Du, som har Thorbiörnson enbart, får nöja dig med sid.37-47, betr. relationer och funktioner. (Binära) Relationer Du, som har Vretblad, kan också läsa kap.3 där. Ordet relation används inom matematiken med en innebörd som faktiskt ligger ganska nära den vardagliga. (Så är ofta inte fallet! Inom den abstrakta algebran t.ex. pratar matematiker om grupper, ringar och kroppar, men de termerna har ingenting med vanliga grupper, ringar och kroppar att göra!) Exempel på relationer på en mängd: Föräldraskap Utsagan Person x är förälder till person y kan sägas definiera en relation på mängden av alla människor. Ordning Utsagorna talet x är mindre än talet y, etc., förkortade x<y,x y, x = y, x y, x > y, har alla att göra med att vi har en s.k. ordningsrelation på R (och varje delmängd därav). Symbolerna <,, =,, >kansägasvarabeteckningarförrelationermellantal. Delbarhet heltalet d delar heltalet a, förkortat d a, definierar en relation på Z. Kongruens (av heltal) a ger samma rest som b vid division med heltalet n, förkortat a b (mod n), definierar en relation på Z. Mängdinklusion mängden A är en delmängd av mängden B, förkortat A B, definierar en relation på varje familj (mängd) av mängder. Exempel på relationer från en mängd till en annan: Ägarskap o.dyl. Person x förfogar över bankkonto y kan sägas definiera en relation från mängden av alla människor till mängden av alla bankkonton. Mängdtillhörighet objekt x tillhör mängden A, x A, kan definiera en relation från en viss mängd av objekt till en viss mängd av mängder. Att ett objekt står i en viss relation till ett annat uttrycker att de står i något särskilt förhållande till varandra / att de hör ihop med varandra på något särskilt sätt. En definition som täcker alla exempel ovan kan formuleras på (minst) två sätt: Relationer som öppna utsagor En relation från mängden A till mängden B är en öppen utsaga med två variabler, säg x och y, sådana att x fårantavärdenia och y i B. De objekt, x och y, som anses relaterade är precis de som gör utsagan sann. Relationer som delmängder av produktmängder En relation från mängden A till mängden B är en delmängd, kalla den R, av den kartesiska produktmängden A B. De objekt, x och y, som anses relaterade, är precis de som är sådana att (x, y) R. 37
Specialfallet A = B När B är samma mängd som A, säger vi relation på A Beteckningen xry, x y Flera av de ovan uppräknade relationerna hade redan egna symboler. Annars är det tradition att beteckna relationer med bokstaverna R, S eller T (på samma sätt som funktioner brukar betecknas med f, g eller h) och, i likhet med <,, etc., låta xry symbolisera x står i relationen R till y (Om R är föräldrarelationen ovan, så är alltså xry en kort för Person x är förälder till person y.) För ekvivalensrelationer (diskuteras nedan) utnyttjar jag. Ordningen väsentlig! Många relationer har egenskapen att x och y kan byta plats utan vidare: x är släkt med y är ekvivalent med y är släkt med x. Men långtifrån alla: x är förälder till y ärinte alls samma sak som y är förälder till x! Därför är x står i relation till y i allmänhet ett bättre uttryckssätt än x och y är relaterade till varandra. n-ställiga relationer (Allmänbildande utvikning) Alla relationer ovan har kopplat ihop 2 objekt. Därför kallas relationerna binära. Man skulle kunna generalisera genom at betrakta öppna utsagor med fler än 2 variabler, t.ex. I triangeln t är två av sidorna a resp. b längdenheter, medan vinkeln mot sidan a är α radianer. Här har vi 4 variabler t, a, b och α och mängden av fyrtiplar (t, a, b, α), som gör utsagan sann, bildar en delmängd av produktmängden {alla trianglar} R R (0, π). Utsagan kan sägas definiera en fyrställig relation. Ekvivalensrelationer En relation R på en mängd A kallas reflexiv omm xrx, för alla x A Av exemplen ovan är =,,,,, reflexiva, däremot inte <, >, eller föräldraskapsrelationen. symmetrisk omm xry = yrx, för alla x, y A Av ovanstående är = och symmetriska, däremot inte övriga. transitiv omm xry yrz = xrz, för alla x, y, z A Alla ovan, utom föräldraskapsrelationen, är transitiva. ekvivalensrelation omm den är såväl reflexiv, symmetrisk som transitiv Av ovanstående är = och är ekvivalensrelationer. Fler exempel på ekvivalensrelationer (övertyga dig själv att de är det!) Parallellitet Linjen ` är parallell med linjen m. definierar en ekvivalensrelation på mängden av alla linjer i ett plan (eller i tredimensionella rummet) Likformighet av trianglar (eller andra geometriska figurer, för den delen). Skolklasser Elev x går i samma klass som elev y definierar en ekvivalensrelation på mängden av alla elever i en skola. 38
