Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 7 9 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 7: Trösklar i matematiklärandet Trösklar i matematiklärandet Ingemar Holgersson, Högskolan Kristianstad Lärare får efter hand erfarenhet av vad eller vilka områden i matematik som en del elever har svårt att förstå och erövra stabila kunskaper om. Ofta är det samma områden som återkommer i samma årskurser. Sådana områden där det tar emot, men som eleven behöver kliva över för att utveckla grundläggande förmågor i matematik, kan vi kalla trösklar. Ett exempel på en sådan tröskel är att det finns elever i såväl grundskolan som i gymnasieskolan som aldrig har utvecklat förtrogenhet med att dela upp de grundläggande talen 1 till 10 i olika mindre delar, utan har fastnat i att alltid använda ett till ett-räkning, oftast med hjälp av fingrarna, när de ska addera eller subtrahera hela tal med varandra. Andra exempel är att förstå bråkbegreppet och hur det används i olika sammanhang, att förstå proportioner som vid procenträkning eller användning av skala, och att förstå användningen av bokstäver i generella uttryck då de skapar eller använder en formel för att beräkna något. I studier där forskare försökt kartlägga hur elever utvecklar förståelse för olika områden inom matematik finns det ofta en god beskrivning av den här typen av trösklar. Två sätt att använda tal Terezinha Nunes och Peter Bryant (2015) skiljer på två sätt att använda tal. Grunden för denna skillnad är att kvantiteter och tal inte är samma sak. Vi använder tal som mått på kvantiteter, till exempel fem äpplen, men vi kan också tänka på kvantiteter i termer av mer eller mindre och avgöra i vilken mängd det finns mest, utan att egentligen veta hur många eller hur mycket det egentligen finns i respektive mängd. Samband mellan tal och kvantiteter är av många olika slag som det tar flera år för elever att få erfarenhet av och att lära sig. Det första sättet att använda tal på, som Nunes och Bryant urskiljer, är just att vi använder dem för att ange hur många det finns i en mängd eller hur mycket det finns av någon storhet. Då använder vi tal för att representera en kvantitet, det vill säga på ett representativt sätt. Men vi kan också använda tal fristående från någon koppling till en kvantitet, till exempel när vi resonerar om tals egenskaper, som att 8 kan delas upp i 5 + 3 eller i 4 + 4. Detta andra sätt att använda tal på kallar Nunes och Bryant för analytiskt. Poängen är att det visat sig att elever inte alltid använder sin analytiska kunskap om tal när de ska lösa problem som handlar om antal eller storheter. Ett exempel är att även om de vet att 4 + 2 och 2 + 4 är lika mycket, så är det inte säkert att de i en praktisk situation kan tillämpa detta när de ska jämföra händelser som kan beskrivas med 4 kr + 2 kr och 2 kr + 4 kr. Att skilja på dessa båda sätt att använda tal kan hjälpa oss att förstå varför det ibland är svårt för elever att tillämpa det de lärt sig i skolan i uppgifter som handlar om https://larportalen.skolverket.se 1 (7)
konkreta situationer. Det är heller ingen självklarhet att elevers kunskaper om kvantiteter automatiskt förs över till diskussioner om tal som inte har någon koppling till konkreta erfarenheter. Sharon Griffin (2007) argumenterar för att matematisk kompetens har sin grund i tre världar, den verkliga, konkreta världen, den verbalt språkliga världen och den symboliska världen. För att utveckla en god taluppfattning, number sense, behöver elever först få rika tillfällen att upptäcka och skapa begreppsmässiga samband mellan de erfarenheter de gör i den konkreta världen, och att verbalt få sätta ord på dessa erfarenheter och hur de förstår dem. Först när en sådan språklig bro mellan