10! = =

Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen leder till 10! = 2 8 3 4 5 2 7 = 3628800 ϕ(10!) = 2 7 (3 3 2) (5 4) 6 = 2 11 3 4 5 = 829440. (b) Bestäm alla n N med ϕ(n) = 42. Lösning: Talen 1 2 3 6 7 14 21 42 är delarna till 42. Det innebär att primdelarna till n finns bland primtalen p = 43 7 3 2. Låt p vara den största primdelaren till n. i. Om p = 43 så gäller uppenbarligen n = p = 43 eller n = 86. ii. Om p = 7 är antingen n = 49 och n = 98 lösningar eller vi har n = 7n 0 där n 0 inte är delbart med 7. M.a.o. ϕ(n 0 ) = 7. Men det är omöjligt. iii. Fallen p = 3 2 dyker inte upp eftersom ϕ(3 m 2 n ) aldrig är delbart med 7. 2. Lös ekvationen x 2 85x + 16 = 0 i restklassringen Z 187. Lösning: (a) I restklassringen Z 11 förenklas ekvationen till 0 = x 2 8x + 16 = (x 4) 2 dvs. den enda lösningen är 4. (b) I restklassringen Z 17 förenklas ekvationen till 0 = x 2 1 dvs. x = ±1. Sedan ger kinesiska tabellen lösningarna 103 169 Z 187. Z 187 Z 11 Z 17 34 (1 0) 33 (0 1) 103 169 (4 ±1) 1

3. Hitta en primitiv rot för enhetsgrupperna till kropparna (a) Z 37. Lösning: a = 2 är en primitiv rot eftersom a 18 = 1 1 och a 12 = 11 1. (b) Z 5 [ 3 ]. Lösning: Enhetsgruppen har ordning 24 och vi tar då produkten ab där ord(a) = 8 ord(b) = 3. Elementet a := 3 har ordning 8 eftersom a 8 = 1 a 4 = 1 a 2 = 3 medan prövning av b := 2 1 ( 1+3 3) (i analogi till komplexa tredje roten med 3 i stället för i) leder till b = 2 3. För trygghetens skull rekommenderas att kolla b 3 = 1. Till sist får vi den primitiva roten ab = 1 + 2 3. 4. Given den offentliga nyckeln (77 23) avkoda 4 Z 77. Lösning: Avkodningen funkar så här: Z 77 Z 77 b b d där 23d 1 mod (60) pga. ϕ(77) = 60. Euklidiska algoritmen ger d = 47 som den minsta exponenten. Så vi måste beräkna 4 47 Z 77 = Z7 Z 11. En gång till tittar vi på kinesiska tabellen Z 77 Z 7 Z 11 22 (1 0) 56 (0 1) 4 (4 4) 4 47 (4 5 4 7 ) 16 (2 5) så avkodningen blir 16. 5. För vilka n N >1 finns det i restklassringen Z n (a) inga nolldelare? Svar: n = p med ett primtal p. 2

(b) idempotenta element 0 1? Svar: n har minst två olika primdelare m.a.o. är inte en primtalspotens n p m. (c) nilpotenta element 0? Svar: p 2 n för något primtal p. (d) bara nilpotenta nolldelare? Svar: n = p m är en primtalspotens. 6. Vilka av följande polynom är irreducibla? (a) X 3 4X + 2 Q[X] Svar: Det är irreducibelt eftersom dess grad är 3 och det inte har rationella nollställen. Eftersom vårt polynom är normerat och har heltalskoefficienter är de ju heltal och delare till dess konstanta term 2. Men ±1 och ±2 är inte nollställen. (b) X 2 + 1 Z 31 [X]. Svar: Det är irreducibelt eftersom X 2 + 1 inte har nollställen i Z 31. Ett nollställe skulle ha ordning 4 i enhetsgruppen Z 31 men enhetsgruppens ordning Z 31 = 30 är ju inte delbart med 4. (c) X 2 X + 1 Z 37 [X]. Svar: Det är reducibelt. Eftersom 1 inte är ett nollställe och (X + 1)f = X 3 + 1 är dess nollställen restklasserna av ordning 6 och sådana finns eftersom p 1 = 36 är delbart med 6. Nollställen är nämligen 2 6 = 10 och 2 6 = 11. 7. Faktorisera det Gaußiska heltalet 490 1680i som produkt av Gaußiska primtal! Lösning: och medan således 490 1680i = 70 (7 24i) 70 = 2 5 7 = i(1 + i) 2 (2 + i)(2 i) 7 7 24i 2 = 625 = 5 4 7 24i = e (2 ± i) 4 e A 1. 3