Ekvivalensrelationer och partition i ekvivalensklasser Ekvivalensrelationer hänger intimt samman med s.k. partitioner av mängder. Partition av en mängd kallar vi en uppdelning av mängden i parvis disjunkta delmängder. (Parvis disjunkta = icke-överlappande, som inte har något element gemensamt) Ekvivalensrelationen x y (mod 2), d.v.s. x och y ger samma rest vid division med 2, delar in heltalen i två disjunkta mängder: de jämna resp. de udda talen. Varje par av två jämna tal står i relation till varandra; varje par av två udda tal likaså; däremot står inget udda tal i relation till något jämnt tal. Ekvivalensrelationen x y (mod 3) delar in heltalen i tre parvis disjunkta mängder, {..., 6, 3, 0, 3, 6,...}, {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} och {..., 4, 1, 2, 5, 8,...}, med egenskapen att varje par av heltal från en och samma delmängd står i relation till varandra, men detsamma gäller inte något par med tal från olika delmängder. För skolklasser -relationen är motsvarande disjunkta delmängder just elevklasserna. Allmänt har vi Varje ekvivalensrelation ger upphov till en partition av resp. mängd. De disjunkta delmängderna kallas ekvivalensklasser. Bevis: Beteckna mängden med A ochrelationenmed. För varje x A bildar vi mängden av de element i A som x står i relation till: A x = {y A : x y} I och med att relationen är reflexiv gäller x A x, för alla x A. Därmed vet vi att delmängderna A x tillsammans täcker hela A. Återstår att visa att de är parvis disjunkta. (Obs. Vi säger inte att delmängderna är alla sinsemellan olika! Det kan mycket väl inträffa atta x = A z då x 6= z vadvi menar med parvis disjunkta är att A x 6= A z = A x A z 6=.) Vi kan ge ett s.k. motsägelsebevis: Vi antar negationen till att alla delmängderna skulle vara parvis disjunkta och ur denna härleder konsekvenser som strider mot något som vi redan vet gäller. Därmed måste (lagen om det uteslutna tredje) negationen till vårt antagande gälla. Negationen till negationen då är vi tillbaka till det som skulle bevisas att delmängderna är parvis disjunkta. Det är just detta som Thorbiörnson, sid.32, kallar motsägelseprincipen och sammanfattar med symboler så här: [ P = motsägelse] = P Alltså, antag A x 6= A z och att det finns ett y A x A z. Av A x 6= A z följer existensen av ett w A x ÂA z eller ett w A z ÂA x. Det är ingen inskränkning att anta första alternativet, w A x ÂA z, eftersom x och z har en helt jämbördig roll i varje korrekt resonemang kan vi låta x och z byta plats genomgående och få ett korrekt resonemang igen. Av delmängdernas konstruktion följer nu att x w, (z w),x y, z y Relationen är symmetrisk, så vi kan lika gärna skriva att z y, y x och x w. Transitiviteten medför nu först z x och sedan z w. Men detta är precis negationen till (z w), som vi redan vetärsann motsägelse! Omvändningen till föregående sats är också sann: Varje partition av en mängd ger upphov till en ekvivalensrelation på mängden, med partitionens delmängder som ekvivalensklasser. Bevis: Definiera en relation på följande sätt: x y omm x tillhör samma delmängd som y. Du kan kontrollera själv att den duger detta är egentligen ingenting annat än exemplet med elever och skolklasser ovan! 39
Negativa heltal som ekvivalensklasser av par av naturliga tal Augustus de Morgan (1806-1871), som de Morgans lagar i satslogiken och mängdläran är uppkallade efter, är också känd för att ha tillhört den skara matematiker, som ända in på 1800-talet tyckte att man inte hade en logiskt hållbar teori för negativa tal. Inom matematiken strävar man ju, som påpekat tidigare, att testa hur långt man kan komma med resonemang, utan hänvisningar till experimentella data. Varje svårare begrepp försöker man logiskt förklara/härleda ur några enklare. När det gäller tal, så är de negativa talen onekligen något mer intrikata än de positiva. Frågan inställer sig om vi logiskt kan definiera dem med utgångspunkt i de positiva och inte med hänvisningar till termometrar och dylikt. Eller vad tycker du är det OK att hela matematiken bygger på vår erfarenhet av termometrar?? Ponera nu att vi vet allt om de positiva talen, men ingenting om några andra tal. Ett sätt att (logiskt) konstruera Z ur N är med hjälp av