Inkludering och delaktighet lärande i matematik Det finns fyra inriktningar på modulen Inkludering och delaktighet. De tre inledande delarna och den avslutande delen är gemensam för samtliga inriktningar medan del 4-7 har specifikt innehåll för respektive inriktning. Den här modulen syftar till att anpassa matematikundervisningen så att den blir tillgänglig för varje elev. Modulens matematikinnehåll rör i huvudsak taluppfattning, från grundläggande aspekter av tal till förtrogenhet med aritmetiska beräkningar. Alla elever har rätt till en likvärdig utbildning. Av skollagen framgår att eleverna ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och i sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Skolan har ett kompensatoriskt uppdrag och ska sträva mot att uppväga skillnader i elevers förutsättningar att tillgodogöra sig utbildningen. Alla som arbetar i skolan har också ett särskilt och gemensamt ansvar för de elever som av olika anledningar behöver stöd i sitt lärande. Inkludering talar för idén att skolan ska utformas utifrån elevers olika förutsättningar, där eleverna kan vara delaktiga i sin utbildning och få ett utbyte både kunskapsmässigt och socialt i ett gemensamt sammanhang. Samtida forskning har visat att skolans förmåga att skapa inkluderande lärmiljöer, att anpassa undervisningen utifrån varje elev samt att öka elevers delaktighet är viktiga framgångsfaktorer för en likvärdig utbildning. Modulen består av följande delar: 1. Stöd till elever en tillbakablick 2. Inkludering vad betyder det? 3. Alla elevers inflytande över sitt eget lärande 4. Tillgänglighet till matematik 5. Begrepp och representationer 6. Matematikängslan och motivation 7. Trösklar i matematiklärandet 8. Förbereda och planera för inkludering Revision: 1 Datum: 2018-08-14
Del 4. Tillgänglighet till matematik I den inledande texten introduceras några specialpedagogiska begrepp som tillgänglighet och inkludering. En diskussion förs kring de specialpedagogiska perspektiven kategoriskt/kompensatoriskt, relationellt/kritiskt och dilemmaperspektivet. Matematiksvårigheter har flera förklaringsgrunder och några orsaker beskrivs översiktligt. Ett tiotal lektionsaktiviteter med fokus på tals placering på tallinjen beskrivs i Från talrad till tallinje. Syftet med den här delen är att fördjupa kunskapen om hur matematikundervisningen kan göras tillgänglig för alla elever genom att utveckla och tillämpa relationella och didaktiska anpassningar. Del 4: Moment A individuell förberedelse I texten introduceras några specialpedagogiska begrepp och perspektiv. Från talrad till tallinje består av ett tiotal lektionsaktiviteter som handlar om hur tal kan representeras på en tallinje. Läs de tre inledande lärarsidorna. Titta igenom aktiviteterna som förberedelse för diskussion om klassrumsaktivitet i moment B. Material (åk 1-3) Helena Roos, Ann-Louise Ljungblad (åk 4-6) Helena Roos, Ann-Louise Ljungblad (åk 7-9) Helena Roos, Ann-Louise Ljungblad Från talrad till tallinje (åk 1-9) NCM Revision: 1 Datum: 2018-08-14
Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 1-3 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 4: Tillgänglighet till matematik Att skapa tillgänglighet till matematik vilka är de pedagogiska Helena Roos, Linnéuniversitetet och Ann-Louise Ljungblad, Göteborgs universitet Välkomna till en matematiklektion i årskurs 3 Under några veckor har temat för klassens arbete varit taluppfattning. När vi kommer in på lektionen arbetar eleverna med att utforska sin egen personliga talrad. Inledningsvis får de ett blankt papper och färgpennor. Det är tyst och stilla när eleverna sitter enskilt och reflekterar. Uppgiften handlar om att försöka rita en bild av hur de personligen ser talen 1 20 samt hur de ser högre tal. Läraren går runt och samtalar med eleverna. Några av dem tycker det är enkelt att beskriva och rita sina inre talrader. Andra elever tycker det är svårt att klä i ord hur deras inre talrader ser ut. Efter en stund sätter sig eleverna i grupper och redovisar för varandra. Nu blir det livliga diskussioner. Yasmina beskriver sin inre talrad som en spiral (Figur 1): Hm Den snurrar runt, runt och uppåt som en hög spiral. Varje varv är lite flyttat åt vänster så att man ser vissa av siffrorna under, ungefär från 1 till 4 eller 11 14. Spiralen går lite snett uppåt sidan så är det! Man ser alltså 11, 12, 13, 14. Sedan döljs resten av den talraden ovanför, fram till 21, 22, 23, 24 som sedan syns och så vidare. Figur 1. Illustration av Yasminas inre talrad. Victor beskriver och ritar sin inre talrad mellan 10 och 20 på följande sätt (Figur 2): 11, 13, 12, 14, 15, 17, 16, 18, 30, 20, säger Victor. Jag ser inte att 19 är med, undrar läraren försiktigt. Du frågade ju om talraden 11 20 och den ser ut så här. 19 ligger på utsidan av 20 och kommer där borta. (Eleven pekar på höger sida av 20). När jag ska räkna med den här talraden blir det ju fel, så jag räknar på fingrarna eller skriver upp en talrad. Den kan jag skriva rätt om jag tänker noga, talar och tänker rytmen. Men om jag bara tänker talraden så är det svårt att se 12 efter 11. Då kommer 13 in liksom, så känns det, sedan kommer 12. https://larportalen.skolverket.se 1 (11)
Figur 2. Illustration av Victors inre talrad. Noah förtydligar att hans talrad ser ut som ett rutnät (Figur 3). Där är siffrorna i rutor med linjer runt omkring, liksom som en ram runt varje siffra. I första rutan finns 1 och i nästa ruta finns 2 och så vidare. Och så sitter alla rutor ihop. Figur 3. Illustration av Victors inre talrad. Billy är mycket tydlig med hur han ser sin inre talrad (Figur 4 och 5). Först är det ju en 1:a här. Sedan gör jag en linje till 20 och i mitten har jag 10. Så har jag en massa småstreck och delar in halva linjen vid 10. När det gäller hundratal så är det likadant upp till 1000. Ett hundra, två hundra, tre hundra det är likadant avstånd mellan alla. 1 20 Figur 4. Illustration av Billys inre talrad 1-20. 1 1000 Figur 5. Illustration av Billys inre talrad 1-1000. Dessa konkreta exempel är ett axplock av den naturliga mångfald som matematiklärare dagligen möter i ett klassrum. Eleverna har under sin skoltid mött olika slags undervisning och utvecklat olika personliga bilder av talraden. Dessutom har Yasmina, Victor, Noah och Billy under sin skoltid kämpat med olika svårigheter. För Yasmina har det varit en läs- och https://larportalen.skolverket.se 2 (11)
skrivsvårighet där bokstäverna orsakat problem. Det innebär att Yasmina hamnar i svårigheter i matematiken när hon på egen hand ska läsa uppgifter i läroboken. Läs- och skrivsvårigheterna är av fonologisk karaktär, där språkets ljudmässiga form ibland leder till att hon inte alltid hör skillnad mellan tal som låter lika (till exempel tretton trettio, sjutton sjuttio). Dessutom orsakar hennes inre spiralformade bild av talraden att det tar tid för henne att få fram talen, även om raden är korrekt. För Victor har det varit en räknesvårighet där siffrorna och förståelse för den grundläggande taluppfattningen skapat svårigheter. Detta skapar stora svårigheter i utvecklingen av hans antalsuppfattning och ger problem i allt matematikarbete. Det är svårt för Victor att se ett antal, till exempel 17 och hur det kan delas in i olika delar (7 + 10, 9 + 8 och så vidare). Denna problematik i relation med en icke fungerande talrad gör att han hamnar i fingerräkning där han räknar upp eller drar ifrån en i taget hela tiden. Noah har kämpat med en koncentrationssvårighet som stundtals skapar problem i matematik. Om uppmärksamheten och koncentrationen riktas mot den aktuella matematikuppgiften så fungerar talraden väl. Tappas koncentrationen uppstår det problem med att använda talraden. Billy å andra sidan har haft väldig lätt för matematik och kan obehindrat använda talraden som ett redskap i sitt lärande, men ogillat matematik och uppvisat negativa känslor mot ämnet. I klassrummet finns också ytterligare två personer som behöver nämnas, nämligen matematikläraren Adele samt Isabelle som är lärarstudent. Hur ser deras inre talrader ut? Adele kan enkelt beskriva sin talrad som en linje där talen kommer på rad och som lätt flyttas fram till de tal hon för tillfället vill se. Isabelle är mer konfunderad och har inte tidigare reflekterat över hur hennes inre talrad ser ut. Talraden är svårfångad och det tar en stund innan hon kan beskriva att den är utformad som en ringpärm som pingisdomare använder, där blad efter blad med talen viks framåt eller bakåt (Figur 6). Men det är alltid rätt tal som kommer upp. Figur 6. Illustration av Isabelles talrad. Den bild matematikläraren har av ett matematiskt begrepp eller matematiskt område behöver inte stämma överens med de bilder som eleverna utvecklar eftersom begrepp kan uppfattas på olika sätt. En av de pedagogiska utmaningarna för Adele och Isabelle är att undervisa och stödja utvecklingen av elevernas talrader till tallinjer som blir allt mer förfinade. Vilket stöd kan eleverna i denna klass behöva? En grundläggande pedagogisk utmaning för matematiklärare är således att kunna identifiera den matematiska mångfalden och samtidigt möta elever där de befinner sig och på så sätt skapa tillgänglighet till matematik. https://larportalen.skolverket.se 3 (11)
Perspektiv på inkludering Vad inkludering i matematikundervisningen är finns det inga enkla och entydiga svar på och i modulen diskuteras inkluderingsbegreppet. Hur lärare kan sträva efter att skapa inkluderande undervisningsmiljöer i matematik sätts i relation till hur lärare uppfattar elevers behov. Inkludering påverkas också av nationella styrdokument, syn på lärande och undervisning, samt hur lärare förstår matematik och matematiksvårigheter. Utgångspunkten i undervisning är elevers mångfald och elevers deltagande i relation till läroplanen och kursplanens mål. Ett annat begrepp som återkommer är extra anpassningar i undervisningen, vilket enligt skriften Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram, Skolverkets allmänna råd med kommentarer (2014) innebär: en stödinsats av mindre ingripande karaktär som normalt är möjlig att genomföra för lärare och övrig skolpersonal inom ramen för den ordinarie undervisningen. Extra anpassningar är således något som läraren ständigt gör i sin planering och dessa kan vara såväl didaktiska som relationella anpassningar (Ljungblad, 2018). Didaktiska anpassningar kan innebära att läraren i sin planering förbereder för att eleven ges stöd i form av olika representationer, en extra genomgång, uppläst text, extra tid på prov, anpassade uppgifter och extra dialogtid med en lärare. Relationella anpassningar kan innebära att läraren reflekterar över hur den mellanmänskliga miljön kan anpassas. Lärarens relationella blick riktas således mot hur lärare och elever samverkar och hur hon eller han kan skapa en tillitsfull miljö. Konkret innebär detta att den relationella miljön anpassas så att eleven vågar ställa och svara på frågor samt vågar göra fel. Det kan också handla om att i grupparbete placera en elev i behov av stöd tillsammans med kamrater som eleven är trygg med. Vid elevredovisningar kan en elev som upplever det jobbigt att redovisa för hela klassen ges möjlighet att redovisa för en mindre grupp. En relationell anpassning kan också vara extra dialogtid med en lärare som eleven har förtroende för. Genom att reflektera över didaktiska och relationella anpassningar utifrån elevers olika behov av stöd kan tillgängligheten i matematik öka. När lärare, både i sin lektionsplanering och i undervisningssituationen, riktar blicken mot utmaningar som de möter synliggörs aspekter av undervisningen som kan förändras och nya möjligheter för lärande framträder. När frågan Vad gör jag nu? ställs handlar det om att utgå ifrån tidigare erfarenheter av anpassningar som fungerat, men också att vara kreativ och utveckla nya anpassningar. Om vi relaterar till eleverna i textens inledning är frågan vilka anpassningar som skulle vara utvecklande för dessa elevers lärande i matematik. Yasmina kan vara hjälpt av anpassningar i form av uppläst text, extra tid och extra genomgångar. Hon behöver även en talrad på sin plats där talen som hon har svårt att höra skillnad mellan är markerade. Victor behöver bildstöd och extra dialogtid med läraren för att befästa matematikens grunder. Han behöver dessutom konkreta talrader samt laborativa material som stödjer honom att utveckla sin antalsuppfattning, och laborera med för att se antal som helhet och delar. En annan viktig anpassning är att Victor får använda miniräknaren vid till exempel problemlösning. Noah behöver små pauser under lektionen för att hålla fokus. Det innebär konkret att han exempelvis arbetar med två uppgifter eller delar av en större uppgift och sedan pausar en https://larportalen.skolverket.se 4 (11)
