Ivar Gustavsson / Jan Södersten Matematiska vetenskaper Göteborg 6 november 9 Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 67, Extraexempel (M) efter uppgiftsnumret anger att MATLAB lämpligen används för att lösa uppgiften. Extra 3 a) Lös ekvationen x + 5x+ = genom intervallhalvering. Svaret skall ges med 5 korrekta decimaler. b) Skriv en MATLAB - funktion för intervallhalvering. Extra Betrakta f(x) = då : Gör 4 iterationer med Newton och feluppskatta. f(x) = x x+ ( med trivial lösning ) Extra 3 Visa att Newtons metod konvergerar linjärt med asymptotiska felkonstanten C = / vid dubbelrötter. Extra 4 Ekvationen f (x) = skall lösas. a) Antag att f (x) skall beräknas med ett absolut fel < 4 och att. f (x). nära roten Med hur stor noggrannhet kan x bestämmas? 4 b) I närheten av roten x. blir avrundningsfelet vid beräkning av f (x) maximalt gäller f (x ). Med hur stor relativ noggrannhet kan x bestämmas? x. och vidare Extra 5 Antag att vi vill beräkna a genom att lösa ekvationen f (x) = med f (x) = x a. Undersök om följande två varianter av fixpunktsiteration enligt x k + = g(x k ) är lokalt konvergenta då a = 3. Kontrollera först att omskrivningen till fixpunktsiteration är korrekta. a) g(x) = a + x x b) x g(x) = + x a c) Hur ser den fixpunktsiterationsfunktionen g(x) ut, som motsvarar Newtons metod för den aktuella ekvationen? 9--6 TMA 67, sid
Extra 6 Förbättrad Newtons metod för dubbelrötter. För att bestämma en dubbelrot till en ekvation kan man använda följande variant av Newtons metod: x k+ = x k f (x k ) f (x ) k a) Visa att konvergensen blir kvadratisk (medan vanlig Newtons metod som vi vet har linjär konvergens för dubbelrötter). f (x) Ledning: Betrakta funktionen u(x) = f (x) och derivera på lämpligt sätt två gånger för att få ett uttryck för (x) u. b) (M) För att testa Newtons metod och den förbättrade varianten ovan skall vi bestämma dubbelroten x = 3 till ekvationen f (x) = x 7.5x + 8x 4 =. Starta i x = med de båda metoderna och skriv ut de tio första approximationerna för Newtons metod och de fyra första för den förbättrade metoden. Verifiera att Newtons metod konvergerar linjärt med felkonstant.5 och att den förbättrade metoden konvergerar kvadratiskt. Extra 7 Bestäm, som funktion av a >, inversen och konditionstalet i max-norm till matrisen 3 3 Ange konditionstalen för a =,.,,,,. Vilket a-värde ger den mest välkonditionerade matrisen? A (a) = + a Extra 8 Ekvationssystemet Ax = b med A =, b = 4. är givet. Bestäm en noggrannhet för π, mätt i antal π 6 korrekta decimaler, så att det relativa felet i lösningen, i normen, blir mindre än.5. Extra 9 (M) Låt tre cirklar ha medelpunkterna (,.4), (4, 6.8), (6.5, 4.74). Bestäm deras radier så att de tangerar varandra och rita upp dem. Sambanden mellan radier och punktavstånd skrivs i MATLAB enklast på matrisvektor-form med matris som bara har ettor och nollor som element. Lös systemet med backslash. 9--6 TMA 67, sid