ekvivalensklasser. Ett negativt tal som 1 skall ju symbolisera att man försöker subtrahera 2 från 1, men också situationen när man försöker subtrahera 3 från 2, etc. Så vi kan tänka på negativa tal som par av heltal, fast vissa par får anses ekvivalenta och svara mot samma negativa tal. Betrakta därför mängden av alla ordnade par (a, b),a,b N, d.v.s. den kartesiska produkten N N. Tanken är att par med a>bskall svara mot de gamla kända positiva talen a b, medan par med a<b skall vara just de nya negativa talen. Två par, (a, b) och (c,d), skall föreställa samma tal omm a b = c d, men detta fungerar inte då a<b,för vi har ju inte definierat de negativa talen än! I stället skriver vi om likheten som a + d = b + c nu har vi endast addition av positiva tal och ekvationen är väldefinierad oavsett om a>beller a<b.alltså: På N N inför relationen (a, b) (c, d) omm a + d = b + c Övning: Kontrollera att denna är en ekvivalensrelation. På N N inför vi operationerna och (Meningen är att de skall generalisera + och till alla heltal.): (a, b) (c, d) def =(a + c, b + d) (a, b) (c, d) def =(ac + bd, ad + bc) Varför ser definitionerna ut som de gör? (a, b) och (c, d) skulle ju svara mot a b resp. c d och i fallet a>b,c>dvet vi redan att (a b)+(c d) =(a + c) (b + d) resp. (a b)(c d) =ac + bd ad bc Nu visar det sig att om vi byter ut ett par (a, b) eller (c, d) i en sådan -summa / -produkt mot ett par i samma ekvivalensklass, så kommer resultatet fortfarande att ligga i samma ekvivalensklass: ½ (a1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (c 1,d 1 ) (c 2,d 2 ) = ½ (a1,b 1 ) (c 1,d 1 ) (a 2,b 2 ) (c 2,d 2 ) (a 1,b 1 ) (c 1,d 1 ) (a 2,b 2 ) (c 2,d 2 ) Övning: Kontrollera att detta stämmer! Jag gör det för : Å ena sidan: ½ (a1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (c 1,d 1 ) (c 2,d 2 ) ½ a1 + b 2 = b 1 + a 2 c 1 + d 2 = d 1 + c 2 Å andra sidan: (a 1,b 1 ) (c 1,d 1 ) (a 2,b 2 ) (c 2,d 2 ) (enl. definition) (a 1 + c 1,b 1 + d 1 ) (a 2 + c 2,b 2 + d 2 ) (enl. definition) a 1 + c 1 + b 2 + d 2 = b 1 + d 1 + a 2 + c 2 Adderar vi de två ekvationerna i vänstra halvan, så fås just den sista ekvationen i högerhalvan. 40
Detta betyder att operationerna kan betraktas som operationer på ekvivalensklasserna! Om vi låter m och n beteckna två ekvivalensklasser, så kan vi nämligen definiera m n och m n så här: Välj ut något par (a, b) i ekvivalensklassen m och något par (c, d) i ekvivalensklassen n, tillämpa resp. på dem och se i vilken ekvivalensklass resultatet hamnar denna ekvivalensklass betecknar vi med m n alt. m n. Fungerar just därför det inte spelar någon roll vilka klassrepresentaner vi väljer. Vidare kan man kontrollera att och har samma egenskaper som + och,t.ex. (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) Ekvivalensklasserna till par av typen (a, 0) kan vi identifiera med de naturliga talen, och för dem stämmer och överens med + resp. : (a, 0) (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) (c, 0) = (ac, 0) Säg nu att vi har a,b N, med a<b.det finns inget x N sådant att b + x = a, men (b, 0) (0,b a) =(b, b a) (a, 0), så i vår utvidgning av N är ekvationen b + x = a lösbar. Ekvivalensklassen till (0,b a) är det vi vanligen betecknar (b a) eller a b. I den här utvidgningen måste ( 1) ( 1) = 1, eftersom (0, 1) (0, 1) = (1, 0) Vad var det, egentligen, som tvingade på oss definitionen av ovan? Den distributiva lagen! Att 2 (3 + 5) = 2 3+2 5, etc. är något som har konkret motsvarighet i sinnevärlden. (Ställ upp två rader med 3+5stenar i varje och räkna upp stenarna i olika ordning...) Distributiva lagen vill vi gärna behålla i en ev. utvidgning, därav (a b)(c d) =(ac + bd) (ad + bc). Rationella tal som ekvivalensklasser av par av heltal Har du tänkt på att det är en viss skillnad mellan och 2 bråk i betydelsen bildningar av typen 3, 9 5, 12 6,... rationella tal? Bråken 1 2, 2 4, 3 6, 4 8, etc. ser ju onekligen olika ut, men de står för ett och samma tal! Begreppen ekvivalensrelation och ekvivalensklasser erbjuder en väg att formalisera (ord som används ilogiskt invändningsfritt uttrycka) denna skillnad. Om vi bortser från tankarna på division, så är ett bråk ingenting annat än ett ordnat par av heltal, där det ena heltalet skall vara 6= 0. Betrakta därför den kartesiska produkten Z ZÂ {0}. På denna definierar vi en relation på följande sätt (a, b) (c, d) omm ad = bc (Varför just så här? Naturligtvis därför att våra tidigare resonemang som med tårtbitar t.ex. har lett oss till att a b = d c = ad = bc.) Övning: Visa att är en ekvivalensrelation. På samma sätt som vid konstruktionen av de negativa heltalen ur de positiva kan man nu identifiera ekvalensklasserna till par av typ (a, 1) med heltalen, samt på ekvivalensklasserna definiera operationer och, som överensstämmer med de + och på heltalen och så att en ekvation av typen (c, d) (x, y) =(a, b), c 6= 0, alltid är lösbar 41