minut. På så sätt undviks många onödiga fel i problemlösningen. En annan anpassning är att han får använda laborativa material och anpassade läromedel som stödjer honom att hålla uppmärksamheten och koncentrationen mot ett särskilt innehåll. Billy behöver extra dialogtid och anpassade uppgifter och problem som utmanar honom på hans nivå. Utrymme för extra dialogtid kan skapas genom att klasslärare, speciallärare och/eller specialpedagog samverkar så att stunder för fördjupade matematiska samtal blir möjliga. Dessutom finns det ytterligare anpassningar som gynnar dessa elevers lärande beroende på situationen och vilken matematik som är i fokus. Särskilda utbildningsbehov i matematik SUM Särskilda utbildningsbehov i matematik, SUM, är ett begrepp som under 2000-talet använts både inom forskning och praktik för att belysa den mångfald lärare har att hantera i matematikundervisningen. Forskare definierar SUM på olika sätt. Olof Magne (2006) definierar på en generell nivå SUM som låga prestationer i matematik, att eleven presterar under förväntad nivå. Denna definition har problematiserats av Anette Bagger och Helena Roos (2015) som istället definierar SUM som en svårighet som kan förekomma oavsett om man är hög- eller lågpresterande, under en kortare eller längre period, i en specifik avgränsad del av matematiken, eller mer generellt i matematik. Det kan exempelvis innebära att en elev uppvisar svårigheter i geometri men inte har några uttalade problem inom andra matematiska områden. Här utkristalliserar sig således olika slags behov av stöd. Stöd som utmanar elever som är extra intresserade av matematik likväl som stöd som utmanar elever i svårigheter. Det kan också handla om att eleven har behov av stöd ibland, likväl som att behovet av stöd är kontinuerligt. När det gäller fältet SUM förekommer varierande begrepp som beskriver matematiksvårigheter av olika slag, exempelvis allmänna respektive specifika matematiksvårigheter. Begreppet allmänna matematiksvårigheter är ett bredare mer generellt perspektiv som kännetecknas av svaga prestationer inom matematikens samtliga delar (och ibland även inom andra ämnen). Specifika matematiksvårigheter snävar in sig mot ett mer avgränsat fenomen som till exempel svårigheter inom en viss del inom matematiken såsom antalsuppfattning. Dessutom används ibland begreppet dyskalkyli för att definiera en specifik räknesvårighet. Det finns också olika förklaringar till att matematiksvårigheter uppstår. Fältet matematiksvårigheter kan delas in i fyra skilda förklaringsgrunder (Lunde, 2011): 1. Didaktiska förklaringar problematiserar hur vissa didaktiska arbetssätt inte fungerar för elever i matematiksvårigheter. Det kan också handla om räknefel som inte diagnostiseras och därmed inte kompenseras, eller färdighetsträning med mer av samma sort som inte utvecklar elevens matematiska kunnande. 2. Sociologiska förklaringar utgår ifrån sociologiska relationer på samhällsnivå, gruppnivå och individnivå. Inom sociologi söks orsaksförklaringar inom de sociala strukturer som eleverna ingår i och man söker förstå samspelet mellan olika roller såsom relationer mellan lärare och elev eller relationer mellan elever. Forskning kring barns sociala och kulturella sammanhang lyfter fram den https://larportalen.skolverket.se 5 (11)
sociala dimensionen med social interaktion, normer, värden och förväntningar i olika kontexter. 3. Medicinska eller neurologiska förklaringar tar utgångspunkt ur neurologisk forskning där man studerar mer eller mindre aktivitet i olika områden i hjärnan. Här söks orsaksförklaringen således i nedsatt neurologisk funktion hos den enskilda individen. 4. Kognitiva förklaringar utgår ifrån generella kognitiva funktioner såsom läs- och skrivfärdigheter och fonologisk bearbetning, arbetsminne, långtidsminne eller koncentration och uppmärksamhet. Orsaken söks i nedsatt kognitiv funktion hos den enskilda individen. Ett exempel på en sociologisk och didaktisk förklaring kan sökas i att elevens faktiska arbetsinsats är låg i relation till undervisningstiden (Sjöberg, 2006). Det som framträder som en matematiksvårighet orsakas av att eleven inte arbetat så många timmar med matematik. Eleven har under lektionstid och annan tid då det förväntats att eleven arbetar med matematik inte deltagit aktivt. Då handlar den pedagogiska utmaningen således om att få eleven att bli en aktiv deltagare i matematiken genom didaktiska och relationella anpassningar. När det gäller neurologiska och kognitiva förklaringsgrunder lyfter dessa vanligtvis fram specifika matematiksvårigheter och problematik inom den grundläggande antalsuppfattningen. Här blir den pedagogiska utmaningen att skapa en genomtänkt undervisning där eleven återkommande ges möjlighet att arbeta med laborativa material och bilder som stödjer en utveckling av elevens antalsuppfattning. Genom att rikta sökljuset mot olika svårigheter blir det lättare att ta fram hållbara anpassningar (Ljungblad, 2016b). Rent konkret i undervisningen leder det till didaktiska skillnader i val av metod när elever uppvisar en räknesvårighet jämfört med en läs- och skrivsvårighet eller en koncentrationssvårighet. Dessa olika grundproblem skapar olika svårigheter i matematikarbetet för exempelvis eleverna som beskrivs ovan. Genom att försöka förstå vilken svårighet som eleven kämpar med kan också mer kvalitativa didaktiska anpassningar tas fram som stödjer elevers olika behov. Perspektiv på matematiksvårigheter Sammantaget visar dessa olika förklaringsgrunder hur flerdimensionellt fältet matematiksvårigheter är. Det finns ofta flera orsaker till att en elev hamnar i matematiksvårigheter och elever uppvisar således olika behov av stöd. Följaktligen är det en betydelsefull skillnad i hur elevers problem med matematik beskrivs. Av tradition har definitionen varit elever med matematiksvårigheter. I ett sådant perspektiv blir eleven bärare av problemet. Under det senaste decenniet har ett alternativt perspektiv vuxit fram, där man genom begreppet elever i matematiksvårigheter istället lägger problemet i miljön. Dessa skillnader synliggörs när olika perspektiv anläggs på fältet matematiksvårigheter. Om man antar en kategorisk eller kompensatorisk syn på matematiksvårigheter innebär det att elevens brister och problem fokuseras, och man söker skapa metoder för att kompensera för https://larportalen.skolverket.se 6 (11)
problemen som man ser finns hos eleven. Om man istället antar ett relationellt eller kritiskt perspektiv lägger man fokus på lärmiljön och hur matematikundervisningen kan anpassas för elevers olika behov. Ytterligare ett perspektiv, dilemmaperspektivet, lyfter fram grundläggande dilemman i skolans vardag. Dilemman innebär konkret att lärare ställs inför svåra val och överväganden som inte har någon direkt lösning. Frågan är hur lärarna hanterar dessa motstridiga krav som uppkommer i det dagliga arbetet. Både det kategoriska/kompensatoriska perspektivet och det relationella/kritiska har såväl sina svagheter och risker som fördelar. En risk med det kategoriska/kompensatoriska perspektivet är att eleven blir betraktad som väsensskild från andra elever. Risken med det relationella/kritiska perspektivet är att skolan inte uppfattar att eleven befinner sig i svårigheter och är i behov av särskilt stöd. Inkluderande matematikundervisning Barnets rättigheter betonas i såväl Barnkonventionen Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter (UD, 2006) som i Salamancadeklarationen (Svenska Unescorådet, 2006). Salamancadeklarationen är en handlingsram som beskriver hur länder ska arbeta med inkludering. I deklarationen från 2006 lyfts för första gången begreppet inkludering fram i relation till elever i behov av särskilt stöd. Inkludering används i Salamancadeklarationen för att signalera ett nytt sätt att se på särskilda utbildningsbehov. Deklarationen slår fast att utbildningen ska genomföras så att den breda mångfalden av elevers olika behov tillvaratas. För att skapa inkluderande undervisning riktas sökljuset mot delaktighetsprocesser i det att barn som lär tillsammans lär sig att leva tillsammans. Det räcker dock inte med en inkluderande policy, den pedagogiska utmaningen handlar om att inkluderande processer måste förverkligas i klassrummet genom anpassningar så att elever får tillgång till och kan utveckla förmågor och kunnande. Inkludering i matematikundervisning problematiserar således på vilka sätt och i vilken utsträckning tillgänglighet till matematik skapas. Inkluderande klassrumsstudier I Skandinavien har det under senare år genomförts klassrumsstudier inom ramen för inkludering och matematikundervisning. Dessa studier ger en fingervisning om hur lärare kan arbeta med elevers deltagande och hur lärare kan skapa en ökad tillgänglighet i matematik. Nedan beskrivs resultatet av dessa studier i förhållande till hur lärare kan möta de pedagogiska utmaningarna. Tre dimensioner av lärares ledarskap I en dansk studie (Secher Schmidt, 2015) framträder tre dimensioner av ledarskap som påverkar elevers lärande i matematik. Den första är lärande ledarskap som påvisar vikten av att lärare leder elevens lärande och utveckling i dialog utifrån frågor av utforskande karaktär, istället för fokus på utvärdering av elevers prestationer. Den andra lyfter fram ett handlingsinriktat ledarskap som uttalar tydliga rutiner för elevers deltagande i undervisningen. Den innebär också att läraren betonar att elever spenderar tid på att tänka och inte enbart fokuserar på att snabbt komma fram till rätt svar. Slutligen den tredje dimensionen relationellt ledarskap skapar en miljö där elever känner sig trygga, vågar svara på frågor utan https://larportalen.skolverket.se 7 (11)
rädsla för om svaret är korrekt eller inte, samt att det finns en samverkan där lärare tror på eleverna och där man stödjer varandra. I en lärares ledarskap samverkar dessa tre former av ledarskap ständigt grundat i värden där elever och lärare gemensamt löser matematiska problem. Tre former av inkludering I en svensk studie beskrivs inkludering i matematik utifrån begreppen dynamisk inkludering, innehållsinkludering och deltagande inkludering (Roos, 2015). Den dynamiska inkluderingen har ett fokus på hur undervisningen för elever i särskilda utbildningsbehov i matematik organiseras. Här synliggörs viktiga aspekter på inkludering, såsom hur skolan utnyttjar olika kompetenser, hur undervisningen organiseras i det ordinarie klassrummet och hur elever i behov av stöd under korta perioder kan ges intensivundervisning. Dessa olika aspekter av inkludering reflekteras kring i samband med att man lyssnar på eleverna och vad de vill. I innehållsinkludering ligger fokus på själva undervisningen i matematik i relation till att möta mångfalden i klassrummet, alltså matematikdidaktik ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Viktiga frågor att ställa i relation till det matematiska innehållet är: Vilka representationer använder vi i undervisningen? Vilka representationer är lämpliga för det aktuella matematiska innehållet? Vilka representationer passar den enskilda eleven? En annan viktig aspekt inom innehållsinkludering är reflektionen kring vilka uppgiftstyper, exempelvis problemlösning, färdighetsträning eller uppgifter som tränar begreppslig förståelse, som är bra att använda i relation till den aktuella matematiken och eleven. Till innehållsinkludering hör val av lämpliga strategier och generaliseringar för klassen, men också för eleven i särskilda utbildningsbehov i matematik, och hur de synliggörs för eleverna. För att kunna skapa ökad tillgänglighet till matematik och stödja eleverna i att känna igen likheter i matematiken bör de få arbeta med samma innehåll, strategier och uppgiftstyper i olika situationer i matematikundervisningen. När eleverna arbetar i dessa olika situationer är det av stor vikt att läraren synliggör för eleverna att det är samma matematiska innehåll de jobbar med. Det vill säga, att läraren återkopplar till situationer där läraren har uppfattat att eleverna hade förståelse för det aktuella begreppet eller talet. På så sätt får eleverna hjälp med att känna igen och förstå att det är samma matematiska innehåll, även om det är olika situationer eller olika tal. I matematikundervisningen är det lätt att ibland ta för givet att eleverna själva kan göra dessa kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheterna. För att kunna nå och utmana elever i behov av särskilt stöd inom klassrummets ram krävs en förtrogenhet med det matematiska innehåll som ska undervisas, hur det kan undervisas på olika sätt samt hur det relaterar till elevernas tidigare kunskaper. Allt detta sammantaget gör att eleverna kan få hjälp att göra kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheter, vilket stödjer tillgängligheten till matematik. I den deltagande inkluderingen ligger fokus på eleven och dennes deltagande. Centrala aspekter här är lyhördhet, aktivt lyssnande på eleverna samt att undersöka vad eleverna vill i den aktuella situationen. Av vikt är uppmuntrande av elevens aktiva deltagande och stärkandet https://larportalen.skolverket.se 8 (11)
