2011/2012 Profil: kreativ matematik på Grundskolan Metapontum
Inledning Att Grundskolan Metapontum hyser stora talanger på musikens område är välbekant för alla. Genom musikprofilen har flera begåvade elever bland annat deltagit i extern konsertverksamhet. Genom skolans matematikprofil, som startade höstterminen 2011, kan på motsvarande sätt elever med särskilt intresse eller särskild fallenhet för matematik stimuleras och utvecklas inom området. Vi hoppas att med denna text ge vårdnadshavare och elever en tydlig bild av vad som pågår inom skolans väggar på matematikens område. Organisation Grundskolan Metapontum och Gymnasieskolan Metapontum är inhysta i samma byggnad. Flera lärare delar sin tid mellan gymnasiet och grundskolan. Den avancerade matematikundervisning som gymnasiet drivit sedan starten 2006 (med bland annat linjär algebra och tvåvariabelanalys på schemat) har bidragit till en studiekultur där problemlösning och avancerade matematiska resonemang är ett naturligt inslag. Detta kommer på olika sätt även grundskolan till del, bland annat genom att lärarna kan välja ut roliga och intressanta lektioner av lättfattligare slag för sina högstadieelever efter att ha testat stoffet på gymnasienivå. Högstadiets elever har även möjlighet att "nosa på" gymnasiets programmeringsverksamhet och därmed bekanta sig med verktyg för att konkretisera matematiska begrepp. Fyrfärgsproblemet, tornen i Hanoi och primtalsletning är exempel på stoff som presenterats för högstadiet efter att framgångsrikt ha använts på gymnasiet. Omfattning Skolans matematikprofil innebär för närvarande två typer av verksamhet. Dels förekommer sådana aktiviteter som omfattar alla skolans elever, antingen i den ordinarie undervisningen eller på speciella matematiktemadagar. Dels bedrivs undervisning som omfattar de elever som gjort ett aktivt val att förkovra sig inom matematik. Inför läsåret 2012/2013 planeras för en utvidgning av matematikprofilen då det gäller det ingående stoffet och det blir extra viktigt att de elever som valt profilen har tillräckliga förkunskaper. 2
Spetsutbildning i matematik Grundskolan Metapontum har nyligen, som en av fem skolor i landet, av Skolverket beviljats att bedriva försöksverksamhet med riksrekryterande spetsutbildning i grundskolans högre årskurser i ämnet matematik. Detta innebär att skolan kommer att anordna spetsutbildning som är inriktad mot ämnet matematik, med maximalt 30 elever i varje årskurs. Antagning till år 7 får göras under fem läsår. Antagning av elever till spetsutbildningen kommer att göras med speciella antagningsprov, enligt de villkor som skolverket uppställt för verksamheten. För mer information hänvisas till vår presentationstext för spetsutbildningen, tillgänglig på skolans hemsida. Innehållet i korthet Elever som väljer matematik som profil får en fördjupad kunskap om matematikens roll och tillämpningar, introduceras för viktiga matematiska begrepp som traditionellt inte ingår i grundskolans kurs, samt får tillfälle att tillämpa sina kunskaper i mer utmanande sammanhang. Lågstadiet Matematikprofilen på lågstadiet syftar till utveckling av elevens logiska tänkande, kreativitet, minne samt koncentrationsförmågor genom användning av laborativt material och utvecklande lekar och spel (däribland schack). Mellanstadiet Matematikprofilen på mellanstadiet ägnar sig åt problemlösning, och tar upp statistik, geometri, och introducerar matematikprogram och datorkunskap. Som projektarbete skapar eleverna bl.a. en karta för en skattjakt i Metapontums äventyr. Eleverna deltar i Kängurutävlingen (en nationell matematiktävling). Högstadiet I matematikprofilen på högstadiet får eleven möjlighet att delta i olika matematiska tävlingar, t.ex. Kängurutävlingen och KTH:s matematiska promenader. Ur det övriga innehållet: Fördjupning av matematiska begrepp som t.ex. talmängder, oändlighet, bevis och primtal Nationella prov: träning med användning av äldre prov Att ställa upp matematiska modeller Privatekonomi: bankpersonal föreläser om hur man bör hantera sin privatekonomi Grunderna i datorprogrammering 3
