Utveckling av undervisningen i matematik och datateknik i gymnasiet Ralph-Johan Back Åbo Akademi, Avdelningen för Informationsteknologi CREST Learning and Reasoning laboratoriet 22 mars 2007
Gymnasieundervisning i matematik och datateknik - forskning vid ÅA och TY TUCS Learning and Reasoning forskningslaboratoriet 2000 - Gemensamt laboratorium för Åbo Akademi och Åbo Universitet Målsättning: utveckla nya undervisningsmetoder och nytt undervisningsinnehåll för gymnasieundervisningen i matematik datateknik Målgruppen utvidgats senare, är nu gymnasium yrkeshögskola universitet, introducerande kurser yrkesinstitut virtuella universitetet 1
Forskningsgruppen Ralph-Johan Back, akademiprofessor, Åbo Akademi, Avd. för informationsteknologi Tapio Salakoski, professor, Åbo Universitet, Inst. för informationsteknologi Mia Peltomäki, matematiklärare, Kuppis gymnasium, Åbo Joakim von Wright, matematiklärare, Vasa övningsskola Linda Grandell, doktorandassistent, Åbo Akademi 2
Centrala forskningsteman Undervisning av matematik - gymnasiet Undervisning av programmering - gymnasiet och högskola/universitet Matematisk konstruktion av program - högskola, gymnasium 3
IMPEd IMPEd Improving Mathematics and Programming Education Ett resurscentrum som upprätthålls av Learning and Reasoning laboratoriet Täcker både matematik och datateknikundervisningen Täcker både den svensk- och finskspråkiga undervisningen i Finland Internationell: vi försöker ha material på tre språk: finska, svenska och engelska En kontaktyta till vår forskningsgrupp Nära samarbete på svenska sidan med RC - Resurscenter för matematik, naturvetenskap och teknik i skolan. 4
CREST CREST : Finlands Akademis spetsforskningsenhet 2002-2007 Avdelningen för informationsteknologi / TkF Forskningsledare: Ralph-Johan Back, Johan Lilius, Kaisa Sere Forskar på bred front i olika tekniker för konstruktion av programvara (software) CREST forskning om undervisning i matematik och datateknik sker i Learning and Reasoning laboratoriet. 5
Matematiska bevis Bevis är centrala för förståelsen av matematik Med ett bevis är ett matematiskt teorem en självklarhet, utan bevis en magisk formel Men bevis anses vara svåra och undviks i gymnasiematematiken Bevisen som ges är informella och intuitiva Mera exakt och formell notation används inom vissa områden, t.ex. lösning av ekvationer och förenkling av algebraiska uttryck 6
Logik och bevis Ett matematiskt bevis är en logisk argumentation Men logisk notation används inte i större utsträckning i gymnasiet, och logiska inferensregler ges inte explicit När logik undervisas, behandlas det som ett separat ämne, inte som ett hjälpmedel för att lösa matematiska problem Det som behövs är praktisk logik för matematiska bevis och matematisk argumentation: logisk matematik i stället för matematisk logik 7
Praktisk logik och programmeringsmetodik Linjära härledningar (calculational derivations) är en paradigm för att utföra bevis som vuxit fram inom mitt eget område av datateknik som kallas programmeringsmetodik. Utvecklat av E.W. Dijkstra och hans kolleger (Wim Feijen, Nettie van Gasteren, mm). En bok av David Gries och Fred Schneider beskriver metoden och används på universitetsnivå. Strukturerade härledningar (structured derivations) är en vidareutveckling av linjära härledningar, som Joakim von Wright och jag gjort. 8
Exempel Lös ekvationen (x 1)(x 2 + 1) = 0 9
Lösning med en linjär härledning (x 1)(x 2 + 1) = 0 {nollproduktregeln: ab = 0 a = 0 b = 0} x 1 = 0 x 2 + 1 = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i vänstra disjunkten} x = 1 x 2 + 1 = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i högra disjunkten} x = 1 x 2 = 1 {en kvadrat är aldrig negativ} x = 1 F {regel för konnektiver} x = 1 10
