Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013) Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik

Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013) Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik Håkan Hallberg vd. för Hållfasthetslära Lunds Universitet December 2013

Exempel 1 Två krafter,f 1 och F 2, verkar enligt figuren. Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning. Svar: Den resulterande kraften är 8.9 kn, riktad 56.6 från x-axeln. F 1 =4N y F 2 =8N 60 30 x Exempel 2 Två bilar, och B, bogserar ett flygplan längs en rät linje. För detta behövs en kraft på 6kNriktadlängs linjen. Beräkna de nödvändiga krafterna i bogserlinorna. Svar: Denödvändiga krafterna är F =3.6 knochf B =2.4 kn. 4m 6m B Exempel 3 Bestäm storlek och läge för den resultant som motsvarar det givna kraftsystemet. Svar: Den resulterande kraftens storlek är 3 kn, riktad nedåt, på avståndet 2.67 m från väggen. 1

30 knm 8kN 5kN 2m 2m 2m Exempel 4 En wire är spändmellantvå fixa punkter och B medenspännkraft T = 900N. Uttryck denna kraft som en vektor med hjälp av enhetsvektorerna ê x och ê y längs koordinataxlarna. nge spännkraften både som en vektor T i punkten och som en vektor T B i punkten B.. Svar: Spännkrafterna är T = 749ê x 499ê y NochT B = 749ê x + 499ê y N. 3m y 2m x B Exempel 5 Beskriv kraften F som en vektor. Svar: Kraftvektornär F = 300ê x + 520ê y N. F = 600 N y 30 x Exempel 6 En kraft på 10Npåverkar en låda. Beräkna det moment som kraften ger upphov till med avseende på punkten. Svar: Momentetär M = 46 Nm (medurs). 2

30 4m 10 N 3m Exempel 7 Kranarmen B i en lyftkran är horisontell. Ändpunkten B har koordinaterna (9,12,36) dm. Linan är i punkten C fäst vid en sten som ligger i horisontalplanet i koordinaterna (21,21,0) dm. Kraften i linan är vid detta tillfälle 390 N. Hur stort moment åstadkommer linkraften med avseende på kranens infästningspunkt i marken? Svar: Momentvektorn är M O =( 756, 756, 63) Nm och momentets storlek är M O = 1071 Nm. z B O x y C Exempel 8 En fiskare har fått napp och fisken sliter i linan med en kraft F = 820 N enligt figur. Hur stor komposant har denna kraft i handtagets längdriktning? Punkterna och B i figuren ligger båda på fiskespöets handtag. Punkterna i figuren har följande koordinater: =(0, 0, 0) mm, B =(90, 120, 200) mm, C = (900, 1200, 1200) mm och D = (6900, 9200, 1050) mm. Svar: Kraftkomposanten i handtagets längdriktning är 336 Nm. 3

C F D B Exempel 9 En balk B med egentyngden 50 kg är infäst med en led vid och hålls uppe av en lina BC enligt figuren. Balken belastas med en vikt på 100 kg i B. Beräkna kraften i linan och kraften på leden i. Svar: Kraften mot leden i punkten är 2124 N i horisontalled (åt höger) och 245 N i vertikalled (uppåt). Kraften i linan är 2450 N. C 30 100 kg B Exempel 10 En 500 mm lång stålstång med kvadratiskt tvärsnitt, 20 20 mm, hänger vertikalt. I den fria ändpunkten hänger dessutom massan 2000 kg. Bestäm hur mycket stången deformeras i sin nedre ändpunkt och beräkna maximala spänningen i stången. Svar: Nedre ändpunkten flyttas 0.12 mm nedåt och den maximala spänningen i stången är 49.14 MPa. Exempel 11 Hur lång kan en stång av materialet SS1312 vara om den hänger fritt från taket och man vill undvika plastisk deformation? ntag att materialet har densiteten 7800 kg/m 3. Svar: Den maximala längden är L =2.9 km! 4