av elevernas självförtroende och självkänsla i samband med matematik. Det handlar om att utveckla förtroendefulla relationer så läraren kan nå och utmana varje elev. Takt och hållning I en svensk relationell studie (Ljungblad, 2016a) utforskas hur läraren kan skapa respektfulla och tillitsfulla relationer till sina elever. Inom det matematikdidaktiska fältet skulle en metafor för detta kunna vara att studien gör en relationell vändning då människors relationer till varandra sätts i förgrunden. Resultatet visar ett samstämmigt mönster där respektfulla och tillitsfulla relationer mellan lärare och elev växer fram i undervisningen. Här får vi ny kunskap om hur lärarna konkret agerar i undervisningen så att dessa relationella värden kan utvecklas. Lärarnas sätt att relatera till elever framträder som takt och hållning. Studien utforskar lärarnas följsamhet i deras blickar, gester och tonfall, vilket beskrivs som pedagogisk takt. Men lärarens takt kan inte planeras i lektionsplaneringar utan måste improviseras i stunden. Genom lärarens pedagogiska takt skapas och upprätthålls en kontakt med eleven som gör att eleven vågar ställa frågor och tala med sin egen röst. I dessa klassrum ligger inte fokus på rätt eller fel svar utan istället är processen i centrum där man utforskar olika sätt att lösa problem. Samtidigt är det en svår taktfull balansgång för läraren att möta unika elever i undervisningen. När det gäller lärarens hållning får vi kunskap om hur lärarna utvecklat ett sätt att vara i nuet, i mötet med eleven. Här har studien fångat en sekund av särskild betydelse i matematikundervisningen, den sekund när eleven talar med sin unika röst. Det kan konkret förstås som när eleven säger eller gör något som läraren aldrig tidigare mött, eller inte har redskap för att hantera. Vad sker i den sekunden? Vad visar sig i lärarens ansiktsuttryck och tonfall? I det ögonblicket lyssnar de deltagande lärarna nyfiket och försöker förstå hur eleven tänker. Lärarna är toleranta och icke värderande och avstår ifrån omdömet och låter eleven tala med sin egen röst. Denna hållning, eller sätt att vara i nuet, skapar rum för elevens intellektuella frihet att lösa matematiska problem på olika sätt. Samarbete mellan yrkeskategorier vid inkluderande undervisning Med stöd av pedagogiska och didaktiska kartläggningar går det att kollegialt problematisera orsaker till att svårigheter uppstår i klassrumspraktiken. Vid framtagning och planering av inkluderande anpassningar i matematik är det betydelsfullt med samarbete mellan matematiklärare, speciallärare, specialpedagoger, studiehandledare och assistenter. Vem kan vad? är en fråga som konkret handlar om att diskutera och använda olika kompetenser för att fånga och utveckla elevers kunnande och förmågor. Ett sätt att genomföra detta är att exempelvis specialläraren i matematik och den ordinarie läraren byter roller för att kunna nå och utmana eleverna vid olika tillfällen. Sammanfattningsvis visar denna text på vikten av att skapa tillgänglighet till ämnesinnehållet för varje elev i matematikundervisningen. De pedagogiska utmaningarna handlar om att ta fram ett brett spektrum av anpassningar i undervisningen av såväl didaktisk som relationell karaktär för att kunna möta varje elev. Inledningsvis behöver läraren i lektionsplaneringen ta fram anpassningar på gruppnivå som fungerar väl för hela gruppen. Dessutom behövs en https://larportalen.skolverket.se 9 (11)
djupare analys av elever i behov av stöd i matematik och deras behov av stöd och anpassningar på individnivå. Anpassningar på såväl gruppnivå som individnivå behöver analyseras i relation till situation och specifikt matematikinnehåll. De texter och aktiviteter som presenteras kan ni konkret prova i klassrummet. Syftet är att utveckla kunnande om att ta fram olika slags anpassningar i matematikundervisningen som stödjer elevers deltagande och ökar tillgängligheten till matematikinnehållet. Genom att dessutom diskutera erfarenheter av undervisningsstöd och anpassningar utvecklas kollegialt kunnande på skolnivå kring samarbete och stöd i en inkluderande strävan att möta varje elev i klassrummet. Referenser Bagger, A. & Roos, H. (2015). How research conceptualises the student in need of special education in mathematics. I O. Helenius, A. Engström, T. Meaney, P.Nilsson, E. Norén, J. Sayers, & M. Österholm, M. (red), Development of Mathematics Teaching: Design, Scale, Effects. (27 36). Proceedings from MADIF9: The Swedish Education Research Seminar, Umeå, February 4 5, 2014. Linköping: SMDF. Ljungblad, A-L. (2016a). Takt och hållning en relationell studie om det oberäkneliga i matematikundervisningen. Doktorsavhandling. Göteborgs universitet. Ljungblad, A-L. (2016b). Matematikens grunder kvalitativ kartläggning. Stockholm: Askunge. Ljungblad, A-L. (2018). Relationell lärarskap och pedagogiska möten. Lund: Studentlitteratur. Lunde, O. (2011). När siffrorna skapar kaos. Matematiksvårigheter ur ett specialpedagoiskt perspetkiv. Sockholm: Liber. Magne, O. (2006). Historical aspects on special education in mathematics. Nordic Studies in Mathematics Education, 11(4), 7 34. Roos, H. (2015). Inclusion in mathematics in primary school: what can it be? Licentiate thesis. Växjö: Linnéuniversitetet, Växjö. Secher Schmidt, M-C. (2015). Inklusionsbestræbelser i matematikundervisningen. En empirisk undersøgelse af matematiklæres klasseledelse og elevers deltagelsesstrategier i folkeskolen. Doktorsavhandling. Aarhus: Aarhus Universitet. Sjöberg, G. (2006). Om det inte är dyskalkyli vad är det då? En multimetodstudie av eleven i matematikproblem ur ett longitudinellt perspektiv. Doktorsavhandling i pedagogiskt arbete. Umeå universitet. Skolverket (2014). Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram. Skolverkets allmänna råd med kommentarer. Stockholm: Fritzes. Svenska Unescorådet (2006). Salamancadeklarationen och Salamanca +10. Svenska Unescorådets skriftserie, 2/2006. Stockholm. https://larportalen.skolverket.se 10 (11)
UD. (2006). Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter. Rev, 05.059. Stockholm: Regeringskansliet. https://larportalen.skolverket.se 11 (11)
Revision: 1 Datum: 2018-08-14
Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 4 6 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 4: Tillgänglighet till matematik Att skapa tillgänglighet till matematik vilka är de pedagogiska Helena Roos, Linnéuniversitetet och Ann-Louise Ljungblad, Göteborgs universitet Välkomna till en matematiklektion i årskurs 6 Under några veckor har temat för klassens arbete varit taluppfattning. När vi kommer in på lektionen arbetar eleverna med att utforska sin egen personliga talrad. Inledningsvis får de ett blankt papper och färgpennor. Det är tyst och stilla när eleverna sitter enskilt och reflekterar. Uppgiften handlar om att försöka rita en bild av hur de personligen ser talen 1 20 samt hur de ser högre tal. Läraren går runt och samtalar med eleverna. Några av dem tycker det är enkelt att beskriva och rita sina inre talrader. Andra elever tycker det är svårt att klä i ord hur deras inre talrader ser ut. Efter en stund sätter sig eleverna i grupper och redovisar för varandra. Nu blir det livliga diskussioner. Yasmina beskriver sin inre talrad som en spiral (Figur 1): Hm Den snurrar runt, runt och uppåt som en hög spiral. Varje varv är lite flyttat åt vänster så att man ser vissa av siffrorna under, ungefär från 1 till 4 eller 11 14. Spiralen går lite snett uppåt sidan så är det! Man ser alltså 11, 12, 13, 14. Sedan döljs resten av den talraden ovanför, fram till 21, 22, 23, 24 som sedan syns och så vidare. Figur 1. Illustration av Yasminas inre talrad. Victor beskriver och ritar sin inre talrad mellan 10 och 20 på följande sätt (Figur 2): 11, 13, 12, 14, 15, 17, 16, 18, 30, 20, säger Victor. Jag ser inte att 19 är med, undrar läraren försiktigt. Du frågade ju om talraden 11 20 och den ser ut så här. 19 ligger på utsidan av 20 och kommer där borta. (Eleven pekar på höger sida av 20). När jag ska räkna med den här talraden blir det ju fel, så jag räknar på fingrarna eller skriver upp en talrad. Den kan jag skriva rätt om jag tänker noga, talar och tänker rytmen. Men om jag bara tänker talraden så är det svårt att se 12 efter 11. Då kommer 13 in liksom, så känns det, sedan kommer 12. https://larportalen.skolverket.se 1 (11)
Figur 2. Illustration av Victors inre talrad. Noah förtydligar att hans talrad ser ut som ett rutnät (Figur 3). Där är siffrorna i rutor med linjer runt omkring, liksom som en ram runt varje siffra. I första rutan finns 1 och i nästa ruta finns 2 och så vidare. Och så sitter alla rutor ihop. Figur 3. Illustration av Victors inre talrad. Billy är mycket tydlig med hur han ser sin inre talrad (Figur 4 och 5). Först är det ju en 1:a här. Sedan gör jag en linje till 20 och i mitten har jag 10. Så har jag en massa småstreck och delar in halva linjen vid 10. När det gäller hundratal så är det likadant upp till 1000. Ett hundra, två hundra, tre hundra det är likadant avstånd mellan alla. 1 20 Figur 4. Illustration av Billys inre talrad 1-20. 1 1000 Figur 5. Illustration av Billys inre talrad 1-1000. Dessa konkreta exempel är ett axplock av den naturliga mångfald som matematiklärare dagligen möter i ett klassrum. Eleverna har under sin skoltid mött olika slags undervisning och utvecklat olika personliga bilder av talraden. Dessutom har Yasmina, Victor, Noah och Billy under sin skoltid kämpat med olika svårigheter. För Yasmina har det varit en läs- och https://larportalen.skolverket.se 2 (11)
skrivsvårighet där bokstäverna orsakat problem. Det innebär att Yasmina hamnar i svårigheter i matematiken när hon på egen hand ska läsa uppgifter i läroboken. Läs- och skrivsvårigheterna är av fonologisk karaktär, där språkets ljudmässiga form ibland leder till att hon inte alltid hör skillnad mellan tal som låter lika (till exempel tretton trettio, sjutton sjuttio). Dessutom orsakar hennes inre spiralformade bild av talraden att det tar tid för henne att få fram talen, även om raden är korrekt. För Victor har det varit en räknesvårighet där siffrorna och förståelse för den grundläggande taluppfattningen skapat svårigheter. Detta skapar stora svårigheter i utvecklingen av hans antalsuppfattning och ger problem i allt matematikarbete. Det är svårt för Victor att se ett antal, till exempel 17 och hur det kan delas in i olika delar (7 + 10, 9 + 8 och så vidare). Denna problematik i relation med en icke fungerande talrad gör att han hamnar i fingerräkning där han räknar upp eller drar ifrån en i taget hela tiden. Noah har kämpat med en koncentrationssvårighet som stundtals skapar problem i matematik. Om uppmärksamheten och koncentrationen riktas mot den aktuella matematikuppgiften så fungerar talraden väl. Tappas koncentrationen uppstår det problem med att använda talraden. Billy å andra sidan har haft väldig lätt för matematik och kan obehindrat använda talraden som ett redskap i sitt lärande, men ogillat matematik och uppvisat negativa känslor mot ämnet. I klassrummet finns också ytterligare två personer som behöver nämnas, nämligen matematikläraren Adele samt Isabelle som är lärarstudent. Hur ser deras inre talrader ut? Adele kan enkelt beskriva sin talrad som en linje där talen kommer på rad och som lätt flyttas fram till de tal hon för tillfället vill se. Isabelle är mer konfunderad och har inte tidigare reflekterat över hur hennes inre talrad ser ut. Talraden är svårfångad och det tar en stund innan hon kan beskriva att den är utformad som en ringpärm som pingisdomare använder, där blad efter blad med talen viks framåt eller bakåt (Figur 6). Men det är alltid rätt tal som kommer upp. Figur 6. Illustration av Isabelles talrad. Den bild matematikläraren har av ett matematiskt begrepp eller matematiskt område behöver inte stämma överens med de bilder som eleverna utvecklar eftersom begrepp kan uppfattas på olika sätt. En av de pedagogiska utmaningarna för Adele och Isabelle är att undervisa och stödja utvecklingen av elevernas talrader till tallinjer som blir allt mer förfinade. Vilket stöd kan eleverna i denna klass behöva? En grundläggande pedagogisk utmaning för matematiklärare är således att kunna identifiera den matematiska mångfalden och samtidigt möta elever där de befinner sig och på så sätt skapa tillgänglighet till matematik. https://larportalen.skolverket.se 3 (11)
