2, (35) där vi kan lösa ut luminositeten Nu uppskattar vi densiteten med ρ M/R 3 L R 2 T c 3 T c κρ R RT c 4 κρ. (36) L R4 T 4 c κm R4 κm ( ) 4 M M 3 R κ. (37) 5 Utvecklingen för en sollik stjärna Stjärnor föds genom att moln av gas och stoft kollapsar under sin egen gravitation. I stjärnans barndom värms den upp genom att gravitationell potentiell energi frigörs. Kollapsen går till att börja med snabbt, men efter ett tag så blir stjärnan ogenomskinlig, och den frigjorda energin kan inte längre strålas ut lika lätt. Därefter kommer stjärnan att befinna sig nära hydrostatisk jämvikt under resten av sin utveckling. Högst 20 miljoner år efter att kollapsen har börjat har stjärnan blivit tillräckligt het för att omvandla väte till helium i sin kärna. Den har då blivit en huvudseriestjärna. En huvudseriestjärna av solens massa har en kärna där väte omvandlas till helium enligt protonproton-kedjan. I de inre delarna av solen sker värmetransporten genom strålning, men i ytlagren blir opaciteten för hög, så konvektion tar över. Under huvudseriefasen växer heliumhalten i solens centrum, vilket leder till att molekylvikten växer, för att bibehålla trycket i kärnan drar den ihop sig och blir hetare. Detta leder till en långsam expansion av ytlagren. Efter ungefär 10 miljarder år på huvudserien tar vätet slut i solens centrum. Kärnan börjar då att dra ihop sig medan väteförbränningen fortsätter i ett skal omkring centrum. Medan kärnan drar ihop sig får vi en kraftig utvidgning av ytlagren, och stjärnan utvecklas nu till en stor sval röd jätte. Slutligen, när stjärnan har nått toppen av röd-jätte-grenen, har temperaturen i stjärnans centrum blivit så hög att den kan börja omvandla helium till kol enligt trippelalfa-processen, i vilken tre helium-kärnor slås samman till en 12 C-kärna. Kruxet är att under mellantiden har kärnan blivit degenererad (se diskussion nedan om vita dvärgar). När kärnan är degenererad beror trycket inte längre på temperaturen, utan bara på densiteten. Till följd av heliumförbränningen stiger temperaturen i kärnan, men trycket ökar inte, så kärnan börjar inte expandera, utan allt som händer är att förbränningshastigheten ökar. Vi får en helium-flash. Till slut så har temperaturen stigit så mycket att kärnan upphör att vara degenererad och vi får en expansion. Hela helium-flashen är över på 100 s. Märkligt nog syns inget av heliumflashen från utsidan. Energin går åt till att strukturera om stjärnans inre. Efter helium-flashen hittar vi stjärnan på horisontalgrenen, där den stilla förbränner helium till kol i centrum, och väte till helium i ett skal. 4

Efter ett tag tar helium slut i centrum, och kärnan börjar återigen att dra ihop sig. Stjärnan börjar då återigen att expandera och den klättrar uppför den asymptotiska jättegrenen. Nu har den två skal där det sker kärnreaktioner, ett yttre skal där väte omvandlas till helium och ett inre där helium omvandlas till kol. Genom instabiliteter i dessa skal börjar sedan ytlagren att slängas ut, och efter en tid kommer de att bilda en planetarisk nebulosa. Kärnan å andra sidan kommer att kollapsa till en vit dvärg. 6 Vit dvärg En vit dvärg är en stjärna av ungefär solens massa 2 10 30 kg men med en radie jämförbar med jordens, 10 4 km. I objekt med så hög densitet blir elektronerna degenererade och utövar en ny sorts tryck, degenerationstryck. Enligt Paulis uteslutningsprincip kan det bara finnas två elektroner, med motriktade spinn, inom varje cell i fasrummet, ett sex-dimensionellt rum bestående av våra vanliga tre rumsdimensioner och tre dimensioner i rörelsemängdsrummet. Om man ökar elektrontätheten så innebär detta att några av elektronerna får stora rörelsemängder, det vill säga de rör sig snabbt. Dessa elektroner kommer att utöva ett stort tryck. Så länge elektronerna inte är relativistiska beskrivs deras tryck av p = Kρ 5/3. (38) Approximativt kan vi skriva ekvationen för hydrostatisk jämvikt som Om vi jämför detta med degenerationstrycket så får vi vilket ger p ρ 5/3 p M 2 R 4. (39) ( ) 5/3 M R 3, (40) M 2 R 4 M 5/3 R 5, (41) R 1. M 1/3 (42) Vi ser nu att den vita dvärgens radie