500 mm 2000 kg L? Exempel 12 En väggskiva som väger 500 kg är fastsatt med 4 stålbultar, en vid varje hörn. Bultarna har diametern 8 mm och längden 5 mm. Beräkna spänningen i bultarna samt hur mycket skivan sjunker på grund av skjuvdeformationen. ntag materialet i bultarna kan beskrivas med parametrarna E = 205 GPa och ν =0.3. Svar: Skivansjunker 0.0015mmochden maximala skjuvspänningen i bultarna är24.4mpa. 8mm 5mm Exempel 13 En stålkub med kantlängden 5 cm sänks ned i vatten till djupet 10000 m. Bestäm hur mycket kuben deformeras. Svar: Kuben deformeras homogent och normaltöjningen längs kubens sidor är 1.91 10 4. 5

Exempel 14 I en punkt P på ytan av en kropp registreras spänningskomponenterna σ x =90MPa, σ y = 210 MPa och τ xy = 175 MPa. Bestäm spänningarna i ett snitt i punkten P som är vinklat 30 från x-axeln. Svar: Vid vinkeln ϕ =30 finns spänningskomponenterna σ ϕ = 272 MPa, τ ϕ = 139 MPa och σ ϕ+90 =28.4 MPa. Exempel 15 Bestäm huvudspänningarna och deras riktningar i punkten P i föregående uppgift. Svar: Huvudspänningarna är σ 1 = 335 MPa och σ 2 = 35 MPa. Huvudspänningsriktningarna är α 1 =54.4 och α 2 = 144.5. Exempel 16 Ett byggelement består av en plan betongskiva med mått enligt figuren (alla mått är angivna i meter). Bestäm tyngdpunktens läge. Svar: Tyngdpunktens koordinater är (x, y) =(0.87, 1.93)m om origosätts i byggelementets nedre vänstra hörn. 1 2.5 2 0.8 1 2 Exempel 17 Ett akvarium har en rektangulär botten med måtten 500 300 mm. kvariet är fyllt med vatten upp till 400 mm över bottenytan. Beräkna totala kraften mot bottenytan från övertrycket i vattnet. Beräkna också den totala vattentyngden. lla mått i figuren är angivna 6

i millimeter. Svar: Kraften mot bottenytan är 589 N och vattentyngden är 589 N. 400 300 500 Exempel 18 Utför samma beräkningar som i föregående uppgift för ett akvarium som är konstruerat enligt figur. Svar: Kraften mot bottenytan är 589 N och vattentyngden är 74 N. 350 50 300 500 Exempel 19 En stege med längden L står lutad mot en vägg enligt figuren. En person med massan m har klättrat halvvägs upp på stegenochär i figuren representerad av kraften mg. Hurstor friktionskoefficient behövs vid marken om stegen inte skall glida och om väggen kan antas som friktionsfri? 7

Svar: Friktionskoefficienten vid marken bör vara μ>0.28. mg 60 L L/2 Exempel 20 Hur mycket återstår av vridmotståndet W v respektive vridstyvhetens tvärsnittsfaktor K för ett rör om det slitsas (skärs upp med ett snitt längs röret)? Medeldiametern är d =25mm och godstjockleken är t = 1 mm. Svar: Det slitsade röret har kvar 2.67% av vridmotståndet och 0.21% av vridstyvhetens tvärsnittsfaktor jämfört med det oslitsade röret. Exempel 21 Två bilar och B är på väg längs en rak landsväg i 72 km/h och ligger med en lucka på 10 m, då bestämmer sig för att köra om. accelererar till 90 km/h på 4sochbehåller sedan denna hastighet. Omkörningen anses som avslutad då det åter är en lucka på 10 m mellan bilarna. Hur lång fri siktsträcka s måste ha då omkörningen påbörjas om inte skall kollidera med någon under omkörningen? Man får anta att en mötande bil håller 90 km/h. Hänsyn behöver ej tas till :s sidorörelse under omkörningen. Svar: Bil behöver en fri siktsträcka s = 360 m. B 4m 10m 3m s Exempel 22 En låda kastas ned till en nödställd i tlanten. Lådans hastighet omedelbart efter islaget är 20 m/s. Lådans retardation i vattnet blir r = cv där v är dess hastighet och c =8s 1. 8

