Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF5: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 4, 27--8 EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga förseningar). Du kommer på en på måfå vald tidpunkt till hållplatsen, ξ = väntetiden. (a) Vad är fördelningen för ξ? (b) Vad är sannolikheten att du får vänta mindre än 3 minuter? (c) Vad är sannolikheten att du får vänta mer än 5 minuter? (d) Hur länge får du vänta i genomsnitt? 5 histogram över observerade väntetider antal ggr 5 5 5 5 2 25 minuter.6 f(x) täthetsfkn.4.2 F(x) Fördelningsfkn 5 5 5 2 25 x väntetid.5 5 5 5 2 25 x väntetid
EXEMPEL: livslängd. En viss typ av elektroniska komponenter håller i genomsnitt 2 timmar. Låt ξ vara livslängden (timmar) hos en slumpmässigt vald komponent. (a) Vad är fördelningen för ξ? (b) Vad är sannolikheten att livslängden ligger mellan och 3 timmar? (c) Vad är den förväntade livslängden hos denna komponent? (d) Vad är medianen av livslängden? 5 histogram över 5 observerade livslängder 5 2 3 4 5 6 7 8 9 6 x 3 f(x) täthetsfkn 4 2 F(x) fördelningsfkn 2 3 4 5 6 7 8 9 x livslängd (tim).5 2 3 4 5 6 7 8 9 x livslängd (tim)
EXEMPEL: Under 38 år noteras årliga maximala vindstyrkan (m/s) på en plats. Man är intresserad av Hur troligt är det att årliga maximala vindstyrkan överstiger 35 m/s? Vilken är den årliga maximala vindstyrka som överskrids i % av åren? ARBETSGÅNG: Plotta data från de 38 mätningarna (plotta mot tid, histogram) Försök hitta en standardmodell som passar till de 38 mätningarna Använd mätningarna för att skatta parametrarna i modellen Beräkna sannolikheter och kvantiler I MODELLEN En lämplig modell visade sig vara Gumbelfördelning (extremvärdesfördelning av typ I) med fördelningsfunktion F (x) = e e (x b a ) där b uppskattas till 29. och a till 2.5.
VINDHASTIGHET (m/s) 4 35 3 25 2 3 4 TID Empirical and Gumbel estimated cdf FREKVENS 8 6 4 2 HISTOGRAM 25 3 35 4 VINDHASTIGHET FREKVENSFUNKTION, GUMBEL.2.8.5 F(x).6.4 f(x)..2.5 25 3 35 4 VINDHASTIGHET 2 3 4 VINDHASTIGHET (a) Hur troligt är det att årliga maximala vindstyrkan överstiger 35 m/s? (b) Vilken är den årliga maximala vindstyrka som överskrids i % av åren?
EXEMPEL: Också en av de vanligaste fördelningarna... Normalfördelningen (gaussisk fördelning, gaussisk klocka).6 FREKVENSFUNKTION.5.4.3.2. 5 2 25 3 35 4 45 5 55 FÖRDELNINGSFUNKTION.8.6.4.2 5 2 25 3 35 4 45 5 55 Studerar vi mycket några veckor fram i kursen!
ξ diskret ξ kontinuerlig Sannolikhetsfördelning p(x) = P (X = x) f(x) Fördelningsfunktion F (x) = P (ξ x) F (x) = [x] k= p(x) F (x) = x f(t)dt Sannolikhetsfunktion för X Po(2.5).8 Täthetsfunktion för X N(3.5,.5) P(X=k)=p(k).25.2.5..5 2 3 4 5 6 7 8 9 k f(x).6.4.2 2 4 6 x Fördelningsfunktion för X Po(2.5) Fördelningsfunktion för X N(3.5,.5).8.8 F(x)=P(X<=x).6.4.2 F(x).6.4.2 2 4 6 8 x 2 4 6 x
Lathund (forts) Lägesmått för s.v. median m väntevärde: { x= xp(x) diskret E(ξ) = µ = xf(x)dx kontinuerlig F (m) = m f(x)dx=.5 undre p:te percentil L p F (L p ) = L p f(x)dx= p övre kvantil x α F (x α ) = α Spridningsmått för s.v. varians (förväntad kvadratisk avvikelse från väntevärdet): { V (ξ) = σ 2 x= = (x µ)2 p(x) diskret (x µ)2 f(x)dx kontin. standardavvikelse: D(ξ) = σ = V (ξ)
EXEMPEL mätfel; hållfasthet hos trä; längden hos betongelement; GRÄNSFÖRDELNING för summan av s.v. FÖRDELNING beteckning Normalfördelning ξ N(µ, σ) Lognormalfördelning ln ξ N(µ, σ) axiell belastning hos betongpelare; årsnederbörd av snö; hastighet i en rondell Exponentialfördelning ξ Exp(λ) livslängd hos komponenter; tidpunkten mellan två händelser som inträar slumpmässigt och oberoende av varandra; Richtermagnituden hos en jordbävning Weibullfördelning Gumbelfördelning Gammafördelning Rektangelfördelning Binomialfördelning Poissonfördelning ξ Γ(p, a) ξ R(a, b) ξ Bin(n, p) ξ P o(λ) utmattningsfenomen; karakteristisk bärförmåga; tiden en enhet ligger i lager, restider extrema värden, årsmaxima årsmaxima för snödjup avrundningfel; väntetid på en buss antalet defekta komponenter i en sändning; antalet ggr ett gränsvärde överskrids under mätperioden; antalet översvämningsår antalet bilar i en rondell; antalet radioaktiva sönderfall under en tidsperiod; antalet mc-olyckor under en månad