minskar med ökande massa. Om den vita dvärgen blir tillräckligt tung så blir elektronernas hastigheter relativistiska och trycket går som p ρ 4/3 M 4/3 R 4. (43) I detta fall finns det inget samband mellan massan och radien. Detta signalerar att den vita dvärgen kommer att kollapsa om den blir för tung. Den största möjliga massan för en vit dvärg är 1,4 solmassor, Chandrasekhar-massan. Trots att Chandrasekhar-massan bara är 1,4 solmassor, så kan stjärnor upp till 7 solmassor bli vita dvärgar genom att de förlorar stora mängder materia under sin tid som röda jättar. Den kemiska sammansättningen av den vita dvärgen beror dock på stjärnans ursprungliga massa i och med att det är denna som bestämmer hur långt kärnreaktionerna kommer att gå. För de lättaste stjärnorna, de under 0.5 solmassor, bygger kärnreaktionerna inte upp tyngre grundämnen än helium, så vi får helium-vita dvärgar. Om stjärnan är lättare än 5 solmassor kommer den inte att bygga upp tyngre ämnen än kol och syre, så vi får kol-vita dvärgar. Stjärnor mellan 5 och 7 solmassor bränner kol till syre, kisel och magnesium som bygger upp de vita dvärgarna. 5

7 Bruna dvärgar Om en stjärna väger mindre än 0.08M, så kommer dess centraltemperatur aldrig att bli tillräckligt hög för att den skall kunna omvandla vanligt väte till helium. Därmed blir den aldrig en riktig stjärna. Ett sådant objekt kallar vi för en brun dvärg. En brun dvärg bildas på samma sätt som en stjärna. Ett gasmoln kollapsar till en protostjärna. I protostjärnan stiger temperaturen till den nivån att deuterium börjar omvandlas till helium, vilket sker vid en temperatur som är lägre än den vid vilken vanligt väte omvandlas. Den fasen varar dock endast i en miljon år. Sedan fortsätter den bruna dvärgen att dra ihop sig och svalna tills gravitationen till slut balanseras av degenerationstrycket i den bruna dvärgen. Ett sätt att känna igen en brun dvärg är att leta efter spektrallinjer av litium i dess spektrum. I vanliga stjärnor bryts litium snabbt ner i stjärnans kärnreaktioner, men en del bruna dvärgar är så lätta att de behåller sitt litium. 8 Utvecklingen för en tung stjärna I en stjärna vars centraltemperatur överstiger 2 10 7 K så dominerar CNO-cykeln över protonproton-kedjan. Temperaturgradienten i stjärnans centrum blir då så kraftig att det uppstår konvektion i de inre delarna av stjärnan. Å andra sidan är opaciteten i ytlagren lägre, så där får vi strålningstransport. Efter huvudserien börjar också de tyngre stjärnornas kärnor att kontrahera medan ytlagren expanderar. Förändringen i luminositet är dock mycket måttlig, så stjärnan kommer att röra sig rakt åt höger i HR-diagrammet. Efter ett tag så startar trippelalfa-processen i stjärnans kärna innan den har blivit degenererad. Därför uppstår det inte någon heliumflash. När trippelalfaprocessen har startat i centrum börjar stjärnan att röra sig tillbaka åt vänster i HR-diagrammet. Beroende på hur tung stjärnan är kan sedan ett eller flera steg i kärnprocesserna följa. Kol kan förbrännas till natrium, neon och magnesium. Syre kan sedan förbrännas till svavel, fosfor, kisel och magnesium. Reaktionerna kan fortsätta tills stjärnan bygger upp järn, som är det ämne där protonerna och neutronerna är hårdast bundna. Vi har då fått en stjärna som består av flera skal med olika kemisk sammansättning och olika kärnreaktioner. Om stjärnan är tyngre än 7 solmassor kan den inte förlora tillräckligt mycket massa för att bilda en vit dvärg till slut. Istället kommer den till slut att explodera som en supernova, och efteråt kan den lämna kvar ett expanderande gasmoln, en supernovarest, och ett kompakt objekt, som är antingen en neutronstjärna eller ett svart hål. En neutronstjärna liknar delvis en vit dvärg, men trycket kommer från degenererade neutroner istället för degenererade elektroner. Typiskt så väger en neutronstjärna ungefär 1,4 solmassor och har en radie på 10 km. Den maximala massan för en neutronstjärna är någonstans mellan två och tre solmassor, och kallas för Oppenheimer-Volkoffmassan. Om det kompakta objektet är tyngre än så måste det bildas ett svart hål. 6