Vårdnadshavares synpunkter Vi som planerar och driver verksamheten inom matematikprofilen välkomnar vårdnadshavarnas kritik, synpunkter, förslag, idéer och visioner. Vår ambition är att matematikprofilen kontinuerligt ska utvecklas och förbättras; vi vet av erfarenhet att vårdnadshavarna ofta har mycket att säga om just matematikundervisningen, där mätbara resultat kommer tidigt i skolgången. Pedagogik De av oss lärare som arbetar med matematik inom både grundskola och gymnasium, ser hur elever som har utvecklat en god förståelse för grundläggande matematiska begrepp och metoder har det betydligt lättare på gymnasiet, än sådana elever som måste ägna mycket tid åt att komma ikapp på grund av brister i förståelse. Matematikprofilens två pelare är förståelse och träning. Med förståelse menar vi bland annat att eleven utvecklar en korrekt bild av de behandlade matematiska begreppen. Låt oss ta ett exempel från geometrin. I lägre årskurser bekantar sig eleven med konkreta ytor och kroppar i form av papperstrianglar och klossar. I senare årskurser erhåller eleven betraktelsesättet att trianglar, fyrkanter och cirklar kan betraktas som mängder av punkter med vissa rumsliga relationer till varandra, vilket är en abstrakt definition. Dock kommer eleven sällan långt i sin förståelse om inte räknefärdigheterna finns. Det är här som träningen kommer in. Vissa pedagoger hävdar att dagens elever inte har användning för multiplikationstabellen, eftersom det finns miniräknare. På denna punkt, och på andra liknande, har vi på Metapontum en helt annan åsikt. Att eleven behärskar de fyra räknesätten är grundläggande, om inte i teorin så i praktiken. Vi tror således att elevens matematiska förmåga utvecklas effektivast genom en ständig växelverkan mellan räknefärdighet och teoretisk förståelse. Lektionsexempel 4
Här beskrivs en lektion som hölls för högstadieelever på hösten 2011. Den är ett bra exempel på hur vi försöker lägga upp undervisningen; idealt sett kombinerar en lektion följande för elevens vidkommande: träning i matematiskt tänkande möjliggörande av matematiska insikter en utvidgning av elevens uppfattning om vad matematik är Lektionen inleddes med en beskrivning av ett berömt matematiskt problem, nämligen det så kallade fyrfärgsproblemet. Detta problem är, trots att det kräver avancerad matematik för att lösa, tacksamt att använda i undervisningen på högstadiet eftersom frågeställningen är så lätt att greppa. Problemet presenterades etappvis för eleverna. I ett första steg ombads eleverna att rita en karta bestående av minst tre länder, sådan att det behövs minst tre färger för att färglägga den (två angränsande länder får inte målas med samma färg). Eftersom problemet är så konkret, brukar nästan alla elever snabbt lyckas med uppgiften efter inledande osäkerhet om vad man ska göra och vilka regler som gäller för färgläggningen. I nästa steg gavs eleverna en svårare uppgift: att rita en karta som kräver fyra färger för att färglägga. Flera elever ritade nu kartor som de trodde uppfyllde villkoren, tills läraren, en bänkkamrat eller de själva visade hur tre färger räckte till. De diskussioner som fördes i klassrummet under uppgiftslösandets gång var livliga och engagerade, med uttryck som "Å just det", "du ser väl att..." och liknande. Ett antal elever löste å andra sidan uppgiften nästan omedelbart. I steg tre fick eleverna uppgiften att rita en karta som krävde fem färger för att färglägga. Flera elever uppvisade nu stor kreativitet. Läraren, som visste att elevernas ansträngingar var dömda att misslyckas (det räcker alltid med fyra färger), höll masken och granskade noga varje föreslagen karta. Hela klassen uppmuntrades att delta i granskningen av särdeles krångliga elevkartor, där det inte var helt trivialt att visa att det räcker med fyra färger. Under dessa diskussioner introducerades eleverna för angreppssättet att dela upp ett komplext problem i olika fall, som behandlas separat. I steg fyra formulerades fyrfärgsproblemet: "visa att det alltid räcker med fyra färger!" Eleverna var nu tillräckligt preparerade för att utan vidare förstå problemet. En kort historisk bakgrund gavs. Lektionen utmynnade i en skildring av på vilket sätt problemet löstes 1976 och de filosofiska diskussionerna kring beviset vid tiden för publiceringen. 5
Det är värt att framhålla att eleverna under denna lektion aldrig vid något tillfälle behövde addera, multiplicera, lösa en ekvation eller liknande. Någon elev uttryckte tanken att "det här är ju inte matte." På så vis uppnåddes ett av matematikprofilens syften: att få eleverna att komma ifrån uppfattningen att matematik handlar om ett mekaniskt applicerande av räkneregler med hjälp av miniräknare och papper och penna. Under lektionens gång uppmuntrades eleverna i stället att tänka logiskt, dra tvingande slutsatser och dela upp i olika fall, det vill säga ägna sig åt matematik på riktigt. Pedagogiska hjälpmedel Till matematikprofilens förfogande står ett stort antal pedagogiska hjälpmedel i form av volymmått, areamått, olika mattespel och dylikt. Vi har funnit att det är värdefullt att även för högre åldrar ha tillgång till dylika hjälpmedel i undervisningen, exempelvis för att snabbt kunna illustrera ett resonemang för eleven. Elever som behöver befästa mellanstadiets matematik kan erbjudas möjlighet att i lugn och ro sysselsätta sig med en lämplig uppsättning hjälpmedel. Datorer i undervisningen Under hösten har inom ramen