Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor två kortsidor, två ben som är 7 cm långa två ben som är 69 cm långa. För att bordet ska vara korrekt ihopsatt så måste de två långa benen sitta på samma långsida av bordet. Om Malin sätter fast ett ben i taget, väljer nästa ben hon sätter på på måfå, liksom vilket hörn hon sätter fast det i, utan att ta hänsyn till hur långa de ben hon sätter fast är, hur stor är sannolikheten att hon sätter ihop bordet korrekt?. Antag att du är med i tv-programet Let's make a deal spelar följande spel: Framför dig nns tre dörrar. Bakom en av dem står en bil, bakom de andra två står en get. Du får välja en av dörrarna får bilen om du lyckas välja den dörren. När du valt en dörr så öppnar programledaren an av de dörrar du inte valt bakom vilket det nns en get. Du får nu ett erbjudande om att byta dörr. Bör du byta? 4. Ge ett exempel på två händelser som är disjunkta 5. Ge ett exempel på två händelser som är oberoende 6. Antag att P (A B) 0 för två händelser A B med P (A) > 0 P (B) > 0. (a) Är A B oberoende? (b) Är A B disjunkta? 7. Nämn tre skillnader mellan kontinuerliga diskreta stokastiska variabler 8. Antag att X har följande täthetsfunktion: 0 om x < f(x) 0.5 om x 0 om x > (a) Vad heter fördelningen som X har? (b) Vad är E[X]? (c) Vad är V ar(x)? 9. Antag att X är uniformt fördelad på intervallet [0, ]. Vad har 4X för fördelning? 0. Ange vilken fördelning man brukar anse att följande händelser har: (a) Tiden mellan två på varande följande stjärnfall
(b) Längden på studenterna i klassen (c) Antalet personer som säger att de ska rösta på centerpartiet i ett stickprov av Sverigen befolkning (d) Antalet kunder som besöker en butik under en timma (e) Antalet kronor vi får, om vi kastar ett mynt 0 gånger (f) Antalet sexor vi får, om vi kastar en tärning 0 gånger. Antag att en kontinuerlig stokastisk variabel X har följande täthetsfunktion: 0.4 0. 0. 0. 4 5 6 7 (a) Vad är P (X )? (b) Vad är P (X )? (c) Vad är P (X )? (d) Vad är P (X 4)? (e) Rita den kumulativa fördelningsfunktionen till X. (f) Beräkna E[X] (g) Beräkna V ar(x). Om X N(, ), vad är (a) P (X ) (b) P (X ) (c) P (X > ) ( ) (a) P (X ) P (X ) P X ( ) ( ). Φ () 0.9987 0.00 (b) P (X ) 0, eftersom att X är kontinuerlig (c) P (X > ) P (X ) Φ() 0.9987. Antag att vikten hos eleverna i en klass är normalfördelad med okänt medelvärde µ känd standardavvikelse σ 5. Malin har tagit ett stickprov från hela klassen bestående av två elever; Anna Bo. Anna väger x Anna kg Bo väger x Bo kg. Vi brukar skatta µ med hjälp av det aritmetiska medelvärdet, dvs. i det här fallet kan vi skatta µ x x Anna + x Bo
Vi skulle dock lika gärna kunna skatta µ med hjälp av ˆx x Anna + x Bo Visa att E[ X] E[ ˆX] µ om X Anna N(µ, σ) X Bo N(µ, σ). Visa också att V ar( X) < V ar( ˆX), dvs. att X är en bättre skattare av µ än ˆX, även om båda ger rätt värde i snitt. [ ] E[ X] XAnna + X Bo E [ ] E[ ˆX] XAnna + X Bo E E [X Anna + X Bo ] E [X Anna + X Bo ] dvs. E[ X] E[ ˆX] µ. ( ) V ar( X) XAnna + X Bo V ar ( ) (V ar (X Anna) + V ar (X Bo)) E [X Anna] + E [X Bo ] E [X Anna] + E [X Bo ] ( ) V ar (X Anna + X Bo) µ + µ µ µ + µ ( ) (σ + σ ) σ σ ( ) ( ) V ar( ˆX) XAnna + X Bo V ar V ar (X Anna + X Bo) ( ) (V ar (X Anna) + V ar (X Bo)) ( ) (V ar (X Anna) + V ar (X ) Bo) ( ) (σ + 4σ ) 5σ 9 Eftersom att 5/8 > / så är V ar( ˆX) > V ar( X). 4. I en valundersökning tillfrågas 4000 personer om vilket parti de ska rösta på i valet. Totalt 60 personer uppger att de tänker rösta på Piratpartiet. (a) Använd datan för att skatta andelet p i befolkningen som kommer att rösta på Piratpartiet. (b) Låt X vara antalet personer som röstar på miljöpartiet i ett slumpmässigt valt stickprov av befolkningen. Beräkna, genom att först använda centrala gränsvärdessatsen, ett kondensintervall för p. (a) Låt ξ i vara om person nummer i tänker rösta på Piratpartiet, 0 annars. Då är ξ + ξ +... + ξ 4000 antalet personer som tänker rösta på Piratpartiet. Vi kan skatta p genom det aritmetiska medelvärdet av alla ξ i, dvs. vi kan skatta p med ˆp ξ + ξ +... + ξ 4000 4000 Efter att vi räknat ihop rösterna i vårt fall får vi skattningen ˆp 60/4000 0.04. µ
(b) Eftersom att ˆp är ett medelvärde 4000 är mycket större än 0 så är ˆp approximativt normalfördelad enligt centrala gränsvärdessatsen. Om p är den riktiga andelen i befolkningen, så är ξ +... + ξ 4000 bin(4000, p), så [ ] ξ + ξ +... + ξ 4000 E[ˆp] E stickprovsvariansen är 4000 E[ξ +... + ξ 4000 ] 4000 4000p 4000 p ξ s i ( ξ i ) /n n nˆp (nˆp) /n n nˆp nˆp n 4000 0.04 4000 0.04 999 Om vi väljer kondensnivå 0.96 får vi z, därför kondensintervallet 0.084 p ˆp ± z s/ n 0.04 ± 0.960/ 4000 0.04 ± 0.006 5. Beloppet som en slumpmässigt vald kund spenderar per besök på ett nöjesfält är i genomsnitt 00 kr med en standardavvikelse på 60 kr. Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald grupp på 50 individer spenderar er än 4 500 kronor på ett besök? (uppgift 6.4 i boken) Låt ξ i vara antalet kronor som person nummer i spenderar sätt X ξ +...+ξ 50 så att X är den totala summan som gruppen spenderar under beöket. Då är ξ i N(00, 60), X N(µ, σ) för något okänt µ σ, eftersom att summor av normalfördelade variabler alltid är normalfördelad. Vi kan dock beräkna båda µ σ: µ E[X] E[ξ +... + ξ 50 ] E[ξ ] +... + E[ξ 50 ] 50 00 5000 σ V ar(x) V ar(xi +... + ξ 50 ) V ar(ξ ) +... + V ar(ξ 50 ) 50 60 80000 så σ σ 44.. Vi har alltså att X N(5000, 44.). Vi vill räkna ut P (X 4500): ( ) X 5000 4500 5000 P (X 4500) P (X 4500) P 44. 44. Φ (.784) ( Φ (.784)) Φ (.784) 6. Antag att man vid vägningar med en balansvåg har oberoende mätfel med väntevärdet 0. gram standardavvikelsen 0.08 gram. Beräkna sannolikheten att det genomsnittliga felet vid 50 slumpmässigt utvalda vägningar överstiger 0.9 gram? (uppgift 6.9 i boken) Låt ξ i vara felet vid vägning i, låt X (ξ +...+ξ 50 )/50 vara det genomsnittliga felet. Eftersom att 50 > 0 så är X ungefär normalfördelad enligt ventrala gränsvärdessatsen, så vi vet att X N(µ, σ) för något okänt µ σ. Dessa två tal kan vi dock hitta precis som i den förra uppgiften, vi kan sedan fortsätta precis som vi gjorde där för att hitta P (X 0.9). 4
