Anteckningar Numeriska Metoder

Transkript

1 Anteckningar Numeriska Metoder Freddie Agestam 13 januari 015 Innehåll 1 Frl Praktisk information Varför numeriska metoder? Felanalys Felgränser Felfortplantning Klickarfråga Felfortplantingsformeln, generellt Klickarfråga Experimentell störningsräkning Frl 10.1 Repetition förra gången Mer om felfortplantningsformeln Exempel: Summa Exempel: Produkt Exempel: Elektrisk krets Experimentell störningsräkning Exempel Max-min-räkning Vilken formel ska man välja? Hur kan fel uppstå? Kancellation Utskiftning Ekvationslösning (del 1) Klickarfråga Klickarfråga Frl Kommentar om matlab Ekvationslösning (del ) Repetition förra gången Klickarfråga Kvadratisk konvergens för Newtons metod Fixpunktsmetoden Klickarfråga När konvergerar fixpunktsmetoden mot en lösning?

2 4 Frl Frågor om en labbuppgift Ekvationslösning (del 3) Konvergensordning för metoder för ekvationslösning Sekantmetoden Intervallhalveringsmetoden Linjära ekvationssystem (del 1) Frl Repetition Linjära ekvationssystem () Repetition Stora Ordo-notationen I labben: Lösa flera ekvationssystem med samma matris Klickarfråga Normer för vektorer och matriser Klickarfråga Felanalys vid linjära ekvationssystem Egenvärden (1) Potensmetoden Frl Repetition Egenvärden (del ) Bevis av satsen om potensmetodens konvergens Egenvärden till invers Inversa potensmetoden Ickelinjära ekvationssystem (del 1) Exempel - en bra startgissning? Frl Om labb Bokningssystem för att redovisa labbar Uppgift 10 - linjära ekvationssystem Uppgift 11 - egenvärden Interpolation (del 1) Interpolera n + 1 punkter med ett polynom av grad n Den naiva ansatsen Newtons ansats Exempel - hitta interpolerande polynom Interpolationsfel - styckvis konstant interpolation Uppgift - begränsa interpolationsfelet Interpolationsfel - styckvis linjär interpolation Frl Repetition Interpolation (del ) Runges fenomen Interpolationsfel vid styckvis interpolation (repetition) Uppgift - styckvis linjär interpolation

3 8.3 Överbestämda ekvationssystem / minsta kvadratmetoden (del 1) Minsta kvadratmetoden Lösa minsta kvadratmetoden Uppgift - minsta kvadratmetoden Frl Minstakvadratanpassning (del ) Repetition Uppgift 1 - minstakvadratanpassning Uppgift - minstakvadratanpassning Minstakvadratanpassning med kurvor Icke-linjära minstakvadratproblem Newtons metod Räkneexempel Frl Minsta kvadratmetoden (del 3) Räkneuppgift Numerisk derivering (del 1) Framåtdifferens Central differens Noggrannhetsordning Fråga Frl Administrativt Integraler (del 1) Fråga Mittpunktsmetoden Trapetsmetoden Fråga Uppgift Uppgift Simpsons formel Frl Differentialekvationer (del 1) Första ordningens ordinära differentialekvationer Antal lösningar Entydig lösning av första ordningens differentialekvation Framåt Euler-metoden Uppgift Felanalys Frl Differentialekvationer (del ) Repetition förra gången System av differentialekvationer Uppgift

4 Differentialekvationer av högre ordning Bakåt Euler Exempel Stabila och instabila stationära punkter Absolutstabilitet Frl Administrativt Differentialekvationer (del 3) Absolutstabilitet Uppgift Styva problem Explicita trapetsmetoden Felanalys för trapetsmetoden Kommentar till noggrannhetsordning för Framåt Euler Frl Differentialekvationer (del 4) Kurvintegral Konservativa kraftfält Energiresonemang Symplektisk Euler-metoden Runge Kutta 4-metoden I lab Observabler Frl Integration i hög dimension (del ) Brute force Monte Carlo-integration Hur precis är Monte Carlo-metoden? Integration över icke-rektangulära områden Vilken metod ska användas? Integration med Eulers metod Frl Integration i hög dimension (del ) Fel beroende av regularitet Partiella differentialekvationer (del 1) Randvärdesproblem Finita differensmetoden Frl Randvärdesproblem (del ) Repetition Felanalys Ekvationslösning Linjära ekvationssystem Konditionstal Egenvärden

5 18..6 Interpolation Minsta kvadratmetoden (MKM) Icke-linjär MKM Konvergensordning Noggrannhetsordning Numerisk derivering Numerisk integration Numerisk differentialekvationslösning Randvärdesproblem Disclaimer Jag läser inte alltid igenom allt jag skriver och det kan finnas fullt med fel i dessa anteckningar. Du är välkommen att maila mig rättelser på agestam@kth.se. 5

6 1 Frl Introduktion. 1.1 Praktisk information Praktisk information. Matematiker och dataloger läser kursen BE3003. Den samläses i stort med BE300 (för fysiker, som saknar KTH-konton), men vi har våra labbar på KTH. Kurssidan finns här. 1. Varför numeriska metoder? Hitta nollställen - lösa Lösa linjära ekvationssystem Hitta egenvärden f(x) = 0 Ax = b Ax = λx Interpolation: hitta en funktion som går igenom givna punkter. Minsta kvadratmetoden: Hitta en enkel funktion (linje) som minimerar kvadratfelet. Integration (numeriskt). Om man inte hittar en primitiv till Eller jobbar i hög dimension Differentialekvationslösning 1.3 Felanalys b a f(x) dx [0,1] 100 f(x) dx x (t) = f(t, x(t)) Ofta hittar man inte ett exakt värde x och får nöja sig med dess approximation x. Vi introducerar absoluta felet e x = x x Observera att där inte finns något absolutbelopp trots namnet. Ett annat begrepp är det relativa felet r x = x x x Observera att det relativa felet är enhetslöst, vilket inte det absoluta felet är. 6

7 1.3.1 Felgränser Ofta känner man inte till vilket felet är på x, eftersom det ju skulle innebära att man känner till x självt. Istället känner man till en felgräns, inom vilken felet bör vara. Felgränser: e x E x 1.4 Felfortplantning r x R x Vi gör ett experiment med indata x och utdata y. Om vi känner till felgränser på x, vad blir då felgränser på y? Givet E x, vad är E y? y = f(x) ỹ = f( x) Man kan göra en linjär approximation: ỹ y = f( x) f(x) f ( x)( x x) ỹ y f ( x) x x f ( x) E x Detta ger oss Felfortplantningsformeln E y f ( x) E x Där vi ser att stor derivata innebär stort fel Klickarfråga Om y = x + x 3 och x =.00 ± 0.03, då ges y med approximativ felgräns av 1.00 ± ± ± ± 0.48 Något annat En svårighet här är att förstå notationen: x =.00, E x = 0.03 Sedan har vi y( x) = 1.00 y = x + 3x y ( x) = y () = = 16 Med felfortplantningsformeln får vi E y = 0.48 Rätt svar är alltså d. 7

