Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0004M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: 5 25 Mykola Shykula, Inge Söderkvist, Eva Lövf Tentamensdatum 2016-03-21 Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare: Mykola Shykula Tel: 0920-49 30 56 Betygsgränser: G: 13+, VG: 20+ Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och egenkonstruerat handskrivet på ett A4 formelblad. Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen Svara kort och koncis. Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Lösningen till varje ny uppgift skall börjas på en ny sida. Använd bara en sida av varje A4-ark. Numrera alla lösningsblad. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar skall vara lätta att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även delvis lösta problem kan ge poäng. Tabell för normalfördelningen finns bifogad längst bak. Institutionen för teknikvetenskap och matematik
Uppgift 1 (5p) Bostadskostnaden (kr/mån) för studenter vid ett visst universitet antas vara normalfördelad med väntevärde 4200 kr och standardavvikelse 800 kr. a) Vad är sannolikheten att en slumpvis vald student har en bostadskostnad som överstiger 3000 kr/mån? Svar: ca 0.93 Lösning. Låt ~4200, 800 vara en slumpvariabel som anger bostadkostnaden för en slumpmässigt vald student. Den sökta sannolikheten är lika med: 3000 1.5 1 1.5 1 0.0668 0.9332 b) Vad är sannolikheten att en slumpvis vald student har en bostadskostnad som ligger mellan 4000 kr och 5000 kr? Svar: ca 0.44 Lösning. Den sökta sannolikheten är lika med: 4000 5000 0.25 1 0.8413 0.4013 0.44 c) En bostad betraktas som dyr om den tillhör de 15 % dyraste av studenternas bostäder. Vad är den förväntade kostnaden för den billigaste bostaden bland de bostäder som tillhör den dyra kategorin? Svar: ca 5024 kr Lösning. Det söks sådant att 0.85, dvs, efter transformationen, 0.85. Från Tabell A har vi att 1.03 och därmed att 4200 1.03 800 5024. Uppgift 2 (5p) a) Bestäm standardavvikelsen för följande fem mätvärden. 5 2 5 7 6 Svar: 1.871 b) Man vet att medelåldern i en klass om 10 studenter är 21 år. Hur mycket förändras klassens medelålder om en 20 årig och en 30 årig student avbryter sina studier och lämnar klassen? Svar: 20 år Lösning. Summa är 210. Vi har: 210 20 30=160. Och slutligen: 160/8=20.
c) Man har mätt bensinförbrukningen (dl/mil) på 20 mindre personbilar. Mätresultaten som ligger mellan 4 dl/mil och 6,8 dl/mil har sammanställts i ett stam och blad diagram nedan 4 0 4 8 8 8 9 5 0 4 5 5 5 7 8 9 9 6 0 0 3 4 6 5 5 8 Bestäm nedre och övre kvartil samt median (ange svaren med 2 decimal (dl/mil)). Avgör dessutom med hjälp av 1,5 X IQR regeln om det finns någon/några uteliggare i observationerna. Svar/Lösning. Vi har:.. 4.95.... 6.15 5.75 6.15 4.95 1.2 1.5 4.95 1.5 1.2 3.15 1.5 6.15 1.5 1.2 7.95 Alltså inga uteliggare, ty 3.154.06.87.95 Uppgift 3 (5p) Tabellen nedan anger studiemedel från CSN (lån och bidrag) vid 20 veckors eftergymnasiala heltidsstudier under olika år. I tabellen redovisas även årsmedeltal till konsumentprisindex (KPI) under samma tidsperiod. År 1990 1995 2000 2005 2010 2015 Studiemedel kr per 20 v 25912 31326 32116 34580 40700 49740 KPI (1980=100) 207,8 254,8 260,7 280,4 303,46 313,35 a) Räkna om studiemedelsbeloppen de givna åren till en indexserie med basår 1990. Svar: se Tabell nedan. Lösning: T ex år 2005: 133 100 År 1990 1995 2000 2005 2010 2015 Indexserie studiemedel (1990=100) 100 121 124 133 157 192 b) Beräkna den genomsnittliga årliga förändringen av studiemedlen under de 25 senaste åren (dvs från år 1990 till 2015). Svar: ökning med ca 2.6%/år. Lösning. Vi ställer upp en ekvation: 1 1.92, vilken ger oss att den genomsnittliga årliga förändringen under de senaste 25 år från 1990 till 2015 är
1.92 11.92. 1 1.02644 1 0.02644 c) Med hjälp av KPI kan beloppen räknas om till samma års penningvärde för att kunna göra jämförelser i fast penningvärde. Räkna om studiemedelsbeloppen till penningvärdet år 2015. Gör även en ny indexserie av dessa belopp med 1990 som bastidpunkt. Har det skett en reell förändring och hur stor är den i så fall? (Tips: kommentera resultatet genom att jämföra med indexserien i a).) (3p) Svar: Ja, det har skett en reell höjning på ca 27% under perioden 1990 2015. Lösning. Studiemedel åren 1990 2015 i fast penningvärde år 2015 samt den nya indexserien ges nedan i tabellen: År 1990 1995 2000 2005 2010 2015 Studiemedel, penningsv år 2015 39 074 38 524 38 602 38 644 42 026 49 740 Indexserie studiemedel, penningsv år 2015 (1990=100) 100 99 99 99 108 127 där t ex fast studiemedel år 2005 i 2015 penningvärde är beräknad på det här sättet, 38644 34580.. Jämförelse. Som vi ser har det skett är en reell studiemedelhöjning på ca 27% (motsvarar genomsnittliga årliga höjningen på ca 1%/år) under perioden 1990 2015. Detta betyder, om vi jämför med a), att ca 65% (=92 27) av studiemedelhöjningen under de senaste 25 åren är en ren inflationseffekt (motsvarar ca 1.6%/år). Uppgift 4 (7p) I en omfattande studie har man undersökt ett urval om 10 koncerner med avseende på deras affärsstrategier. I studien ställer man bl.a. frågor om graden av miljöinriktad affärsstrategi och frågorna ställs des till en ansvarig person i koncernledningen, dels till en ansvarig person i den viktigaste affärsenheten i koncernen. En av frågor som ställs är den övergripande: Vilken grad av miljöinriktning bedömer du att ni har i er strategi? Låg O O O O O O O O O Hög Svarsskalan brukar kallas Likert skala och är sådan att svarsstegen kan antas ligga lika långt från varandra (en s.k. intervallskala). Detta möjliggör användande av korrelationskoefficienter och regressionsmodeller vid analys arbetet. De erhållna svaren kodas med nio talen 1 till 9, där 1 används för ett svar längst till vänster i skalan och 9 för ett svar längst till höger. Med hjälp av de inkomna svaren vill man försöka hitta ett enkelt linjärt regressionssamband där ett svar på koncernnivå förklaras av svaret på affärsenhetsnivå. Följande kodade svar har erhållits.
