Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), hjälpreda för miniräknare, miniräknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 0 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 20 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 8 9 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift Anne och Birger spelar badminton. Om den som servar vinner bollen, så får den spelaren en poäng. Om den som servar förlorar bollen, så får ingen någon poäng och den andra spelaren får serva nästa boll. Den som servar vinner alltid bollen med sannolikheten 2/3. Resultatet av olika bollar är oberoende. Anne börjar serva. Beräkna hur många poäng hon i genomsnitt får innan Birger får sin första poäng. (0p) Uppgift 2 I en dator sitter två processorer, som båda har en felintensitet λ då de båda fungerar, d.v.s. med intensitet λ hoppar en processor från funktion till icke-funktion. Skulle bara en av processorerna fungera belastas denna hårdare så att felintensiteten blir.5λ. Då en processor går sönder byts den ut och utbytestiden är exponentialfördelad med väntevärde /, d.v.s. med intensitet blir en trasig processor utbytt. Datorn startar med två hela processorer. Beräkna sannolikheten att datorn är fullt fungerande, d.v.s. att datorns båda processorer fungerar, vid en asymptotisk tidpunkt t. Parametervärden: λ = 0 4 och = 0.0. (0 p)
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 7 08 8 2 Uppgift 3 I en kömodell för ett system har man en betjäningsstation som utför betjäningar som tar exponentialfördelade tider med väntevärde /. Kunder anländer enligt en Poissonprocess med intensitet λ om kön är tom, men om någon eller några köar i väntan på betjäning minskar ankomstintensiteten till λ/2. Kön är ordnad, utan bortfall och utan begränsning. Betjäningstiderna är oberoende av varandra och ankomstprocessen. Låt X(t) vara antalet kunder i systemet vid tiden t.(x(t); t 0) är då en markovkedja. Bestäm ett villkor på λ för att kedjan ska ha en gränsfördelning, d.v.s. fördelning efter lång tid och bestäm denna gränsfördelning. Uppgift 4 (0 p) Kunder kommer till en taxistolpe enligt en Poissonprocess med intensiteten 5 kunder/timme. Lediga taxibilar passerar stolpen enligt en Poissonprocess med intensiteten 0 bilar/timme. En taxi stannar endast om det finns väntande kunder och tar då upp den kund som står först i kön. Systemet förutsättes befinna sig i stationärt tillstånd. Beräkna den förväntade tiden som en kund får köa vid taxistationen. (0 p) Uppgift 5 Vid tidpunkter som genereras av en Poissonprocess med intensitet λ = 2 per minut kommer ensamma kunder till en betjäningsstation och vid tidpunkter som genereras av en Poissonprocess med intensitet λ 2 = per minut kommer kunder i par till betjäningsstationen. De två processerna är oberoende. a) Beräkna sannolikheten att det under ett tidsintervall av längd minut anländer precis fyra kunder. (5 p) b) Beräkna approximativt sannolikheten att minst 250 kunder anländer under en timme. (5 p)
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00 Uppgift Inför tilståndsrummet E = {Anne servar,anne får poäng,birger servar,birger får poäng} E = {,2,3,4} Vi inför nu övergångsmatrisen 0 2 3 0 3 P = 0 0 0 0 0 2. 3 3 0 0 0 Vi börjar med att räkna ut sannolikheten att nästa poäng som delas ut tillfaller Anne förutsatt det är Anne som servar. Denna sannolikhet är sannolikheten att absorberas i tillstånd 2 vid start i tillstånd, där vi ser tillstånd 2 och 4 som absorberande tillstånd och tilstånd och tillstånd 3 som genomgångstillstånd. Med beteckningar enligt 5..5 i Formelsamlingen fås följande ekvationssystem där vi söker a 2. { a 2 = 2 3 + 3 a 32 a 32 = 0 + 3 a 2 Detta ekvationssystem ger att a 2 = 3. Detta betyder att när Anne servar är sannolikheten att 4 nästa poäng som delas ut tillfaller Anne 3. Således tillfaller den Birger med sannolikheten. Om 4 4 vi nu inför den stokastiska variabeln X där X= antalet poäng som delas ut t.o.m. Birger får sin första poäng så gäller att X ffg( ), och då gäller atte(x) = 4. D.v.s. i genomsnitt får Birger 4 sin första poäng när Anne har fått 3 poäng. Svar:Anne får i genomsnitt 3 poäng innan Birger får sin första när Anne börjar serva.