Hurdjuptkommerlådan innan den vänder?. Svar: Lådan kommer 2.5 m ned i vattnet. Exempel 23 Ett transportband för fram varor, som när de lämnar bandet skall hamna i en vagn enligt figuren. Beräkna avståndet s så att varorna inte hamnar utanför vagnen då bandets hastighet är 2 m/s. Varorna är så små att de kan betraktas som punktformiga och luftmotståndet kan försummas. Svar: vståndet måste vara 0.189 s 1.189 m. v =2m/s 30 3m s 1m Exempel 24 En bil kör längs en spiralväg i ett parkeringshus. Bilens läge beskrivs av vektorn r = (R cos ωt, R sin ωt, Hωt) där R =7m,H =0.6 mochω =0.9 s 1.Bestäm bilens läge, hastighet och acceleration vid tiden t = 20 s. Svar: Position r =(4.62, 5.26, 10.8) m, hastighet v =(4.73, 4.16, 0.54) m/s och acceleration a =( 0.66, 0.751, 0)Rω 2 m/s 2. Exempel 25 När pulkan i figuren når punkten ibackenär pulkans fart 10 m/s, samtidigt som farten ökar med 3 m/s 2.Hurstormåste backens krökningsradie i punkten minst vara om den 9

totala accelerationen inte får överskrida 5 m/s 2?. Svar: Krökningsradien måste vara minst 25 m. Exempel 26 En grammofontallrik roterar med varvtalet ω = 33 varv/min. Radiellt ut från centrum finns ritat en linje. En liten myra som sitter i centrum bestämmer sig för att krypa ut längs linjen och börjar sin vandring då linjen enligt figuren pekar rakt österut. Myrans avstånd till centrum kan skrivas v 0 t där v 0 = 5 mm/s är konstant. nge var myran befinner sig vid tiden t =2s.Beräkna också myrans hastighet och acceleration i detta läge. Svar: Vid tiden t =2sär myran 0.01 m ut från skivans centrum, 36 nedanför linjen. Myrans hastighetsvektor är v =0.005ê r +0.346ê θ m/s och accelertaionsvektorn är a = 0.119ê r +0.0346ê θ m/s 2. ω Exempel 27 Två massor m 1 =10kgochm 2 =15kgär förbundna med en lina som löper över en lättrörlig och viktlös trissa. Massan m 1 ligger på ett plan med lutningsvinkeln 30 och friktionskoefficienten mellan massan m 1 och planet är μ =0.3. Beräkna systemets acceleration då m 2 rör sig nedåt. Massorna får betraktas som punktformiga. Svar: ccelerationen är a =2.9 m/s 2. 10

m 1 30 m 2 Exempel 28 En byrålåda kilar ofta fast sig när man drar ut den. Detta beror på att kraften angriper excentriskt. Hur stor excentricitet x kan man tillåta om friktionskoefficienten mellan låda och byrå är μ? Bortse helt från släpfriktionen mot underlaget. Svar: Maximalt tillåten excentricitet är x< d 2μ. d x Exempel 29 En lådamedmassan10kgknuffasiväg med hastigheten 3 m/s längs en transportbana med utseende enligt figuren. Vid slutet av banan finns en bromsfjäder för att stoppa massan. Beräkna maximal hoptryckningen av denna bromsfjäder om fjäderkonstanten är 400 N/cm. Friktionskoefficienten mellan massan och banan är 0.2. Svar: Fjädern trycks ihop 9.8 cm. 10 kg 120 3m 4m 11

Exempel 30 En lådamedmassan30kgsläpas längs ett plan av en kraft P som varierar med tiden enligt diagrammet i figuren. Friktionskoefficienten mellan lådan och planet är 0.15. Beräkna lådans hastighet vid tiden t =10somdenär stillastående vid tiden t =0. Svar: Hastigheten vid tiden t =10sär 10.3 m/s. 30 kg P P [N] 150 10 t [s] Exempel 31 Två bilar kolliderar front mot front. Den ena bilen har massan 1100 kg och hastigheten 90 km/h. Den andra bilen har massan 1000 kg. Efter kollisionen glider de båda bilarna sammankopplade 3 m motsatt färdriktningen för den större bilen. Beräkna den mindre bilens hastighet före kollisionen om friktionskoefficienten mot vägbanan är 0.55. Svar: Innan kollisionen var den mindre bilens hastighet 142 km/h. Exempel 32 En ishockeypuck glider över isen och är på väg att slå emot sargen i en vinkel α =30. Studskoefficienten mot sargen beräknas till 0.6. I vilken vinkel kommer pucken att studsa ut från sargen? Svar: Pucken studsar ut i vinkeln 19.1 från sargen. α 12