Reella tal som ekvivalensklasser av följder av rationella tal (OBS. För att förstå det här skall man ha läst Analys på högskolenivå, så spara till senare tillfälle!) Irrationella tal som π och 2 (som inte kan skrivas som ett heltalsbråk) kan vi representera med oändliga följder av rationella tal: 3 3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159 3.141592... 1 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213... Anm.1: Skriver decimalpunkt i stället för decimalkomma (i likhet med amerikaner och datorer). Anm.2.: 3.14 = 314 100, så det är klart att talen ovan är rationella. Obs.3: Det får inte vara vilka följder som helst, naturligtvis. En följd som 1 1 2 2 3 3 4 4 5... kan vi svårligen tänka oss representera något särskilt tal. Det skall vara sådana talföljder där talen ligger alltmer nära samlade ju längre in i följden man tittar, s.k. Cauchyföljder. (Cauchy var en fransk matematiker, 1789-1857). Obs.4: Det går lika bra med andra följder, för π t.ex. 4 3.2 3.15 3.142 3.1416 3.14160 3.141593... Viinfördärförenrelation på mängden av alla Cauchyföljder så här: (x 1,x 2,x 3,...) (y 1,y 2,y 3,...) omm x n y n 0 när n (Med ord: (ungefär) om avståndet mellan motsvarande tal i de två följderna blir mindre och mindre ju längre in i följderna vi tittar.) Denna relation visas vara en ekvivalensrelation och vi kan säga att de reella talen är ekvivalensklasserna. De rationella talen är en delmängd utav talet 1 t.ex. kan representeras av 1 1 1 1 1 1... eller 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999... Naturliga tal som ekvivalensklasser av mängder Ovan har jag försökt skissa hur hela utvidgningen från naturliga tal till reella tal kan ske med begreppet ekvivalensrelation. Men även de vanliga positiva heltalen kan egentligen sägas vara ekvivalensklasser! Ett tal som 3 kanjusägasvaradetsomärgemensamtförenvissfamiljavmängder demängderna som har 3 element, det kan vara 3 äpplen, 3 päron, 3 stenar, o.s.v. Fast nu har jag ett cirkelresonemang jag förklarar vad 3 är med hänvisning till just talet 3. För att komma runt bekymret, tänk på följande primitiva sätt att jämföra mängders storlek: När herden släpper sin hjord ur hagen lägger han, i en hög, en sten för varje djur. När djuren skall tillbaka in i hagen, tar han bort en sten ur högen för varje djur. Om det blir stenar över, så betyder det att något djur fattas. Herden räknar genom att para ihop mängder. På mängden av alla ändliga mängder definierar vi en relation via föreskriften A B omm elementen i A kan paras ihop, ett och ett, med elementen i B d.v.s. omm det finns en bijektion (se sid.47) mellan A och B. Denna relation visas vara en ekvivalensrelation. Ekvivalensklasserna svarar precis mot de naturliga talen! 42
Funktioner Närdustöterpåordetfunktion,tänkerdunogi första hand på ett uttryck i en variabel, vanligen betecknad med x : f (x) =x 2, f (x) = 1 x, f (x) =e 2x sin x,... I så fall är du i gott sällskap så gjorde även alla professionella matematiker ända fram till 1800-talet! Men då fick man anledning att tänka om! Bl.a. av följande upptäckt: Sinusfunktionens graf ser ut, som bekant, så här: 1 0.5-6 -4-2 0 2 4 6 t -0.5 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 0 2 4 6 t -0.2-0.4-0.6-0.8 y =sinx + 1 3 sin 3x + 1 5 sin 5x + 1 7 sin 7x 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 0 2 4 6 t -0.2-0.4-0.6-0.8-1 y =sinx Hurtrorduattgrafenavensummaavolika sinusfunktioner kan se ut? Titta på följande bildsekvens: 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 0-0.2 2 4 t 6-0.4-0.6-0.8 y =sinx + 1 3 sin 3x 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 0 2 4 6 t -0.2-0.4-0.6-0.8 y =sinx + 1 3 sin 3x +... + 99 1 sin 99x Man kan visa att ju fler termer som adderas, enligt mönstret ovan, desto mer kommer grafen att likna en kurva där y = π/4, när 0 <x<π 0, när x =0 π/4, när π <x<0 och som upprepar sig periodiskt, med perioden 2π (fast det är ju väntat, för alla ingående termer är periodiska med perioden 2π). Att två till synes så olika uttryck som sin x + 1 3 sin 3x + 1 5 sin 5x + 1 7 sin 7x +... och π 4 kunde ge samma värden på ett helt intervall bidrog till att släppa fixeringen vid uttryckens utseende. Naturligtvis har ovanstående egendomlighet att göra med att vi tillåter oss en oändlig summa vi tittar närmare på hur den skall tolkas i Analysen men sådana hade man faktiskt räknat framgångsrikt med under hela 1700-talet och vant sig vid! y =sinx + 1 3 sin 3x + 1 5 sin 5x 43
