RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B Tid: Torsdag 5 december 206, kl. 3.00-6.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Fredrik Olsson, tel. 08-47 7840. Fredrik kommer och svarar på frågor ungefär kl 4.30. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung) med ev egna anteckningar, miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ges endast vid ordinarie tentatillfällen (vid respektive kurstillfällen.) Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
u x 2 s+2 Σ y s+3 x 2 Figure : Blockschemarepresentation över systemet i Uppgift (a). Uppgift (a) Bestäm en tillståndsmodell med tillstånden x, x 2, insignalen u och utsignalen y, utifrån Figur. (p) (b) Ange överföringsfunktionen givet tillståndsmodellen ovan. (p) (c) Använd nu tillståndsåterkopplingen u = Lx+mr. Bestäm L = [ ] l l 2 så att det slutna systemet har båda polerna i 5. (2p) (d) Ange det slutna systemets överföringsfunktion och bestäm m i styrlagen ovan så att den statiska förstärkningen är. (p)
Uppgift 2 Ett system, Y (s) = G(s)U(s), skall styras med hjälp av återkoppling med styrlagen U(s) = F (s)(y ref (s) Y (s)) där F (s) är en regulator. Nedan visas Nyquistkurvan för systemet G(s).5 Im 0.5 - -0.5 0.5.5 2 2.5 3-0.5 Re - -.5-2 där ω =.467 ω 2 = 6 = 2.4495 (a) Om man använder proportionell återkoppling, dvs. F (s) = K, vilket är det minsta kvarvarande fel dvs. lim t (y ref (t) y(t)), då y ref (t) är ett enhetssteg? (p) (b) Antag att du kan approximera systemet med ett andra ordningens system. Tag fram stigtid och översläng genom avläsning i Nyquistkurvan för F (s) =. Kontrollera att dina avläsningar är rimliga. (p) (c) Vi vill nu eliminera det stationära felet helt men har också ett krav på insvängningstid vilket vi hanterar genom att låta τ I = 5 ω c istället för den vanliga tumregeln om τ I = 0 ω c. Designa ett lead-lag filter sådant att det slutna systemet får egenskaperna nedan jämfört med F (s) =. stegsvarets kvarvarande fel elimineras helt 2. systemet har samma stigtid och översläng som för F (s) = 3. kravet på insvängingstid ovan uppfylls när styrlagen U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) används. Motivera tydligt ditt val av skärfrekvens, fasmarginal, γ och β. (3p) 2
Uppgift 3 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Rotorten till det karaktäristiska polynomet s 3 +5s 2 +(7 K)s+0 3K, har en ändpunkt i 2. (b) Om man styr systemet Y (s) = s+3 U(s) med tillståndsåterkoppling s 2 +2s+0 är det möjligt att få det slutna systemet Y (s) = 5 Y s+7 ref(s). (c) Den maximala fasen ϕ max för ett leadfilter, F (s) = K τ Ds+, inträffar βτ D s+ vid ω = [rad/s]. τ D β (d) Alla insignal-utsignalstabila tillståndsmodeller är asymptotiskt stabila. (e) Systemet med polpolynomet + s(2 + s) 2 är stabilt. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) 3
Uppgift 4 Tidsfördröjningar är vanligt förekommande begränsningar i t.ex. processindustrin. Betrakta systemet Y (s) = G 0 (s)u(s), med insignalen u(t) och utsignalen y(t), där G 0 (s) beskriver det verkliga systemet och ges av G 0 (s) = e 0s s + 3. Vi vill styra systemet med proportionell återkoppling d.v.s. vi har styrlagen u(t) = K(r(t) y(t)), där r(t) är en referenssignal som vi vill att y(t) ska följa. (a) Antag att vi har en modell G(s) av G 0 (s) där vi inte tar hänsyn till tidsfördröjningen som ges av Det relativa modellfelet G (s), definieras som G(s) = s + 3. () G (s) = G0 (s) G(s). G(s) Visa att max ω G (iω) = 2, d.v.s. det största möjliga beloppet av frekvenssvaret för det relativa modellfelet. (p) (b) Utgå från modellen (). Bestäm max ω T (iω), där T (s) är den komplementära känslighetsfunktionen. Använd det ni känner till om max ω G (iω) och max ω T (iω) och robusthetskriteritet och visa för vilka K > 0 det verkliga systemet är garanterat stabilt. (2p) (c) För att underlätta analysen approximerar man ibland tidsfördröjningen med en rationell överföringsfunktion. En vanligt förekommande sådan approximation är Padé-approximationen e T s 2 T s 2 + T s, d.v.s. om systemet har överföringsfunktionen e T s G(s) så räknar man med 2 T sg(s) istället. Använd Padé-approximationen för att modellera vårat 2+T s system och bestäm för vilka K > 0 som modellen av det slutna systemet är stabil. (2p) 4
Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B 206-2-5. (a) Ur blockchemat fås att X = 2 U, X s+2 2 = X s+3 och Y = X + X 2. Detta ger med A = [ ] 2 0, B = 3 ẋ = Ax + Bu y = Cx [ ] 2 och C = [ ]. 0 (b) Överföringsfunktionen ges av G o(s) = C (si A) B = (c) Det återkopplade systemet kan skrivas på tillståndsform som ẋ = (A BL)x + Bmr y = Cx 2(s+4) (s+2)(s+3) Det [ slutna ] systemets poler ges då av egenvärdena till A BL. Med L = l l 2 fås det karakteristiska polynomet det (λi A + BL) = λ 2 + λ(5 + 2l ) + 6l + 2l 2 + 6. Dubbelpol i 5 ger att det (λi A + BL) = (s + 5) 2. Identifiering av koefficienter ger då L = [ 2.5 2 ]. (d) Det slutna systemets överföringsfunktion ges av G c (s) = C (si A + BL) B = 2s+8. Då är G (s+5) 2 c (0) = 8, så m = 25 ger den statiska förstärkningen 25 8 mg c (0) =. 2. (a) Vi har G o (s) = KG(s) och då Y (s) = KG(s) Y +KG(s) ref(s). Sätter vi in detta i uttrycket för felet får vi lim y ref(t) y(t) = lim s t s 0 lim s 0 + KG(0) ( Y ref KG(s) ) + KG(s) Y ref = KG(s) + KG(s) = KG(s) + K lim s 0 G(s) = KG(s) + KG(0) = Från nyquistkurvan läser vi ut G(0) = 3.. För att det slutna systemet dessutom skall vara stabilt gäller att punkten skall ligga till vänster om kruvan. Deta håller så länge < KG(iω 2 ) dvs. K < /0.6.667. Det minsta felet får vi då K.667 dvs. lim y ref(t) y(t) = t + KG(0) = + 3..667 0.622 (b) Avläsning i Nyquistgrafen ger ω c = ω och G(iω c ) 0.8 0.6i. 0.6 Detta ger fasmarginalen ϕ m = tan 36.87. Avläsning i figur 5. i Glad 0.8 & Ljung ger översläng M 33% och med hjälp av den relativa dämpningen ζ 0.32 kan vi läsa av stigtiden i figur 5.2 som T r.22 ω c 0.83s (c) Kravpunkt 2 ger att vi inte skall förändra varken skärfrekvensen eller fasmarginalen. Skärfrekvensen utläses då ur Nyquistkruvan som ω c = ω.
För att eliminera felet helt krävs ett lagfilter med γ = 0 och för att kompensera för den fasen som lagfiltret lägger till krävs ett leadfilter. Då vi har τ I = 5 ω c 3.408 skall vi kompensera med argf lag (iω c ) = tan τω c = tan 5 (se ekvation 5. i Glad & Ljung) Utifrån detta väljer vi vårat β till leadfiltret som β 0.7 från Figur 5.3 i Glad & Ljung och τ D = ω c β 0.845. För att se till att skärfrekvensen hamnar på rätt frekvens anpassar vi K i leadfiltret. F lag (iω c ) F lead (iω c ) G(iω c ) = = β K = + τ 2 = I ωc 2 K τ 2 I ωc 2 + = = β τ I ω c β + 5 2 β Detta ger det fullständig uttrycket för lead-lagfiltret som F (s) = F lead (s)f lag (s) = K τ Ds + τ I s + βτ D s + τ I s 3. (a) Falskt. Q(s) = s + 3 = 0 ger ändpunkt i 3. ; = 0.8367 0.845s + 0.676s + 3.408s + 3.408s (b) Sant. Använd polplacering och lägg en pol i 3 och en pol i 7. ; (c) Falskt. ϕ max inträffar vid ω = τ D β [rad/s].; [ ] [ ] 0 (d) Falskt. Motexempel: ẋ = x + u, y = [ 0 ] x Y (s) = 0 0 U(s) - är BIBO-stabilt, men ej asymptotiskt stabilt. Hos icke-minimala s+ realisationer kan instabila poler förkortas bort i G(s). ; (e) Sant. Kan testas med Rouths algoritm. ; 4. (a) Vi har att G 0 (s) = G(s)(+ G (s)) e 0s = + G (s) G (s) = e 0s. sup ω G (iω) = sup ω e 0iω = 2 = 2, då e 0iω beskriver en punkt på enhetscirkeln i det komplexa talplanet. (b) Kretsförstärkningen ges som G o (s) = KG(s) = K. Den komplementära känslighetsfunktionen är då T (s) = G o (s)/(+g o (s)) = KG(s)/(+ s+3 KG(s)) = K. Vi har att max K s+3+k ω T (iω) = max ω ω = K. 2 +(3+K) 2 3+K Enligt robusthetskriteriet är det verkliga slutna systemet garanterat stabilt om G (iω) <, ω. Vi har att T (iω) G(iω) max ω G (iω) samt max ω 3+K. Det ger oss garanterad stabilitet om 2 < 2K < T (iω) T (iω) K 3 + K K < 3. (c) Modellen blir G(s) = 2 0s. Polerna ges av + G 2+0s s+3 o(s) = 0 +KG(s) = 0. Vi har att +KG(s) = + K(2 0s) = (2+0s)(s+3)+K(2 0s), (2+0s)(s+3) (2+0s)(s+3) så polerna ges som rötterna till andragradspolynomet (2+0s)(s+3)+K(2 0s) = 0 0s 2 + (32 0K)s + 2K + 6 = 0. För ett andragradspolynom är det ett tillräckligt villkor att alla koefficienter är positiva för att rötterna (polerna här) ska ligga i vänster halvplan. Vi får villkoren 2K +6 > 0 som är 2
uppfyllt för alla K > 0 och 32 0K > 0 32 > 0K 32 > K. Modellen 0 är alltså stabil för 0 < K < 3.2. [Padé-approximationen bygger på att dess frekvenssvar/bodediagram är 2 it ω väldigt likt det för tidsfördröjningen för låga frekvenser: = 2+iT ω e iωt = och arg 2 it ω T ω = 2 arctan T ω för ω.] 2+iT ω 2 3