för matematikprofilen erbjudits lektioner i datorprogrammering för de elever som anmält särskilt intresse. En och en, eller i grupp, har eleverna genomfört successivt allt mer avancerade programmeringsuppgifter på nybörjarnivå. Genom programmeringen tränas eleverna i logiskt tänkande vilket gynnar dem i den ordinarie matematikundervisningen. Personal läsåret 2011/2012 Följande lärare undervisar i matematikprofilen på högstadiet under läsåret 2011/2012: Nikolaj Marquez von Hage har en examen i teknisk fysik, med inriktning diskret matematik och datalogi. Han har därmed en gedigen matematisk bakgrund. Nikolaj undervisar till största delen på gymnasiet som är inhyst på våning fyra. Hans ämnen är bland annat programmering, linjär 6
algebra och analys. Nikolaj fungerar som samordnare och formellt ansvarig för matematikprofilens utformning. Natalia Khaplanova har en examen från Moskvas statliga universitet (fysiklinjen) och en examen från lärarhögskolan i Stockholm. Natalia är behörig gymnasielärare i matematik och fysik. Inom matematikprofilen undervisar hon elever i årskurs nio. Tatyana Magnusson är uppväxt i Samarkand och har, förutom sju års pianostudier, både en svensk och en utländsk lärarexamen. Hon har undervisat grundskoleelever i matematik sedan 1993. Inom matematikprofilen undervisar hon elever i årskurs sju. Kontakt Nyheter presenteras fortlöpande på SchoolSoft. Om du som vårdnadshavare eller elev har frågor om eller synpunkter på matematikprofilen, är du mycket välkommen att e-posta till: info@metapontum.se eller nikolaj_marquez@hotmail.com De enskilda matematiklärarna kan förstås nås med hjälp av kontaktuppgifter på SchoolSoft. Profilansvarig Nikolaj nås också på 070-990 68 61. 7
Undervisningsstoff Av nedanstående tabell framgår dels ordinarie stoff för matematikundervisningen på grundskolan, dels (kursiverat) sådant som ingår eller skulle kunna ingå i matematikprofilens undervisning (kursplanen är under utveckling). Innehåll Matematik i åk 1-3 Matematik i åk 4-6 Matematik i åk 7-9 Taluppfattn ing och tals användnin g Naturliga tal och deras egenskaper för att ange antal och ordning. Matematik i naturen. Rationella tal och deras egenskaper. Behov av rationella tal i vardagliga situationer, samhällsliv och i Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien. Matte med knopp och kropp. Hur en abakus används. Del av helhet och del av antal. Enkla bråk som uttryck och begrepp. Visualiseringar av mängd och andel. Tid. De fyra räknesättens egenskaper och deras inbördes samband. Laborationer: två- och tredimensionella. Hastighetsräkning. Olika räknetekniker. Memoreringsteknik för multiplikation och division. Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar matematik. Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära talsystemet och andra talsystem som använts genom historien. Tal i bråk- och decimalform. Tal i procentform. Potensform. Tillämpningar av bråkdecimal- och potensform. Metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar av skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. Memoreringsteknik och alternativa räknemetoder. Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar Primtal och delbarhet. Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang. Potensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix. Rotform. Från pico och nano till giga och tera. Metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. Memoreringsteknik för avancerade tillämpningar. Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och 8
Algebra Geometri och uppskattningar. Huvudräkning. Överslagsräkning. Matematiska likheter och likhetstecken. Granntal och väntal. Introdukion av negativa tal. Talföljder och enkla mönster. Mönster i naturen; upprepning/avvikelse. Kreativa mönster. Visualisering av obekanta tal. Punkt, linje och sträcka. Triangel, fyrhörning och cirkel. Kon, rätblock, klot och cylinder. Oändlighet. Skala. Laborationer: två- och tredimensionella. Relativ objektbeskrivning i matematik. och uppskattningar i vardagliga situationer. Visualiseringar och elevernas egna metoder för dito. Övningar i negativa tal. Laborationer med noll som utgångspunkt. Hur mönster och talföljder kan konstrueras och beskrivas. Kodning (kryptografi) och Morsealfabetet i grafisk form (som ljud/röksignal och kroppslig signalering). Obekanta tal som symboler. Metoder för enkel ekvationslösning. Ekvationer med negativa tal. Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Polygoner och pyramider. Grekiska räkneord som prefix i beskrivning av figurer. Symbolanvändning inom geometri: lite kulturhistoria. Skalans användning i vardagliga situationer. Skala i litteraturen (t.ex. i Gullivers resor). Proportion. beräkningar i vardagliga och matematiska situationer. PRAO på banken. Säkerhet i den digitala världen (den mänskliga faktorn). Generalisering av aritmetikens räknelagar till att hantera algebraiska uttryck. Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. Kryptografi egna koder. Enigma. Begreppet algoritm. Metoder för ekvationslösning. Linjära ekvationer och olikheter samt potensekvationer. Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt. Klumpar går de att beskriva matematiskt? Omvandling av tredimensionella former till plana figurer. Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Skala vid förminskning och förstoring av tvåoch tredimensionella objekt. Kartografi. 9
