MITTHÖGSKOLAN TFM Tentamen 2004 MAAA98 Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 3 juni 2004 Denna tentamen omfattar 10 frågor, där varje fråga kan ge 12 poäng. Delfrågornas poäng står angivna i marginalen inom [ ]-parenteser. Till alla uppgifter skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa. Brister i framställningen kan ge poängavdrag även om slutresultatet är rätt! Behandla högst en uppgift på varje papper! Hjälpmedel: Skriv- och ritmaterial samt miniräknare. Ange märke och modell på din miniräknare på omslaget till tentamen LYCKA TILL!! c TFM, Mitthögskolan 1 VÄND
Uppgift 1 (a) Låt A,B och C vara delmängder av grundmängden U. Ange om följande påståenden är sanna eller falska. Ge ett motexempel till alla falska påståenden. (i) (A B) C = A (B C); (ii) (A B) C = A (B C); (iii) (A B) c = A c B c ; (iv) (A B) = (A B) \ (A B). [6] (b) Låt p och q vara två påståenden. Ange om följande påståenden är sanna eller falska. Ge ett motexempel till alla falska påståenden. (i) p q är sant om p är sant och q är falskt; (ii) p q är sant om p är falskt och q är sant; (iii) p q är sant om p är falskt och q är falskt; (iv) p q är sant om p är falskt och q är sant. [6] Uppgift 2 (a) Låt p och q vara följande två påståenden om positiva heltal n. p : n < 5 q : 2 n. Ange om följande påståenden är sanna eller falska och ge ett motexempel till alla falska påståenden. (i) p q; (ii) q p; (iii) p om q; (iv) p endast om q. [4] (b) Ange om följande påståenden är sanna eller falska och ge ett motexempel till alla falska påståenden. (i) För alla positiva heltal a, b och n gäller att om n ab så n a eller n b. (ii) Om 2x 2y (mod 10) så är x y (mod 10); (iii) Om 2x 2y (mod 11) så är x y (mod 11). [6] (c) Ange om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera dina svar. (i) Det finns en enkel graf med gradföljden 2,2,2,3,4,4; (ii) Det finns en enkel graf med 5 hörn och 10 kanter. [2] c TFM, Mitthögskolan 2 MAAA98
Uppgift 3 (a) Låt h : N N vara funktionen h(x) = (3x + 1) 2 + 2. Visa att h är injektiv. [3] (b) Är h O(x2 )? Motivera! [3] (c) Låt g : R R vara funktionen g(x) = 5x 7. (i) Bevisa att g är bijektiv. (ii) Bestäm g:s invers. (iii) Är g O(x2 )? [6] Uppgift 4 (a) Bevisa för alla heltal x, att 2 x om och endast om 4 x 2. [4] (b) Bevisa att 16 (3 2n 1) 2 för alla positiva heltal n. [6] (c) Visa att 4657381 4 + 16123548 4 + 15831567 4 23645789 4. [2] c TFM, Mitthögskolan 3 VÄND
Uppgift 5 (a) Förklara vad som menas med att en relation R på en mängd S är (i) reflexiv; (ii) symmetrisk; (iii) transitiv; (iv) antisymmetrisk. [4] (b) Låt R vara relationen på mängden S = {w, x, y, z} som endast innehåller följande 6 relaterade par: wrw, wrx, xrx, yrw, yrz, zrw. (i) Rita en riktad graf som beskriver relationen R. (ii) Relationen R är inte symmetrisk. Ange den minsta mängden av par som måste läggas till R för att R skall bli symmetrisk. (iii) Relationen R är inte reflexiv. Ange den minsta mängden av par som måste läggas till R för att R skall bli reflexiv. (iv) Relationen R är inte transitiv. Ange den minsta mängden av par som måste läggas till R för att R skall bli transitiv. (v) Är relationen R antisymmetrisk? Motivera ditt svar! [8] Uppgift 6 En talföljd definieras genom rekursionsformeln x n = 4(x n 1 x n 2 ) där n 2, och begynnelsevillkoren x 0 = 1 och x 1 = 1. (a) Bestäm x 2, x 3, x 4, x 5 och x 6. Visa dina uträkningar. [5] (b) Bevisa genom induktion att x n = 2 n n2 n 1 för alla n 0. [7] c TFM, Mitthögskolan 4 MAAA98
Uppgift 7 (a) Använd Euklides algoritm för att visa att det finns heltal s och t sådana att 56s + 91t = 21. [6] (b) Bestäm alla heltalslösningar x till kongruensen 56x 21 (mod 91). Visa dina uträkningar. [3] (c) Bestäm alla heltalslösningar x till kongruensen 56x 12 (mod 91). Visa dina uträkningar. [3] Uppgift 8 (a) Hur många positiva heltal mindre än 1000 är (i) en multipel av 3? (ii) inte en multipel av 5? (iii) en multipel av 2, 3 eller 5? [6] (b) En PIN-kod för ett kreditkort består av en ordnad sekvens av 4 siffror från mängden {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hur många PIN-koder (i) finns det om repetition av siffror är tillåtet? (ii) har 4 olika siffror? (iii) innehåller inte siffran 9? [6] c TFM, Mitthögskolan 5 VÄND
Uppgift 9 (a) Definiera vad som menas med att en graf är ett träd. [2] (b) Antag att T = (V (T ), E(T )) är ett träd. Förklara varför det är precis en stig i T mellan ett godtyckligt par av hörn x, y V (T ). [3] (c) Antag att T = (V (T ), E(T )) är ett träd med n hörn. Bevisa genom induktion att T har precis n 1 kanter. [5] (d) Konstruera en enkel graf H med 6 hörn och 5 kanter som inte är ett träd. [2] Uppgift 10 (a) Definiera hörnkromatiska talet för en graf G. [1] (b) Ange hörnkromatiska talet för den fullständiga grafen K n. [2] (c) (i) Definiera vad som menas med att en graf G = (V, E) är bipartit. (ii) Rita den den fullständiga bipartita grafen K 2,3. (iii) Förklara varför en bipartit graf inte har den fullständiga grafen K 3 som delgraf. [5] (d) Ange hörnkromatiska talet för följande graf. Bevisa ditt svar! [4] c TFM, Mitthögskolan 6 SLUT PÅ TENTAMEN