Problem att fundera över



Relevanta dokument
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid

75059 Stort sorteringsset

INDUKTION OCH DEDUKTION

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Upprättelsen. Vad är ert ärende? frågade plötsligt en tjock man med oklanderligt välkammade polisonger.

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Barns och ungdomars åsikter om barnoch ungdomsmottagningen

Självkänsla. Här beskriver jag skillnaden på några begrepp som ofta blandas ihop.

Diskret matematik: Övningstentamen 4

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.

Tre misstag som äter upp din tid och hur du enkelt gör någonting åt dem. Innehåll. Misstag #1: Önskelistan Misstag #2: Parkinsons lag...

8-4 Ekvationer. Namn:..

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Olika talesätt, liknelser och uttryck

Barns brukarmedverkan i den sociala barnavården - de professionellas roll för barns delaktighet

Liten introduktion till akademiskt arbete

valmanifest för allas rätt till valfrihet, trygghet, rättvisa och inflytande

Pedagogiskt material till föreställningen

Övning: Dilemmafrågor

Handbok för LEDARSAMTAL

Global nedvärdering av sig själv, andra och livet.

Utdrag ur protokoll vid sammanträde

Hjälps åt att skriva några rader om senaste scoutmötet i avdelningens loggbok.

Inför föreställningen

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.

Viggo, du ljuger! Lärarmaterial

Medelvärde och Median

Barnfattigdom. Arbetsplan för en studiecirkel

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

Problem Svar

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

Tunadalskyrkan Jag har en dröm. Amos 9:11-15

Elfte söndagen efter trefaldighet, Luk 18:9-14, Tro och liv

Brott, straff och normer 3

Jobb för unga Ung i konflikt med arbetsgivaren Om den unge på arbetsmarknaden. Projekt MUF Mångfald Utveckling Framtid.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

ett projekt om barns och ungas rättigheter En första utvärdering - vad säger eleverna och lärarna?

Trycket beror på ytan

Några övningar att göra

Sjä lvskättningsformulä r

Finns det "besvärliga människor"?

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

LUFFARSCHACKETS GRUNDER

Jag kallade en gång, under den turbulenta hösten 2008, mina närmaste chefers ledarstil för medeltida.

ESBO SVENSKA BILDNINGSTJÄNSTER. Gruppo! Samspelslekar för daghemsbarn i mobbningsförebyggande syfte. Linnea Uggeldahl

Case: Kundservice. Vad är det som idag kan kallas service? Madeleine Lindqvist

Månadens Sanomaövning maj

Första jobbet. Ett starkt Sverige bygger vi tillsammans. Vi pluggar, vi jobbar och vi anstränger oss. Men någonting är på väg att gå riktigt fel.

Kasta ut nätet på högra sidan

Avundsjuka och Besvikelse. Besvikelse Jag kanske blandar ihop besvikelse med sorg ibland, men jag tror att båda har en närhet av varandra i våra liv.

Enkät Plantskolan Hammarby IF FF vinter 2015/ Har din son deltagit som? 2. I vilken åldersgrupp har din son deltagit?

STUDIETEKNIK. Till eleven

Bonusmaterial Hej Kompis!

Sammanfattning av synpunkter på AFA Försäkrings projekt: Satsa friskt på arbetsmiljön i såg- och trävaruindustrin

Talstyrd aktivitetsregistrering/ hänvisning vid frånvaro Användarmanual

K3 Om andra ordningens predikatlogik

Generell Analys. 3. Det är viktigt att du väljer ett svar i vart och ett av de åttio blocken.

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Utanförskap! Innehåll

MÄSSHANDBOK ENTREPRENÖRSKAP PÅ RIKTIGT 2016 KRONOBERG

Kvalitetsrapport nr 2 Lärare

Bedöma elevers förmågor i muntlig uppgift

MASKERADKOSTYMER DJUNGEL

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Världskrigen. Talmanus

Patientenkät uppföljning 6 månader efter ECT

Räkna med Rutiga Familjen

Jag går till jobbet nu. Hon försvann igen, ville inte vakna. Där inne var smärtan mjuk. Där inne i sömnens dimma var han kvar

Hur kommer man igång?

Lev inte under Lagen!

Lättläst beskrivning av handlingen

Karlsängskolan - Filminstitutet

Kan man veta om Bibeln är sann? Eller HUR kan man veta om Bibeln är sann?

Rapport om läget i Stockholms skolor

Skulle Du vara intresserad av vårdnadsbidrag om det införs på Gotland?

Polischef: Vi avbryter om säkerheten brister

Teambuilding Innehåll: Det finns tre olika typer av teambuildingövningar:

Vad gäller för gatan där blomlådorna placeras?