I själva verket gäller (2 ± i) 4 = (3 ± 4i) 2 = 7 ± 24i dvs. Slutligen 7 24i = (2 + i) 4. 490 1680i = i(1 + i) 2 (2 + i) 5 (2 i) 7. Algebra II: Lösningar till tentan den 27. augusti 2012 1. Beräkna resten r man får efter division av 2135 3315 med 41 dvs. sådant att 2135 3315 = q 41 + r 0 r < 41. 2. Lös ekvationen x 2 x + 1 = 0 i restklassringen Z 133. Lösning: Vi har Z 133 = Z7 Z 19. (a) I restklassringen Z 7 blir ekvationen 0 = x 2 + 6x + 1 = (x + 3) 2 1 lösningarna är 3 5. (b) I restklassringen Z 19 förenklas ekvationen till 0 = x 2 + 18x + 1 = (x + 9) 2 4 lösningarna är x = 12 8. Sedan ger kinesiska tabellen Z 133 Z 7 Z 19 57 (1 0) 77 (0 1) 11 (3 8) 31 (3 12) 30 (5 8) 12 (5 12) lösningarna blir således 30 11 12 31 Z 133. 3. Given den offentliga nyckeln (65 23) avkoda 42 Z 65. Lösning: Avkodningen funkar så här: Z 77 Z 77 b b d 4

där 23d 1 mod (60) pga. ϕ(77) = 60. Euklidiska algoritmen ger d = 47 som den minsta exponenten. Så vi måste beräkna 4 47 Z 77 = Z7 Z 11. En gång till tittar vi på kinesiska tabellen Z 77 Z 7 Z 11 22 (1 0) 56 (0 1) 4 (4 4) 4 47 (4 5 4 7 ) 16 (2 5) så avkodningen blir 16. 4. Ange alla idempotenta resp. nilpotenta element i ringen Z 315! Lösning: Vi har Z 315 = Z5 Z 7 Z 9. De idempotenta elementen 0 1 resp. de nilpotenta elementen 0 finns listade i vänstra kolonnen till tabellen: Z 315 Z 5 Z 7 Z 9 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (0 0 3) (0 0 6) 5. Vilka av följande polynom är irreducibla? Om inte kan det skrivas som produkt av tre linjära faktorer? (a) f = X 3 3X + 1 Q[X] (b) g = X 2 + 1 Z 41 [X] (c) h = X 3 + 1 Z 43 [X]. 5

Lösning: (a) Polynomet f är irreducibelt eftersom det har grad 3 och saknar nollställen. Eftersom f Z[X] måste dessa vara heltal som delar den konstanta termen 1 men varken 1 eller 1 är nollställen. (b) Eftersom 41 1 mod (4) finns det ett element i Z 41 med i 2 = 1 således är g = (X + i)(x i) inte irreducibelt. I själva verket kan vi ta i = 9. (c) Vi har h(1) = 0 samt h = (X 1)(X 2 X + 1). Nollställena till X 2 X + 1 har ordning 6 och eftersom 6 delar 42 finns element av ordning 6 i Z 43. I själva verket har vi X 2 X + 1 = (X + 6)(X 7). 6. Faktorisera det Gaußiska heltalet 85 + 25i som produkt av Gaußiska primtal! Lösning: Vi har Sedan har vi 85 + 25i = 5(17 + 5i) = (2 + i)(2 i)(17 + 5i). 17 + 5i 2 = 289 + 25 = 314 = 2 157 och 17 + 5i = (1 + i)(11 6i). 7. (a) Visa: För en ändlig kropp F gäller F = p n med något primtal p. Lösning: Om p = char(f) har vi Z p F. För en primitiv rot a F har vi F = a Z och således F = Z p [a] och m a Z p [X] är inte nollidealet eftersom det skulle innebära att Z p [a] = Z p [X] var oändlig. Låt n vara graden till minimalpolynomet av a över Z p. Sedan har varje element i F en entydig framställning som summa n 1 ν=0 c νa ν med c 0... c n 1 Z p. Det följer F = p n. (b) Hur får man en kropp F med p 2 element? Lösning: Ta F = Z p [A] med någon lämplig matris A (Z p ) 22. För p > 2 kan vi ta A = 6 ( 0 1 d 0 )

där d Z p inte är en kvadrat t.ex. en primitiv rot. För p 3 mod (4) kan vi också ta d = 1. För p = 2 tar vi ( ) 1 1 A =. 1 0 Algebra II: Tenta den 19. januari 2013 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Bestäm med hjälp av Euklides algoritm sgd(1079 611) och skriv den som heltalslinjärkombination av talen 1079 och 611. 2. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. Bestäm alla n N med ϕ(n) = 2 7 n. 3. Given den offentliga nyckeln (187 13) avkoda 31 Z 187. 4. Låt p vara ett primtal och n N.. (a) Ange alla nilpotenta element i ringen Z p n. (b) Visa: I ringen Z p n är 0 1 de enda idempotenta elementen. (c) Ange alla idempotenta resp. nilpotenta element i ringen Z 225. 5. (a) Visa att Z 4 [X] = {±1 + 2Xf(X); f Z 4 [X]}. (b) Låt p vara et primtal n N. Kan du gissa (och visa?) vilka polynom i Z p n[x] som är inverterbara?. 6. Faktorisera det Gaußiska heltalet 22 4i som produkt av Gaußiska primtal! 7. För vilka primtal p är faktorringen Z p [X]/(X 2 + 1) (a) ett integritetsonråde? (b) en kropp? Om inte så är fallet kan man ändå säga någonting om den dvs. är den isomorf med någon annan känd ring? 8. Ange en additions- och en multiplikationstabell för kroppen F 4 med 4 element! Vad är skillnaden mellan F 4 och Z 4? 7