Sannolikhe t och statistik Lägesord. Föremål/objekt i rummet. Symmetri som begrepp. Kristaller. Yta och area. Sfär. Visualiseringar av begreppet modul. Laborationer med tredimensionella objekt i tvådimensionell form. Längd, massa och volym. Matematik i naturen. Laborationer med matematiska storheter och deras samband. Naturvetenskapliga experiment (fysik). Slumpmässiga händelser. Observationer med slumpmässiga händelser i experiment och spel. Enklare metoder för sortering av data. Kreativa diagram för att beskriva och tolka Symmetri och hur den kan konstrueras. Skönhet som begrepp. Symmetri i kroppen, konsten och arkitekturen. Jämförelse och mätning av längd, area, volym, massa, vinkel och metoder för dessa. Måttenheter då och nu. Introduktion till navigation. Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. Beräkningar av omkrets och area för andra geometriska figurer. Sannolikhet, chans och risk grundad på observationer, experiment eller observationer. Enkel kombinatorik. Övningar i att upptäcka och kvantifiera slumpmässiga händelser. Begreppet kombinatorik. Tabeller och diagram för beskrivning av data i undersökning. Medelvärde, typvärde Industridesign. Likformighet och symmetri i planet. Fraktaler. Andra symmetriska mönster (två- och tredimensionella). Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta. Kongruens och vinklar. Sjönavigering och GPS. Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet. Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma. Matematisk argumentation inom naturvetenskapliga ämnen. Likformig sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikheten i vardagliga situationer. Hur kombinatoriska principer kan användas i vardagliga och matematiska problem. Sannolikhetsrum. Inklusion och exklusion. Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva 10
Samband och förändring Problemlösning egna statistiska resultat. Dubbelt och hälften. Proportionella samband utifrån enkla vardagssituationer. Begreppen mer och mindre utifrån vardagliga fördelningsprinciper. Samband mellan tid och sträcka. Grafisk framställning av förlopp på tidsaxel. Samband och förändring i situationer som berör en elev. Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. Övningar i att definiera problem i en frågeställning. Tillämpningar av matematiska och median som statistiska begrepp. Tillämpning av dessa inom biologi och klimatforskning. Proportionalitet och procent och deras samband. Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm. Koordinatsystem och strategier för gradering av koordinataxlar. Grafer som uttrycker dessa samband. Tillämpning av dessa inom biologi och klimatforskning. Tillämpning av samband och förändring inom livskunskap utifrån elevernas egna observationer. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem med anknytning till matematikens resultat av egna och andras undersökningar, till exempel med hjälp av digitala verktyg. Bedömningar av risker och chanser i statistiskt material. Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom olika ämnesområden. Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån. Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att undersöka förändring, förändringstakt och andra samband. Egenskaper hos andragradsfunktioner. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Skillnader mellan begreppen ekvation, olikhet, algebraiskt uttryck och funktion. Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder. Matematisk 11
lösningar i vardagliga situationer. Utforskning av omvärlden på jakt efter matematiska frågeställningar (med inslag av rollspel). Introduktion till schackspel. kulturhistoria. Matematikens relevans för beskrivning av omvärlden. Matematiska paradoxer och behov av matematisk argumentation i gruppövningar och rollspel. Schack på schemat. Medverkan i schackfyran. Projektarbete: Metapontums äventyr Medverkan i Kängurutävlingen formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden. Övningar i bevisföring med hjälp av enklare satslogik inklusive begreppen negation, konjunktion, disjunktion, implikation och ekvivalens. Grunderna i datorprogrammering Privatekonomi 12