8 1.5 Felfortplantingsformeln, generellt Samma formel som innan, fast i högre dimension. Man kan välja att göra linjäriseringen kring den faktiska punkten eller den approximativa; vi har ändå en approximation. Därför är inte angivet i vilken punkt derivatan tas Klickarfråga y = f(x 1, x,..., x n ) E y f x 1 E x1 + f x E x f x n E xn Om z = x y 3 och x = 1.00 ± 0.01 och y = 1.00 ± 0.0 så är z = 1.00 ± ± ± ± ± 0.16 Något annat Lösning: Rätt svar är alltså d. z x = xy 3 z y = x 3y z x(1, 1) = ; z y(1, 1) = 3 E x = 0.01; E y = 0.0 E z = = Experimentell störningsräkning Man stör i en koordinat x i i taget och avläser förändringar i utdata y. Nedanstående uttryck blir ungefär derivatan, om man tänker på E x som kvantiteten h som man stör värdet x med i den vanliga formuleringen av derivatans definition. När man stör en koordinat får man följande uttryck som en uppskattning av den partiella derivatan f x 1 f( x 1 + E x1, x,..., x n ) f( x 1,..., x n ) E x1 Om man stör alla koordinater får man ett uttryck för felgränsen E y E y n i=1 f( x 1,..., x i + E xi,..., x n ) f( x 1,..., x n ) 8

9 Hur fick vi denna formel? Detta är ungefär den ekvation som dyker upp i definitionen av differentierbarhet av f. Högerledet kan skrivas om som E y n i=1 f( x 1,..., x i + E xi,..., x n ) f( x 1,..., x n ) n f xi Exi och vi kommer tillbaka till samma formel/uppskattning som i metoden med felfortplantningsformeln. Skillnaden är vår metod för att beräkna feluppskattningen - här använder vi funktionen f och sätter in ett stört värde, medan i felfortplantningsformeln använder vi de partiella derivatorna i den uppmätta punkten. i=1 9

10 Frl Repetition förra gången Vi gör ett experiment med indata x och utdata y. Vi kan tänka på den som en funktion f. Om felgärnser är känt i indata, vad är då felgränserna i utdata? Vi kan beskriva detta på tre sätt, varav vi har pratat om två.. Mer om felfortplantningsformeln Formeln säger som bekant, att då y = f(x 1,..., x n ), har vi..1 Exempel: Summa Vi har E y n f xi Exi i=1 z = x + y Vi har en felgräns E x och en felgräns E y. Vad är felgränsen E z?.. Exempel: Produkt Vi har E z = E x 1 + E y 1 z = xy = f(x, y) Genom linjärisering kan vi beskriva absoluta felet som Om vi dividerar detta med z får vi e z = ye x + xe y e z z = e x x + e y y Vi ser att det relativa felet adderas vid multiplikation (medan det absoluta felet adderas vid addition)...3 Exempel: Elektrisk krets Vi har från gymnasiet P = U I. Om vi har uppmätt U = 0 V ± 1%, I = 10 A ± %, får vi P =. kw ± 3%..3 Experimentell störningsräkning Nästa metod vi tittade på var experimentell störningsräkning. 10

11 .3.1 Exempel Vi har en yta z = f(x, y) Vi har uppmätt värdena x, ỹ. Vi vet att indata har de absoluta felgränserna E x, E y. Vi beräknar den absoluta felgränsen E z för utdata som.4 Max-min-räkning E z f( x + E x, y) E x + f(x, ỹ + E y ) E y Denna tredje metod hann vi inte gå igenom förra gången. Vi tittar på samma yta, men bara definierad på en rektangel. Var kan maxima och minima uppstå? Från analys vet vi att vi måste undersöka inre punkter och randpunkter. Dock om området (rektangeln) är väldigt liten är det troligt att max och min uppstår i något av hörnen. I allmänhet om y = f(x), är det troligt att om E x1, E x,..., E xn små så antas största/minsta värdena till f i hörnen. Vi beräknar alla funktionsvärden i hörnen ( n hörn i ett hyper-rektangulärt områden) i de olika n leden och plockar ut största och minsta värden y max, y min. Sätt ỹ = ymin+ymax, E y = ymin ymax.4.1 Vilken formel ska man välja? För felfortplantningsformeln behöver man derivatan. För de andra två behöver man kunna beräkna funktionsvärden. Felfortplantning och störningsräkning bygger på linjärisering..5 Hur kan fel uppstå? Det rör sig framför allt om två metoder, kancellation och utskiftning..5.1 Kancellation Noggrannhetsförlust vid subtraktion av två nästan lika stora decimaltal/flyttal. Exempel: Beräkna ett gränsvärde. 1 cos x lim x 0 x I Matlab kan man testa med ett väldigt litet värde, ex x=1e-10. Då får man att är svaret blir ans = 0 Dock om man beräknar detta algebraiskt får man, t.ex. med förlängning med konjugatet (1 + cos x) eller med l Hôpitals regel, får man att gränsvärdet är 1. Hur hände detta? Om vi subtraherar två tal med t.ex. fyra siffrors noggrannhet = får vi detta fall ett tal med en siffras noggrannhet. (Matlab arbetar med 15 siffrors noggrannhet.) 11

12 .5. Utskiftning Noggrannhetsförlust vid addition av tal av mycket olika belopp. I Matlab >> 5 + e-0 5 Eller om man försöker beräkna gränsvärdet ( lim x n och väljer ett litet tal n=1e0 kommer värdet inom parentesen bli 1 + 1e-0 =1 enligt matlab. Därför får man det felaktiga gränsvärdet 1 i matlab, när gränsvärdet som känt är e..6 Ekvationslösning (del 1) Slut på den inledande felanalysen! Nu ska vi lösa uppgifter. Vi ska börja med att titta på Newton-Raphsons metod. Vi vill lösa en ekvation som vi skriver om på formen f(x) = 0 Vi börjar med en gissning x 0 och förbättrar gissningen x n genom att följa tangenten till f genom (x n, f(x n )) till x-axeln. Detta är en itererad linjär approximation. Detta ges av x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Det svåra i metoden är att hitta en bra startgissning. Väljer man ett värde nära ett lokalt optimum eller nära en asymptot kan man få problem enligt Matemathica. I fallet när man väljer en bra startgissning för en kontinuerlig funktion kan man vara säker på konvergens. Josefine säger hästar<3.7 Klickarfråga 1 Givet ekvationen x 3 + x + = 0 och startgissning x 0 = 1, vad blir x något annat Derivatan är f (x) = 3x +. Alltså är svaret b. ) n x 1 = 1 = f( 1) 1 = 1 f ( 1) 5 = 4 5 1