Definition, version 1: Funktion kallar vi en regel som till varje x-värde ger exakt ett y-värde. Regeln kan förmedlas med hjälp av: Ord Värdetabell Graf Formel (uttryck) f (x) = antalet olika sätt att ställa x st. pers. ienkö x y 1 2 2 11 3 29 4 2999 6 4 2-3 -2-1 0 1 x 2 3-2 En kurva i xy-planet, som av varje vertikal linje skärs i högst en punkt. -4-6 y = x 2 +1 f (4) = 24 f (4) = 2999 f (1) = 2 f ( 2) = 5 Obs. alltså: formler/uttryck är endast ett (om än det viktigaste) av flera sätt att ange en funktion! I ovanstående text (väsentligen hämtad från en gymnasiebok) verkar det underförstått att x och y skall vara tal. Det finns emellertid många situationer där man har att göra med regler som till varje x ger exakt ett y fast x och/eller y kan vara annat än vanliga tal. Därför har man generaliserat definitionen ovan till version 2: Funktion från mängden A till mängden B kallar vi en regel som till varje x A ger exakt ett y B. Fast ordet regel är kanske litet missvisande. Inom naturvetenskaperna brukar man t.ex. säga Temperaturen (på en viss plats) är en funktion av tiden. Hur kan ett ord som regel förekomma tillsammans med något så oförutsägbart som vädret?! Det som motiverar bruket av funktion här är att det till varje tidpunkt svarar/hör exakt ett temperaturvärde. Av samma anledning kan man säga att Fordonetslägeärenfunktionavtiden,ty 1) vid varje tidpunkt befinner det sig någonstans 2) det kan inte befinna mig på två ställen samtidigt Så leds vi till mera neutrala formuleringar: version 3 Om det till varje x A svarar ett entydigt bestämt y B, så sägs det föreligga en funktion från mängden A till mängden B. Om man tänker efter, så skulle vi kunna byta ut regel mot relation : version 4: Funktion från mängden A till mängden B kallar vi en relation f från A till B med egenskapen: För varje x A finns ett och endast ett y B sådant att xfy (Det vi vanligen skriver y = f (x).) Alltså: en funktion från A till B är en speciell typ av delmängd av den kartesiska produkten A B. Just så brukar man sällan tänka, men det är också ett sätt att formulera sig! En inre bild av funktionsbegreppet som kan vara lämplig att ha i huvudet: En funktion kan liknas vid en slags maskin ( funktionsmaskin ), en apparat i vars ena ände man kan stoppa in ett x, som bearbetas inuti (exakt hur behöver vi inte veta, så maskinen kan vi betrakta som en svart låda ), ochutfrånandraändenkommersedanetty. 44
Beteckningar och terminologi bilden av x är ett namn på f (x) avbildning, transformation, operator är andra ord som används för vissa typer av funktioner (Kärt barn har många namn!) f : A B skriver man, när det föreligger en funktion f från mängden A till mängden B N 3 x 7 g (x) =x 2 N voreettsättattfåinsåvälmängdernaa och B (här inskränker vi oss alltså till naturliga tal), funktionens namn (här: g), samt en formel för funktionen Funktionens definitionsmängd, D f är mängden av alla x som man får stoppa i funktionsmaskinen, d.v.s. D f = A idefinitionerna ovan; se dock om V f nedan! När man har formler, markeras ofta definitionsmängden efter formeln så här: f (x) =x 2, x 0 (betyder att D f = {alla icke-negativa reella tal}) Funktionens värdemängd (bildmängd), V f är mängden av alla bilder V f = {f (x) :x A} Obs! V f 6= B i allmänhet. När man t.ex. skriver f : A B, menar man bara att f antar värden ur mängden B, men garanterar inte att alla y i B verkligen antas. Anledningen är att det oftast är svårt att avgöra vilka värden som antas och vilka inte, t.ex. y = f (x) = 1 x3 x 2 1 : här är det klart att varje reellt x, utom ±1 ger ett reellt f (x), men kan alla reella tal förekomma som y? Definitionsmängden, däremot, är oftast klar från början, inte minst då funktionen kommer från något fysikaliskt problem: x kanske står för någon längd som kan variera mellan 0 och 1 längdenheter. Men man kan faktiskt tänka sig att undersöka en formel som f (x) = 1 x3 och då skriva f : R R x 6 +7x+1 (för att framhäva t.ex. att man inte intresserar sig för komplexa tal), fast egentligen är det tänkbart att nämnaren blir 0 för vissa reella x och i själva verket är då D f endast en delmängd av R. restriktionen av en funktion f (x) =x 2, x R g (x) =x 2, x 0 är faktiskt två olika funktioner! Vi säger att g är restiktionen av f till mängden x 0 Exempel på funktioner mellan andra mängder än talmängder Geometriska avbildningar: translation, rotation, spegling : Translation (=parallellförflyttning) av punkterna i ett plan / tredimensionella rummet. Rotation kring en fix punkt/fix axel / av punkterna i ett plan / rummet. Spegling i en rät linje / plan / av punkterna i ett plan / rummet. Alla dessa är exempel på funktioner med A = B = mängden av punkter i ett plan / rummet. (Genom att införa ett koordinatsystem kan vi emellertid låta punkterna svara mot par / triplar / av tal och reducera oss till funktioner mellan talmängder.) Logiska utsagor, särskilt de öppna kan betraktas som funktioner med B = { sant, falskt }. (Vi kan låta sant och falskt symboliseras av talen 1 resp. 0, men i grunden är B inte någon talmängd!) (Predikat är en term för funktioner som antar värdena sant eller falskt.) Derivation kan betraktas som verkan av en funktion (derivationsoperatorn, brukar man säga), som tar in en vanlig R R-funktion och spottar ut en annan R R-funktion: {alla deriverbara funktioner} 3f 7 f 0 {alla funktioner} 45
Sammansättning av funktioner g f ( g efter f ) Anta att vi har två funktioner, sådana att den enas värdemängd är innehållen i den andras definitionsmängd. Då kan vi sätta ihop dem till en funktion från den förstas definitionsmängd till den andras värdemängd. (Om man tänker på funktioner som maskiner, så handlar det om att seriekoppla dem, så att det som kommer ut från den första stoppas in i den andra.) Givet f : A B g : B C, kan vi bilda h : A C genom föreskriften h (x) =g (f (x)) h betecknas g f uttalas g efter f Injektiv funktion. Invers funktion För funktioner i allmänhet gäller att olika x kan ge samma y : R 3 x 7 x 2, {alla svenska medborgare} 3x 7 x:s födelsedatum En intressant klass av funktioner utgörs av de, för vilka detta inte inträffar: de positiva reella talen R + 3 x 7 x 2, {alla svenska medborgare} 3x 7 x:s personnummer injektiv (omvändbar) kallas en funktion f, för vilken gäller x 1 6= x 2 = f (x 1 ) 6= f (x 2 ), för alla x 1,x 2 D f ett ekvivalent sätt att uttrycka detta är : ekvationen f (x) = y har precis en lösning x D f för varje givet y V f inversen (inversa funktionen) till f Att till varje y V f svarar exakt ett x D f betyderattdetföreliggerenfunktionfrånv f till D f : funktionen som till varje y V f tillordnar det x för vilket f (x) =y Den farliga beteckningen förinversentillf är f 1 Mycket missvisande, därför att minusettan här INTE får tolkas som en exponent! T.ex. R + 3 x 7 f (x) =x 2 har inversen R + 3 y 7 f 1 (y) = y och y ger ju inte alls samma funktion som 1! y 2 Särskilt uppmärksam får man vara inom trigonometrin: t.ex. är cos 2 x, sin 4 x, tan 2 x, per definition, samma sak som (cos x) 2, (sin x) 4, (tan x) 2 MEN: cos 1 x står för den vinkel θ i intervallet [0, π] för vilken cos θ = x sin 1 x π 2, π 2 sin θ = x tan 1 x π 2, π 2 tan θ = x d.v.s. cos 1, sin 1 och tan 1 är inverser till restriktioner av cos, sin resp. tan. (Mer om detta i Analysen.) 46
Nu är denna beteckning en tradition som vi får dras med. En förklaring till varför det blivit så här kan vara att inversen har att göra med inverterat värde i det viktiga specialfallet då f är en proportionalitet: y = kx då k6=0 x = 1 k y = k 1 x Inversen till f (x) =kx ges alltså av f 1 (y) =k 1 y Inversen kan sägas definieras av följande likheter: D f 1 = V f V f 1 = D f, y = f (x) x = f 1 (y), f 1 (f (x)) = x, för alla x D f f f 1 (y) = y, för alla y V f Bijektiva funktioner (bijektioner) injektiv funktion se ovan! surjektiv funktion kallas en funktion f : A B då V f = B. (Fast detta är ett relativt begrepp i den meningen att det beror på vilket B man angivit: Prinicpiellt är det alltid möjligt att ange B så att funktionen räknas som surjektiv!) bijektiv funktion från A till B (bijektion mellan A och B) kallas en funktion f : A B som är både injektiv och surjektiv. Med andra ord: f parar ihop elementen i A med elementen i B. (f är en-entydig, f är en 1-1-korrespondens, etc. säger man också ibland.) Varje injektiv funktion är en bijektion mellan D f och V f. Hurjämförmanoändligamängder? Redan Galilei lade märke till följande lilla paradox : Vilken mängd är störst {1, 2, 3, 4,...} eller {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...}? Den första säger du kanske kvadrattalen är ju endast en liten delmängd av alla positiva heltal. Men stopp! Här har vi ett specialfall ena mängden delmängd av den andra som vi inte kan räkna med normalt. Hur gör vi annars, om vi har två helt olika mängder? Vi gör väl som herden på sid. 42: Vi försöker para ihop elementen i ena mängden med var sitt element i den andra mängden. Så tittar vi efter från vilken mängd det blir element över den mängden räknar vi som störst. Men försöker vi göra så här, upptäcker vi att det går alldeles utmärkt att para ihop elementen i våra två mängder, så att inga element blir över: 1 2 3 4 5 6 7 8 9... 1 4 9 16 25 36 49 64 81... De positiva heltalen är inte fler än sin lilla delmängd med det här synsättet! (Och någon bättre generell jämförelsemetod har man inte kommit på.) Den polske science-fiction författaren Stanislaw Lem (tror jag jag har sett detta återberättat av Naum Vilenkin i Stories about Sets, Academic Press, 1968) har lyckats presentera det här något överraskande förhållandet på ett roligare sätt: 47
Det interstellära hotellet (Hilberts hotell) De interstellära flyktingarna tröttnade på att behöva flytta mellan olika galaxer och byggde upp ett stort hotell. (Byggmaterialet fick de genom att plocka ner ett par obebodda galaxer.) Hotellet hade många finesser: varmt och kallt plasma i badrummen, man kunde bli sönderdelad i atomer under natten - portvakten satte ihop en igen på morgonen, men det viktigaste av allt: hotellet hade oändligt många rum! Så en flykting skulle aldrig behöva bli avvisad igen! Ändå: En dag var zoologer från alla galaxer samlade till en kongress. De var oändligt många och alla rummen 1,2,3,... var redan upptagna, när en ny gäst anlände. Var placera honom? (Det är inte alltid så lätt att dela rum - tänk att behöva göra det med någon som kräver en rumsstemperatur på 860!) Lösning: Rum 1:s gäst flyttade till rum 2, rum 2:s gäst till rum 3, etc. Då var det fritt fram för den nye gästen att installera sig i rum 1! Nästa dag kom det inte bara en utan hela 999 999 nya gäster - vad göra med dem? Inga problem! (Du kan nog lista ut själv hur man gjorde.) Den tredje dagen anlände deltagarna till Universums tuggummimässa. De var inte bara många de var oändligt många! Hur få plats med dem? Gammal gäst från rum k flyttade till rum 2k. Så kunde de nya gästerna besätta rum 1, 3, 5, 7,... Den fjärde dagen avslutades zoologkongressen och zoologerna åkte hem. Hotelldirektören började oroa sig: Hälften av rummen stod tomma. Hur skulle det sluta? Hur skulle man undvika konkurs? Det fanns en enkel lösning även på det problemet, som du nog själv inser. Det verkligt stora bekymret kom något senare: Flyktingarna hade inte nöjt sig med ett oändligt hotell de hade byggt oändligt många sådana! Till ändamålet hade de demonterat så många galaxer att jämvikten i Universum hotade att rubbas, så de blev tillsagda att stänga alla hotell utom ett och lägga byggmaterialet tillbaka på sin gamla plats. Så nu skulle vår hotelldirektör hitta plats för oändligt många gäster från vart och ett av oändligt många hotell, samtidigt som hans eget hotell redan var fyllt! Alla anställda på hotellet slutade jobba för att fundera hur man skulle bära sig åt. Förslag 1: Låt rum 1:s gäst ligga kvar, flytta nr.2 till 1001, nr.3 till 2001, etc. Inkvartera gästerna från hotell 2 i rum 2, 1002, 2002, etc., från hotell 3 i 3, 1003, 2003, etc. Går inte! Förslag 2: Första hotellets gäster i rum 2, 4, 8, 16, 32,etc. Andra hotellets gäster i 3, 9, 27, 81,etc. Men det tredje hotellets gäster rum 4 är redan upptaget?! Använd primtal: tredje hotellets gäster till 5, 25, 125,... ; fjärde - till 7, 49, 343,...; etc. En lösning visserligen, men en temporär sådan alltför många rum förblir tomma! Förslag 3: Placera gäst m från hotell n i rum 2 m 3 n. Fortfarande många outnyttjade rum!... Har du ett mera ekonomiskt förslag? 48