Extra Strålningsintensiten I hos ett radioaktivt preparat avtar med tiden t enligt I(t) = I e λt Genom mätningar har följande data erhållits t 3 4 5 6 I 6.3 4.76 3.5.67..48 Bestäm I och λ med minsta-kvadrat-metoden. Ledning: Logaritmera för att få ett linjärt problem. Extra (M) För bestämning av längdutvidgningskoefficienten λ för en viss metall gjordes ett experiment där en metallstång upphettades och längden avlästes vid fem temperaturer t( o C). 5.5 3. 36.8 4. l (m) 8.78 8.93 9.6 9.5 9.4 a) Ansätt sambandet och bestäm parametrarna l och l = l + λt λ enligt minsta-kvadratmetoden genom att använda normalekvationerna. Arbeta dels med sex siffrors noggrannhet och dels med tre siffrors noggrannhet, dvs. i sista fallet med samma noggrannhet som data är givna i. Förklara skillnaden i resulatet. b) Samma uppgift som i a) men med modellen ansatt enligt l = 9. + l + λ(t 3.) Extra 7 Betrakta flyttalssystemet (, 3, -9, 9) och låt a = 8.5, Vad blir resultatet av följande flyttalsoperationer: b = 5.5, c =.4 och 5 d =.5. y 3 4 = = fl(a + b), y = fl(a b), y = fl(a c), y fl(d d)? Ange även i samtliga fall (om det går) en gräns för det relativa felet i resultatet. 9--6 TMA 67, sid 3
Extra 3 Visa med framåtanalys att relativa felet vid subtraktion x x är begränsat av max( x, x μ + μ( + μ) x x ) vid IEEE-standard och med avrundningsenhet μ. Relatera felet till begreppet kancellation. Ge även ett motsvarande uttryck då bakåtanalys används. Extra 4 En timmerränna har i genomskärning formen av en likbent parallelltrapets. Vid tillverkningen används metallplåtar med bredden 6 m, se figuren. Hur skall dessa bockas för att rännan skall rymma så mycket som möjligt? x v a) Ange tvärsnittsarean A som en funktion av x och v. b) Ange det ickelinjära system som ger stationära punkter till A(x, v). c) Anges Newtons metod för systemet i b). Extra 5 Gör ett par iterationssteg med steepest-descent-metoden och med konjugerad-gradient-metoden på problemet: Utgående från startpunkt i origo. Extra 6 Sök min x xx + x x + x R Du vill anpassa en serie observationer t, y ), i =,, m till en modell på formen ( i i c t y(t) = c + ce sin(c3t) som beskriver en dämpad svängning. Formulera problemet att bestämma parametrarna c i, i =,, och 3 i minsta-kvadratmening. Ange speciellt residual och Jacobian samt skriv upp det linjära minsta-kvadratproblem, som löses i varje iterationssteg i Gauss-Newtons metod. 9--6 TMA 67, sid 4
Extra 7 Hos en handelsträdgård kan man köpa konstgödsel av två slag, "Växa högt" och "Växa tätt", innehållande följande procentuella andelar kväve (N), fosfor (P) och kalium (K) till extrapris ( kronor per 5 kilo ). I tabellen nedan anges även de mängder ( i kilo ) av de ämnen som, enligt jordanalys, minst behöver tillföras Din golfbana. Mängderna är så stora att Du kan bortse från eventuella heltalskrav. N P K kostnad Växa högt 9 7 5 43 Växa tätt 5 4 38 behov 75 5 6 a) Formulera problemet: Inhandla konstgödning så att kostnaderna minimeras. b) Lös problemet med lämplig metod. Ange även om övergödning förekommer av något ämne. Extra 8 För en kvadratisk spline s (x) gäller i. s (x) och s (x) är kontinuerliga på ( x, x n ) ii. På varje delintervall är s (x) ett andragradspolynom.. Bestäm den kvadratiska spline s (x) som interpolerar x 3 4 5 f(x) 3 5 6 5 Extra 9 (M) och som uppfyller villkoret s () =. Runges fenomen vid interpolation samt spline-interpolation. Interpolation med polynom innebär att man anpassar ett polynom av ett visst gradtal till ett antal punkter i planet, så att polynomet går exakt genom punkterna och används som approximation mellan punkterna. Om antalet punkter är n+, så är gradtalet på polynomet n. Interpolation med högt gradtal kan leda till dålig approximation mellan punkterna, som vi skall se genom att studera den så kallade Runges funktion R(x) = på intervallet x. Splines är styckvisa polynom av lägre grad, som man kan