Perspektiv på inkludering Vad inkludering i matematikundervisningen är finns det inga enkla och entydiga svar på och i modulen diskuteras inkluderingsbegreppet. Hur lärare kan sträva efter att skapa inkluderande undervisningsmiljöer i matematik sätts i relation till hur lärare uppfattar elevers behov. Inkludering påverkas också av nationella styrdokument, syn på lärande och undervisning, samt hur lärare förstår matematik och matematiksvårigheter. Utgångspunkten i undervisning är elevers mångfald och elevers deltagande i relation till läroplanen och kursplanens mål. Ett annat begrepp som återkommer är extra anpassningar i undervisningen, vilket enligt skriften Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram, Skolverkets allmänna råd med kommentarer (2014) innebär: en stödinsats av mindre ingripande karaktär som normalt är möjlig att genomföra för lärare och övrig skolpersonal inom ramen för den ordinarie undervisningen. Extra anpassningar är således något som läraren ständigt gör i sin planering och dessa kan vara såväl didaktiska som relationella anpassningar (Ljungblad, 2018). Didaktiska anpassningar kan innebära att läraren i sin planering förbereder för att eleven ges stöd i form av olika representationer, en extra genomgång, uppläst text, extra tid på prov, anpassade uppgifter och extra dialogtid med en lärare. Relationella anpassningar kan innebära att läraren reflekterar över hur den mellanmänskliga miljön kan anpassas. Lärarens relationella blick riktas således mot hur lärare och elever samverkar och hur hon eller han kan skapa en tillitsfull miljö. Konkret innebär detta att den relationella miljön anpassas så att eleven vågar ställa och svara på frågor samt vågar göra fel. Det kan också handla om att i grupparbete placera en elev i behov av stöd tillsammans med kamrater som eleven är trygg med. Vid elevredovisningar kan en elev som upplever det jobbigt att redovisa för hela klassen ges möjlighet att redovisa för en mindre grupp. En relationell anpassning kan också vara extra dialogtid med en lärare som eleven har förtroende för. Genom att reflektera över didaktiska och relationella anpassningar utifrån elevers olika behov av stöd kan tillgängligheten i matematik öka. När lärare, både i sin lektionsplanering och i undervisningssituationen, riktar blicken mot utmaningar som de möter synliggörs aspekter av undervisningen som kan förändras och nya möjligheter för lärande framträder. När frågan Vad gör jag nu? ställs handlar det om att utgå ifrån tidigare erfarenheter av anpassningar som fungerat, men också att vara kreativ och utveckla nya anpassningar. Om vi relaterar till eleverna i textens inledning är frågan vilka anpassningar som skulle vara utvecklande för dessa elevers lärande i matematik. Yasmina kan vara hjälpt av anpassningar i form av uppläst text, extra tid och extra genomgångar. Hon behöver även en talrad på sin plats där talen som hon har svårt att höra skillnad mellan är markerade. Victor behöver bildstöd och extra dialogtid med läraren för att befästa matematikens grunder. Han behöver dessutom konkreta talrader samt laborativa material som stödjer honom att utveckla sin antalsuppfattning, och laborera med för att se antal som helhet och delar. En annan viktig anpassning är att Victor får använda miniräknaren vid till exempel problemlösning. Noah behöver små pauser under lektionen för att hålla fokus. Det innebär konkret att han exempelvis arbetar med två uppgifter eller delar av en större uppgift och sedan pausar en https://larportalen.skolverket.se 4 (11)
minut. På så sätt undviks många onödiga fel i problemlösningen. En annan anpassning är att han får använda laborativa material och anpassade läromedel som stödjer honom att hålla uppmärksamheten och koncentrationen mot ett särskilt innehåll. Billy behöver extra dialogtid och anpassade uppgifter och problem som utmanar honom på hans nivå. Utrymme för extra dialogtid kan skapas genom att klasslärare, speciallärare och/eller specialpedagog samverkar så att stunder för fördjupade matematiska samtal blir möjliga. Dessutom finns det ytterligare anpassningar som gynnar dessa elevers lärande beroende på situationen och vilken matematik som är i fokus. Särskilda utbildningsbehov i matematik SUM Särskilda utbildningsbehov i matematik, SUM, är ett begrepp som under 2000-talet använts både inom forskning och praktik för att belysa den mångfald lärare har att hantera i matematikundervisningen. Forskare definierar SUM på olika sätt. Olof Magne (2006) definierar på en generell nivå SUM som låga prestationer i matematik, att eleven presterar under förväntad nivå. Denna definition har problematiserats av Anette Bagger och Helena Roos (2015) som istället definierar SUM som en svårighet som kan förekomma oavsett om man är hög- eller lågpresterande, under en kortare eller längre period, i en specifik avgränsad del av matematiken, eller mer generellt i matematik. Det kan exempelvis innebära att en elev uppvisar svårigheter i geometri men inte har några uttalade problem inom andra matematiska områden. Här utkristalliserar sig således olika slags behov av stöd. Stöd som utmanar elever som är extra intresserade av matematik likväl som stöd som utmanar elever i svårigheter. Det kan också handla om att eleven har behov av stöd ibland, likväl som att behovet av stöd är kontinuerligt. När det gäller fältet SUM förekommer varierande begrepp som beskriver matematiksvårigheter av olika slag, exempelvis allmänna respektive specifika matematiksvårigheter. Begreppet allmänna matematiksvårigheter är ett bredare mer generellt perspektiv som kännetecknas av svaga prestationer inom matematikens samtliga delar (och ibland även inom andra ämnen). Specifika matematiksvårigheter snävar in sig mot ett mer avgränsat fenomen som till exempel svårigheter inom en viss del inom matematiken såsom antalsuppfattning. Dessutom används ibland begreppet dyskalkyli för att definiera en specifik räknesvårighet. Det finns också olika förklaringar till att matematiksvårigheter uppstår. Fältet matematiksvårigheter kan delas in i fyra skilda förklaringsgrunder (Lunde, 2011): 1. Didaktiska förklaringar problematiserar hur vissa didaktiska arbetssätt inte fungerar för elever i matematiksvårigheter. Det kan också handla om räknefel som inte diagnostiseras och därmed inte kompenseras, eller färdighetsträning med mer av samma sort som inte utvecklar elevens matematiska kunnande. 2. Sociologiska förklaringar utgår ifrån sociologiska relationer på samhällsnivå, gruppnivå och individnivå. Inom sociologi söks orsaksförklaringar inom de sociala strukturer som eleverna ingår i och man söker förstå samspelet mellan olika roller såsom relationer mellan lärare och elev eller relationer mellan elever. Forskning kring barns sociala och kulturella sammanhang lyfter fram den https://larportalen.skolverket.se 5 (11)
sociala dimensionen med social interaktion, normer, värden och förväntningar i olika kontexter. 3. Medicinska eller neurologiska förklaringar tar utgångspunkt ur neurologisk forskning där man studerar mer eller mindre aktivitet i olika områden i hjärnan. Här söks orsaksförklaringen således i nedsatt neurologisk funktion hos den enskilda individen. 4. Kognitiva förklaringar utgår ifrån generella kognitiva funktioner såsom läs- och skrivfärdigheter och fonologisk bearbetning, arbetsminne, långtidsminne eller koncentration och uppmärksamhet. Orsaken söks i nedsatt kognitiv funktion hos den enskilda individen. Ett exempel på en sociologisk och didaktisk förklaring kan sökas i att elevens faktiska arbetsinsats är låg i relation till undervisningstiden (Sjöberg, 2006). Det som framträder som en matematiksvårighet orsakas av att eleven inte arbetat så många timmar med matematik. Eleven har under lektionstid och annan tid då det förväntats att eleven arbetar med matematik inte deltagit aktivt. Då handlar den pedagogiska utmaningen således om att få eleven att bli en aktiv deltagare i matematiken genom didaktiska och relationella anpassningar. När det gäller neurologiska och kognitiva förklaringsgrunder lyfter dessa vanligtvis fram specifika matematiksvårigheter och problematik inom den grundläggande antalsuppfattningen. Här blir den pedagogiska utmaningen att skapa en genomtänkt undervisning där eleven återkommande ges möjlighet att arbeta med laborativa material och bilder som stödjer en utveckling av elevens antalsuppfattning. Genom att rikta sökljuset mot olika svårigheter blir det lättare att ta fram hållbara anpassningar (Ljungblad, 2016b). Rent konkret i undervisningen leder det till didaktiska skillnader i val av metod när elever uppvisar en räknesvårighet jämfört med en läs- och skrivsvårighet eller en koncentrationssvårighet. Dessa olika grundproblem skapar olika svårigheter i matematikarbetet för exempelvis eleverna som beskrivs ovan. Genom att försöka förstå vilken svårighet som eleven kämpar med kan också mer kvalitativa didaktiska anpassningar tas fram som stödjer elevers olika behov. Perspektiv på matematiksvårigheter Sammantaget visar dessa olika förklaringsgrunder hur flerdimensionellt fältet matematiksvårigheter är. Det finns ofta flera orsaker till att en elev hamnar i matematiksvårigheter och elever uppvisar således olika behov av stöd. Följaktligen är det en betydelsefull skillnad i hur elevers problem med matematik beskrivs. Av tradition har definitionen varit elever med matematiksvårigheter. I ett sådant perspektiv blir eleven bärare av problemet. Under det senaste decenniet har ett alternativt perspektiv vuxit fram, där man genom begreppet elever i matematiksvårigheter istället lägger problemet i miljön. Dessa skillnader synliggörs när olika perspektiv anläggs på fältet matematiksvårigheter. Om man antar en kategorisk eller kompensatorisk syn på matematiksvårigheter innebär det att elevens brister och problem fokuseras, och man söker skapa metoder för att kompensera för https://larportalen.skolverket.se 6 (11)
problemen som man ser finns hos eleven. Om man istället antar ett relationellt eller kritiskt perspektiv lägger man fokus på lärmiljön och hur matematikundervisningen kan anpassas för elevers olika behov. Ytterligare ett perspektiv, dilemmaperspektivet, lyfter fram grundläggande dilemman i skolans vardag. Dilemman innebär konkret att lärare ställs inför svåra val och överväganden som inte har någon direkt lösning. Frågan är hur lärarna hanterar dessa motstridiga krav som uppkommer i det dagliga arbetet. Både det kategoriska/kompensatoriska perspektivet och det relationella/kritiska har såväl sina svagheter och risker som fördelar. En risk med det kategoriska/kompensatoriska perspektivet är att eleven blir betraktad som väsensskild från andra elever. Risken med det relationella/kritiska perspektivet är att skolan inte uppfattar att eleven befinner sig i svårigheter och är i behov av särskilt stöd. Inkluderande matematikundervisning Barnets rättigheter betonas i såväl Barnkonventionen Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter (UD, 2006) som i Salamancadeklarationen (Svenska Unescorådet, 2006). Salamancadeklarationen är en handlingsram som beskriver hur länder ska arbeta med inkludering. I deklarationen från 2006 lyfts för första gången begreppet inkludering fram i relation till elever i behov av särskilt stöd. Inkludering används i Salamancadeklarationen för att signalera ett nytt sätt att se på särskilda utbildningsbehov. Deklarationen slår fast att utbildningen ska genomföras så att den breda mångfalden av elevers olika behov tillvaratas. För att skapa inkluderande undervisning riktas sökljuset mot delaktighetsprocesser i det att barn som lär tillsammans lär sig att leva tillsammans. Det räcker dock inte med en inkluderande policy, den pedagogiska utmaningen handlar om att inkluderande processer måste förverkligas i klassrummet genom anpassningar så att elever får tillgång till och kan utveckla förmågor och kunnande. Inkludering i matematikundervisning problematiserar således på vilka sätt och i vilken utsträckning tillgänglighet till matematik skapas. Inkluderande klassrumsstudier I Skandinavien har det under senare år genomförts klassrumsstudier inom ramen för inkludering och matematikundervisning. Dessa studier ger en fingervisning om hur lärare kan arbeta med elevers deltagande och hur lärare kan skapa en ökad tillgänglighet i matematik. Nedan beskrivs resultatet av dessa studier i förhållande till hur lärare kan möta de pedagogiska utmaningarna. Tre dimensioner av lärares ledarskap I en dansk studie (Secher Schmidt, 2015) framträder tre dimensioner av ledarskap som påverkar elevers lärande i matematik. Den första är lärande ledarskap som påvisar vikten av att lärare leder elevens lärande och utveckling i dialog utifrån frågor av utforskande karaktär, istället för fokus på utvärdering av elevers prestationer. Den andra lyfter fram ett handlingsinriktat ledarskap som uttalar tydliga rutiner för elevers deltagande i undervisningen. Den innebär också att läraren betonar att elever spenderar tid på att tänka och inte enbart fokuserar på att snabbt komma fram till rätt svar. Slutligen den tredje dimensionen relationellt ledarskap skapar en miljö där elever känner sig trygga, vågar svara på frågor utan https://larportalen.skolverket.se 7 (11)
