Hösten, 2012
Medicinsk teknik Vad omfattar M.T. Samverkan mellan människa och maskin! Vilka maskiner och verktyg finns det inom medicinsk teknik? Hur fungerar dem? Hur uppfinner man dem? Vilka vetenskap som ligger bakom dessa uppfinningar? Vilka teoretiska kunskaper behöver man, och varför?
Medicinsk teknik Exempel på användningsområden Protes Röntgenundersökning Datortomografi Magnetisk resonanstomografi Ultraljud Elektrokardiogram Pacemaker Respirator Hjärt-lungmaskin
Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning
Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning Wilhelm Conrad Röntgen (1845 1923)
Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning: Tillämpningsområden Röntgenastronomi Röntgenkristallografi (studie av metallers kristallstruktur) Röntgenspektroskopi (materia: grundämnen/föreningar) Betastrålning (behandling av cancerformer) Gammastrålning (datortomografi, dödar bakterier)
Elektromagnetisk strålning CT scanner Computerized tomography scanner (CT scanner)
Elektromagnetisk strålning CT scanner: Hur fungerar det? Röntgenstrålar genom kroppen från flera olika vinklar. Detektorer registrerar strålarnas intensitet. Uppgifterna sänds vidare för bildbehandling (filtrerad återprojektion). Dessa mätdata används för att återskapa en tvådimensionell tvärsnittsbild av objektet. Många tvådimensionella bilder kan i sin tur sammanfogas i datorn till tredimensionella bilder.
Elektromagnetisk strålning CT scanner Människohjärtat. Verkliga datorbilden Kan dock roteras.
Tomography Teorin bakom tekniken En två dimensionell kropp ges av en täthetsfunktion (tänk på färger) En okänd funktion i planet: f (x, y) Strålningens intensitet mäts med värden i olika riktningar (längs linjer): En känd funktion av linjer: R(L) = L f (x, y)dσ Kan vi bestäma f (x, y)?
Tomography Teorin bakom tekniken Matematisk verktyg: Filtrerad Återprojektion, Radon Transform. I praktiken använder man R(L) = log(i in /I ut ) som värdet på linjeintegralen. (VARFöR?)
Tomography Teorin bakom tekniken I allmänhet för en homogen kropp I ut = I in e ρd där d är kroppens tjocklek i stålensrikning, och ρ är attenuation (absorbering) koefficient För en icke homogenkropp med täthet d 1, d 2 får man etc...(där av integrale!) I ut = I in e ρ 1d 1 ρ 2 d 2
Fler matematiska verktyg För att kunna bestämma f behöver vi en så-kallade Fourier Transform (1 eller 2-dimensioner): F(f )(ξ) = f (x)e ix ξ dx där integrationen sker över hela R eller R 2. Låt oss gå tillbaka till Radon Transformen R(L) = L f (x, y)dσ och obsrevera att L = L(ν, t) beror på riktning ν och position t genom L = {(x, y) : (x, y) ν = t}. Därför kan vi skriva R(f )(t, ν) = R(L) = f (x, y)dσ L
Koppling mellan F, och R transform Sats: Det kan visas att F(R(f )(s, ν)) = F(f )(sν). Konsekvens: R(f ) = R(g) = f = g. Frågan att bestämma f kvarstår!
Att bestämma f
Fourier Transform Given en funktion g hur kan vi bestämma F(g)? Existerar F-transformen alltid?
Fourier Transform Exempel: Låt g = 1. För ξ 0 F(g)(ξ) = För ξ = 0 får vi då F(g)(0) = dvs, e ixξ dx = Kan visas = 0 e ix0 dx = F(g)(ξ) = δ 0 (ξ) dx =. Diracs Delta funktion! (Vad är Diracs Delta funktion? )
Distributioner! Generaliserade funktioner (Distributioner) är funktioner som tillkommer som gränsfall av sekvens av vanliga funktioner. Exempel: Låt f n (x) = n 2 ( 1 n x ) +. Vi kan beräkna integralen f n (x)dx = 1 för alla n. Å andra sidan lim n f n (x) = 0 för alla x 0, och f n (0) = n. Existerar lim n f n? Svar: JA! Denna gräns funktion kallas Dirac s Delta dunktion.
Distributioner! Funktioner som byggs upp på detta sätt kallas Distributioner. Men någon måtta får det ändå vara. Så: Hur konkrett ska vi definiera begreppet distribution? Exempel: f n (x) = exp(f n 1 (x)), med f 0 (x) = exp(x). Blir då våra gamla funktioner också distributioner?
Distributioner! Observera att distributioner är INTE punktvis definierade. Därför använder man integraler för att definiera de. Så en dsitribution f bestämms genom sin verkan på snälla funktioner φ genom f (φ) = f (x)φ(x)dx. Exempelvis för Dirac funktionen δ a (φ) = lim f n (x)φ(x)dx = φ(a). n Här har vi valt f n som den sekvensen ovan n 2 ( 1 n x ) +. Visa detta!
Derivata av Distributioner! Kan vi derivera distributioner? Om ja, vad får vi då? För Dirac funktionen kan man visa δ a(φ) =... = φ (a). Se kursboken för ytterligare detaljer...
SLUT