ANDREAS REJBRAND Matematik Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april /29

12 roliga rastlekar. från skolor i Halland

Recept för rörelse. TEXT Johan Pihlblad. Lena Kallings är medicine doktor och landets främsta expert på fysisk aktivitet på recept.

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

1. Bekräftelsebehov eller självacceptans

STÄNG AV FÖNSTER. Regler FLAGGSPECTRUM I FLAGGSPECTRUM II FLAGGSPECTRUM III FLAGGSPECTRUM STJÄRNSPEL

Förberedelser: Sätt upp konerna i stigande ordningsföljd (första inlärningen) eller i blandad ordningsföljd (för de elever som kommit längre).

Hej. Niklas heter jag, och detta är min oberoendeförklaring från Scientologikyrkan.

Varför är jag domare. Roller och förväntningar

Viktigt att tänka på i en intervju och de vanligaste fallgroparna. som intervjuar. Ett kostnadsfritt whitepaper utgivet av Level Recruitment

Paper från lärgruppen i matematik. S:t Olofsskolan vt 13

q Smedgesäl en i Norge a

behöver inte begränsa er till en bestämd fråga i det hänseendet. Detta är ett organiskt system: ni kan börja med vad som helst. Börja var ni vill,

AYYN. Några dagar tidigare

Medias inflytande. Hur påverkas samhället av media, och hur påverkar media samhället?

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Tidsbunden del

Visionen om att lära eleverna engelska under mattelektionen hur fungerar den i verkligheten?

Transkript:

Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov på frågeställningar, som i högsta grad är matematik, även om du kanske aldrig sysslat med något liknande i skolan, få dig att känna behov och glädje av att söka allmängiltiga samband och allmängiltiga resonemang 1. Fullfölj följande uträkningar: 1 = 1 1+3 = 4 1+3+5 = 9 1+3+5+7 =... 1+3+5+7+9 =... 1+3+5+7+9+11 =... 4. Välj ett godtyckligt positivt tal a och addera dess inverterade värde: a + 1 a Är summan alltid 2? 5. Rita 3-4 olika trianglar. varje triangel dra så noga som möjligt de tre medianerna: en median är en sträcka som sammanbinder ett triangelhörn med motstående sidas mittpunkt. Något intressant att lägga märke till? Tror du att detsamma gäller för alla trianglar? 6. Och så helt apropå: Varför ( 1) ( 1) = 1? Skulle du, på grundval av resultaten ovan, vilja komma med en förmodan hur stor summan av de n första udda talen blir, där n kan beteckna vilket positivt heltal som helst? Kan du ge några starkare skäl, än uträkningarna ovan, för att din förmodan skulle vara riktig? 2. Betrakta följande sanna likheter: 1 3 = 1 = 1 2 1 3 +2 3 = 9 = (1+2) 2 1 3 +2 3 +3 3 = 36 = (1+2+3) 2 Kan det här vara en tillfällighet, eller är det specialfall av något generellt samband? Hur skulle det generella sambandet lyda, i så fall? Testa det i åtminstone två fall till. 3. Betrakta uttrycket n 2 n +41 Stoppa in n =1, 2, 3, 4,...,9 och jämför resultatet med primtalslistan på sid.??. Något intressant att lägga märke till? Tror du att detsamma gäller för alla heltal n? 8

Logisk tortyr en saga med övningsuppgifter (För mer underhållning av den här typen: köp någon bok av Raymond Smullyan.) Sultanen i Bengazien hade två favoritnöjen: kluriga logiska gåtor samt sadistiska lekar med de politiska motståndare han spärrat i fängelse. Så en dag bestämde han sig för att kombinera båda. Jag väljer ut en fånge, ställer honom framför två dörrar och tvingar honom välja dörr. Bakom någon av dörrarna har jag låtit en hungrig tiger vänta. Ovanför dörrarna har jag satt upp skyltar med litet upplysningar. Om fången kan resonera logiskt och tolkar informationen rätt så att han väljer rätt dörr, utan någon tiger bakom, får han gå fri, annars... Första dagen satte sultanen tre fångar på prov. Alla tre fick veta att det kunde finnasentigerbakomenavdörrarna, men det kunde också tänkas att det väntade tigrar bakom båda dörrarna, eller att det inte fanns någon tiger alls. 1. Och vad göra, om det väntar tigrar bakom båda dörrarna? undrade den första fången missmodigt. Då har du otur, får man väl säga... svarade sultanen. Ochomdetintefinns någon tiger alls, betyder det verkligen att jag blir fri? Jajamän! Men,omdetfinns tiger bakom en av dörrarna endast? Ja, då spelar det verkligen roll vilken dörr du väljer det förstår du väl?! Hur skulle jag då kunna veta vilken jag ska välja? Sultanen pekade då på skyltarna ovanför resp. dörr leder till friheten, bakom den andra dörren En av dessa dörrar leder till friheten, bakom en av dem och sade: En av skyltarna är sann, medan den andra är falsk. Men vilken som är vilken får du lista ut själv! Tänk om du var i fångens ställe! Vilken dörr väljer du? Det handlar om liv och död, så det gäller att övertyga sig om att ens val är riktigt! Hur resonerar du? 2. Den första fången klarade sig, hoppas du gjorde det också. Så arrangerade sultanen en ny valsituation. Den andra fången fick se följande skyltar: Minst en av dessa dörrar Bakom den andra dörren 9