erfarenheter och verbalt språk har etablerats, finns det en grund för att på ett meningsfullt sätt använda och förstå skriftliga symboler, för att uttrycka olika samband och relationer mellan tal. Detta sker hela tiden inom olika avgränsade områden, men vid olika tidpunkter, och varierar för olika individer. Elever i svårigheter eller elever med begränsade matematiska vardagserfarenheter och begränsade erfarenheter av att räkna, behöver extra mycket stöd med att skapa samband mellan i första hand erfarenheter av kvantiteter och verbala uttryck (ett representativt sätt att använda tal på), och i andra hand hur detta kopplar till den symboliska världen (ett analytiskt sätt att använda tal på). Kan vi förbättra förståelsen av algebraiska uttryck och formler? Många elever kan ha svårt att hantera bokstäver som någon form av obestämt eller generellt uttryck. Det tycks bli för abstrakt eller fritt från någon koppling till erfarenheter som de kan relatera till. Samtidigt är det viktigt att alla elever får en grundläggande förståelse för olika uttryck eller formler för att exempelvis beräkna ränta eller avgifter av olika slag. När vi introducerar bokstäver i algebran sker det ofta i form av ekvationer, där konventionen bjuder att vi använder x för att representera ett obekant tal eller en obekant storhet. Här fokuserar vi i det första fallet på talens analytiska egenskaper och i det andra fallet på talens representativa roll. Det finns en tradition att försöka göra användningen av x begriplig genom att använda enkla exempel, där det blir lätt att se vad x står för. Samtidigt kan det då också kännas meningslöst för elever: Varför x, när det är så lätt att lösa uppgiften utan? Tänk på ett tal Ett sätt att väcka intresse för behovet av att införa en okänd variabel är att använda någon form av Tänk på ett tal -uppgift. Då ber läraren eleverna tänka på ett tal, och ger därefter ett antal instruktioner om att göra en aritmetisk operation med utgångspunkt i det tal en elev har valt. Efter en tre, fyra operationer frågar så läraren någon elev om vilket resultat hon/han fick, och kan då lätt tala om vilket tal hon/han tänkte på från början, eftersom operationerna på ett inte helt genomskinligt sätt tar ut varandra. Det som kan locka elever är att också framstå som en tankeläsare. För att förstå varför det alltid går att tala om vilket tal eleven börjat på behöver man någon bokstav för att representera det tänkta talet. Ett exempel: https://larportalen.skolverket.se 2 (7)
Tänk på ett tal! (5) x Addera 6. (5 + 6 = 11) x + 6 Dubbla. (11 2 = 22) 2 (x + 6) = 2x + 12 Addera 12. (22 + 12 = 34) 2x + 12 + 12 = 2x + 24 Subtrahera 24. (34 24 = 10) 2x + 24 24 = 2x Säg ditt tal. (10) 2x Nu vet jag att du tänkte på (5) 2x/2 För att konkretisera tankegången kan en stängd ask representera x och lösa bönor representera konstanterna. 2x + 12 + 12 kan då visas med två askar och 24 bönor. Mönster i matematiken I Sverige har det blivit vanligt att fokusera på mönster i matematiken. Ofta blir det då talföljder såsom 1, 3, 5, 7, eller 1, 1, 2, 3, 5, 8,. Men sådana talföljder dyker också upp vid problemlösning i geometrisk kontext, till exempel olika former av växande geometriska mönster som man kan tänka sig hämtade från plattläggning i trädgårdar eller liknande. Det kan också handla om olika tändsticksmönster som successivt kan göras större på något sätt (Figur 1). Mönster med stickor Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 1. Exempel på talföljder där mönstret visualiseras med hjälp av tändstickor. Här går det att ställa frågor om hur många stickor figur 1, figur 2, och så vidare har, men även om vilken figur som det behövs 42 stickor att bygga. För att besvara sådana frågor behöver eleverna studera de talföljder som