LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7 5 62:23 5 Extrauppgift från tenta 6 1 INRE PRODUKTRUM I ett vektorrum kan man som tidigare bekant beräkna skalärprodukten av två vektorer v och w Låt oss betrakta situationen då v, w R n Då kan vi beräkna deras skalärprodukt enligt v w = v 1 w 1 + + v n w n Med skalärprodukten kan vi på ett naturligt sätt beräkna längder, avstånd och vinklar Längden av en vektor v R n kan skrivas som v = v v, och avståndet mellan två vektorer v, w R n kan beskrivas som v w = (v w) (v w) Vi kan också beräkna vinklar mellan två vektorer v, w R som cos(θ) = v w v w Skalärprodukten tillåter oss också att avgöra om två vektorer är vinkelräta eller ortogonala som de också kallas Detta beteénde går att generalisera till en operation som kallas för en inre produkt Den vanliga skalärprodukten är vad vi kallar för den euklidiska inre produkten Definition 11 (Inre produkt) Låt V vara ett reellt vektorrum En inre produkt på V är en avbildning där v, w har följande egenskaper V V R (v, w) v, w, (1) v, w = w, v (symmetrisk) (2) u + v, w = u, w + v, w (additiv) (3) cv, w = c v, w (homogen) (4) v, v > för alla v V (positivt definit) Om vektorrummet V är utrustat med en inre produkt så kallas V för ett inre produktrum 1

2 JOHAN ASPLUND Sats 12 För varje matris A R n n, finns det en avbildning R n R n R (x, y) x, y, där x, y definieras som ) A 11 A 1n y 1 x, y = x T Ay = (x 1 x n = A n1 A nn y n n i,j=1 A ij x i y j Anmärkning 13 Om A = I är identitetsmatrisen så är x T Ay = x T y den euklidiska inre produkten Så när är x, y som definierat i sats 12 faktiskt en inre produkt? Detta sker när matrisen A är symmetrisk och positivt definit Definition 14 (Symmetrisk matris) En matris A kallas för symmetrisk om A T = A Den faktiska definitionen för att en matris är positivt definit är att x, x = x T Ax för alla x R n, men detta är inte speciellt användbart, utan vi använder följande karaktäriseringar Sats 15 (Positivt definit matris) En matris A är positivt definit om och endast om alla dess huvudminorer är positiva Om vi betecknar huvudminorerna med M 1,, M n så är de illustrerade för fallet n = 4 i figuren nedan M 1 M 2 M 3 M 4 1 2 3 Exempel 16 Om A = 4 5 6 så är huvudminorerna 7 8 9 M 1 = 1 1 2 M 2 = 4 5 1 2 3 M 3 = 4 5 6 7 8 9 Det vi har kommit fram till är att en symmetrisk och positivt definit matris A R n n definierar en inre produkt på R n enligt x, y = x T Ay Poängen med inre produkter är att vi kan betrakta en inre produkt i till exempel P n och beräkna längder mellan polynom Exempel 17 I fallet då V = R n så definieras den inre produkten som anses som standard enligt n x, y = x i y i i=1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 3 Exempel 18 I fallet då V = C([a, b]) = { funktioner f som är kontinuerliga på intervallet [a, b] }, så definieras den inre produkten som anses som standard enligt b f, g = f(x)g(x) dx a Exempel 19 I fallet då V = R n n så definieras den inre produkten som anses som standard enligt n A, B = tr(a T B) = A i B i, där A 1 A n B 1 B n A n+1 A 2n A =, B = B n+1 B 2n A n(n)+1 A n 2 B n(n)+1 B n 2 Exempel 11 I fallet då V = P n så definieras den inre produkten som anses som standard enligt n f, g = a i b i, där f(x) = a + a 1 x + + a n x n, g(x) = b + b 1 x + + b n x n i= i=1 2 CAUCHY-SCHWARZ OLIKHET Sats 21 (Cauchy-Schwarz olikhet) I varje inre produktrum V gäller v, w v w Cauchy-Schwarz olikhet är en viktig ingrediens i beviset för följande egenskaper Normen v = v, v har följande egenskaper Sats 22 I varje inre produktrum V har längd följande egenskaper (1) v med likhet om och endast om v = (2) cv = c v (3) v + w v + w Punkt nummer 3 i sats 22 kallas för triangelolikheten Definition 23 Låt v, w V vara två vektorer i ett inre produktrum Då kallas v och w för ortogonala om och endast om v, w = Sats 24 (Pythagoras sats) I varje inre produktrum gäller det att där v w v + w 2 = v 2 + w 2, 3 ORTOGONALA PROJEKTIONER OCH GRAM-SCHMIDTS PROCESS Definition 31 (Ortonormal bas) En bas b = {b 1, b 2,, b n } i ett inre produktrum V kallas för en ortonormal bas om följande gäller (1) b i b j för alla i j (2) b i = 1 för alla i Anmärkning 32 Om en bas b endast uppfyller b i b j för alla i j så kallas b endast för ortogonal och inte ortonormal I ord beskriver man en ortonormal bas som en bas där alla vektorer är ortogonala mot varandra, och där alla basvektorer har längd 1

4 JOHAN ASPLUND Sats 33 (Ortogonal projektion på ett delrum) Låt W V vara ett delrum av ett inre produktrum V, och låt b vara en ortogonal bas till W Om v V är en godtycklig vektor så kan man beräkna den ortogonala projektionen av v på W genom proj W (v) = v, w 1 w 1 2 w 1 + + v, w n w n 2 w n Anmärkning 34 Notera att om basen b i sats 33 är ortonormal så gäller det att w i = 1 för alla i och därmed proj W (v) = v, w 1 w 1 + + v, w n w n Det finns en metod som kallas för Gram-Schmidts ortonormaliseringsprocess, som används för att konstruera en ortonormal bas, utifrån en bas (som inte behöver vara ortonormal) Den beskrivs enligt flöjande Sats 35 (Gram-Schmidts ortonormaliseringsprocess) Låt V vara ett reellt inre produktrum, och låt u = {u 1,, u n } vara en bas i V Vi konstuerar sedan följande vektorer v 1 = u 1 u 1 v 2 = u 2 u 2, v 1 v 1 u 2 u 2, v 1 v 1 Då gäller det att {v 1,, v n } är en ON-bas i V v 3 = u 3 u 3, v 2 v 2 u 3, v 1 v 1 u 3 u 3, v 2 v 2 u 3, v 1 v 1 v n = u n u n, v n v n u n, v 1 v 1 u n u n, v n v n u n, v 1 v 1 4 UPPGIFTER 61:13(a) Låt M 2 2 ha den inre produkten som definieras av U, V = tr(u T V ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4, där Hitta A där A = ( ) 5 3 2 6 ( ) ( ) a1 a U = 2 b1 b, V = 2 a 3 a 4 b 3 b 4 Lösning Enligt definitionen av normen så har vi A = A, A Så A = A, A = 5 2 + 3 2 + 2 2 + ( 6) 2 = 74 61:23(a) Låt u, v R 2, och definiera följande Visa att, definierar en inre produkt på R 2 u, v = 3u 1 v 1 + 5u 2 v 2 Lösning Vi noterar att vi kan skriva ( ) u, v = u T 3 v = u 5 T Av