13 .8 Klickarfråga Givet ekvationen x 3 + x = och startgissning x 0 = 1, vad blir x det kan man inte veta Det är samma ekvation (ekvivalent) som innan. Alltså b. Det är dock inte uppenbart. Det är inte givet vilken ekvation som ska användas, även om man kan gissa vilken som avses. Vi kan göra en omskrivning till en annan ekvation kommer vi får ett annat svar. T.ex. om vi vet att nollstället inte inträffar i x = 0 kan vi dela med x. Man inser med kvotregeln för derivata att kvoten f(x 0) f (x 0 ) kommer få ett annat värde. 1 1 Denna ekvation är ju dock inte ekvivalent. Enda sättet att få en helt ekvivalent ekvation är att multiplicera med en konstant, varvid, pga derivatans linjäritet, kvoten f(x 0) f blir den (x 0 ) samma som innan. 13

14 3 Frl Kommentar om matlab Redovisa uppgifterna fortlöpande. Spara dina resultat i m-filer. T.ex har man gjort beräkningar sum(1:10) kan man spara dessa i ett program summa.m och köra det med >>summa ans = 55 Likadant med funktioner minfunktion.m function s = minfunktion(a,b) s = a+b >>minfunktion(5,6) 11 Filen och funktionen måste ha samma namn (minfunktion). 3. Ekvationslösning (del ) 3..1 Repetition förra gången Vi gör en approximation av med Newton-Raphsons metod. Vi behöver en funktion som har roten som nollställe. x n+1 = n n x x n f(x) = x f (x) = x = xn + 1 x x Kör man detta i matlab (eller i python...) får man x_n h_n e e-1 En tumregel för Newtons metod är att man får två nya siffror (ungefär för varje iteration). Om Newtons metod funkar (dvs man har hittat ett bra startvärde) har man väldigt snabbt konvergens. 14

15 3.. Klickarfråga x=5; h=1; while XX h=f(x)/fprim(x); x=x-h; end Vad ska XX i matlabkoden ovan ersättas med för att få ett rimligt avbrottskriterium? A. abs(h)<1e-3 B. abs(h)>1e-3 C. abs(h)<1e-3 D. abs(h)<1e-3 Talet h syftar på förbättringen. När den är väldigt liten tjänar det inte mycket till att fortsätta. Medan h är stort ska iterationen fortsätta. Alltså är alternativ b rätt Kvadratisk konvergens för Newtons metod Sats: Antag att f ggr kontinuerligt deriverbar och f (α) 0 samt att lim x x n = α, där f(α) = 0. Då har vi x n+1 α (x n α) K för någon konstant K, då n. Detta kallas för kvadratisk konvergens. Bevis: Vi använder en Taylorutveckling (nedan en utveckling kring x 0, som repetition av formeln) f(x) = f(x 0) + f (x 0)(x x 0) + f (ξ) (x x 0) för något tal ξ mellan x och x 0. Vi Taylorutvecklar alltså kring x n och ska lösa när uttrycket är lika med f(α): Dividera med f (x n) Substituera x n+1 = x n Dividera med (x n α) Då n har vi Välj då och vi har 0 = f(α) = f(x n) + f (x n)(α x n) + f (ξ) (α x n) 0 = f(xn) + (α xn) + f (ξ) (α f (x n) f xn) (x n) f(xn) f(x n+1 x ) n+1 α = f (ξ) (α f xn) (x n) x n+1 α (x n α) = f (ξ) f (x n) f (ξ) f (x f (α) n) f (x n) K = f (α) f (α) x n+1 α (x n α) K 15

16 3..4 Fixpunktsmetoden Ny metod. Precis som för Newtons metod behövs en startgissning. Vi löser ekvationen på formen x = g(x) Om vi har en lösning α kallas detta för en fixpunkt. Gör följande iterationssteg En fördel är att man slipper derivera Klickarfråga x n+1 = g(x n) Vilka ekvationer är ekvivalenta med x 3 + x + = 0? Följande är det x = x 3 + 3x + x = x3 + x = 3 x Ett steg med fixpunktsmetoden applicerad på ekvationen x = x3 + med startgissningen x 0 = 1 ger 1 Med den ekvivalenta formuleringen x = x 3 + 3x + får vi. Vi testkör dessa iterationer och ser att den senare varianten saknar konvergens. (Svaret är ca 0.8.) 3..6 När konvergerar fixpunktsmetoden mot en lösning? Sats Antag att derivatan av g är kontinuerlig. Om g (α) < 1 konvergerar fixpunktsmetoden Om g (α) > 1 konvergerar fixpunktsmetoden inte till α. Vi har Medelvärdessatsen ger x n+1 = g(x n) x n+1 α = g(x n) α x n+1 α = g(x n) g(α) x n+1 α = g (ξ n)(g(x n) g(α)) Om x n α så ξ n α 16

17 4 Frl Frågor om en labbuppgift Labb 9, uppgift 9d. Man ombedes plotta e n = x n x mot n. Först måste man reda ut vad som avses. Den exakta lösningen ges av x (som vi kan beräkna numeriskt med matlab). x n är den n:te gissningen. Några trodde att felet är x n x n+1, men detta är bara en approximation av felet, då vi ofta inte kan ta redan på felet exakt. 4. Ekvationslösning (del 3) 4..1 Konvergensordning för metoder för ekvationslösning Fixpunktsmetoden har linjär konvergens. Om K är någon konstant och n, så har vi x n+1 α g (α) = K x n α Newtons metod däremot har kvadratisk konvergens. x n+1 α x n α K I allmänt säger man att man har konvergensordning p om det gäller att x n+1 α x n α p K Hur kan man grafiskt representera detta samband? Om gränsvärdet ges av konstanten K e n := x n α e n+1 Ke p n ta logaritmen så att p hoppar ned log e n+1 log K + p log e n Då får vi en linje som beskriver log e n+1 mot log e n. Som en rät linje framgår det genast att vi har ett linjärt samband. Newtons metod löser f(x) = 0 medan fixpunktsmetoden löser x n+1 = g(x n), x = g(x) En given ekvation på formen för Newtons metod kan skrivas om på ett antal sätt till 17