uppstår och på något sätt beskriva hur de växer. I figurerna ovan behövs det 6, 10, 14, 18, stickor eller med ett generellt uttryck 2 + 4 n stickor för figur nr n. Men erfarenhetsmässigt är det inte så lätt för elever att få fram denna formel genom att bara studera talföljden. Eleverna upptäcker att det växer med fyra stickor för varje ny figur, men hur hänger det ihop med 4 n? Det kanske blir lättare ifall de inte räknar ut hur många stickor det blir för varje figur, utan istället bara tecknar hur de kan räkna ut det, det vill säga att ange antalet stickor som 6, 6 + 4, 6 + 4 + 4, 6 + 4 + 4 + 4,, vilket kan formuleras om som 6, 6 + 1 4, 6 + 2 4, 6 + 3 4, Detta kan bli tydligare om talen skrivs in i en tabell (Tabell 1). https://larportalen.skolverket.se 3 (7)
Tabell 1. Exempel på hur talföljder kan tydliggöras i tabellform Här finns det nu möjlighet att titta på vad som förblir lika för varje figur och vad det är som förändras. Jo, beräkningen för antalet stickor i respektive figur börjar alltid med 6, och sedan kommer det ett tal som växer med ett i taget gånger 4. Detta går då att skriva som 6 + x 4, där x är ett mindre än figurens nummer n, alltså blir x lika med n 1, och formeln för antalet stickor för figur nummer n lika med 6 + (n 1) 4. Kommer eleverna också på att antalet stickor i figur 1 kan uttryckas som 2 + 1 4 kan de skriva om formeln som 2 + n 4. Därefter går det att gemensamt resonera om att man brukar skriva, det vill säga det är en konvention, 4n + 2 och med multiplikationstecknet underförstått. Poängen med resonemanget ovan är att det många gånger är lättare att formulera en formel ifall man inte räknar ut varje antal i en följd för sig, utan bara skriver upp hur man räknar ut det. Då bevarar man nämligen strukturen hos beräkningen, den struktur som den formel man skapar är ett uttryck för. Kostnad för körkort En lärare försökte hitta något sätt för elever att förstå formler, som är eller blir relevanta i vardagslivet. En uppgift hon presenterade för sina elever var: När man ska ta körkort i Cityskolan kostar teorin och de obligatoriska körlektionerna tillsammans 4300 kr. De extra körlektionerna kostar 450 kr per lektion. Visa hur man beräknar kostnaden för körkortet beroende på hur många extra körlektioner man behöver ta. Fyll i tabellen nedan och beskriv med ord hur du tänker. Skriv ett uttryck som visar hur kostnaden för körkortet förändras beroende på hur många extra körlektioner (n) man vill ta på Cityskolan. För att hjälpa eleverna att bevara strukturen i sina beräkningar, hade hon gjort en färdig tabell med Antalet extra körlektioner och Den totala kostnaden, så att de skulle kunna få en bättre överblick. Bokstaven n blev en naturlig representant för hur många extra lektioner man behöver. Efter att eleverna först fick diskutera uppgiften med varandra ställde hon följande fråga: L: Jag ser att ni börjat räkna. Kan ni först förklara hur ni gör? https://larportalen.skolverket.se 4 (7)
E1: Om man vill ta en extra körlektion ska man betala 4300 kr plus 450 (skriver i tabellen) vänta, jag ska bara räkna! Den färdiga tabellen (Tabell 2) som eleverna fyllde i under diskussionen såg ut på följande sätt: Tabell 2. Beräkning av kostnaden för antalet extra körlektioner L: Det räcker med bara uträkningen. Kan du fortsätta med två extra lektioner? E1: Då tar jag två gånger 450 L: Prova skriv på samma sätt som för en extra lektion. E1: Ska jag ta 4300 först? då är det 4300 plus 450 gånger 2? L: Rätt. Fortsätt bara. (eleverna fortsätter fylla i tabellen) L: Har ni upptäckt nåt samband? Vad är det som ändras hela tiden? E2: Det blir ju samma, bara antal lektioner blir olika. L: Ja. Då kan vi skriva en formel för n antal lektioner ett generellt uttryck. E2: Det var ju lätt! L: Absolut. Nu har ni ett färdigt algebraiskt uttryck för att räkna ut kostnaden för körkortet. E1: Vad är det bra för? L: Man kan använda färdiga formler i till exempel Excel för att bekvämt räkna ut kostnaden för alla elever på körskolan, bara man vet hur många extra lektioner de tog. https://larportalen.skolverket.se 5 (7)