rädsla för om svaret är korrekt eller inte, samt att det finns en samverkan där lärare tror på eleverna och där man stödjer varandra. I en lärares ledarskap samverkar dessa tre former av ledarskap ständigt grundat i värden där elever och lärare gemensamt löser matematiska problem. Tre former av inkludering I en svensk studie beskrivs inkludering i matematik utifrån begreppen dynamisk inkludering, innehållsinkludering och deltagande inkludering (Roos, 2015). Den dynamiska inkluderingen har ett fokus på hur undervisningen för elever i särskilda utbildningsbehov i matematik organiseras. Här synliggörs viktiga aspekter på inkludering, såsom hur skolan utnyttjar olika kompetenser, hur undervisningen organiseras i det ordinarie klassrummet och hur elever i behov av stöd under korta perioder kan ges intensivundervisning. Dessa olika aspekter av inkludering reflekteras kring i samband med att man lyssnar på eleverna och vad de vill. I innehållsinkludering ligger fokus på själva undervisningen i matematik i relation till att möta mångfalden i klassrummet, alltså matematikdidaktik ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Viktiga frågor att ställa i relation till det matematiska innehållet är: Vilka representationer använder vi i undervisningen? Vilka representationer är lämpliga för det aktuella matematiska innehållet? Vilka representationer passar den enskilda eleven? En annan viktig aspekt inom innehållsinkludering är reflektionen kring vilka uppgiftstyper, exempelvis problemlösning, färdighetsträning eller uppgifter som tränar begreppslig förståelse, som är bra att använda i relation till den aktuella matematiken och eleven. Till innehållsinkludering hör val av lämpliga strategier och generaliseringar för klassen, men också för eleven i särskilda utbildningsbehov i matematik, och hur de synliggörs för eleverna. För att kunna skapa ökad tillgänglighet till matematik och stödja eleverna i att känna igen likheter i matematiken bör de få arbeta med samma innehåll, strategier och uppgiftstyper i olika situationer i matematikundervisningen. När eleverna arbetar i dessa olika situationer är det av stor vikt att läraren synliggör för eleverna att det är samma matematiska innehåll de jobbar med. Det vill säga, att läraren återkopplar till situationer där läraren har uppfattat att eleverna hade förståelse för det aktuella begreppet eller talet. På så sätt får eleverna hjälp med att känna igen och förstå att det är samma matematiska innehåll, även om det är olika situationer eller olika tal. I matematikundervisningen är det lätt att ibland ta för givet att eleverna själva kan göra dessa kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheterna. För att kunna nå och utmana elever i behov av särskilt stöd inom klassrummets ram krävs en förtrogenhet med det matematiska innehåll som ska undervisas, hur det kan undervisas på olika sätt samt hur det relaterar till elevernas tidigare kunskaper. Allt detta sammantaget gör att eleverna kan få hjälp att göra kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheter, vilket stödjer tillgängligheten till matematik. I den deltagande inkluderingen ligger fokus på eleven och dennes deltagande. Centrala aspekter här är lyhördhet, aktivt lyssnande på eleverna samt att undersöka vad eleverna vill i den aktuella situationen. Av vikt är uppmuntrande av elevens aktiva deltagande och stärkandet https://larportalen.skolverket.se 8 (11)
av elevernas självförtroende och självkänsla i samband med matematik. Det handlar om att utveckla förtroendefulla relationer så läraren kan nå och utmana varje elev. Takt och hållning I en svensk relationell studie (Ljungblad, 2016a) utforskas hur läraren kan skapa respektfulla och tillitsfulla relationer till sina elever. Inom det matematikdidaktiska fältet skulle en metafor för detta kunna vara att studien gör en relationell vändning då människors relationer till varandra sätts i förgrunden. Resultatet visar ett samstämmigt mönster där respektfulla och tillitsfulla relationer mellan lärare och elev växer fram i undervisningen. Här får vi ny kunskap om hur lärarna konkret agerar i undervisningen så att dessa relationella värden kan utvecklas. Lärarnas sätt att relatera till elever framträder som takt och hållning. Studien utforskar lärarnas följsamhet i deras blickar, gester och tonfall, vilket beskrivs som pedagogisk takt. Men lärarens takt kan inte planeras i lektionsplaneringar utan måste improviseras i stunden. Genom lärarens pedagogiska takt skapas och upprätthålls en kontakt med eleven som gör att eleven vågar ställa frågor och tala med sin egen röst. I dessa klassrum ligger inte fokus på rätt eller fel svar utan istället är processen i centrum där man utforskar olika sätt att lösa problem. Samtidigt är det en svår taktfull balansgång för läraren att möta unika elever i undervisningen. När det gäller lärarens hållning får vi kunskap om hur lärarna utvecklat ett sätt att vara i nuet, i mötet med eleven. Här har studien fångat en sekund av särskild betydelse i matematikundervisningen, den sekund när eleven talar med sin unika röst. Det kan konkret förstås som när eleven säger eller gör något som läraren aldrig tidigare mött, eller inte har redskap för att hantera. Vad sker i den sekunden? Vad visar sig i lärarens ansiktsuttryck och tonfall? I det ögonblicket lyssnar de deltagande lärarna nyfiket och försöker förstå hur eleven tänker. Lärarna är toleranta och icke värderande och avstår ifrån omdömet och låter eleven tala med sin egen röst. Denna hållning, eller sätt att vara i nuet, skapar rum för elevens intellektuella frihet att lösa matematiska problem på olika sätt. Samarbete mellan yrkeskategorier vid inkluderande undervisning Med stöd av pedagogiska och didaktiska kartläggningar går det att kollegialt problematisera orsaker till att svårigheter uppstår i klassrumspraktiken. Vid framtagning och planering av inkluderande anpassningar i matematik är det betydelsfullt med samarbete mellan matematiklärare, speciallärare, specialpedagoger, studiehandledare och assistenter. Vem kan vad? är en fråga som konkret handlar om att diskutera och använda olika kompetenser för att fånga och utveckla elevers kunnande och förmågor. Ett sätt att genomföra detta är att exempelvis specialläraren i matematik och den ordinarie läraren byter roller för att kunna nå och utmana eleverna vid olika tillfällen. Sammanfattningsvis visar denna text på vikten av att skapa tillgänglighet till ämnesinnehållet för varje elev i matematikundervisningen. De pedagogiska utmaningarna handlar om att ta fram ett brett spektrum av anpassningar i undervisningen av såväl didaktisk som relationell karaktär för att kunna möta varje elev. Inledningsvis behöver läraren i lektionsplaneringen ta fram anpassningar på gruppnivå som fungerar väl för hela gruppen. Dessutom behövs en https://larportalen.skolverket.se 9 (11)
djupare analys av elever i behov av stöd i matematik och deras behov av stöd och anpassningar på individnivå. Anpassningar på såväl gruppnivå som individnivå behöver analyseras i relation till situation och specifikt matematikinnehåll. De texter och aktiviteter som presenteras kan ni konkret prova i klassrummet. Syftet är att utveckla kunnande om att ta fram olika slags anpassningar i matematikundervisningen som stödjer elevers deltagande och ökar tillgängligheten till matematikinnehållet. Genom att dessutom diskutera erfarenheter av undervisningsstöd och anpassningar utvecklas kollegialt kunnande på skolnivå kring samarbete och stöd i en inkluderande strävan att möta varje elev i klassrummet. Referenser Bagger, A. & Roos, H. (2015). How research conceptualises the student in need of special education in mathematics. I O. Helenius, A. Engström, T. Meaney, P.Nilsson, E. Norén, J. Sayers, & M. Österholm, M. (red), Development of Mathematics Teaching: Design, Scale, Effects. (27 36). Proceedings from MADIF9: The Swedish Education Research Seminar, Umeå, February 4 5, 2014. Linköping: SMDF. Ljungblad, A-L. (2016a). Takt och hållning en relationell studie om det oberäkneliga i matematikundervisningen. Doktorsavhandling. Göteborgs universitet. Ljungblad, A-L. (2016b). Matematikens grunder kvalitativ kartläggning. Stockholm: Askunge. Ljungblad, A-L. (2018). Relationell lärarskap och pedagogiska möten. Lund: Studentlitteratur. Lunde, O. (2011). När siffrorna skapar kaos. Matematiksvårigheter ur ett specialpedagoiskt perspetkiv. Sockholm: Liber. Magne, O. (2006). Historical aspects on special education in mathematics. Nordic Studies in Mathematics Education, 11(4), 7 34. Roos, H. (2015). Inclusion in mathematics in primary school: what can it be? Licentiate thesis. Växjö: Linnéuniversitetet, Växjö. Secher Schmidt, M-C. (2015). Inklusionsbestræbelser i matematikundervisningen. En empirisk undersøgelse af matematiklæres klasseledelse og elevers deltagelsesstrategier i folkeskolen. Doktorsavhandling. Aarhus: Aarhus Universitet. Sjöberg, G. (2006). Om det inte är dyskalkyli vad är det då? En multimetodstudie av eleven i matematikproblem ur ett longitudinellt perspektiv. Doktorsavhandling i pedagogiskt arbete. Umeå universitet. Skolverket (2014). Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram. Skolverkets allmänna råd med kommentarer. Stockholm: Fritzes. Svenska Unescorådet (2006). Salamancadeklarationen och Salamanca +10. Svenska Unescorådets skriftserie, 2/2006. Stockholm. https://larportalen.skolverket.se 10 (11)
UD. (2006). Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter. Rev, 05.059. Stockholm: Regeringskansliet. https://larportalen.skolverket.se 11 (11)
Revision: 1 Datum: 2018-08-14
Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 7 9 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 4: Tillgänglighet till matematik Att skapa tillgänglighet till matematik vilka är de pedagogiska Helena Roos, Linnéuniversitetet och Ann-Louise Ljungblad, Göteborgs universitet Välkomna till en matematiklektion i årskurs 7 Under några veckor har temat för klassens arbete varit taluppfattning. När vi kommer in på lektionen arbetar eleverna med att utforska sin egen personliga talrad. Inledningsvis får de ett blankt papper och färgpennor. Det är tyst och stilla när eleverna sitter enskilt och reflekterar. Uppgiften handlar om att försöka rita en bild av hur de personligen ser talen 1 20 samt hur de ser högre tal. Läraren går runt och samtalar med eleverna. Några av dem tycker det är enkelt att beskriva och rita sina inre talrader. Andra elever tycker det är svårt att klä i ord hur deras inre talrader ser ut. Efter en stund sätter sig eleverna i grupper och redovisar för varandra. Nu blir det livliga diskussioner. Yasmina beskriver sin inre talrad som en spiral (Figur 1): Hm Den snurrar runt, runt och uppåt som en hög spiral. Varje varv är lite flyttat åt vänster så att man ser vissa av siffrorna under, ungefär från 1 till 4 eller 11 14. Spiralen går lite snett uppåt sidan så är det! Man ser alltså 11, 12, 13, 14. Sedan döljs resten av den talraden ovanför, fram till 21, 22, 23, 24 som sedan syns och så vidare. Figur 1. Illustration av Yasminas inre talrad. Victor beskriver och ritar sin inre talrad mellan 10 och 20 på följande sätt (Figur 2): 11, 13, 12, 14, 15, 17, 16, 18, 30, 20, säger Victor. Jag ser inte att 19 är med, undrar läraren försiktigt. Du frågade ju om talraden 11 20 och den ser ut så här. 19 ligger på utsidan av 20 och kommer där borta. (Eleven pekar på höger sida av 20). När jag ska räkna med den här talraden blir det ju fel, så jag räknar på fingrarna eller skriver upp en talrad. Den kan jag skriva rätt om jag tänker noga, talar och tänker rytmen. Men om jag bara tänker talraden så är det svårt att se 12 efter 11. Då kommer 13 in liksom, så känns det, sedan kommer 12. https://larportalen.skolverket.se 1 (11)
Figur 2. Illustration av Victors inre talrad. Noah förtydligar att hans talrad ser ut som ett rutnät (Figur 3). Där är siffrorna i rutor med linjer runt omkring, liksom som en ram runt varje siffra. I första rutan finns 1 och i nästa ruta finns 2 och så vidare. Och så sitter alla rutor ihop. Figur 3. Illustration av Victors inre talrad. Billy är mycket tydlig med hur han ser sin inre talrad (Figur 4 och 5). Först är det ju en 1:a här. Sedan gör jag en linje till 20 och i mitten har jag 10. Så har jag en massa småstreck och delar in halva linjen vid 10. När det gäller hundratal så är det likadant upp till 1000. Ett hundra, två hundra, tre hundra det är likadant avstånd mellan alla. 1 20 Figur 4. Illustration av Billys inre talrad 1-20. 1 1000 Figur 5. Illustration av Billys inre talrad 1-1000. Efter dessa gemensamma diskussioner får klassen en ny utmaning nämligen att beskriva talraden 0 1. Det innebär att utforskandet fortsätter från naturliga tal via decimaltal till rationella tal. Dessa konkreta exempel är ett axplock av den naturliga mångfald som matematiklärare dagligen möter i ett klassrum. Eleverna har under sin skoltid mött olika slags undervisning och utvecklat olika personliga bilder av talraden. Dessutom har Yasmina, Victor, Noah och Billy under sin skoltid kämpat med olika svårigheter. För Yasmina har det varit en läs- och https://larportalen.skolverket.se 2 (11)