Insändningsuppgifter, omgång 2: Talteori. Relationer och funktioner Sikta på att bli klar med dem till måndag den 25 september 1. a)hurbevisar du att 59 är ett primtal? b) Hur bevisar du att 49 inte är ett primtal? (Byt ut bevisar mot övertygar en mycket skeptisk person, om du vill. Hänvisning till tabell duger inte för denne!) 2. Ange alla par av heltal (x, y) sådana att a) 350x 147y =7 b) 350x 147y =35 c) 350x 147y =2 3. Försök ange alla tripplar av tal (x, y, z) sådana att 231x +273y + 1001z =98. Om det verkar för svårt, kan du nöja dig med någon eller några tripplar, inte nödvändigtvis alla. Minst två tillvägagångssätt är tänkbara: (a) Generalisera Eulers metod från min sid.32 på lämpligt sätt. (b) Bestäm SGD av två av koefficienterna, säg a = SGD(231, 273) Till varje par av heltal (x, y) finns ett heltal u sådant att 231x + 273y = au. (Förklara varför!) Bestäm lösningarna (u, z) till au + 1001z =98 För varje u bestäm lösningarna (x, y) till 231x +273y = au. 4. En heltalstrippel (a, b, c), för vilken a 2 + b 2 = c 2, kallar man pythagoreisk. Exempel: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). Detgårattinseattiingen pythagoreisk taltrippel kan både a och b vara udda heltal. Hur? 5. Visa att för alla heltal a, b, c, d gäller: (a c) (ab + cd) = (a c) (ad + bc) Tips: En omskrivning, som finns på sid.40, hjälper. 6. Visa att ett heltal är delbart med 9 om och endast om dess siffersumma (när den skrivs i 10-systemet) är jämnt delbar med 9. Ledning: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1,... 7. Vi skriver tal i ett s.k. positionssystem med basen 10. Vretblad och Thorbiörnson visar att vilket som helst heltal 2 kan fungera som bas. Men kan man inte ha ett negativt tal som bas? Alltså, med att skriva tal i basen 2, t.ex., menar jag att man använder siffrorna 0 och 1, precis som ibasen2, men att man i stället för potenser av 2, harpotenserav 2 som platsvärden på siffrorna. (a) Skriv heltalen 1 till 20 ibasen2 och tolka siffergrupperna sedan som tal i basen 2 enl. ovan. Vilka heltal får du fram då? (b) Försök att skriva alla heltal från 1 till 20 ibasen 2 (c) En allmän metod att få fram siffrorna, när ett sedvanligt skrivet tal skall skrivas i en bas B 6= 10, är att utföra successiva divisioner med B. (Såväl T som V tar upp den.) Fungerar denna metod även för B = 2? (d) Är framställningen i basen 2 entydig? ( Entydig framställning betyder att inget tal kan skrivas i basen 2 påmeränettsätt.) (e) Du har väl lagt märke till att inget minustecken behövs, när man skriver tal i basen 2? Hur skiljer man ut negativa från positiva tal? 49
8. Eulers φ-funktion definieras på följande sätt Z + 3 n 7 φ (n) = antalet heltal bland {1, 2, 3,..., n} som är relativt prima med n (φ uttalas fi och är grekiskans lilla f) (Leonhard Euler, 1707-1783, var en av de riktigt stora genierna. Schweiziska vetenskapsakademin satte år 1907 igång ett projekt att publicera hans samlade verk och det är inte färdigt än! Hittills har 75 band utkommit, 6 band jobbar man på med i dagsläget och ytterligare 3 st. räknar man med att ge ut så småningom, enl. http://www.leonhard-euler.ch/ Faktum är att Eulers produktivitet ökade efter det att han förlorat synen nästan fullständigt 1765!) (a) Vad är φ (p) då p är ett primtal? (b) Försök hitta en formel för φ p k, då p är ett primtal och k ett heltal 2. (c) Visa att SGD (m, n) =1= φ (mn) =φ (m) φ (n) (d) Räkna ut φ (999 999) Hjälp: 111 111 = 3 37 037 = 3 37 1001 = 3 37 7 143 =... 9. Avgör (som alltid: motivera ditt svar!) om följande utsagor definierar relationer som är reflexiva / symmetriska / transitiva / ekvivalensrelationer : (a) x och y är platser i Sverige och avståndet mellan dem är mindre än 10 km (b) x och y är positiva heltal sådana att x/y också är ett heltal 10. Definiera en ekvivalensrelation på mängden av alla nu levande människor så att ekvivalensklasserna blir: {alla människor födda år 2000}, {människor födda 1999}, {människor födda 1998}, etc. 11. Anta att du har två ändliga mängder, M och N, med m resp. n st. element, samt att m>n. Hur många injektiva funktioner från M till N finns det? 12. Låt f (x) =1 x. Bestäm (d.v.s. ge formler för) f f, f f f och allmänt f f... f {z } n st. 13. Bestäm inverserna till följande funktioner, d.v.s. ange formel samt definitionsmängd för inversen. Värdemängd bör det vara lätt för dig att ange också. a) f (x) =x 2 + x, x 0 b) f (x) = p 1+ 1 x, x 1 Att funktionerna är injektiva (och invers därför existerar) skulle man kunna inse även utan räkning. Kan du det? 14. Anta att f : A B och g : B C är bijektiva funktioner. Är detsantatt (a) (g f) 1 = g 1 f 1? (b) (g f) 1 = f 1 g 1? För båda fallen, ge också ett konkret exempel som illustrerar att man har likhet/olikhet. 50