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 7 08 8 2 Uppgift 2 Låt i vara tillståndet att i processorer är sönder, i = 0,, 2. Intensitetsmatrisen ges då av 2λ 2λ 0 Q =.5λ.5λ 0 2 2 T.ex. sker övergången 0 då processor eller processor 2 brister. Eftersom båda har felintensitet λ inträffar den första av dessa sönderfall med intensitet 2λ. Denna Markovprocess är ändlig och irreducibel (t.ex. 2 3 2 ). Den är alltså ergodisk och det existerar en asymptotisk fördelning som är oberoende av startfördelning. Denna ges av den stationära som uppfyller πq = 0, eller 2λπ 0 + π = 0 2λπ 0 ( +.5λ)π + 2π 2 = 0.5λπ 2π 2 = 0 π 0 + π + π 2 =.5λ Lösningen av detta ekvationssystem blir π 0 =, π 2 +2λ+.5λ 2 = och π 2 +2λ+.5λ 2 0 = 2 Med siffror insatta erhålls π 0 = 0.98025, π = 0.0960, π 2 = 0.0005. Svar:Sannolikheten att datorn är fullt fungerande är π 0 = 0.98025 2 Uppgift 3 2λ 2 +2λ+.5λ 2. Låt tillståndsrummet vara E = {,2,3,4...,i...}. Där i är antal kunder i systemet. Vi ser det hela som en Födelse-döds-process och då är villkoren för att kedjan ska vara stationär(med beteckningar enligt 5.2.8 i Formelsamlingen) ) ρ i < 2) λ i ρ i = Detta ger att ρ 0 = ρ = λ 0 = λ där ρ 2 = ρ λ 2 = ρ λ = ( λ )2 ρ 3 = ρ 2 λ2 3 = ρ 2 λ/2 = λ3 ρ i = λi 2 i 2 för i 3 i 2 3 ρ i = + λ + (λ )2 + i=3 λ i 2 i 2 i Om denna summa ska vara konvergent så krävs enligt kvotkriteriet att ( λ lim )n+ 2 n < λ n ( λ )n 2 < 2 n 2
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 7 08 8 3 Vilket ger villkoret λ < 2 för att villkor ) ska vara uppfyllt. Återstår villkoret 2) = λ i ρ i λ + λ λ + λ ( + λ 2 )2 i=3 λ ( = λ 2 )i = λ + λ 2 + 2 λ ( λ )2 = [ λ i=2 > 2 enl ovan] = D.v.s. vi har en stationär kedja där fördelningen π = (π 0, π, π 2,...) ges av π i = ρ i ρ i Där ρ i = + λ + (λ )2 + i=3 λ i 2 i 2 i = + λ + (λ )2 + ( λ )2 i= λ i 2 i = [ρ = λ i 2 ] = = + 2 ρ + 4 ρ 2 + 4 ρ 2 ρ i = + 2 ρ + 4 ρ 2 ( + i= ρ i ) = + 2 ρ + 4 ρ 2 = [ρ < ] = + 2 ρ + 4 ρ 2 ( + 2 ρ)( ρ) + 4 ρ2 = = + ρ + 2 ρ2 ρ ρ ρ π 0 = ρ +ρ+2 ρ 2 π = λ Svar:Detta ger gränsfördelningen π 0 π 2 = ( λ )2 π 0 π i = ( λ )i π 2 i 2 0 för i 3 i= ρ i = Uppgift 4 Vi tolkar taximodellen som en M/M/-kö. Betjäningen börjar då en kund kommer först i kön och avslutas då en taxi kommer. Detta innebär att ankomstintensiteten λ = 5 och betjäningsintensiteten = 0. Den förväntade tiden i taxi-kön svarar således mot förväntad tid i systemet. Vi får då, jmfr formelsamlingen sid. och 2 w = l λ = ρ + l q λ = ρ + ρ2 ρ λ = ρ ρ λ = ( ρ) = 0.2 timmar = 2 minuter.
forts tentamen i SF904 (f d SF83) 7 08 8 4 Uppgift 5 a) Fyra kunder kan anlända enligt tre olika möjligheter: 4 ensamma kunder men inget par, 2 ensamma kunder och ett par samt 0 ensamma kunder och 2 par. Låt X vara antalet ensamma anlända kunder Y vara antalet par. Vi får då att P ({X = 4, Y = 0} {X = 2, Y = } {X = 0, Y = 2}) = P (X = 4, Y = 0) + P (X = 2, Y = ) + P (X = 0, Y = 2) = P (X = 4)P (Y = 0) + P (X = 2)P (Y = ) + P (X = 0)P (Y = 2) = e 2 24 4! e 0 0! 2 + e 2 e!! 20 2 + e 2 e 0! 2! = 9 6 e 3 0.58 b) Låt nu X vara antalet ensamma kunder som kommer under en timme och Y antalet par. Totala antalet kunder som kommer under timme är då X + 2Y. Både X och Y är Poissonfördelade, X Po(60 2) och Y Po(60 ). Eftersom väntevärdena är större än 5 är X N(20, 20) och Y N(60, 60) och således X + 2Y N(20 + 2 60, 20 + 2 2 60)= N(240, 360). härav får vi 250 240 P (X + 2Y 250) Φ( ) = Φ(0.527) 0.30 360