18 formen för fixpunktsmetoden, t.ex. f(x) = 0, x = x + f(x) Men vi kan först multiplicera med en konstant C Cf(x) = 0, x = x + Cf(x) där g(x) = x + Cf(x) g (x) = 1 + Cf (x) Vi vill ha g(α) = 0 (eller nära) g (α) = 1 + Cf (α) = 0 = C = 1 f (α) = x n+1 = x n 1 f (α) f(xn) α okänd, approximera med x n = x n+1 = g(x n) = x n f(xn) vilket är Newtons metod. f (x n) Vi ser att Newtons metod är en slags fixpunktsmetod. Fixpunktsmetoden måste ha minst linjär konvergens, men kan ha bättre. 4.. Sekantmetoden Liknar Newtons metod. Newtons metod drar tangenten; här tar vi en sekant. Vi behöver alltså två startgissningar x 0 och x 1. Vi kan skriva upp sekantens ekvation med enpunktsformeln: y f(x 1) = k(x x 1) där k är lutningen för sekanten: y f(x 1) = f(x 0) f(x 1 ) x 0 x 1 (x x 1) Vi ska lösa y = 0, detta x-värde blir x : f(x 1) = f(x 0) f(x 1 ) x 0 x 1 (x x 1) x = x 1 x 0 x 1 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x1) lim n x n+1 α x n α = K Detta är alltså formeln för att få nästa gissning x n+1. x n+1 = x n x n 1 x n f(x n 1) f(x n) f(xn) Detta är ganska likt Newtons metod. Vi har en kvot y x i stället för derivatan. Denna metod är praktisk då man inte känner till derivatan. Konvergensen är inte riktigt lika bra som Newtons metod, men bättre än linjär (s.k. superlinjär). Konvergensordningen råkar vara gyllene snittet φ = Denna metod tillhör en familj av metoder som kallas quasi-newtonmetoder, där man gör olika försök att approximera derivatan Intervallhalveringsmetoden Vi väljer gissningar a och b, sådana att deras funktionsvärden har olika tecken. För kontinuerliga funktionen har vi satsen om mellanliggande värden. Om vi har en kontinuerlig funktion existerar en lösning i intervallet (a, b). Vi halverar intervallet och får punken m. Beroende på tecknet på f(m) väljer vi vilken av intervallhalvorna vi ska ta som nytt intervall. Input är två gissningar a och b, sådana att f(a)f(b) < 0, samt en tolerans TOL (ett E y). I pseudo-matlab 18

19 while (b-a)/ > TOL m = (a+b)/; if f(a)*f(m) > 0 a = m; else b = m; end end % f(m) samma tecken som f(a) Denna funktion behöver bara vara kontinuerlig. För analysen av Newtons metod behöver vi bara att funktionen är gånger deriverbar. En nackdel med denna metod är att den är begränsad till endimensionella problem. Vi behöver också två startgissningar. Hur bra konvergens har denna metod? Vi kan tänka på det som en binärsökning. Exempel: Vi ska hitta roten ur två med intervallhalvering och vi vet att den ligger mellan a = 1 och b =. Vi väljer precisionen 1e 10. I varje steg halveras felet. 1 = n+1 n+1 = n = log iterationer duger. Konvergensen är linjär. Felet halveras i varje steg: x n+1/x n = 1/. 4.3 Linjära ekvationssystem (del 1) Nu till något annat - lösning av linjära ekvationssystem. Ett system av linjära ekvationer, där ekvation i ser ut som kan skrivas om som n a ijx j = b i j=1 Ax = b med A = (a ij) och b = (b i). Man Gausseliminerar den utvidgade matrisen [A b]. Genom elementära radoperationer får man fram [U b], där A = LU och matrisen L är undertriangulär och matrisen U är övertriangulär. Gausselimination kan tolkas som en LU-faktorisering. 1. Gör faktoriseringen A = LU (Gausseliminering). Skriv om LUx = b som L b = b (framåtsubstitution) 3. Lös Ux = b (bakåtsubstitution) Hur mycket kostar dessa steg? Om vi har en n n-matris är Gausseliminationen O(n 3 ) medan de andra O(n ). 19

20 5 Frl Repetition Hittills har vi framförallt jobbat med felanalys och ekvationslösning Felanalys Felfortplantningsformeln Experimentell störningsräkning Min/max-räkning Ekvationslösning Newton Fixpunkt Sekantmetoden Intervallhalvering 5. Linjära ekvationssystem () Idag - mer linjära ekvationssystem och störninsanalys. Vi börjar i slutet med egenvärden Repetition Vi vill hitta vektorn x som löser där A är en n n-matris A = LU, kostar O(n 3 ) L b = b, kostar O(n ) Ux = b, kostar O(n ) Ax = b 5.. Stora Ordo-notationen O(n p ) : C, Ns.a. n N = antalet operationer Cn p 5..3 I labben: Lösa flera ekvationssystem med samma matris Vi vill lösa m stycken linjära ekvationssystem Ax i = b i Ska vi köra hela förfarandet från början varje gång, kommer detta kosta O(mn 3 ). Bättre är att göra Gausseliminationen/LU-faktorisering bara en gång, så görs bakåt- /framåtsubstitutionerna för varje system. Detta blir komplexitet O(n 3 + mn ). Hur görs detta i matlab? [ L, U ] = lu(a); x = A \ b; % löser Ax=b, vänsterdivision 0

21 5..4 Klickarfråga Om Gausselimination av ett fullt ekvationssystem med 100 obekanta tar en tiondels sekund, hur lång tid tar då ungefär lösning av systemet med 000 obekanta och samma dator? 0.5 s s 100 s 800 s s Vi ökar antalet ekvationer med faktor 0, men Gausselimination har komplexitet O(n 3 ), så tiden kommer öka med faktor 0 3 = 8000, dvs det tar = 800 s. Rätt svar är alltså d Normer för vektorer och matriser Beteckning x. Vi har den Euklidiska normen I allmänhet har vi p-normen x = vars gränsvärde då p är max-normen x 1 + x x n x p = p x 1 p + x p x n p x = max x i i Detta gäller dock bara för vektorer. Den naturliga utvidgningen till matriser är A := max x 0 Ax x = max Ax x =1 Till exempel är maxnormen för en matris den största radsumman. n A = (a ij) A max i a ij Från definitionen av matrisnormen får vi Ax A x som är ett specialfall av Cauchy-Schwarz olikhet. I matlab norm(a); norm(a,p); 5..6 Klickarfråga % Euklidiska normen % p-normen Vad är maxnormen för matrisen [ ; ; ]? Rätt svar är d. Summera beloppen av elementen i andra raden. j=1 1

22 5.3 Felanalys vid linjära ekvationssystem Vi löser A x = b Vad ger en störning i b för störning i lösningen x? Vi sätter som mål att begränsa det relativa felet på indata R x i termer av det relativa felet på utdata R b x x x b b b (1) () x = A 1 b, A 1 b x x = A 1 ( b b) x x A 1 b b (1) b = Ax A x 1 x A b x x x A A 1 b b b () Vi kallar κ(a) = A A 1 för konditionstal. Vi får fram olikheten för de relativa felen R R in κ(a)r ut 5.4 Egenvärden (1) Givet en matris A, vill vi hitta alla λ sådana att Ax = λx för någon vektor x. För att hitta egenvärden måste vi lösa den karaktäristiska ekvationen det (A λi) = 0 vilket är ett polynom uttryckt i λ. Detta kan vi i allmänhet inte lösa för matriser av högre dimension än Potensmetoden Hittar största egenvärdet och tillhörande egenvektor. Välj x 0 egenvektorn. Sedan gör man iterativa steg där som ska approximera x i+1 = Axi Ax i Om x är en egenvektor med egenvärde λ har vi, λ i = x i T Ax i, i = 0, 1,,... x T Ax = x T λx = λ x = λ För denna metod använder vi alltså -normen. Sats: Låt A vara en n n-matris med reella egenvärden, λ 1 > λ λ 3... λ n. (Observera att λ 1 har strikt störst belopp.) Antag att egenvektorerna till A spänner upp R n. För nästan varje startgissning x 0 konvergerar potensmetoden till en egenvektor v 1 hörande till λ 1 och λ i λ 1.