Eleverna visade återigen svårigheter i att skriva uträkningarna på en rad. Jag antar att det finns en del osäkerhet om räkneregler, samt bristande förståelse för uttryck, där olika delar innehåller olika fakta. Elev E1 började fundera på vad det färdiga uttrycket var bra för och efterlyste användningsområden för algebra. I intervjun med E3 och E4 kom jag fram till liknande resultat. Eleverna blev erbjudna att visa hur de beräknade kostnaden för körkortet först för en extra körlektion, sedan för två, tre, fyra, fem och till slut n körlektioner. Även dessa elever visade osäkerhet i att kunna skriva beräkningen på en rad och försökte räkna ut resultatet för varje deloperation för sig. Beräkningar leder till tal i en talföljd Idén med att stanna vid att skriva ned de beräkningar som leder till ett tal i en talföljd och studera de mönster som finns i dessa, istället för att studera mönstret i själva talföljden, kommer från den engelske professorn i matematikdidaktik John Mason (2005). När en lärare märker att det tar emot för en elev att förstå ett speciellt begrepp är det nödvändigt att inse att det finns behov av särskilda och intensiva insatser (Clements & Sarama, 2014). Målet för insatserna är att uppnå rimligt flyt grundad på en god förståelse. Det är viktigt att notera att förståelse bör föregå träning, och att träningen bör vara varierad, där det inte primärt är fokus på memorering. Resultaten blir också bättre genom att eleven får korta pass ofta snarare än längre pass med långa mellanrum. Det är också viktigt att se till, att övningen matchar elevens behov, vilket förutsätter att man tagit reda på, just vad det är de inte förstår eller behöver öva på. Att öva snabbhet är viktigt, och att övningarna kontinuerligt utvecklar hur eleven uppfattar relationer och strategiskt tänkande. Att utveckla flyt innefattar även att utveckla flyt med olika sätt att resonera. Även om detta är uttalat främst med tanke på yngre elever, finns det inget som talar emot att detta gäller även för äldre elever. Vikten av att koppla ihop elevers förståelse av kvantiteter med deras förmåga att förstå och utveckla mer analytiska sätt att hantera tal på, blir tydligt i exemplen. De flesta elever kan beskriva hur de gör, när de exempelvis ska räkna ut vad den totala kostnaden blir för ett visst antal extralektioner. Att därifrån formulera beräkningen med symboler är inte helt självklart. Men detta steg blir i sin tur till en ny bro, som gör det möjligt att fokusera på strukturen och mönstret i beräkningarna, vilket lägger grunden för att kunna generalisera uttrycket genom att introducera variabeln n. Trots allt är det just att bevara fokus på struktur, som gör algebra till ett så användbart redskap för matematik. Referenser Clements, D. & Sarama, J. (2014). Learning and teaching early math The learning trajectories approach. Routledge. Griffin, S. (2007). Early intervention for children at risk for developing mathematical learning difficulties. I Berch, B.B. & Mazzocco, M.M.M. (Red.): Why is math so hard for some children? (s 373 395). Baltimore: Paul H. Brookes Publishing Co., Md. https://larportalen.skolverket.se 6 (7)
Mason, J., Graham, A. & Johnston-Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. The Open University. Nunes, T. & Bryant, P. (2015). The development of mathematical reasoning. I Handbook of Child Psychology and Developmental Science. https://larportalen.skolverket.se 7 (7)