använda + 5x till interpolation i givna punkter. a) Välj nio likformigt fördelade punkter mellan - och : x i = +.5i, i =,,, 8 och bestäm y i = R(x i ) där R(x i ) är Runges funktion ovan. Rita ut punkterna ( x i, y i ) i MATLAB. b) Anpassa ett polynom av grad 8 till punkterna med polyfit. Rita ut polynomet med hjälp av polyval och plot. c) Anpassa en kubisk spline till punkterna i a)-uppgiften med spline i MATLAB och rita ut den anpassande splinen med plot. d) Vilken av anpassningarna, polynom av grad åtta eller spline, stämmer bäst med den bakomliggande funktionen R (x)? 9--6 TMA 67, sid 5
Extra Betrakta splineinterpolation till funktionen f (x) = x x i punkterna, och. a) Bestäm den linjära spline som interpolerar f i punkterna.. b) Bestäm den kvadratiska spline som interpolerar f i punkterna och som uppfyller randvillkoret s () =. Extra (M) Följande data härrör från observationer av magnituden (skenbara ljusstyrkan) hos en variabel stjärna. Tid...3.4.5.6.7.8. Magnitud.3.85.6.93.4.579.56.468.3 Anpassa dels ett interpolationspolynom (med MATLAB-funktionen polyfit), dels en kubisk spline (med MATLAB-funktionen spline). Vilken approximation tror Du bäst överensstämmer med verkligheten? Extra.4 a) Bestäm f (x)dx med två korrekta decimaler, då f (x) ges av följande tabell med korrekt avrundade funktionsvärden. x.5..5..5.3.35.4 f(x) 3..96.86.68.44.4.79.39.94 b) Antag att vi istället vill beräkna integralen I = f (x)dx, där Bestäm I med felgränser. a a =.4 ±. Extra 3 En raket skjuts upp från marken. Dess acceleration under de 6 första sekunderna ges av följande tabell: t(s) 3 4 5 6 a (m / s ) 3. 3.63 33.44 35.47 37.75 4.33 43.9 Bestäm approximativt raketens hastighet och höjd vid tiden t = 6. 9--6 TMA 67, sid 6
Extra 4 För att mäta bensinförbrukningen vid kallstart av en personbil har man vid förgasaren monterat en genomströmningsmätare. Vid försök erhöll man följande värde: x.5.5.375.5.65.75.875 f(x).6.8.7.45.6.3.4.97.9 Här är x körd sträcka efter start (mil) och f(x) är momentan bränsleförbrukning (liter/mil). Funktionsvärdena antas korrekt avrundade. Beräkna med ett fel mindre än bensinförbrukningen för den första milens körning. Extra 5 Behandla problemet y = y, y () = med Eulers framåtmetod som prediktor och trapetsmetoden som korrektor. Tag ett steg med metoden och med steglängd h =.. Använd fixpunktsiteration i korrektorn. Extra 6 Betrakta systemet y = Ay, y () = c med A = och 4 3 c =. Hur liten steglängd måste man välja i Eulers framåtmetod för att få stabilitet? Extra 7 (M) Stabilitetsområden för prediktor / korrektor par. Betrakta följande prediktor / korrektor par för lösning av (system av) första ordningens differentialekvationer: (p) Euler framåt (k) Euler bakåt med en alternativt två fixpunktsiterationer i korrektorn (k). Bestäm och rita ut stabilitetsområdet för de två alternativen med hjälp av MATLAB s grafik. Extra 8 Låt U vara det tvådimensionella underrum i Bestäm en ortonormerad bas för det ortogonala komplementet U till U. 5 R som genereras av vektorerna (,,,, ) och (,, 3,, ). Extra 9 Beräkna det minsta avståndet från (, 5, 4,, 7, 3) till det underrum i 6 R som definieras av x x + x3 x4 + x5 x6 = 3x + 3x + 7x3 + 5x4 + 5x5 + x6 = 9--6 TMA 67, sid 7
Extra 3 a) Ange den ortogonala projektionen av u (,4,4,) (,,, ) och (,,, ). b) Bestäm avståndet från u till underrummet. 4 = på underrummet i R som genereras av vektorerna 9--6 TMA 67, sid 8