Ska jag tro på skyltarna? undrade fången. De är antingen båda sanna eller båda falska. fick han veta av sultanen. Vilken dörr? 3. Även för den tredje fången gällde det att skyltarna är antingen båda sanna eller båda falska: Antingen finns en tiger bakom denna dörr eller så leder den andra dörren till friheten. Andra dagen Gårdagen var ju helt misslyckad, tänkte sultanen alla fångarna klarade sig. dag måste jag vara tuffare! Så han ställde fem fångar på prov och alla fem fick veta att de kunde räkna med följande: För den vänstra dörren, dörr, gäller: Om den leder till friheten, så är dess skylt sann, men om det döljer sig en tiger bakom, så är skylten falsk. För den högra dörren, dörr, är det tvärtom: fall den leder till friheten är skylten falsk, medan skulle det finnas en tiger bakom, så är skylten sann. Återigen är det möjligt att ingen, en eller båda dörrarna döljer en tiger. 4. Den fjärde fången fick se följande skyltar Vilken dörr bör han välja? 5. Den femte fången fick se Minst en av dörrarna 6. Den sjätte fångens skyltar var sultanen särskilt nöjd med: Det spelar ingen roll vilken dörr du väljer. 7. Och den sjunde fångens skyltar var han riktigt stolt över: Det spelar visst roll vilken dörr du väljer. Det vore bättre att välja den andra dörren. Klarar du av dem? 10

8. Den åttonde fången, som redan hunnit sätta sig in i lekens spelregler ryktesvägen, fick sig en liten överraskning. Menvarärskyltarna? Jag har inte hunnit sätta upp dem än de blev färdiga alldeles nyss men här är de svarade sultanen och drog fram följande två texter: döljer en tiger. döljer tigrar. OK, men vilka dörrar hör de ihop med? Sultanen tog en kort tankepaus och sken upp i ett leende: Det behöver jag faktiskt inte säga du bör kunna reda ut det ändå! Kom bara ihåg: tiger bakom vänstra dörren om och endast om vänstra dörrens skylt är falsk, tiger bakom högra dörren om och endast om dess skylt är sann. Hjälp den stackars fången med lösningen! Tredje dagen Fan också, tänkte sultanen, alla fångarna har lyckats hittills! Jag får skärpa mig. dag ska ja ha tre dörrar. Endast en av dem ska jag låta vara utan tiger, så får vi se... Sagt och gjort. Fångarna fick också veta att en dörr leder till friheten, medan de andra två döljer tigrar. 9. Den nionde fången fick se Bakom denna dörr Bakom dörr Sultanen förklarade också att högst en av skyltarna var sann. Vilken dörr leder till friheten? 10. Den tionde fången fick se Bakom dörr Bakom denna dörr Bakom dörr och blev upplyst om att skylten till frihetens dörr var sann, medan av övriga två var minst en falsk. 11

Fjärde dagen Fruktansvärt, suckade sultanen. Har inte kunnat överlista en enda av mina fångar än! Så i ett sista desperat försök ställde han den elfte fången inför valet mellan inte mindre än nio dörrar! Dessutom krånglade han till förutsättningarna: 11. Endast en av dörrarna skulle leda till frihet. Bakom övriga dörrar skulle det stå antingen en tiger eller en grym vakt med piska. Frihetens dörr skulle ha en sann skylt, tigrarnas dörrar falska, medan piskarnas dörrar kunde vara av vilken sort som helst. Härärskyltarna: Friheten väntar bakom en dörr med udda nummer. Här får du pisk. Skylt V är sann eller skylt V är falsk. V Skylt är falsk. V Skylt är sann eller skylt V är sann. V Skylt är falsk. V Dörr leder inte till friheten. V Här finns en tiger och bakom dörr X finns en piskare. X Här finns en tiger och skylt V är falsk. Den stackars fången funderade länge. Det går ju inte att avgöra vilken dörr som leder till friheten! utbrast han till slut. Ja, just det! skrattade sultanen rått. Fången hade lättare att hålla sig för skratt. Det här är inte rättvist alla de andra fick chansen. Kom igen nu, säg mig åtminstone: Finns det en piskare bakom dörr V eller inte? Sultanen lät sig bevekas och med hjälp av hans svar lyckades även den elfte fången bli fri. Vilken dörr ledde till friheten? 12