Koncern Svar på koncernnivå Svar på affärsenhetsnivå 1 5 4 2 2 3 3 4 4 4 7 6 5 1 1 6 1 3 7 2 4 8 6 6 9 3 1 10 8 9 Summa 39 41 Kvadratsumma 209 221 Standardavvikelse 2,51 2,42 Antag modellen, 1,2,,10. a) Vilka antaganden måste göras för de så kallade residualerna ( felen ),,, för att modellen skall kunna analyseras på ett vanligt sätt? Svar: de skall vara slumpmässiga (dvs inget mönster) runt noll med konstant varians, och normalfördelade. b) Vad är respons variabel ( och vad är förklarande variabel (? Svar: responsvariabel ( är svar på koncernnivå och förklarande variabel är svar på affärsenhetsnivå. c) Beräkna minstakvadratmetodens punktskattningar och av parametrarna och. Tolka de erhållna skattningarna och i ord. Svar: 0.25, 0.89, den anpassade modells ekvationen är 0.25 0.89. Tolkning. : om svar på affärsenhetsnivå ökar med en enhet så förväntas det att svar på koncernnivå kommer att öka med 0.9 enheter (i genomsnitt). : det finns inte någon meningsfull praktisk tolkning för ty inte kan vara noll; konstanten är interceptet. Lösning. Först beräknar vi korrelationkoefficient mellan och. Vi har: 1 1 1 1 1 1 1 44.153.9 94.183.9 0.86 9 2.42 2.51 Sedan beräknar vi och. Vi har: 0.86. 0.89. 3.90.894.1 0.25
d) Beräkna den anpassade modellens förklaringsgrad och tolka denna i ord. Svar/Lösning. 74%. 0.86 0.74 ~ Tolkning. Variationen i leden (svar på koncernnivå) förklaras till ca 74% av variationen i leden (svar på affärsenhetsnivå). på 74% är en klart godkänd förklaringsgrad. e) Gör en prognos på responsvariabeln om den förklarande variabeln är 7. Svar/Tolkning: ca 6.5 0.25 0.89 7). Alltså, svaret på koncernnivå förväntas bli 6.5 om svaret på affärsenhetsnivå är 7, dvs lite mer pessimistiskt. f) Redogör för vad extrapolering är för något. Kan man göra en extrapolering i denna studie? Svar: Extrapolering är en estimering av mätvärden utanför ett mätområde. I denna studie kan man inte göra en extrapolering, ty endast de nio talen 1 till 9 är mätområdet för både och. Därmed går det inte att göra en prognos utanför dataspannet 1 till 9. Uppgift 5 (3p) a) Förklara skillnaden mellan en kvantitativ och en kvalitativ variabel. Ge också ett exempel på hur en fråga som handlar om barn i ett hushåll kan formuleras som en kvalitativ resp kvantitativ variabel. Svar: Kvantitativ = numerisk, kvalitativ = icke numerisk. Exempel: Antal barn i hushållet? 0,1,2,3, kvantitativ variabel. Har du barn? Ja/Nej, dvs en kvalitativ variabel. b) Variablerna kan delas in i fyra nivåer i stigande ordning med avseende på deras informationsinnehåll: nominal, ordinal, intervall och kvotskala. Ge ett konkret exempel på en variabel med nominal respektive ordinal datanivå. Svar: Kön (K/M) resp Utbildning (grundskola/gymnasium/högskola/forskarutbildning) är exempel på två variabler med nominal resp ordinal datanivåer. c) Det enklaste slumpmässiga urvalet är ett så kallat obundet slumpmässigt urval (OSU). Ett alternativ kan vara ett så kallat stratifierat urval. Ge ett konkret exempel där stratifierat urval är ett bättre alternativ jämfört med OSU. Svar: Vi har en population med 200 kvinnor och 300 män. Vi vill studera och bl a jämföra lön mellan män och kvinnor. Därför ska vi dra ett urval om 35 personer (av 500). Hur ska urvalet allokeras? Det är klart att exempelvis ett proportionellt stratifierat urval (PSU) är mycket bättre alternativ här jmf med OSU. Detta eftersom att vi vill utföra en jämförelseanalys mellan kön och i värsta fall har vi bara ett kön i där i vårt stickprov om vi använder oss av OSU.