Linjära härledningar Startuttrycket transformeras steg för steg Varje ny version av uttrycket skrivs på egen rad Mellan raderna skrivs relationen mellan uttrycken + en motivation för varför relationen gäller Transitiviteten är implicit: den sista formelm är ekvivalen med den första 11
Logik Vi använder disjunktion för att koppla ihop de två delekvationerna Det sista steget använder en vanlig logisk regel, p F = p. Med litet övning blir regler som p F = p, p F = F, etc lika självklara som x + 0 = x eller x 0 = 0 Hela härledningen hålls samman som en enda härledning med hjälp av de logiska konnektiverna. Det ursprungliga uttrycket transformeras stegvis till ett uttryck som visar lösningen explicit. 12
Graden av noggrannhet i härledningen Vi kan välja graden av noggrannhet efter behov När man visar något första gången, bör man vara mycket noggrann, när sakerna är bekanta så kan man göra större steg I en mycket detaljerad härledning motiveras stegen med specifika regler ( nollproduktregeln ), i mindre detaljerade härledningar är motiveringarna mera generella strategier ( lös ekvationen ). I de fall där man ger en mindre detaljerad härldning tänker man sig att det finns en mera deteljerad härledning, men att den inte visas 13
Förutsättningar för att använda lineära härledningar En förståelse av logikens grunder behövs, propositions- och predikatlogik Det egentliga behovet av logik är relativt litet och matematiskt ganska trivialt En grundläggande dos i praktisk logik är nyttig i sig själv I praktiken är det inte svårt att lära sig den erfordeliga logiken 14
Strukturerade härledningar Strukturerade härledningar en vidareutveckling av linjära härledningar Stöder explicita delhärledningar, användningen av antaganden i bevis mm De bildar ett fullständigt system for logiska härledningar, ekvivalent med Gentzen liknande bevissystem för högre ordningens logik Strukturerade härledning möjligör systematisk konstruktion av mycket stora och komplicerade bevis Strukturerade härledningar utvecklade i boken Back & von Wright: Refinement Calculus: A Systematic Introduction. Springer Verlag 1998 Ett stort antal bevis har utförts som strukturerade härledningar i boken 15
Delhärledningar En regel som utnyttjas i ett bevissteg kan härledas i en skild delhärledning Alternativt så kan vi bevisa regeln med en delhärledning (en del av det pågående härledningen): Vi indenterar delhärledningen ett steg till höger Om delhärledningen etablerar ett allmännare resultat, som kan användas på andra ställen, är det bättre med ett lemma, men är den specifik för härledningen och kort, är det bättre med delhärledning 16
Exempel Vi väljer som exempel följande problem: För vilka värden på x är uttrycket x 1 x 2 2 definierat Vi väljer påståendet som utgångspunkt, och försöker manipulera det tills vi får en karakterisering av x värden på ett enkelt sätt. 17
Lösning x 1 x 2 1 är definierat {villkoret för att ett rationellt uttryck skall vara definierat} x 2 1 0 {övergå till logisk notation} (x 2 1 = 0) {ekvationens lösning: (x 2 1 = 0) (x = 1 x = 1)}... (x = 1 x = 1) {de Morgans lagar} (x = 1) (x = 1) {ändra notation} x 1 x 1 18
x 1 x 2 1 är definierat Delhärledningen utskriven {villkoret för att ett rationellt uttryck skall vara definierat} x 2 1 0 {övergå till logisk notation} (x 2 1 = 0) {ekvationens lösning} x 2 1 = 0 {faktorisering} (x + 1)(x 1) = 0 {nollproduktregeln} x = 1 x = 1... (x = 1 x = 1) {de Morgans lagar} (x = 1) (x = 1) {ändra notation} x 1 x 1 19
Fördelarna med strukturerade härledningar Lättare att konstruera och förklara härledningar under lektionen Lättare att förstå härledningar och bevis efter lektionen, vid självstudie Enklare och enhetligare logik-baserad notation Enklare och enhetligare begreppslig bas för matematiska härledningar Explicita regler visar vilka steg som är tillåtna Enklare att kontrollera och ge vitsord för härledningar Bra stöd för web-baserad undervisning i matematik Nästlade härledningar kan selektivt visas och gömmas 20
Projekt Metoden har prövats på en större samling studentexamensuppgifter (lång matematik) Hela gymnasiekursen i matematik har förelästs med hjälp av strukturerade härledningar (Kuppis gymnasium i Åbo, Mia Peltomäki). Jämförande studie med en kontrollgrupp som undervisats på vanligt sätt. Gymnasiet har 3 år, med 12-13 kurser i matematik. En kurs Logik och problemlösningsmetoder har undervisats som specialkurs i gymansiet (Joakim von Wright, Vasa övningsskola i Vasa) Joakim och jag har skrivit en bok över metodiken: Matematik med litet logik: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken. Boken är översatt till finska och engelska. Vi har föreläst metoden som logikurs för första årets studeranden in informationsbehandling vid Åbo Akademi. 21
Erfarenheter från Kuppis Strukturerade härledningsgruppen klarat sig mycket bra i jämförelse med kontrollgruppen Strukturerade härledningsgruppen var något bättre i början än kontrollgruppen och läraren var även något bättre. Efter att ha eliminerat de här faktorerna, får man att den strukturerade härledningsgruppen hade i genomsnitt 0.5-1.0 bättre vitsord än kontrollgruppen, taget över alla kurser i gymnasimatematiken. Kurserna med strukturerade härledningar led av brist på ordentligt studiematerial (endast mycket preliminära kompendier kunde användas) 22
23
Hur introducera strukturerade härledningar i gymnasiet Man kan inte experimentera fritt med gymnasie-eleverna (oroliga föräldrar, osäkra lärare) Stukturerade härledningar är tillåtna i gymnasiematematiken i Finland, tillstånd av studentexamensnämnden Kan introducera metoden genom en frivillig kurs i logik och talteori, baserad på vår bok. En tillvalskurs kan ges på det här området tidigt i gymnasiet, t.ex. första året Kan lämpa sig t.ex. för att göra lärarna mera bekanta med metodiken. Lärarna kan sedan utnyttja metodiken i övrig undervisning, i den utsträckning som de känner sig säkra på metoden och dess fördelar 24
Matematikuppgift på 1950-talet En skogshuggare säljet virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 4/5 av priset. Hur mycket får han i vinst? 25
Matematikuppgift på 1960-talet En skogshuggare säljer virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 4/5 av priset, dvs 80 mark. Hur mycket får han i vinst? 26
Matematikuppgift på 1970-talet En skogshuggare byter en mängd V av virke mot en mängd P av pengar. Mängden P har 100 element. Varje element har värdet 1 mark. Rita 100 punkter för att illustrera mängden P. Mängden av produktionskostnader K har 20 element mindre än mängden P. Visa mängden K som en delmängd av mängden P och svara på följande fråga: Hur många element finns det i den mängd som beskriver vinsten? 27
Matematikuppgift på 1980-talet En skogshuggare säljer virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 80 mark och hans vinst är 20 mark. Uppgift: sträcka under talet 20. 28
Matematikuppgift på 1990-talet En skogshuggare förtjänar 20 mark genom att fälla träd i en vacker skog. Vad anser du om det här sättet att förtjäna uppehället? Diskussionsämne för klassen efter att uppgiften blivit utförd: Hur kändes det för skogens fåglar och ekorrar när skogshuggaren fällde träden? 29
Matematikuppgift på 2000-talet En skogshuggare säljer ett lass virke för 100 euro. Hans produktionskostnader är 120 euro. Hur stort stöd bör han få när vinsten skall vara 20 euro, och bokföringsbyrån skall ha 60 euro? 30