23 6 Frl Repetition Förra lektionen tittade vi på beräkningskomplexitet för att lösa linjära ekvationssystem. Komplexiteten blir O(n 3 ) pga att Gausselimineringen är beräkningskrävande. störningsanalys för linjära ekvationssystem. Ett viktigt begrepp var konditionstalet κ(a) för en matris A som begränsade felet på det motsvarande ekvationssystemet Ax = b: R x κ(a)r b Vi pratar om välkonditionerade och illa konditionerade problem/matriser. I välkonditionerade problem är konditionstalet litet. ( 1 0 Exempel: Matrisen A = 1 ɛ konditionstalet för maxnormen: ), med A 1 = 1 ɛ ( ɛ κ(a) = A A 1 = (1 + ɛ ) ɛ ɛ Konditionstalet är stort då radvektorerna är nästan parallella. ). Vi beräknar egenvärdesberäkningar. Vi tittade på potensmetoden. Vi börjar med en startgissning på egenvektor x 0. x i+1 = Axi Ax i λ i = x i T Ax i 6. Egenvärden (del ) Vi bevisar satsen från förra veckan Bevis av satsen om potensmetodens konvergens Sats: Låt A vara en n n-matris med reella egenvärden, λ 1 > λ λ 3... λ n. (Observera att λ 1 har strikt störst belopp.) Antag att egenvektorerna v 1,..., v n till A spänner upp R n. För nästan varje startgissning x 0 konvergerar potensmetoden till en egenvektor v 1 hörande till λ 1 och λ i λ 1. Bevis: x 0 skrivs i basen av egenvektorerna. v 1,..., v n : x 0 = c 1v 1 + c v c nv n nästan alla : x 0 c 1 0 x 1 = Ax 0 Ax 0 x = Ax 1 Ax 1 = A x 0 A x 0 Vi får potenser av A: x i+1 = Ai x 0 A i x 0 Då vi har egenvektorer A i x o = c 1λ i 1v 1 + c λ i v c nλ i nv n x i = Ai x 0 A i x 0 = c 1λ i 1 v 1+c λ i v +...+c nλ i n vn c 1 λ i 1 v 1+c λ i v +...+c nλ i n vn Dela med c 1λ i 1 = v 1+ c c1 ( λ λ 1 ) iv cn c 1 ( λn λ1 ) ivn v 1 + c c1 ( λ λ 1 ) iv cn c 1 ( λn λ1 ) ivn 3

24 Vi ser att vi har linjär konvergens x i+1 v 1 x i v Egenvärden till invers Antag att A 1 existerar. λ λ 1 Av m = λ mv m Multiplicera med A 1 λ m A 1 v m = 1 λ m v m, i Vi ser att A 1 har samma egenvektorer som A och de inversa egenvärdena. Det betyder att vi kan köra potensmetoden på den inversa matrisen för att hitta det minsta (till beloppet) egenvärdet Inversa potensmetoden Hittar λ min. v i+1 = A 1 x i 1 = x T i v i+1 λ i x i+1 = vi+1 v i+1 Dvs Av i+1 = x i 6.3 Ickelinjära ekvationssystem (del 1) Vi har ekvationer f 1(x 1,..., x m) = 0... f m(x 1,..., x m) = 0 Vi har lika många ekvationer som obekanta. Vi vill försöka med Newtons metod. Vi behöver dock tänka som att vi har en enda ekvation för att det ska funka, så vi tänker oss en vektorvärd funktion Newtons metod i en dimension: f = f 1 f... f n x n+1 = x n f(xn ) f (x n ) (Vi byter till superscript för iterationerna för att inte blanda ihop med variablerna som har subscript.) Newtons metod i flera dimensioner: x n+1 = x n J 1 (x n )f(x n ), n = 0, 1,,... 4

25 Jacobimatrisen: J(x) = Newtons metod kan skrivas f 1 f 1 x 1 f f x 1 f m x 1 x... x f m x... f 1 x n f x n f m x n Vi känner igen formen f (x) E x = E y. x n+1 = x n h n där J(x n )h n = f(x n ) Exempel - en bra startgissning? Om vi ska lösa 15x + y z = 30 30y x z = z x + y = 0 ser vi att vissa termer är dominerande. Om vi struntar i övriga och löser 15x = 30 30y = z = 0 vilket ger en bra startvektor i (, 1, 0.) T. Vilket system ska vi lösa i den första iterationen? Funktionen är och jacobianen är f(x) = J f = f (x) = 15x + y z 30 30y x z z x + y 0 15 y z x Vi får alltså systemet Svar: f(x 0) = J f (x 0 )h 0 = f(x 0 ) x 1 = x 0 h 0 5

26 7 Frl Om labb Bokningssystem för att redovisa labbar Finns på kurshemsidan. Stänger idag kl 16 om man ska redovisa 0 november. Man måste ha allt utskrivet på papper och vara redo att förklara allt på tiden 1 min Uppgift 10 - linjära ekvationssystem En metallstång dras ut från sin ursprungliga längd L till L. Vi låter σ vara konstanten i Hookes lag, α vara vinkeln mot horisontalplanet och tittar på förändringen i x-led. Hookes lag säger F = σ(l L) Vi vill dock uttrycka förskjutningen (L L) i andra variabler: Pythagoras sats: L = (L cos α + x) + (L sin α) trig. ettan, x litet konjugatregeln ger approx. förskjutning L L + L cos α x (L L)(L + L) L(cos α) x (L L) (cos α) x Kraften som motverkar förskjutningen i x-led, F x, fås från Hookes lag: Kraftjämvikt i alla noder F = 0. F x = cos ασ(l L) = = cos ασ (cos α( x x 1) + sin α( y y 1)) Uppgift 11 - egenvärden Folk undrar om ordet svängningmod. 7. Interpolation (del 1) = Ax = b, där Interpolation handlar om att försöka fylla i data där det saknas. Man har några givna datapunker och vill ha reda på datan mellan dem. Hur ser en sådan funktion ut? Vi kan också vilja ersätta/approximera en svår funktion med en lättare. Vi kan också använda interpolation som ett designverktyg. Vi vill ha en kurva i rummet som uppfyller vissa villkor. Oftast arbetar vi med polynom för intepolation, eftersom de är lättast att arbeta med. Interpolation görs i allmänhet med polynom Interpolera n + 1 punkter med ett polynom av grad n Två punkter approximeras med en linje (linjär interpolation). Tre punkter approximeras med en parabel (kvadratisk approximation). Punkterna får inte ha samma x-värde, då detta omöjligen kan bli en funktion från x till y. Om man har n + 1 datapunkter (x 0, y 0)..., (x n, y n) där x 0 < x 1 <... < x n så finns ett unikt polynom av grad n som passerar dessa. Hur hittar man ett sådant polynom? 6