7. Antag att du är inköpsansvarig på ett företag, att din chef ber dig att köpa in ett kullager från Skf. Du ska köpa in ett kullager som har innerdiameter 88mm, om dess diameter är mer än mm för stor eller mer än mm för liten så måste kulllagret kasseras ett nytt köpas in. I Skf katalog hittar du följande två alternativ: Typ Typ Förväntad innerdiameter (µ ) Standardavvikelse (σ ) Pris 88mm mm 00kr Förväntad innerdiameter (µ ) Standardavvikelse (σ ) Pris 80mm 4mm 0kr Den faktiska innerdiametern på kullagret i båda fallen antas vara normalfördelad med respektive medelvärde standardavvikelse. Typ är alltså lite dyrare än typ, men sannolikheten att du får ett kullager som går att använda är större, även om det i båda fallen nns en risk att kullagret du köper måste kasseras för att det visar sig att innerdiametern på det kullager ni mottar är antingen för stor eller för liten. Eftersom att kullager av typ är så mycket dyrare än de av typ så kanske det ändå kan lösa sig i längden att ta risken att behöva köpa in många...? (a) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ kan användas av företaget? (b) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ kan användas av företaget? (c) Hur stor är sannolikheten att det kullager som du får om du köper ett kullager av typ måste kasseras? Antag att du bestämmer dig för att köpa ett kullager av typ, att du köper in denna typ av kullager om om igen tills du får ett med en innediameter mellan 86mm 90mm. (d) Vad är sannolikheten att du behöver köpa in exakt kullager? (e) Vad är sannolikheten att du behöver köpa in exakt k kullager, där k är ett positivt heltal? (f) Vad är det förväntade antalet kullager du behöver köpa in? (g) Vad blir den förväntade kostnaden för de kullager du totalt behöver köpa? (Du får använda att k k ak /( a) ) (h) Vad blir motsvarande kostanad om du istället hade valt att köpa in kullager av typ? (a) Låt X vara innerdiametern på ett kullager av typ. Vi vill räkna ut P (86 X 90); ( ) ( ) 90 88 86 88 P (86 X 90) P (X 90) P (X 86) Φ Φ Φ() Φ( ) Φ() ( Φ()) Φ() 0.98 0.96 (b) Låt X vara innerdiametern på ett kullager av typ. Vi vill räkna ut P (86 X 90); ( ) ( ) 90 80 86 80 P (86 X 90) P (X 90) P (X 86) Φ Φ 4 4 Φ(.5) Φ(.5) 0.06 5
(c) Sannolikheten är P (86 X 90) 0.94, dvs. 94%. (d) Låt p vara sannolikheten att vi kan använda ett kullager vi köper in av typ Y antalet kullager av typ som vi behöver köpa in om vi köper in kullager tills vi får ett som fungerar. Enligt (a) är p 0.96. Eftersom att måtten på olika kullager är oberoende är sannolikheten att exakt tre kullager behöver köpas in P (Y ) ( p ) p 0.04 0.96 0.005 eftersom att de två första inte ska fungera men det sista fungera. (e) Med samma resonemang som i (d) får vi P (Y k) ( p ) k p 0.04 k 0.96 (f) Det förväntade antalet kullager vi behöver köpa in blir E[kostnad] (00k) P (Y k) 00 k 0.04 k 0.96 k0 00 0.96 k k0 k 0.04 k 00 0.96 ( 0.04) 00 0.96 08.kr (g) Om Y är antalet kullager vi behöver köpa in av typ, p är sannolikheten i (b), så får vi, med samma resonemang som för Y, att P (Y k) ( p ) k p ( 0.06) k 0.06 0.94 k 0.06 E[kostnad] (0k) P (Y k) [...] 0 0.04 50kr k0 dvs. det blir i snitt billigare att köpa de dyrare kullagren. 6