Exempel 33 Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken i figuren. Svar: Tvärkraften är F för 0 x L och F/2för L x 3L. Momentetökar linjärt från noll vid x = 0 till FLvid x = L och sedan linjärt tillbaka ned till noll igen vid x =3L. P L 2L Exempel 34 Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken i figuren och bestäm det maximala momentet. Svar:Tvärkraften varierar enligt T (x) =Q ( x ) 1 L 2 och momentet enligt Mb (x) = QL 2 Maxmomentet uppträder vid x = L/2 vilket ger M b,max = QL 8. Q [ ( ] x 2 L) x. L L Exempel 35 Bestäm lämplig I-profil för balken i figuren så att den maximala spänningen i balken inte överstiger 110 N/mm 2. Svar: Lämplig I-profil är I180. Exempel 36 En konsolbalk med profil I100 är belastad med en kraft F såattdennätt och jämnt plasticeras. Bestäm nedböjningen δ och lutningen θ vid balkens fria ände. Materialet i balken är 13

140 kn 1m 3m 1m SS1312. Svar: Nedböjningen är δ =7.15 mm och lutningen (rotationen) är θ =0.615. F δ θ 1m Exempel 37 Balken i figuren har längden L =2mochär belastad med en last som varierar linjärt från q 1 = 5 kn/m till q 2 =8kN/m.Beräkna nedböjningen mitt på balken och balkens lutning vid det högra stödet. Balkprofilen är VKR80 80 4. Svar: Nedböjningen mitt på balkenär 5.7 mm och lutningen vid det högra stödet är 0.53. q 1 q 2 L Exempel 38 Ett hjul med radien R rullar med centrumhastigheten v 0 längs ett plan utan att glida. Bestäm hastigheten i punkterna, B, C och D. Svar: Hastigheterna i punkterna är: v =(v 0,v 0, 0), v B =(2v 0, 0, 0), v C =(v 0, v 0, 0) och v D =(0, 0, 0). 14

B v 0 C D Exempel 39 En trådrulle med mått enligt figuren ligger på ett horisontellt underlag. En bit av tråden har lindats av och genom att dra i den fria trådändan kan trådrullen fås att röra sig längs planet. Bestäm hastigheten för rullens centrum om trådänden har hastigheten 0.1 m/s. ntag att rullen inte glider mot underlaget. Svar: Rullens centrum har hastigheten 0.15 m/s (åt höger). 60 mm 20 mm 0.1 m/s Exempel 40 En bil med massan 1200 kg retarderas med 3 m/s 2.Beräkna den sammanlagda normalkraften mot framhjulen om endast dessa hjul bromsar bilen. Svar: Den sammanlagda normalkraften mot framhjulen är 8260 N. 3m 1.2 m TP 1m 15

m 1 m 2 Exempel 41 Två massor, m 1 = 100 kg och m 2 = 150 kg, är förbundna med en lina som är lagd över en linskiva enligt figuren. Linskivan är friktionsfritt lagrad på en axel genom skivans centrum och dess radie är R = 200 mm. Masströghetsmomentet med avseende på denna axel är 12 kg m 2.Beräkna den stora massans acceleration om linan inte glider mot skivan. Svar: Den stora massans acceleration är 0.89 m/s 2 (nedåt). R Exempel 42 En homogen cylinder med massan m och radien R rullar nedför ett plan med lutningsvinkeln ϕ. Beräkna tyngdpunktens initiella acceleration. Svar: Tyngdpunktens acceleration är 2g 3 sin ϕ. R ϕ 16