27 7.. Den naiva ansatsen Ansats (den naiva ansatsen): p(x) = c 0 + c 1x + c x c nx n Detta ger oss ekvationssystemet p(x 0) = c 0 + c 1x 0 + c x c nx n 0 = y 0 p(x 1) = c 0 + c 1x 1 + c x c nx n 1 = y 1... p(x n) = c 0 + c 1x n + c x n c nx n n = y n som kan skrivas på matrisform som 1 x 0 x 0... x n 0 1 x 1 x 1... x n x n x n... x n n c 0 c 1.. c n = Detta är en så kallad Vandermonde-matris. De är ofta illa konditionerade, dvs har stort konditionstal Newtons ansats I stället för att använda den ovanstående naiva ansatsen kan man använda Newtons ansats: p(x) = d 0 + d 1(x x 0) + d (x x 0)(x x 1) Exempel - hitta interpolerande polynom Hitta det andragradspolynom som interpolerar de tre punkterna ( 1, 0), (0, 1), (1, 4). Med Newtons ansats, sätt x 0 = 1, x 1 = 0, Polynomet p(x) = d 0 + d 1(x + 1) + d (x + 1)x Första punkten p( 1) = d 0 = 0 = d 0 = 0 Andra punkten p(0) = 0 + d 1 = 1 = d 1 = 1 Tredje punkten p(1) = 0 + ( 1) + d = 4 = d = 3 y 0 y 1.. y n 7..5 Interpolationsfel - styckvis konstant interpolation Interpolationen passerar genom de givna punkterna datapunkterna, så där är felet 0. Men vad kan vi säga om felet vid mellanliggande okända punkter för en allmän funktion f med en begränsad derivata? Vi gör en styckvis konstant interpolation p (en trappfunktion som i intervallet [x i, x i+1) har värdet f(x i)) och jämför den med värdena på funktionen f. Antag att derivatan är begränsad f (x) K. Låt h vara intervallängden. Då har vi p(x) f(x) Kh Om funktionen inte har begränsad derivata är det svårt att säga något, då funktionen kan anta hur stora värden som helst. Men då är inte heller interpolation till så stor hjälp. 7

28 7..6 Uppgift - begränsa interpolationsfelet Funktionen f(x) = sin x på intervallet [0, π] approximeras genom styckvis konstant interpolation med steglängd π/10. Ge en begränsning på maximala felet mellan funktionen f och dess intepolant. Derivatan f (x) = cos x är begränsad av 1. Intervallängden är π/10. Vi får alltså p(x) f(x) 1 π Interpolationsfel - styckvis linjär interpolation Detta är vad matlabs plot-funktion gör. Dra en rät linje mellan alla punkter. Kalla som förut funktionen för f och interpolanten för p. 1. Antag x 0 = 0, låt g(x) := f(x) p(x).. Antag f kontinuerlig, vilket då innebär att även g är kontinuerlig (då interpolanten är kontinuerlig). Då antas ett största värde på g i någon punkt 0 ξ h på intervallet. 3. Vi behöver ett starkare antagande: Antag f C, vilket innebär g C. Vi Taylorutvecklar kring ξ: g(x) = g(ξ) + g (ξ)(x ξ) + g (η) (x ξ) för en punkt η mellan x och ξ. Antag att maximum ξ antas i en inre punkt. 3 Då är ξ stationär punkt för g, dvs term försvinner. 4. Antag att x är den punkt som är närmast ξ av randpunkterna 0 och h. g(x) = 0, (x ξ) h 4 = g(ξ) g (ξ) 8 5. P.s.s. för min g = p f max η f (η) 8 h. h = f (η) h 8 3 Annars är g konstant 0 per definition, så den olikhet vi får fram gäller ändå. 8

29 8 Frl Repetition Vi håller på med interpolation. Man har vissa datapunkter - indata x och utdata y - och vill dra en kurva mellan. Vi har tittat på två ansatser för att hitta ett interpolerande polynom - den naiva ansatsen (skriv upp den allmänna formen för polynom) och Newtons ansats (använder strukturen hos det interpolerande polynomet). Vi tittade också på styckvis interpolation - intervallet delas upp i intervall och varje intervall får egna polynom. Vi tittade enbart på styckvis konstant och styckvis linjär interpolation. 8. Interpolation (del ) 8..1 Runges fenomen Om man interpolerar med polynom av hög grad ger detta stora svängningar mot ändarna av intervallet. Det finns två sätt att motarbeta detta. Låt interpolationspunkterna ligga mer tätt kring ändarna. Gör styckvis interpolation 8.. Interpolationsfel vid styckvis interpolation (repetition) Vi uppskattade interpolationsfelet vid styckvis konstant och linjär interpolation Om vi interpolerar funktionen f med interpolanden p, med f (x) K, så har vi, för intervallängd h p(x) f(x) Kh Om f C på intervallet [a, a + h] sä gäller max a x a+h p(x) f(x) 1 8 max a η a+h 8..3 Uppgift - styckvis linjär interpolation f (η) h Samma uppgift som förra gången, fast denna gång linjär interpolation. Funktionen f(x) = sin x på intervallet [0, π] approximeras genom styckvis konstant interpolation med steglängd π/10. Ge en begränsning på maximala felet mellan funktionen f och dess intepolant. Andraderivatan f (x) = sin x är begränsad av 1. Intervallängden är π/10. Vi får alltså p(x) f(x) 1 ( π ) Överbestämda ekvationssystem / minsta kvadratmetoden (del 1) Hittills har vi tittat på system med lika många ekvationer som obekanta. Nu kommer vi titta på sådana som har för många ekvationer, exempelvis 9