skrivsvårighet där bokstäverna orsakat problem. Det innebär att Yasmina hamnar i svårigheter i matematiken när hon på egen hand ska läsa uppgifter i läroboken. Läs- och skrivsvårigheterna är av fonologisk karaktär, där språkets ljudmässiga form ibland leder till att hon inte alltid hör skillnad mellan tal som låter lika (till exempel tretton trettio, sjutton sjuttio). Dessutom orsakar hennes inre spiralformade bild av talraden att det tar tid för henne att få fram talen, även om raden är korrekt. För Victor har det varit en räknesvårighet där siffrorna och förståelse för den grundläggande taluppfattningen skapat svårigheter. Detta skapar stora svårigheter i utvecklingen av hans antalsuppfattning och ger problem i allt matematikarbete. Det är svårt för Victor att se ett antal, till exempel 17 och hur det kan delas in i olika delar (7 + 10, 9 + 8 och så vidare). Denna problematik i relation med en icke fungerande talrad gör att han hamnar i fingerräkning där han räknar upp eller drar ifrån en i taget hela tiden. Noah har kämpat med en koncentrationssvårighet som stundtals skapar problem i matematik. Om uppmärksamheten och koncentrationen riktas mot den aktuella matematikuppgiften så fungerar talraden väl. Tappas koncentrationen uppstår det problem med att använda talraden. Billy å andra sidan har haft väldig lätt för matematik och kan obehindrat använda talraden som ett redskap i sitt lärande, men ogillat matematik och uppvisat negativa känslor mot ämnet. I klassrummet finns också ytterligare två personer som behöver nämnas, nämligen matematikläraren Adele samt Isabelle som är lärarstudent. Hur ser deras inre talrader ut? Adele kan enkelt beskriva sin talrad som en linje där talen kommer på rad och som lätt flyttas fram till de tal hon för tillfället vill se. Isabelle är mer konfunderad och har inte tidigare reflekterat över hur hennes inre talrad ser ut. Talraden är svårfångad och det tar en stund innan hon kan beskriva att den är utformad som en ringpärm som pingisdomare använder, där blad efter blad med talen viks framåt eller bakåt (Figur 6). Men det är alltid rätt tal som kommer upp. Figur 6. Illustration av Isabelles talrad. Den bild matematikläraren har av ett matematiskt begrepp eller matematiskt område behöver inte stämma överens med de bilder som eleverna utvecklar eftersom begrepp kan uppfattas på olika sätt. En av de pedagogiska utmaningarna för Adele och Isabelle är att undervisa och stödja utvecklingen av elevernas talrader till tallinjer som blir allt mer förfinade. Vilket stöd kan eleverna i denna klass behöva? En grundläggande pedagogisk utmaning för matematiklärare är således att kunna identifiera den matematiska mångfalden och samtidigt möta elever där de befinner sig och på så sätt skapa tillgänglighet till matematik. https://larportalen.skolverket.se 3 (11)
Perspektiv på inkludering Vad inkludering i matematikundervisningen är finns det inga enkla och entydiga svar på och i modulen diskuteras inkluderingsbegreppet. Hur lärare kan sträva efter att skapa inkluderande undervisningsmiljöer i matematik sätts i relation till hur lärare uppfattar elevers behov. Inkludering påverkas också av nationella styrdokument, syn på lärande och undervisning, samt hur lärare förstår matematik och matematiksvårigheter. Utgångspunkten i undervisning är elevers mångfald och elevers deltagande i relation till läroplanen och kursplanens mål. Ett annat begrepp som återkommer är extra anpassningar i undervisningen, vilket enligt skriften Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram, Skolverkets allmänna råd med kommentarer (2014) innebär: en stödinsats av mindre ingripande karaktär som normalt är möjlig att genomföra för lärare och övrig skolpersonal inom ramen för den ordinarie undervisningen. Extra anpassningar är således något som läraren ständigt gör i sin planering och dessa kan vara såväl didaktiska som relationella anpassningar (Ljungblad, 2018). Didaktiska anpassningar kan innebära att läraren i sin planering förbereder för att eleven ges stöd i form av olika representationer, en extra genomgång, uppläst text, extra tid på prov, anpassade uppgifter och extra dialogtid med en lärare. Relationella anpassningar kan innebära att läraren reflekterar över hur den mellanmänskliga miljön kan anpassas. Lärarens relationella blick riktas således mot hur lärare och elever samverkar och hur hon eller han kan skapa en tillitsfull miljö. Konkret innebär detta att den relationella miljön anpassas så att eleven vågar ställa och svara på frågor samt vågar göra fel. Det kan också handla om att i grupparbete placera en elev i behov av stöd tillsammans med kamrater som eleven är trygg med. Vid elevredovisningar kan en elev som upplever det jobbigt att redovisa för hela klassen ges möjlighet att redovisa för en mindre grupp. En relationell anpassning kan också vara extra dialogtid med en lärare som eleven har förtroende för. Genom att reflektera över didaktiska och relationella anpassningar utifrån elevers olika behov av stöd kan tillgängligheten i matematik öka. När lärare, både i sin lektionsplanering och i undervisningssituationen, riktar blicken mot utmaningar som de möter synliggörs aspekter av undervisningen som kan förändras och nya möjligheter för lärande framträder. När frågan Vad gör jag nu? ställs handlar det om att utgå ifrån tidigare erfarenheter av anpassningar som fungerat, men också att vara kreativ och utveckla nya anpassningar. Om vi relaterar till eleverna i textens inledning är frågan vilka anpassningar som skulle vara utvecklande för dessa elevers lärande i matematik. Yasmina kan vara hjälpt av anpassningar i form av uppläst text, extra tid och extra genomgångar. Hon behöver även en talrad på sin plats där talen som hon har svårt att höra skillnad mellan är markerade. Victor behöver bildstöd och extra dialogtid med läraren för att befästa matematikens grunder. Han behöver dessutom konkreta talrader samt laborativa material som stödjer honom att utveckla sin antalsuppfattning, och laborera med för att se antal som helhet och delar. En annan viktig anpassning är att Victor får använda miniräknaren vid till exempel problemlösning. Noah behöver små pauser under lektionen för att hålla fokus. Det innebär konkret att han exempelvis arbetar med två uppgifter eller delar av en större uppgift och sedan pausar en https://larportalen.skolverket.se 4 (11)
minut. På så sätt undviks många onödiga fel i problemlösningen. En annan anpassning är att han får använda laborativa material och anpassade läromedel som stödjer honom att hålla uppmärksamheten och koncentrationen mot ett särskilt innehåll. Billy behöver extra dialogtid och anpassade uppgifter och problem som utmanar honom på hans nivå. Utrymme för extra dialogtid kan skapas genom att klasslärare, speciallärare och/eller specialpedagog samverkar så att stunder för fördjupade matematiska samtal blir möjliga. Dessutom finns det ytterligare anpassningar som gynnar dessa elevers lärande beroende på situationen och vilken matematik som är i fokus. Särskilda utbildningsbehov i matematik SUM Särskilda utbildningsbehov i matematik, SUM, är ett begrepp som under 2000-talet använts både inom forskning och praktik för att belysa den mångfald lärare har att hantera i matematikundervisningen. Forskare definierar SUM på olika sätt. Olof Magne (2006) definierar på en generell nivå SUM som låga prestationer i matematik, att eleven presterar under förväntad nivå. Denna definition har problematiserats av Anette Bagger och Helena Roos (2015) som istället definierar SUM som en svårighet som kan förekomma oavsett om man är hög- eller lågpresterande, under en kortare eller längre period, i en specifik avgränsad del av matematiken, eller mer generellt i matematik. Det kan exempelvis innebära att en elev uppvisar svårigheter i geometri men inte har några uttalade problem inom andra matematiska områden. Här utkristalliserar sig således olika slags behov av stöd. Stöd som utmanar elever som är extra intresserade av matematik likväl som stöd som utmanar elever i svårigheter. Det kan också handla om att eleven har behov av stöd ibland, likväl som att behovet av stöd är kontinuerligt. När det gäller fältet SUM förekommer varierande begrepp som beskriver matematiksvårigheter av olika slag, exempelvis allmänna respektive specifika matematiksvårigheter. Begreppet allmänna matematiksvårigheter är ett bredare mer generellt perspektiv som kännetecknas av svaga prestationer inom matematikens samtliga delar (och ibland även inom andra ämnen). Specifika matematiksvårigheter snävar in sig mot ett mer avgränsat fenomen som till exempel svårigheter inom en viss del inom matematiken såsom antalsuppfattning. Dessutom används ibland begreppet dyskalkyli för att definiera en specifik räknesvårighet. Det finns också olika förklaringar till att matematiksvårigheter uppstår. Fältet matematiksvårigheter kan delas in i fyra skilda förklaringsgrunder (Lunde, 2011): 1. Didaktiska förklaringar problematiserar hur vissa didaktiska arbetssätt inte fungerar för elever i matematiksvårigheter. Det kan också handla om räknefel som inte diagnostiseras och därmed inte kompenseras, eller färdighetsträning med mer av samma sort som inte utvecklar elevens matematiska kunnande. 2. Sociologiska förklaringar utgår ifrån sociologiska relationer på samhällsnivå, gruppnivå och individnivå. Inom sociologi söks orsaksförklaringar inom de sociala strukturer som eleverna ingår i och man söker förstå samspelet mellan olika roller såsom relationer mellan lärare och elev eller relationer mellan elever. Forskning kring barns sociala och kulturella sammanhang lyfter fram den https://larportalen.skolverket.se 5 (11)
sociala dimensionen med social interaktion, normer, värden och förväntningar i olika kontexter. 3. Medicinska eller neurologiska förklaringar tar utgångspunkt ur neurologisk forskning där man studerar mer eller mindre aktivitet i olika områden i hjärnan. Här söks orsaksförklaringen således i nedsatt neurologisk funktion hos den enskilda individen. 4. Kognitiva förklaringar utgår ifrån generella kognitiva funktioner såsom läs- och skrivfärdigheter och fonologisk bearbetning, arbetsminne, långtidsminne eller koncentration och uppmärksamhet. Orsaken söks i nedsatt kognitiv funktion hos den enskilda individen. Ett exempel på en sociologisk och didaktisk förklaring kan sökas i att elevens faktiska arbetsinsats är låg i relation till undervisningstiden (Sjöberg, 2006). Det som framträder som en matematiksvårighet orsakas av att eleven inte arbetat så många timmar med matematik. Eleven har under lektionstid och annan tid då det förväntats att eleven arbetar med matematik inte deltagit aktivt. Då handlar den pedagogiska utmaningen således om att få eleven att bli en aktiv deltagare i matematiken genom didaktiska och relationella anpassningar. När det gäller neurologiska och kognitiva förklaringsgrunder lyfter dessa vanligtvis fram specifika matematiksvårigheter och problematik inom den grundläggande antalsuppfattningen. Här blir den pedagogiska utmaningen att skapa en genomtänkt undervisning där eleven återkommande ges möjlighet att arbeta med laborativa material och bilder som stödjer en utveckling av elevens antalsuppfattning. Genom att rikta sökljuset mot olika svårigheter blir det lättare att ta fram hållbara anpassningar (Ljungblad, 2016b). Rent konkret i undervisningen leder det till didaktiska skillnader i val av metod när elever uppvisar en räknesvårighet jämfört med en läs- och skrivsvårighet eller en koncentrationssvårighet. Dessa olika grundproblem skapar olika svårigheter i matematikarbetet för exempelvis eleverna som beskrivs ovan. Genom att försöka förstå vilken svårighet som eleven kämpar med kan också mer kvalitativa didaktiska anpassningar tas fram som stödjer elevers olika behov. Perspektiv på matematiksvårigheter Sammantaget visar dessa olika förklaringsgrunder hur flerdimensionellt fältet matematiksvårigheter är. Det finns ofta flera orsaker till att en elev hamnar i matematiksvårigheter och elever uppvisar således olika behov av stöd. Följaktligen är det en betydelsefull skillnad i hur elevers problem med matematik beskrivs. Av tradition har definitionen varit elever med matematiksvårigheter. I ett sådant perspektiv blir eleven bärare av problemet. Under det senaste decenniet har ett alternativt perspektiv vuxit fram, där man genom begreppet elever i matematiksvårigheter istället lägger problemet i miljön. Dessa skillnader synliggörs när olika perspektiv anläggs på fältet matematiksvårigheter. Om man antar en kategorisk eller kompensatorisk syn på matematiksvårigheter innebär det att elevens brister och problem fokuseras, och man söker skapa metoder för att kompensera för https://larportalen.skolverket.se 6 (11)
problemen som man ser finns hos eleven. Om man istället antar ett relationellt eller kritiskt perspektiv lägger man fokus på lärmiljön och hur matematikundervisningen kan anpassas för elevers olika behov. Ytterligare ett perspektiv, dilemmaperspektivet, lyfter fram grundläggande dilemman i skolans vardag. Dilemman innebär konkret att lärare ställs inför svåra val och överväganden som inte har någon direkt lösning. Frågan är hur lärarna hanterar dessa motstridiga krav som uppkommer i det dagliga arbetet. Både det kategoriska/kompensatoriska perspektivet och det relationella/kritiska har såväl sina svagheter och risker som fördelar. En risk med det kategoriska/kompensatoriska perspektivet är att eleven blir betraktad som väsensskild från andra elever. Risken med det relationella/kritiska perspektivet är att skolan inte uppfattar att eleven befinner sig i svårigheter och är i behov av särskilt stöd. Inkluderande matematikundervisning Barnets rättigheter betonas i såväl Barnkonventionen Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter (UD, 2006) som i Salamancadeklarationen (Svenska Unescorådet, 2006). Salamancadeklarationen är en handlingsram som beskriver hur länder ska arbeta med inkludering. I deklarationen från 2006 lyfts för första gången begreppet inkludering fram i relation till elever i behov av särskilt stöd. Inkludering används i Salamancadeklarationen för att signalera ett nytt sätt att se på särskilda utbildningsbehov. Deklarationen slår fast att utbildningen ska genomföras så att den breda mångfalden av elevers olika behov tillvaratas. För att skapa inkluderande undervisning riktas sökljuset mot delaktighetsprocesser i det att barn som lär tillsammans lär sig att leva tillsammans. Det räcker dock inte med en inkluderande policy, den pedagogiska utmaningen handlar om att inkluderande processer måste förverkligas i klassrummet genom anpassningar så att elever får tillgång till och kan utveckla förmågor och kunnande. Inkludering i matematikundervisning problematiserar således på vilka sätt och i vilken utsträckning tillgänglighet till matematik skapas. Inkluderande klassrumsstudier I Skandinavien har det under senare år genomförts klassrumsstudier inom ramen för inkludering och matematikundervisning. Dessa studier ger en fingervisning om hur lärare kan arbeta med elevers deltagande och hur lärare kan skapa en ökad tillgänglighet i matematik. Nedan beskrivs resultatet av dessa studier i förhållande till hur lärare kan möta de pedagogiska utmaningarna. Tre dimensioner av lärares ledarskap I en dansk studie (Secher Schmidt, 2015) framträder tre dimensioner av ledarskap som påverkar elevers lärande i matematik. Den första är lärande ledarskap som påvisar vikten av att lärare leder elevens lärande och utveckling i dialog utifrån frågor av utforskande karaktär, istället för fokus på utvärdering av elevers prestationer. Den andra lyfter fram ett handlingsinriktat ledarskap som uttalar tydliga rutiner för elevers deltagande i undervisningen. Den innebär också att läraren betonar att elever spenderar tid på att tänka och inte enbart fokuserar på att snabbt komma fram till rätt svar. Slutligen den tredje dimensionen relationellt ledarskap skapar en miljö där elever känner sig trygga, vågar svara på frågor utan https://larportalen.skolverket.se 7 (11)
