1 / 23 Matematik för språkteknologer Mängdlära Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2015
Mängdlära matematik för kategorier En mängd svarar mot en helt godtycklig kategori. Elementrelationen ( ) är kopplingen mellan en sak och varje mängd i vilken saken ingår. (Negerad:.) (Ingen vaghet: antingen eller.) Tomma mängden, /0, är den (enda) mängd som saknar element. M = N om och endast om M och N har precis samma element gäller generellt. (Extensionalitetsprincipen.) 2 / 23
3 / 23 Mängdlära relationer symbol negerad namn element = ekvivalens inklusion/delmängd
4 / 23 Mängdlära operationer symbol namn definition union M N = {x x M eller x N} snitt M N = {x x M och x N} \ differens M \ N = {x x M och x N} M c komplement M c = {x x U och x M}
5 / 23 En mängd, med exempel M mängden av huvudstäder. M Oslo Berlin Paris Tokyo Osaka Åbo Lyon Milano Uppsala
M är en delmängd till N (M N) om och endast om varje element i M också ingår i N. (Negerad form:.) 6 / 23 Alla urval ger en mängd Om vi utgår från en mängd med tre element finns sju mindre mängder. 1. {Berlin, Oslo, Paris} 5. {Berlin} 2. {Berlin, Oslo} 6. {Oslo} 3. {Berlin, Paris} 7. {Paris} 4. {Oslo,Paris} 8. {} (hellre: /0) Alla är delmängder till den första, t.ex. {Oslo, Paris} {Berlin, Oslo, Paris}
Delmängd: M N Två visualiseringar: M N N M Alla M-element är också N-element. (Inga M-element ligger utanför N.) Streckad yta är tom. 7 / 23
8 / 23 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Nixon, Thatcher, Clinton, Reagan, Bush} {Platon,Descartes,Kant} {x x är en filosof} {Bush,Nixon,Platon} {Nixon,Thatcher,Clinton,Bush} {Stockholm,Oslo,Uppsala} {x x är en huvudstad}
9 / 23 Uppräkningar och beskrivningar Uppräkning: {Helsingfors, Köpenhamn, Oslo, Reykjavik, Stockholm} Beskrivning: {x x är en nordisk huvudstad} Över- och underordnade begrepp: {x x är en hammare} {x x är ett verktyg} {x x är ett par svarta jeans} {x x är ett klädesplagg}
Disjunkthet: M N Två visualiseringar: M N M N Inga M-element är också N-element, och därmed vice versa. (Alla M-element ligger utanför N, och därmed vice versa.) 10 / 23
11 / 23 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Thatcher, Clinton, Reagan, Obama} {Platon,Descartes,Kant} {x x är en kvinnlig filosof} {Malmö,Göteborg,Uppsala} {x x är en huvudstad} Ömsesidigt uteslutande begrepp: {x x är en katt} {x x är en hund} {x x är ett par svarta jeans} {x x är en T-shirt}
eller brukar i formell semantik vara ett inklusivt eller ( och/eller, snarare än antingen-eller ). 12 / 23 Union: A B M N M N = {x x M eller x N}
Union: A B exempel {Bush, Nixon} /0 = {Bush, Nixon} {Paris} {Oslo} = {Paris, Oslo} {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Bush, Nixon, Carter} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = {x x är evangelieförfattare} {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} {x x är ett mynt} 13 / 23
14 / 23 Snitt (intersection): M N M N M N = {x x M och x N}
15 / 23 Snitt: M N exempel {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Nixon} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = /0 {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} = /0 {x x är inte fullvuxen} {x x är en hund} = {x x är en valp} {x x är förkyld} {x x är en man} = {x x är en förkyld man}
16 / 23 Differens: M \ N och N \ M Skuggat: M \ N Skuggat: N \ M M N M N M \ N = {x x M och x N} N \ M = {x x N och x M}
Differens: A B exempel {Bush, Nixon} \ {Nixon, Carter} = {Bush} {x x är en hund} \ {x x är en valp} {x x är fullvuxen} {x x är katt} \ {x x är snäll} = {x x är en katt som inte är snäll} {x x är en enkrona} \ {x x är en femkrona} = {x x är en enkrona} {x x är en enkrona} \ {x x är ett mynt} = /0 17 / 23
18 / 23 Kardinalitet Storleken hos en mängd A kallas A:s kardinalitet och skrivs A. {0,1,2,7,15} = 5 Övningar: Hur förhåller sig A B, A B och A \ B till A och B? Vad kan vi säga generellt?
19 / 23 Kardinalitet Storleken hos en mängd A kallas A:s kardinalitet och skrivs A. {0,1,2,7,15} = 5 Övningar: Hur förhåller sig A B, A B och A \ B till A och B? Vad kan vi säga generellt? A B A + B A B A och A B B A \ B A
20 / 23 Potensmängd Potensmängden till en mängd A är mängden som består av alla delmängder till A. Potensmängden till A skrivs ofta P(A). P({0,1,2}) = {/0,{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}} P({0,1,2,7,15}) = 32 Varför?
Ordnade par Ordnade par är en typ av struktur: I ett par (x,y) kallar man x och y parets komponenter. Vitsen med ordnade par är att (x,y) = (z,w) om och endast om x = z och y = w. T.ex. (2,3) (3,2)! Det vill säga, ordningen mellan komponenterna spelar en roll. Mängdnotation rakt av på detta sätt funkar inte: {2,3} = {3,2}. (Mängden {2,3} definieras av sina element (2 och 3), men kodar ingen ordning dem emellan.) 21 / 23
22 / 23 Produktmängd (av ordnade par) Mängden av alla par (a,b) där a A och b B kallas för produktmängden av A och B. Den skrivs A B och kan beskrivas genom mängdbyggaren A B = {(a,b) a A och b B} Om A = {2,3} och B = {3,4,5}, så A B = {(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)} Hur förhåller sig A B till A och B?
23 / 23 Fundera på (1) Ordnade par brukar definieras så här (Kuratowskis definition): (x,y) = {{x},{x,y}} Varför funkar det?