30 I allmänhet har vi ett system x y = 0 x + 3y = 1 5x + y = 5 Ax = b där A har dimension m n, med m > n. Sådana system saknar i allmänhet en lösning. Vi vill hitta en lösning som ger en approximerar lösningen på ett bra sätt, dvs minimerar felet. Vi definierar residualen r = Ax b Minimerar vi normen av denna vektor får en lösning med litet fel. Vi väljer framför allt att titta på -normen. Vi ska alltså minimera r = r1 + r r n I praktiken kan vi välja att inte dra roten ur, eftersom kvadratroten är en monoton funktion. Denna metod kallas minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden När används minsta kvadratmetoden? Ett vanligt sammanhang är när man försöker anpassa en rät linje till vissa datapunkter (x i, y i). l(x) = c o + c 1x I allmänhet skär inte linjen alla punkter, men antag att den gör det: Dvs l(x i) = y i c 0 + c 1x 0 = y 1 c 0 + c 1x 1 = y... c 0 + c 1x n = y n som kan skrivas på matrisform (där den vänsta är en Vandermonde-matris) som 1 x 0 y 0 1 x 1 ( ).. c0 y 1.. c x n y n Detta är alltså ett överbestämt ekvationssystem, där vi kan använda minsta kvadratmetoden. Vill man göra en modellanpassning för en modell l över datapunkter x i, y vill man minimera summan av kvadratfelet. Då vill vi alltså minimera n n (l(x i) y i) = (c 0 + c 1x y i) i=0 Då kvadratroten är en monoton funktion, är detta samma sak som att minimera minsta kvadratmetoden ur linjär algebra-synpunkt. i=0 30

31 8.3. Lösa minsta kvadratmetoden Minsta kvadratlösningen till Ax b kallas z och löser normalekvationerna A T Az = A T b. Bevis ( för fallet ) A är en m matris dvs A = [a 1a ]. 4 x1 Skriv x =, vilket ger produkten x Ax = x 1a 1 + x a som en linjärkombination av a 1, a. Vektorerna a 1, a spänner upp ett plan U i R m. Vektorn b är en vektor i R m som i allmänhet inte är parallell mot planet (b parallell innebär unik lösning). För att minimera residualen r = Ax b väljer vi lösningen /approximationen x så att Ax är projektionen av b på detta planet, dvs residualen kommer vara vinkelrät mot planet. Minsta kvadratlösningen fås alltså när r U Eller ekvivalent att a 1 r = 0 och a r = 0 dvs A T r = 0 A T (Ax b) = 0 A T Ax = A T b Uppgift - minsta kvadratmetoden Bestäm minstakvadratlösingen till Ax = b 1 A = 1, b = 0 3 Gör matrismultiplikation för att lösa detta, dvs beräkna lösningen till normalekvationen genom att beräkna A T A och A T b Fallen n > hanteras analogt. 31

32 9 Frl Minstakvadratanpassning (del ) Repetition Vi har tittat på minsta kvadratmetoden för linjära problem. Vi ska lösa Ax = b men detta går inte att lösa exakt, så vi försöker minimera (euklidiska normen av) residualvektorn Ax b Detta används ofta i modellanpassning - man vill anpassa en rät linje till några givna datapunkter. Detta är inte samma sak som interpolation. Interpolation försöker bestämma vad som händer mellan genom att dra en linje genom alla punkterna Uppgift 1 - minstakvadratanpassning Vi har datapunkterna (0, ), (1, 1), (3, 3), (4, 6) och vill hitta den räta linje som anpassar datapunkterna. Detta svarar mot matrisekvationen ( c0 c 1 ) = Detta kan man göra antingen för hand genom att lösa z = (c 0, c 1) A T Az = A T b eller i matlab genom att skriva A \ b. Vilket har lösningen c 0 = 1.6, c 1 = Uppgift - minstakvadratanpassning Samma datapunkter, men vi vill göra en konstant minstakvadratanpassning. 1 1 ( ) 1 c0 = Detta har lösningen c 0 =. Detta är medelvärdet av alla punkterna Minstakvadratanpassning med kurvor Vi vill anpassa m datapunkter {(x i, y i)} med kurvorna φ 1, φ,..., φ n. Detta är igen ett överbestämt ekvationssystem. Vi får följande koefficientmatris, istället för den vanliga Vandermonde-matrisen: φ 1(x 1) φ (x 1)... φ n(x 1) φ 1(x ) φ (x )... φ n(x ) φ 1(x m) φ (x m)... φ n(x m) c. c 1 c n = y 1 y.. y m 3

33 9.1.5 Icke-linjära minstakvadratproblem Man har ett ekvationssystem f 1(x 1,..., x n) 0... f m(x 1,..., x n) 0 Överbestämt om m > n. Troligen saknas lösningar. En minstakvadratanpassning minimerar residualvektorn f(x) 0 = f(x) Newtons metod Vi vill minimera normen. Detta kan vi göra genom att söka en stationär punkt, dvs lösa f(x) = 0. Välj x 0. För varje iteration i, gör J f (x i)h i f(x i) x i+1 := x i h i Där h i bestäms i minstakvadrat-mening. Om vi inte har ett överbelastat system har vi Newtons metod igen Räkneexempel Anpassa modellfunktion G(x) = αe βx till mätdata x y Vi ska alltså ta fram parametrarna α och β. Detta kan lösas på två sätt. Vi logaritmerar båda led och löser linjärt med minsta kvadratmetoden. Med linjär MKM får vi ln G(x) = ln α βx = a 1 + a x med Gauss-Newtons metod. Vi har fem ekvationer med högerled 0: a 1 = ln α, a = β a 1 = 1.74 = α = a =.8756 = α =.8756 αe 0.β αe 0.3β αe 0.6β Vi tar fram Jacobianen som är en 5 -matris: e 0.β 0.αe 0.β... e 0.6β 0.6αe 0.6β 33

34 Vilken funktion är att föredra? Gauss-Newton arbetar direkt med funktionen och minimerar f(α, β) Minsta kvadratmetoden minimerar residualvektorn för den logaritmerade versionen av funktionen. 34

35 10 Frl Minsta kvadratmetoden (del 3) Räkneuppgift Övningsuppgift 4.5. Man har några ekvationer för olika höjder - uttryckt i skillnaderna i höjd. Man väljer vektorn x som höjderna (H a, H b, H c, H d ) och uttrycker ekvationssystemet med en 6 4-koefficientmatris A. Den vänsterledsmatris man får fram i normalekvationen A T Ax = b har determinant 0, vilket inte är bra när man ska lösa ett ekvationssystem - antingen får man oändligt många lösningar, eller så får man ingen lösning. Här rör det sig om det första fallet, eftersom våra ekvationer saknar en nollnivå - vi har bara uttryckt systemet i differenser mellan höjder. Det går att skriva om systemet så att en nollnivå väljs - ex H d = 0. Detta går att göra på olika sätt - vilka ger olika svar! Detta beror på att vi hittar en approximation, inte en exakt lösning. Antingen kan H d ersättas med 0, vilket innebär att man vet exakt vilket höjd H d är på, eller så kan den extra ekvationen H d = 0 läggas till, vilket kommer leda till att vår lösning även innebär en approximation av H d. 10. Numerisk derivering (del 1) Framåtdifferens Vi vill uppskatta derivatan till f i punkten x. Vi kan skriva om derivatans definition till en approximation f f(x + h) f(x) (x) h (Detta är en så kallad framåtdifferens.) Vi Taylorutvecklar kring x för att uppskatta felet. f(x + h) = f(x) + f (x) + f (ξ) Med omskrivning får vi 10.. Central differens Taylorutveckla f(x + h) f(x) h f (x) = h f (x) = f (ξ) h f(x + h) f(x h) h f(x + h) = f(x) + f (x)h + f (x) f(x h) = f(x) f (x)h + f (x) h + f (ξ 1) h 3 6 h f (ξ ) h 3 6 Med omskrivning får vi f(x + h) f(x h) h f (x) = f (ξ 1) + f (ξ ) 1 35 h = f (ξ 3) h 6

36 för något x h ξ 3 x + h. Centraldifferensen är en bättre uppskattning eftersom den innehåller termen h och h är litet Noggrannhetsordning Framåtdifferens har noggrannhetsordning 1, medan centraldifferens har noggrannhetsordning. I allmänhet: Om u har approximationen ũ h, så har denna noggrannhetsordning p om ũ h u Ch p för någon konstant C och alla h tillräckligt små. I iteration n e n := ũ n u = O(h p ) Om vi har e n Ch p, har vi log e n = p log h + log C Fråga Antag att vi har ũ h u Ch p. Då gäller att Vi kan skriva om detta som ũ h ũ h/ ũ h/ ũ h/4...? ũ h ũ h/ = ũh u(ũ h/ u) ũ h/ ũ h/4 ũ h/ u (ũ h/4 u) Chp C(h/) p C(h/) p C(h/4) = 1 (1/)p p (1/) p (1/4) = p p Detta innebär att vi experimentellt kan försöka bestämma noggrannhetsordningen. 36

37 11 Frl Administrativt Det är förslag att flytta föreläsningen måndag 1 januari till tisdagen för att det inte ska krocka med tentan i Analys IV som många ska skriva. Vi beslutar om detta på torsdag. 11. Integraler (del 1) Fråga 1 Antag att f (x) K för alla x på integrationsintervallet. Om R h är en Riemannsumma som approximerar integralen I = b f(x) dx med konstant steglängd h så måste a det gälla att b R h f(x) dx K (b a)h Intervallet [a, b] är indelat i delintervall med längd h: b a h a st. Hur stort blir felet som störst? Om derivatan antar maximala värdet K i ett intervall av längd h är funktionen här en linje med lutningen K och skillnad i funktionsvärde Kh. En approximation med en styckvis konstant interpolant som antar ett av randvärdenas funktionsvärden avviker då med arean: h Kh = K h (en triangel). Totala felet (alla delintervall summerade): b a K h h = K (b a)h Noggrannhetsordningen för en vanlig Riemannsumma är alltså Mittpunktsmetoden Riemannsumma M h där delintervallet approximeras med mittpunktens funktionsvärde istället för en randpunktsfunktionsvärde. b M h f(x) dx L 4 (b a)h, om f (x) L, på [a, b] a Vi kräver här lite mer vi har ett krav på andraderivatan men vi får noggrannhetsordning Trapetsmetoden Riemannsummor är exempel på metoder som använder sig av styckvis konstant interpolation för approximation. Trapetsmetoden använder styckvis linjär interpolation. Som förut delar vi in intervallet [a, b] i intervall enligt a < x 1 < x <... < x n = b. Men istället för rektanglar, approximerar vi areorna med de parallelltrapetser som bildas om man drar linjen från (x i, f(x i)) till (x i+1, f(x i+1)). Denna area fås om man tar medelvärdet av höjden: f(x i) + f(x i+1) Hela formeln T h = h ( f(x 1) n 1 + i= ) f(x i) + f(xn) 37

38 11..4 Fråga Vilken noggrannhetsordning har trapetsmetoden? Dvs vilket värde på exponenten p har vi nedan? b T h f(x) dx = O(hp ) a Eftersom vi använder ett linjärt interpolantpolynom p kan vi använda vårt resultat från tidigare om noggrannhet för styckvis linjär interpolation: b b b b f(x) dx T h = f(x) dx p(x) dx = (f(x) p(x)) dx a a a b a a f(x) p(x) dx Dh h I sista steget har vi använt resultatet f(x) p(x) Ch från styckvis linjär interpolation, samt triangelolikheten för integraler för att införa absolutbeloppstecken. Noggrannhetsordningen är alltså. Mer precist kan man få fram b T h f(x) dx L (b a)h a 1 Denna metod har ungefär samma noggrannhet som mittpunktsmetoden. Denna har något sämre noggrannhet, men man behöver inte beräkna mittpunkterna Uppgift Ge ett approximativt värde på 1 0 esin x dx med felgräns. Som exempel kan trapetsregeln med intervallgränsen h = 1 väljas. T 1 = esin 0 + e sin För feluppskattning behövs f : f(x) = e sin x, f (x) = cos xe sin x f (x) = sin xe sin x + cos xe sin x = (cos x sin x)e sin x f (x) cos x sin x sin x e e 6 L Dvs L 1 (b a)h = = 0.5 Svar: integralen uppskattas till 1.66 ± 0.50 (skriv lika många decimaler i båda termerna) Uppgift Beräkna b sin a ex dx med ett fel som är mindre än Vi gör uppskattningar tills vi når en bra felgräns. Som uppskattning på felet används differensen mellan detta steg och föregående. h T h /

39 Svar: b a sin ex dx = 0.31 ± Simpsons formel Slutligen tittar vi på Simpsons formel. Denna metod använder också interpolation, med en intervallindelning a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Metoden använder dock styckvis kvadratisk interpolation. Punkterna x 0, x 1, x används för att hitta ett andragradpolynom för intervallet [x 0, x ], punkterna x, x 3, x 4 för [x, x 4], o.s.v. (Vi kräver alltså att n är ett jämnt tal.) Detta ger formeln b a f(x) dx S h = h 3 (f(x0) + 4f(x1) + f(x)) + h (f(x) + 4f(x3) + f(x4)) = h (f(x0) + 4f(x1) + f(x) + 4f(x3) + f(x4) f(xn 1) + f(xn)) 3 Den noggrannhetsordning vi får fram är b f(x) dx S h M 180 (b a)h4, om f (4) (x) M, a x b a Vi får en mycket högre noggrannhetsordning, men vi kräver en begränsad fjärdederivata. I matlab använder funktionen quad Simpsons formel. Den använder också adaptivitet - steglängden kan variera beroende på hur funktionen ser ut. 39