rädsla för om svaret är korrekt eller inte, samt att det finns en samverkan där lärare tror på eleverna och där man stödjer varandra. I en lärares ledarskap samverkar dessa tre former av ledarskap ständigt grundat i värden där elever och lärare gemensamt löser matematiska problem. Tre former av inkludering I en svensk studie beskrivs inkludering i matematik utifrån begreppen dynamisk inkludering, innehållsinkludering och deltagande inkludering (Roos, 2015). Den dynamiska inkluderingen har ett fokus på hur undervisningen för elever i särskilda utbildningsbehov i matematik organiseras. Här synliggörs viktiga aspekter på inkludering, såsom hur skolan utnyttjar olika kompetenser, hur undervisningen organiseras i det ordinarie klassrummet och hur elever i behov av stöd under korta perioder kan ges intensivundervisning. Dessa olika aspekter av inkludering reflekteras kring i samband med att man lyssnar på eleverna och vad de vill. I innehållsinkludering ligger fokus på själva undervisningen i matematik i relation till att möta mångfalden i klassrummet, alltså matematikdidaktik ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Viktiga frågor att ställa i relation till det matematiska innehållet är: Vilka representationer använder vi i undervisningen? Vilka representationer är lämpliga för det aktuella matematiska innehållet? Vilka representationer passar den enskilda eleven? En annan viktig aspekt inom innehållsinkludering är reflektionen kring vilka uppgiftstyper, exempelvis problemlösning, färdighetsträning eller uppgifter som tränar begreppslig förståelse, som är bra att använda i relation till den aktuella matematiken och eleven. Till innehållsinkludering hör val av lämpliga strategier och generaliseringar för klassen, men också för eleven i särskilda utbildningsbehov i matematik, och hur de synliggörs för eleverna. För att kunna skapa ökad tillgänglighet till matematik och stödja eleverna i att känna igen likheter i matematiken bör de få arbeta med samma innehåll, strategier och uppgiftstyper i olika situationer i matematikundervisningen. När eleverna arbetar i dessa olika situationer är det av stor vikt att läraren synliggör för eleverna att det är samma matematiska innehåll de jobbar med. Det vill säga, att läraren återkopplar till situationer där läraren har uppfattat att eleverna hade förståelse för det aktuella begreppet eller talet. På så sätt får eleverna hjälp med att känna igen och förstå att det är samma matematiska innehåll, även om det är olika situationer eller olika tal. I matematikundervisningen är det lätt att ibland ta för givet att eleverna själva kan göra dessa kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheterna. För att kunna nå och utmana elever i behov av särskilt stöd inom klassrummets ram krävs en förtrogenhet med det matematiska innehåll som ska undervisas, hur det kan undervisas på olika sätt samt hur det relaterar till elevernas tidigare kunskaper. Allt detta sammantaget gör att eleverna kan få hjälp att göra kopplingar mellan olika situationer och känna igen likheter, vilket stödjer tillgängligheten till matematik. I den deltagande inkluderingen ligger fokus på eleven och dennes deltagande. Centrala aspekter här är lyhördhet, aktivt lyssnande på eleverna samt att undersöka vad eleverna vill i den aktuella situationen. Av vikt är uppmuntrande av elevens aktiva deltagande och stärkandet https://larportalen.skolverket.se 8 (11)
av elevernas självförtroende och självkänsla i samband med matematik. Det handlar om att utveckla förtroendefulla relationer så läraren kan nå och utmana varje elev. Takt och hållning I en svensk relationell studie (Ljungblad, 2016a) utforskas hur läraren kan skapa respektfulla och tillitsfulla relationer till sina elever. Inom det matematikdidaktiska fältet skulle en metafor för detta kunna vara att studien gör en relationell vändning då människors relationer till varandra sätts i förgrunden. Resultatet visar ett samstämmigt mönster där respektfulla och tillitsfulla relationer mellan lärare och elev växer fram i undervisningen. Här får vi ny kunskap om hur lärarna konkret agerar i undervisningen så att dessa relationella värden kan utvecklas. Lärarnas sätt att relatera till elever framträder som takt och hållning. Studien utforskar lärarnas följsamhet i deras blickar, gester och tonfall, vilket beskrivs som pedagogisk takt. Men lärarens takt kan inte planeras i lektionsplaneringar utan måste improviseras i stunden. Genom lärarens pedagogiska takt skapas och upprätthålls en kontakt med eleven som gör att eleven vågar ställa frågor och tala med sin egen röst. I dessa klassrum ligger inte fokus på rätt eller fel svar utan istället är processen i centrum där man utforskar olika sätt att lösa problem. Samtidigt är det en svår taktfull balansgång för läraren att möta unika elever i undervisningen. När det gäller lärarens hållning får vi kunskap om hur lärarna utvecklat ett sätt att vara i nuet, i mötet med eleven. Här har studien fångat en sekund av särskild betydelse i matematikundervisningen, den sekund när eleven talar med sin unika röst. Det kan konkret förstås som när eleven säger eller gör något som läraren aldrig tidigare mött, eller inte har redskap för att hantera. Vad sker i den sekunden? Vad visar sig i lärarens ansiktsuttryck och tonfall? I det ögonblicket lyssnar de deltagande lärarna nyfiket och försöker förstå hur eleven tänker. Lärarna är toleranta och icke värderande och avstår ifrån omdömet och låter eleven tala med sin egen röst. Denna hållning, eller sätt att vara i nuet, skapar rum för elevens intellektuella frihet att lösa matematiska problem på olika sätt. Samarbete mellan yrkeskategorier vid inkluderande undervisning Med stöd av pedagogiska och didaktiska kartläggningar går det att kollegialt problematisera orsaker till att svårigheter uppstår i klassrumspraktiken. Vid framtagning och planering av inkluderande anpassningar i matematik är det betydelsfullt med samarbete mellan matematiklärare, speciallärare, specialpedagoger, studiehandledare och assistenter. Vem kan vad? är en fråga som konkret handlar om att diskutera och använda olika kompetenser för att fånga och utveckla elevers kunnande och förmågor. Ett sätt att genomföra detta är att exempelvis specialläraren i matematik och den ordinarie läraren byter roller för att kunna nå och utmana eleverna vid olika tillfällen. Sammanfattningsvis visar denna text på vikten av att skapa tillgänglighet till ämnesinnehållet för varje elev i matematikundervisningen. De pedagogiska utmaningarna handlar om att ta fram ett brett spektrum av anpassningar i undervisningen av såväl didaktisk som relationell karaktär för att kunna möta varje elev. Inledningsvis behöver läraren i lektionsplaneringen ta fram anpassningar på gruppnivå som fungerar väl för hela gruppen. Dessutom behövs en https://larportalen.skolverket.se 9 (11)
djupare analys av elever i behov av stöd i matematik och deras behov av stöd och anpassningar på individnivå. Anpassningar på såväl gruppnivå som individnivå behöver analyseras i relation till situation och specifikt matematikinnehåll. De texter och aktiviteter som presenteras kan ni konkret prova i klassrummet. Syftet är att utveckla kunnande om att ta fram olika slags anpassningar i matematikundervisningen som stödjer elevers deltagande och ökar tillgängligheten till matematikinnehållet. Genom att dessutom diskutera erfarenheter av undervisningsstöd och anpassningar utvecklas kollegialt kunnande på skolnivå kring samarbete och stöd i en inkluderande strävan att möta varje elev i klassrummet. Referenser Bagger, A. & Roos, H. (2015). How research conceptualises the student in need of special education in mathematics. I O. Helenius, A. Engström, T. Meaney, P.Nilsson, E. Norén, J. Sayers, & M. Österholm, M. (red), Development of Mathematics Teaching: Design, Scale, Effects. (27 36). Proceedings from MADIF9: The Swedish Education Research Seminar, Umeå, February 4 5, 2014. Linköping: SMDF. Ljungblad, A-L. (2016a). Takt och hållning en relationell studie om det oberäkneliga i matematikundervisningen. Doktorsavhandling. Göteborgs universitet. Ljungblad, A-L. (2016b). Matematikens grunder kvalitativ kartläggning. Stockholm: Askunge. Ljungblad, A-L. (2018). Relationell lärarskap och pedagogiska möten. Lund: Studentlitteratur. Lunde, O. (2011). När siffrorna skapar kaos. Matematiksvårigheter ur ett specialpedagoiskt perspetkiv. Sockholm: Liber. Magne, O. (2006). Historical aspects on special education in mathematics. Nordic Studies in Mathematics Education, 11(4), 7 34. Roos, H. (2015). Inclusion in mathematics in primary school: what can it be? Licentiate thesis. Växjö: Linnéuniversitetet, Växjö. Secher Schmidt, M-C. (2015). Inklusionsbestræbelser i matematikundervisningen. En empirisk undersøgelse af matematiklæres klasseledelse og elevers deltagelsesstrategier i folkeskolen. Doktorsavhandling. Aarhus: Aarhus Universitet. Sjöberg, G. (2006). Om det inte är dyskalkyli vad är det då? En multimetodstudie av eleven i matematikproblem ur ett longitudinellt perspektiv. Doktorsavhandling i pedagogiskt arbete. Umeå universitet. Skolverket (2014). Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram. Skolverkets allmänna råd med kommentarer. Stockholm: Fritzes. Svenska Unescorådet (2006). Salamancadeklarationen och Salamanca +10. Svenska Unescorådets skriftserie, 2/2006. Stockholm. https://larportalen.skolverket.se 10 (11)
UD. (2006). Mänskliga rättigheter konventionen om barnets rättigheter. Rev, 05.059. Stockholm: Regeringskansliet. https://larportalen.skolverket.se 11 (11)
Revision: 1 Datum: 2018-08-14
strävorna 2A Från talrad till tallinje begrepp taluppfattning Avsikt och matematikinnehåll Denna sträva består av delaktiviteter med syfte att utveckla elevernas förståelse för tal, från naturliga till irrationella, och för talens placering på tallinjen. Den mentala eller inre talraden ser olika ut för olika elever och skiljer sig i hur användbar den är för eleven. För några elever är det just en rad med tal, medan andra har utvecklat sin talrad till en tallinje. Denna utveckling sker i varierande takt och därför är det en god idé att diskutera med eleverna hur deras talrad ser ut upprepade gånger under deras skolgång. Eleverna ska ges möjlighet att möta talbegreppet ur olika perspektiv, göra begreppet till sitt eget och över tid utveckla och förfina det. Talramsa och talrad Några ord som används i delaktiviteterna är talramsa, talrad, talbild, talsymbol, tallinje och talföljd. När vi räknar antalet föremål i en mängd sker det med en talramsa: 1, 2, 3, där räkneorden kommer i en bestämd ordning. Varje givet tal i talramsan har ett bestämt tal både före och efter sig. Vi kan synliggöra denna ordning (ordinalitet) visuellt med hjälp av en talrad som illustreras med talbilder som exempelvis prickarna på en tärning eller en dominobricka, eller talsymboler som siffror. Talens storlek markeras genom talradens riktning. Ju längre till höger ett tal har sin plats på talraden, desto större är talet. Talen på talraden är diskreta, det finns inga tal emellan dem. Vill vi se talen i en kontinuerlig kontext kan vi placera dem på en tallinje där talen illustreras som punkter och mellanrum på linjen. Noll är starten och när vi rör oss framåt går vi mot allt större tal, negativa tal finns på andra sidan om nollan. På tallinjen kan vi mellan två heltal placera in rationella tal som en halv, 3/8, 17/3 och irrationella tal som π och 2. Punkter eller avstånd Det är väl känt att en del elever gör fel när de ska mäta längder. Ett skäl kan vara att de har vant sig vid att fokusera enbart på punkterna på tallinjen och inte på avståndet, det vill säga mellanrummen mellan punkterna. Skillnaden mellan 2 och 7 är 5 om vi räknar mellanrummen mellan talen, men 4 om vi tittar på antalet punkter. Det är inte alltid självklart vad som ska uppmärksammas. Handlar det om ett koordinatsystem är det punkterna som ska fokuseras, men mäter eleven med måttband eller linjal är det mellanrummen som är intressanta. I matematikundervisningen används tallinjer med olika markeringar som exempelvis heltal från noll och uppåt, ibland med markeringar för varje tal, ibland är bara vissa tal utsatta, andra tallinjer är mer eller mindre centrerade runt nollan och visar både negativa och positiva tal. När tallinjen används vid aritmetiska beräkningar kan det vara tillräckligt att utgå ifrån en tom tallinje. På den tallinjen markeras starttalet och sedan används pilar som visar i vilken riktning beräkningen görs. I följande delaktiviteter används tallinjen enbart för att placera in tal. Talföljder Räkneramsan 1, 2, 3, är den vanligaste och mest grundläggande talföljden. Andra talföljder som elever möter är exempelvis jämna och udda tal (2, 4, 6, resp 1, 3, 5, ), primtal (2, 3, 5, 7, 11, ), femskutt (5, 10, 15, 20, ). Dessa får yngre elever rabbla ofta så de blir säkra på dem. Senare kan eleverna vara behjälpta av att även få rabbla talföljder som 0,25; 0,50; 0,75; och 0,01; 0,02; ; 0,09; 0,10; 0,11; och 1/2, 1/3, 1/4, Samtidigt bör såväl skrivsätt som uttal tas upp till diskussion. En andradel eller till och med tvådjedel har säkert alla lärare hört. Talföljder kan vara både ändliga och oändliga. Talföljden 2, 4, 6, 8, 10, 12 är ändlig då den beskriver husnumren på en speciell gata, medan övriga nämnda talföljder är oändliga. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Förkunskaper Vilka förkunskaper som bör finnas inför respektive delaktivitet varierar, men eftersom de delvis bygger på varandra kan det vara klokt att titta på föregående aktiviteter och avgöra om eleverna är bekanta med det innehållet. Material Alla aktiviteter innehåller arbete med tallinjer men hur tallinjerna ser ut varierar. Som basutrustning är det bra om det finns färdigtryckta tallinjer för olika talområden och tomma tallinjer som exempelvis kan ritas på textiltejp eller räknemaskinsrullar. Snöre, klädnypor, magneter och tärningar kan också komma till användning liksom siffer- och talkort. Dessutom bör eleverna ha tillgång till flera material som de kan använda då talen ska representeras, som kort med tärningsprickar, talblock, tiobasmaterial, pengar och plockmaterial av olika slag. Vissa tallinjer, talblock och talkort av olika slag finns att skriva ut från ncm.gu.se/matematikpapper. Beskrivning Samtliga delaktiviteter presenteras på sidor med den layout som brukar användas till elevsidor, men här är alla sidor skrivna för läraren. Gemensamt för alla delaktiviteterna är att de behandlar tal med hjälp av tallinjen. Även om varje aktivitet är relativt begränsad i sig kan alla öppnas upp och ligga till grund för fortsatt diskussion om tal. Ett enkelt sätt att få fatt i fler funderingar är att låta eleverna diskutera resultatet av en aktivitet i små grupper med uppdrag att ställa ytterligare en fråga eller att kommentera något som de har upptäckt. I några aktiviteter finns en eller ett par avslutande punkter med förslag som kan användas för elever som behöver extra utmaningar under tiden som andra elever får extra stöttning. Det finns även hänvisningar till andra, liknande, tallinjeaktiviteter inlagda. Vissa kan tjäna som färdighetsträning, andra som extra utmaning. Introduktion En övergripande introduktionsidé som fungerar till samtliga delaktiviteter är att anknyta det aktuella talområdet till elevernas vardag. När använder de tal upp till 20? 100? 10 000? tal i decimalform? i bråkform? tal som är negativa? irrationella? Samtala och uppmuntra eleverna att ge så konkreta exempel som möjligt. Bland annat genom moduler i Matematiklyftet har EPA kommit att bli ett begrepp i matematikundervisningen, det vill säga att låta elever arbeta med en uppgift eller lösa ett problem först Enskilt, sedan i Par eller liten grupp och slutligen avsluta arbetet med en gemensam redovisning och diskussion i helklass, för Alla. Här är arbetsgången den omvända. Aktiviteterna introduceras i helklass. Tänk i förväg igenom frågor som du vet eller tror kommer att ställas av eleverna och hur du kan besvara dem. Fundera på vilka alternativa svar eller exempel du kan ge och om det finns laborativa material eller bilder som du bör ha tillgängliga. För elever i matematiksvårigheter som inte har de aktuella begreppen klara för sig, eller har svårt att komma igång, kan det vara en god hjälp att använda kamraterna som en resurs. Om du medvetet agerar mer som samtalsledare än som föreläsande lärare ges eleverna möjlighet att dela med sig av exempel och förslag. Ordet fördelas så att alla elever kan vara delaktiga, vilket inte behöver betyda att alla ska säga sin mening vid varje tillfälle, men där alla olika förslag kommer fram och värderas lika. Den gemensamma introduktionen sammanfattas och du kompletterar om något saknas. Sedan fortsätter arbetet som par- eller grupparbete och/eller enskilt arbete för att slutligen sammanfattas i en helklassdiskussion. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Uppföljning Låt eleverna dokumentera det de precis varit med om. Ta ett foto eller rita av tallinjen så att eleverna kan skriva en egen kort text om vad de har gjort, lärt sig eller fortfarande funderar på. En variant är att istället göra det som en diktering där eleverna berättar vad de vill att läraren ska skriva. Spara dokumentationerna och titta sedan på vad eleverna lärt sig över tid. Ofta säger elever att något som de tidigare tyckte var svårt är enkelt nu. Den insikten motiverar elever att fortsätta lära matematik även om det tar emot ibland. Utveckling Utveckla användningen av tallinjer till ett stöd för de fyra räknesätten. Under Att läsa finns några Nämnarenartiklar där lärare och forskare har beskrivit beprövade metoder. På grundskolenivå kan orden talföljd och talserie ses som synonyma, men vill man göra någon distinktion så kan man säga att talserier är namn på talföljder. Ett exempel är den kända Fibonacciserien som består av talföljden 1, 1, 2, 3, 5, I strävornaaktiviteten 6A4B Talserier kan elever öva upp sin färdighet i att hantera talserier. Ursprung De inledande aktiviteterna har utprovats av lärare i Timmersdala och Lerdala skolor och publicerades på Nämnaren på nätet som ett komplement till artikeln Intensivundervisning med gott resultat i Nämnaren 2011:1. Här har aktiviteterna bearbetats och kompletterats med fler. Att läsa Dahl, H. H. & Nohr, M. E. (2010). Perlesnor og tom tallinje. Nämnaren 2010:4. Holmberg, B. & Kilhamn, C. (2014). Subtraktion på den tomma tallinjen. Nämnaren 2014:3. Kilhamn, C. (2014). Tallinjen som ett didaktiskt redskap. Nämnaren 2014:2. Petersson, J. (2017). Potenser och logaritmer på tallinjen. Nämnaren 2017:2. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Från talrad till tallinje 1n Talen 0 10 Vi arbetar med talraden Arbeta med talraden ofta, gör övningarna flera gånger. Syftet är att barnen ska kunna läsa och skriva talen 0 10. De ska också kunna ordningen. Ramsräkna på olika sätt, räkna t ex alla elever som är närvarande varje dag och markera antalet med streck. Till denna övning använder vi fotografier på eleverna som vi sätter upp på tavlan. När eleverna är säkra på att uttrycka antalet med streck skriver vi antalet även med siffror. Låt barnen gå på sifferkort på golvet och samtidigt räkna högt. Detta kan de göra när de går in eller går ut från klassrummet. Så småningom kan de räkna både uppåt och nedåt på talraden. Räkna trappsteg, 0 10 (eller så många trappsteg som finns) när barnen går uppåt och 10 0 när de går neråt. Detta stärker förståelse för benämningarna högre respektive lägre tal. Ge barnen varsitt sifferkort med ett av talen 1 10. Be dem att ställa sig på rad så att talföljden stämmer. I en större grupp kan några istället för sifferkort få kort med andra representationer som tärningsprickar eller oklädda spelkort. Hur löser barnen problemet att två då vill stå på samma plats? nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Från talrad till tallinje 2n Talen 0 20 Placera talen på tallinjen Syftet är att eleverna ska kunna läsa och skriva talen 0 20. De ska också kunna ange siffrornas värde (ental eller tiotal) och placera talet korrekt på en tallinje. 1. Rita en tallinje på tavlan och markera talen 0 och 20. 2. Dela ut talkort 0 20 till eleverna och be dem att sätta upp korten på tallinjen. 3. Diskutera gemensamt placeringen av korten och avståndet mellan talen när alla korten är uppsatta: Måste avstånden mellan två tal vara lika stora? Varför? Låt eleverna motivera sina uppfattningar. 4. Låt eleverna representera varje tals storlek med talblock som placeras under respektive talkort. 5. Fortsätt eventuellt med att varje elev hämtar sitt talkort och motsvarande talblock. Därefter ska de hämta eller leta rätt på det antal föremål som kortet anger. Talblock kan fungera som hjälp för osäkra elever då de kan lägga ett föremål i varje ruta. 6. Låt elever som behöver extra utmaning ta reda på vad summan av alla tal 0 20 är. Delas 210 med 5 är kvoten 42 och eleverna kan få i uppdrag att hitta de fyra kort som tillsammans ger summan 42. Delas 210 med 10 ska summan av två kort bli 21 etc. Låt eleverna fortsätta undersöka olika sätt att kombinera korten och att titta efter mönster. Hemliga tal på rad Syftet är att göra eleverna ännu säkrare på talens placering i förhållande till varandra. 1. Ge eleverna ett kort med något av talen 0 20. Talet ska hållas hemligt för kompisarna och det ska vara helt tyst i rummet. 2. Markera platser för talen 0 och 20. Låt sedan eleverna försöka att ställa sig i rätt ordning utan att tala om sitt tal. De får inte säga sitt eget tal rakt ut eller fråga kompisarna om deras tal, när de ska försöka hitta sin egen position i den tänkta talraden. 3. När alla placerat sig får eleverna i tur och ordning vända på sina kort och säga sitt tal. Denna övning kan utvecklas så att några i gruppen får ett hemligt tal och får ställa sig på rätt plats i raden. De andra får gissa vilket tal respektive elev har placerat. Gemensamt får de möjlighet att flytta på den som de anser står fel. Diskutera placeringen tillsammans. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Från talrad till tallinje 3n Talen 0 100 Tiotal på tallinjen Syftet är att eleverna ska kunna läsa, jämföra och storleksordna tiotalen i talområdet 0 100. 1. Rita en tallinje på tavlan och markera talen 0 och 100. 2. Dela ut talkort med hela tiotal till eleverna och be dem att sätta upp korten på tallinjen. 3. Diskutera talkortens placering och gör tillsammans eventuella justeringar. 4. Sätt tillsammans upp flera olika representationer av tiotalen under respektive tal. 5. Ramsräkna gemensamt 10, 20, 30,, 100 både framåt och bakåt. Aktiviteten kan varieras med femstegshopp på en tallinje 0 50, femstegshopp 0 100, tvåstegshopp på 0 20 och så vidare. Var ligger talet? Syftet är att eleverna inser att om de vet var talen 0, 50 och 100 har sin plats på tallinjen kan de utnyttja den kunskapen när de funderar över andra tals placeringar på tallinjen. Innan aktiviteten startar bör innebörden i ordet ungefär diskuteras. 1. Rita en tom tallinje på tavlan. Markera talen 0 och 100 i ändarna. Be eleverna att enskilt fundera över var talet 50 bör placeras på tallinjen. För sedan en pekpinne utmed tallinjen och låt eleverna säga stopp när de tycker att pinnen visar talets ungefärliga rätta plats. Markera alla förslag på tallinjen. 2. Låt eleverna motivera sina förslag. Det är särskilt spännande när de har olika uppfattning om var talet bör placeras. 3. Upprepa aktiviteten med talen 25 och 75. Även om inte ordet referenspunkt används så samtala om vilka punkter som är bra att känna till och vilken nytta man kan ha av att veta var på tallinjen de ligger. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras
strävorna Från talrad till tallinje 4n Talen 0 1000 Upp till tusen på tallinjen Eleverna ska bedöma relativ storlek av hela 100-tal och 50-tal och placera talen på en tom tallinje inom talområdet 0 1 000. De ska också bedöma tals relativa storlek och placera dem på en tallinje inom talområdet 0 100. 1. Spänn upp ett snöre i klassrummet som symboliserar en tallinje. Talen 0 och 1 000 markeras med hjälp av talkort och klädnypor. Ett hundratal, t ex 400, markeras där det ska vara. 2. Dela ut talkort med 100-tal och 50-tal till eleverna. Låt dem fästa korten på lämpligt ställe på tallinjen (snöret). Diskutera tillsammans kortens placeringar och låt eleverna förklara hur de har kommit fram till dem. 3. Gör motsvarande aktivitet med talen från 0 till 100 och låt eleverna uppskatta var t ex talen 17, 56 eller 73 ska placeras. Låt dem motivera sina förslag. 4. Utöka till alla heltal på tallinjen 0 1 000. Låt varje elev skriva ett heltal med tre siffror på en lapp, blanda och dela ut dem så alla får någon annans tal. Sätt upp, diskutera, justera. 5. Variera med att slå tärningar för att få nya tal att sätta på tallinjen. Använd tiosidiga tärningar, antingen tre märkta 0 9 eller en av vardera 0 9, 00 90, 000 900. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras