Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A0 samt STA A3 9p 4 augusti 005, kl. 08.5-3.5 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Leif Ruckman Varje uppgift kan ge max 0p. Lösningarna skall utan svårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 40 p och för Väl godkänd krävs 60 p. Uppgift. En kaffeautomat brygger en kopp kaffe när man trycker på knappen. Tiden som det tar för maskinen att brygga en kopp kaffe kan betraktas som en rektangelfördelad slumpvariabel. Som snabbast klarar maskinen uppgiften på 8 sekunder. Maximalt tar det 4 sekunder. a) Beräkna fördelningens väntevärde. b) Beräkna fördelningens standardavvikelse. c) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald bryggning tar mer än 0 sekunder? Uppgift. En av orsakerna till olyckor är hastigheten. En person har noterat att små barncyklar med små hjul går sakta medan cyklar med stora hjul går fortare. Naturligtvis är det fler faktorer än hjulets storlek som påverkar hastigheten, men man vill ändå titta närmar på detta samband. Man gör en hastighetsmätning på en raksträcka och stoppar sedan cyklisten och mäter bakhjulets storlek. Följande data samlades in; Hastighet km/h Bakhjulets storlek i tum 0 4 3 8 0 35 7 6 8 4 4 5 6 8 4 8 0 0 6
a) Rita in observationerna i ett spridningsdiagram. b) Beräkna korrelationskoefficienten. c) Anpassa med minsta kvadratmetoden Y a + bx och tolka resultatet i ord. Rita även in linjen i ditt spridningsdiagram. Uppgift 3. Ett slumpmässigt urval om 400 personer testades för att se om de hade an viss typ av antikroppar. 300 personer i urvalet hade dessa antikroppar. Beräkna ett 99% konfidensintervall för populationens proportion och tolka resultatet i ord. Uppgift 4. Vid en undersökning önskar man uppskatta populationens medelvärde med ett 99% konfidensintervall vars längd inte får överstiga 0. Man räknar med att populationens standardavvikelse är 5. Hur stort stickprov måste man dra? Uppgift 5. Ett företag säljer planteringsjord i 5-kilossäckar. Dock vet man att innehållet i en säck inte är exakt 5 kg utan varierar och en normalfördelning med standardavvikelse.5 kg beskriver viktfördelningen väl. För att kontrollera att produktionsprocessen fungerar som den skall väljs slumpmässig 0 säckar från produktionen och kontrollvägs. Resultatet i kg anges nedan..8 3.9 3.8 3. 3.7 3. 4.6 7.9 3.8 4.3 a) Finns det anledning att tro att produktionens genomsnittsvikt understiger 5 kg? Genomför ett lämpligt test på %-nivån. b) Beräkna och tolka p-värdet.
Uppgift 6. En cykelreparatör i staden gör alltid en kontroll av ekrarna när hon får in en cykel för reparation, oavsett orsaken till att cykeln lämnats in. Hon har därför under åren samlat på sig en stor mängd information och vet att följande sannolikhetsfördelning gäller för X Antalet felaktiga ekrar per hjul. De hjul som är i så dåligt skick att de måste kasseras är inte med i statistiken. x 0 3 4 5 p(x) 0.55 0.06 0.8 0.4 0.05 0.0 a) Illustrera sannolikhetsfördelningen grafiskt. b) Beräkna µ och σ. c) Beräkna sannolikheten att ett slumpmässigt valt cykelhjul har åtminstone 4 felaktiga ekrar. d) Beräkna sannolikheten att två slumpmässigt valda cykelhjul tillsammans har färre än 3 felaktiga ekrar. e) Beräkna approximativt sannolikheten att hundra slumpmässigt utvalda cykelhjul har i genomsnitt minst.4 felaktiga ekrar. Uppgift 7. a) I en tillverkningsprocess kan det uppstå fel på en produkt vid fyra olika tillverkningsmoment. Felsannolikheterna vid de fyra momenten är 0.05, 0.08, 0.03, resp. 0.06. Felen antas uppträda oberoende av varandra. Hur stor är sannolikheten att en produkt har ett eller flera fel? b) Om händelser A och B är disjunkta, vet man då något om beroendet mellan A och B? Uppgift 8. En försäkringspool för sportflygplan består av 00 flygplan, som alla erlagt en årspremie på 0 000 kr för att i händelse av totalhaveri erhålla ett belopp på miljon kr. Sannolikheten för att råka ut för ett totalhaveri under året antages vara densamma för samtliga plan och lika med 0.008. Beräkna sannolikheten för att alla försäkringspoolens haveriutbetalningar under året kommer att överstiga dess premieinkomster. (Använd gärna lämplig approximativ fördelning).
Uppgift. Lösningsförslag till tentamen i statistik, STAA0, STAA3, 05084 X Tidsåtgång, X är rektangelfördelad på intervallet [8, 4] 8 + 4 a) Väntevärde: µ sekunder b) Standardavvikelse: c) P(x) Uppgift. 4 8 σ 6 P ( 4 8) 36 3 sekunder.73 sekunder 0 4 6 6 3 ( X > ) P( 0 < X < 4) ( 4 0) Statistics N Sum Valid Missing Hastighet Y Storlek tum X Y-kvadrat X-kvadrat XY 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 33 4979 558 5
35 30 Hastighet Y 5 0 5 0 4 6 8 0 4 6 8 Storlek tum X a) n xy x r n ( ) b) x x n y ( )( ( y) ) ( 0 558 33 )( 0 4979 5 ) 05 5 3565 n xy x b n ( ) c) x x y 05 05 0.8696 54365 38.597 y 05.334 5 5 33 a y bx.334 9.5 0 0 0 5 33 5
Y -9.5 +.334. X Tolkning: a - 9.5, skärningspunkt med Y-axeln b.334 För varje tum bakhjulet ökar i storlek ökar hastigheten med i genomsnitt.334 km i timmen. Upgift 3. n400 x300 px/n 300/400 0.75 99% konfidensintervall för populationens proportion p ± z p ( p) n 0.75 0.5 0.75 ±.576 [0.694, 0.8058] 99% 400 Med 99% säkerhet så har mellan 69.4% och 80.58% av personerna i populationen den sökta typen av antikroppar. Uppgift 4. Konfidensintervallets längd, L, är övre gräns nedre gräns. s s x +.576 x.576. 576 n n s n Krav 5.576 0 n n.576 5/0 7.78 n 59.7 För att uppfylla kravet måste man dra ett stickprov omfattande minst 60 observationer.
Uppgift 5. X Vikt X är N(µ, σ.5) x 4. n0 x 4. H o : µ 5 H : µ < 5 Signifikansnivå: α % x µ Testfunktion: z som är standardnormalfördelad. σ / n Förkastelseområde: Förkasta nollhypotesen om observerat värde på z är mindre än -.36. 4. 5 Resultat: z obs. 8763.5/ 0 H 0 förkastas ej. Slutsats: På %-nivån finns det inget som tyder på att populationen av säckar har en medelvikt som understiger 5 kg. P-värdet är sannolikheten att av en ren slump erhålla ett värde som är minst så extremt som det vi just fick, under förutsättning att nollhypotesen är sann. x µ 4. 5 P( x 4. H0 ) P H0 P( Z.88) [ tabell] 0.030 σ / n.5/ 0 Det är ca 3% chans att av en slump få ett medelvärde som är 4. eller mindre då µ5. Den sannolikheten är för stor för att vi ska kunna förkasta på %-nivån. Uppgift 6. X Antal felaktiga ekrar per hjul x 0 3 4 5 p(x) 0.55 0.06 0.8 0.4 0.05 0.0
0,60 0,50 0,40 p(x) 0,30 0,0 0,0 0,00 0 3 4 5 x a) b) µ x p(x) 0 0.55 + 0.06 + 0.8 + 3 0.4 + 4 0.05 + 5 0.0.4 ekrar. σ x p( x) µ 0 0.55 +... + 5 0.05.4. 0404 σ σ.0404.484 ekrar. c) P(X 4) P(X4) + P(X5) 0.05+0.0 0.07 d) Låt YX +X. P( Y < 3) P( X + X < 3) P(X 0 och X 0 eller X och X 0 eller X 0 och X eller X och X och eller X eller 0 och X 0.55 0.55 + 0.06 0.55 + 0.8 0.55 + 0.55 0.06 + 0.06 0.06 + 0.55 0.8 0.570 e) Då n00 så är stickprovsmedelvärdet approximativt normalfördelat enligt CGS. x µ.4.4 P x.4 P P( Z.8) P( Z.8) tabell 0. σ / n.484/ 00 X X 0 ) ( ) 0344 Uppgift 7 a) P(Minst fel) -P(Inget fel) -0.95. 0.9. 0.97. 0.94 0.03 b) Om A och B är disjunkta så vet man att de är beroende och att beroendet är sådant att den om den ena händelsen inträffar så kan inte den andra inträffa.
Uppgift 8. n00 plan Årspremie 0 000 Årliga premieinkomster 00. 0 000 000 000. P(totalhaveri) 0.008 X Antal plan som totalhavererar under året. X är bin(n00, π0.008) X är aproximativt Po(µ nπ 00. 0.008 0.8) ty n>0 och π<0.. Om minst plan havererar överstiger utbetalningarna intäkterna. P ( X ) P( X ) tabell 0.8088 0.9 Exakt beräkning med binomialfördelning P ( X ) 0.99 00 00 0.008 0.99 99 0.909