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 5 Vi vet att ett sådant uttryck definierar en inre produkt om A är symmetrisk och positivt definit Vi ser att A T = A, och därmed är A symmetrisk För att avgöra om A är positivt definit så kollar vi på huvudminorerna M 1 = 3 > 3 M 2 = 5 = 15 >, och alltså är A positivt definit Därför definierar u, v = u T Av en inre produkt på R 2 61:29 Använd den inre produkten på P 3 och beräkna p, q där (a) p = 1 x 2 + 3x 3 och q = 2 x (b) p = x 5x 3 och q = 2 + 8x 2 p(x)q(x) dx, Lösning Här kan vi använda det faktum att integreringsintervallet är symmetrisk kring origo, så att xn dx = om n är ett udda tal, och xn dx = 2 xn dx om n är ett jämnt tal Detta kommer förenkla våra beräkningar en del (a) Vi får = (b) På samma sätt här får vi (1 x 2 + 3x 3 )(2 x) dx = = 2 x 2x 2 + 7x 3 3x 4 dx 2 2x 2 3x 4 dx = 2 2 2x 2 3x 4 dx = 2 (x 5x 3 )(2 + 8x 2 ) dx = eftersom alla termer i integranden är udda funktioner ( 2 2 3 3 ) = 22 5 15 2x 2x 3 4x 5 dx =, 62:7 Existerar det tal k, l R så att vektorerna u = (k, 3, 2), v = ( 3, 1, l) och w = ( 5, 5, 1) är parvis ortogonala med avseende på den Euklidiska inre produkten? Lösning Det vi vill göra är att hitta k och l så att u v, u w och v w Detta kan sammanfattas med följande ekvationssystem u, v = 3k + 3 + 2l = u, w = 5k + 17 = v, w = 2 + l = Ur ekvation 2 och 3 får vi l = 2 samt k = 17 5 Vi sätter in detta i första ekvationen och inser att ekvationen inte är uppfylld Därför kan det inte finnas några sådana k och l 62:23 Om u, v R n och A R n n, bevisa att (41) (v T A T Au) 2 (u T A T Au)(v T A T Av) Lösning Cauchy-Schwarz olikhet säger att u, v u v, eller ekvivalent u, v 2 u 2 v 2 = u, u v, v I vår uppgift så gäller det att visa att om u, v R n och A R n n, så definierar u, v = v T A T Au en inre produkt på R n Det är klart att A T A R n n, så det gäller att visa att A T A är symmetrisk och positivt definit Faktum är att vi inte riktigt behöver göra detta I kapitel 61 i boken visar det sig att om man kan skriva u, v = (Av) T (Au) så definierar, en inre produkt på R n och kallas för den inre produkten som genereras av matrisen A Eftersom (Av) T (Au) = v T A T Au som är det vi har i uppgiften, så vet vi att, är en inre produkt, och därför gäller Cauchy- Schwarz olikhet varur olikheten (41) håller

6 JOHAN ASPLUND Extrauppgift från tenta Låt P 2 vara rummet av polynom av grad högst 2 utrustat med den inre produkten p(t)q(t) dt, och låt W vara delrummet till P 2 som spänns upp av p 1 (t) = 1 och p 2 (t) = t Bestäm den ortogonala projektionen av p(t) = t 2 på W samt beräkna avståndet från p till W i P 2 Lösning För att använda sats 33 så måste vi först kolla om polynomen 1 och t är ortogonala Vi beräknar [ ] 1 t 2 1 1, t = t dt = = 1 2 Vi måste alltså göra om {1, t} till en ortogonal bas, och kan i samma veva göra om det till en ortonormal bas med hjälp av Gram-Schmidt Vi döper den nya basen till b = { b1, b } 2, och sätter först Sedan får vi (enligt Gram-Schmidt) b1 = b 1 b 1 = 1 dt b 1 = b 1 b2 = b 2 (b proj b1 2 ) b 2 (b proj b1 2 ) Vi beräknar först ut vektorn, och normaliserar den efteråt Så ( b 2 (b proj b1 2 ) = t b 2, b ) 1 1 b1 = t t dt = t 1 2 Längden av denna vektor är Alltså är en ortonormal bas t 1 = Vi kan sedan beräkna proj W (t 2 ) som proj W (t 2 ) = ( t 1 2 1 dt = 2) 12 = 1 2 3 b = {1, } 3(2t 1) t 2, 1 1 + t 2, 3(2t 1) 3(2t 1) = = 1 3 + 3 ( 1 6 ) (2t 1) = t 1 6 ( ) 1 t 2 dt + 3 (2t 1)t 2 dt (2t 1) Vi har sedan att avståndet från t 2 till W är avståndet från t 2 till ortogonalprojektionen d(t 2, W ) = t 2 proj W (t 2 ) = t2 t + 1 6 ( = t 2 t + 1 2 1 dt = 6) 18 = 1 6 5 E-mail address: johanasplund@mathuuse