Matematiska kompetenser i läromedel

Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier. Grundlärarprogrammet, självständigt arbete 2, 15 hp Matematiska kompetenser i läromedel av ett digitalt respektive ett tryckt läromedel & Handledare: Kristina Palm Kaplan Examinator: Iva Lucic

Sammanfattning Syftet med denna studie har varit att identifiera samt undersöka i vilken utsträckning matematiska kompetenser förekommer i läromedel. En innehållsanalys med utgångspunkt i ett kompetensbaserat ramverk har genomförts, där ett digitalt respektive ett tryckt läromedel jämförts. För att kunna undersöka kompetenser på textnivå har ett analysverktyg konstruerats, där indikatorer i text samt uppgiftsexempel från läromedlen presenteras. Vid analysen har kompetensförekomsten kvantifierats för att möjliggöra en jämförelse mellan läromedlen. De matematiska kompetenser som i denna studie undersökts är: problemlösning, resonemang, procedur, representation samt kommunikation. Resultatet av studien visar att alla kompetenser förekommer i de båda analyserade läromedlen. Procedur- och representationskompetens dominerar i sin förekomst medan problemlösning och resonemang identifierades mer sällan. Vad gäller jämförelsen mellan det tryckta och det digitala läromedlet visar analysen ingen större skillnad i fördelningen av kompetenser, men i det tryckta läromedlet varieras kompetenserna mer genomgående i uppgifterna. Resultaten går i linje med tidigare forskning och visar på riskerna med en alltför läromedelsbaserad undervisning. Elever som inte möter en viss typ av uppgifter ges inte möjlighet att utveckla alla kompetenser. Läraren bör därför granska det innehåll som erbjuds eleverna och komplettera undervisningen i syfte att lyfta fram de kompetenser som åsidosatts i läromedlen. Nyckelord: matematiska kompetenser, läromedel, innehållsanalys, digitala verktyg

Innehållsförteckning 1. Inledning 4 1.1 Centrala begrepp 5 2. Bakgrund 5 2.1 Kompetensmålsreformen 6 2.2 Matematiska kompetenser i undervisning 7 2.3 Digital teknik i skolan 9 2.4 Sammanfattning 10 3. Tidigare forskning 11 3.1 Synen på matematiska kompetenser 11 3.2 Läromedelsforskning inom matematik 12 3.3 Kompetensbaserade ramverk i tidigare studier 14 3.4 Forskningsläget 15 4. Syfte och frågeställningar 16 5. Teori 16 5.1 Innehållsanalys 16 5.2 Definiering av kompetenser 17 5.2.1 Problemlösningskompetens 19 5.2.2 Resonemangskompetens 19 5.2.3 Procedurkompetens 20 5.2.4 Representationskompetens 20 5.2.5 Kommunikationskompetens 21 6. Metod och material 21 6.1 Urval 21 6.2 Analysverktyg 23 6.2.1 Problemlösningskompetens indikatorer i text: 23 6.2.2 Resonemangskompetens indikatorer i text: 25 6.2.3 Procedurkompetens indikatorer i text: 26 6.2.4 Representationskompetens indikatorer i text: 27 6.2.5 Kommunikationskompetens indikatorer i text: 28 6.3 Reliabilitet och validitet 30 6.4 Arbetsfördelning 31 6.5 Forskningsetiska principer 32 7. Resultat 32 7.1 Kompetenser i Favorit matematik 3A 32 7.2 Kompetenser i Matte 3 - Rymdäventyret 34 7.3 Jämförelse mellan läromedlen 35 8. Diskussion 36 8.1 Vilka kompetenser ges plats? 36 8.2 Vad innebär en ojämn fördelning av matematiska kompetenser? 37 8.3 För- och nackdelar med ett digitalt läromedel 39 8.4 Studiens bidrag till forskningsläget 39 8.5 Konklusion 40 8.6 Vidare forskning 41 10. Referenslista 42 11. Bilaga 47

1. Inledning Under vår verksamhetsförlagda utbildning och när vi tidigare arbetat inom skolan har vi båda uppmärksammat hur innehållet i digitala läromedel kan skilja sig från tryckta läromedel. Inom matematikämnet är vår erfarenhet att fokus på appar eller datorprogram i stor utsträckning ligger på färdighetsträning där framför allt rätta beräkningar premieras. Hur eleven tänkt och kommit fram till svaret är något som i många fall läggs åt sidan och inte ges utrymme i de digitala läromedlen. Vår erfarenhet är också att problemlösande uppgifter ibland saknas helt eller endast ges ett begränsat utrymme. I dagens samhälle ökar ständigt användningen av digitala verktyg så som surfplattor, datorer och smarta telefoner. Exempelvis hade år 2014 86% av barn i åldrarna 9-12 tillgång till egen mobiltelefon och nästan hälften av landets 8-11 åringar använder internet dagligen för att visa film eller spela spel (Findahl & Davidsson, 2015; Statens medieråd, 2015). Precis som i övriga samhället ökar även denna tillgång och användning inom skolan. Datorer, surfplattor och andra digitala hjälpmedel blir allt vanligare i klassrummen, där spel och uppgifter används i både intresseväckande och lärande syfte. 2015 gick det 4,8 elever på varje surfplatta i grundskolan, siffran låg fyra år tidigare på 29 elever per surfplatta. ITanvändningen under lektionstid har under många år varit hög. Användningen inom matematikämnet har dock varit begränsad men även där syns en ökning under de senaste åren (Skolverket, 2016a). Tryckta läromedel används fortfarande i stor utsträckning och då vi båda studerar till grundskollärare anser vi det centralt att kritiskt granska det innehåll som elever exponeras för, både i digitala och tryckta verk. Sverige har visat sig vara ett av de länder som i störst utsträckning använder läromedel i matematikämnet, där över 90% av lärarna i både årskurs 4 och 8 baserar sin matematikundervisning på läromedel (Skolverket, 2008). Trots detta genomförs ingen statlig granskning av läromedel utan detta ansvar läggs helt i lärarens händer (Calderon, 2015). Lundström (2010) har i en tidigare studie granskat två läromedel inom matematik med utgångspunkt i matematiska kompetenser. Studien visar att båda de granskade läromedlen domineras av uppgifter som övar procedur- och representationskompetens, samt att problemlösning, kommunikation och resonemang förekommer betydligt mindre frekvent. Resultatet stämmer överens med vår egen syn på vilket kunskapsinnehåll matematikläromedel oftast förmedlar. 4

Med vår erfarenhet, samt den ovan presenterade statistiken i åtanke, har ett intresse väckts för läromedelsgranskning inom matematikämnet. De digitala läromedlens innehåll samt förekomsten av matematiska kompetenser är vad som framför allt intresserar oss. 1.1 Centrala begrepp Med tanke på studiens inriktning mot matematiska kompetenser kommer dessa kortfattat att presenteras nedan. Mer utförliga definitioner av kompetenserna samt hur dessa kommer användas i föreliggande studie presenteras i teorikapitlet (se teori). Problemlösningskompetens - innebär att ha förmågan att lösa samt formulera matematiska problem. Resonemangskompetens - innebär att kunna resonera matematiskt samt argumentera och underbygga matematiska val. Procedurkompetens - innebär att ha förmåga att genomföra olika matematiska procedurer. Exempelvis att kunna använda addition, subtraktion, division eller multiplikation. Representationskompetens - innebär att ha förmågan att kunna använda samt förstå samband mellan olika representationsformer inom matematik. Exempelvis bilder, symboler och text. Kommunikationskompetens - innebär att kunna kommunicera matematiskt, det vill säga kunna utbyta central information med hjälp av exempelvis symboler och text. Lithner m.fl. (2010) 2. Bakgrund I kapitlet presenteras en bakgrund till dagens kunskapssyn på matematikämnet i stort, där läroplanen samt de kompetensrelaterade målens utveckling presenteras. Med tanke på den 5

ökade användning av digitala verktyg har även denna utveckling undersökts ytterligare. Bakgrunden presenteras i underrubrikerna: kompetensmålsreformen, matematiska kompetenser i undervisning samt digital teknik i skolan. 2.1 Kompetensmålsreformen Vad gäller matematikundervisningens innehåll skedde en förändring i målformuleringen i kursplanen under 90-talet. Tidigare var målen riktade mot matematiskt innehåll och inte mot matematiska kompetenser. Matematikens syfte, samt den utvärderande delen har ofta haft en förminskad roll, och ett stort fokus har istället legat på resultat kopplat till kursplanens innehåll. Ett alltför stort fokus på matematiskt innehåll innebär att de matematiska kompetenserna ofta åsidosatts. Detta innebär att jämförelser mellan kursplaner för olika åldrar försvåras, i och med att kursplanernas innehåll varierar, och även att svårighetsgraden i olika typer av innehåll blir svår att avgöra (Bergqvist m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011). Som nämnts har dock läroplanens målformuleringar förändrats, till det som benämns processmål, eller kompetensmål. Denna övergång beskrivs som kompetensmålsreformen, vilken grundades i framförallt forskning från NCTM Principles and Standards (Midgett & Eddins, 2001). Detta ramverk baseras på en stor mängd forskning och samma typ av kompetensmål ligger även till grund för stora internationella studier som det danska KOM-projektet (Niss & Højgaard, 2011) och det amerikanska Adding it up (Kilpatrick m.fl., 2001). Syftet med det nämnda KOM-projektet var bland annat, med bakgrund i den ovan beskrivna problematiken, att identifiera vad det innebär att bemästra matematik oavsett innehåll, beskriva och utveckla en progression samt karaktärisera olika nivåer av matematiska kunskaper (Niss & Højgaard, 2011). Ramverken för både TIMSS och PISA baseras också på matematiska kompetenser (Mullis m.fl., 2011; OECD, 2009). Kompetensmålen som internationellt utarbetats har sedan överförts till en svensk kontext av bland annat Palm m.fl. (2004) och Lithner m.fl. (2010) och utgör idag en betydande del av matematikämnet. Säfström (2013) nämner hur synen på matematiska kunskaper förändrats och breddats i och med införandet av kompetensbaserade mål. Att läroplanen blivit mer och mer målinriktad istället för aktivitetsbaserad har dock även inneburit en mer ensidig undervisning där arbete i läroboken ges stor plats. I och med införandet av LPO 94 (Utbildningsdepartementet, 1994) förändrades målformuleringen inom matematikämnet och kompetenser fick en mer 6

betydande roll. Denna utveckling har sedan fortsatt i samma riktning och i LGR 11 (Skolverket, 2016b) är målen än mer explicit inriktade mot kompetenser (Boesen m.fl., 2016). I läroplanen finns dessa kompetensmål representerade i syftesdelen av matematikämnet: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser Skolverket (2016b) Kompetenserna utgör även en betydande del i det centrala innehållet för årskurs 1-3 där framförallt problemlösning, metod och begrepp ska vara en del i undervisningen. Vidare presenteras i kunskapskraven att eleverna i årskurs 3 ska vara förtrogna med samtliga av de ovan beskrivna kompetensmålen. Dessa mål är genomgående för hela grundskolans matematikundervisning där kompetenserna ligger till grund för betygsättningen i både årskurs 6 och 9 (Skolverket 2016b). 2.2 Matematiska kompetenser i undervisning Kompetensmålsreformen har således förändrat innehållet i läroplanen där synen på matematisk kunskap gått från innehållsmål till kompetensrelaterade mål. Studier har dock visat att många skolor inte följer styrdokument i tillräcklig hög grad och kompetenserna problemlösning, resonemang och kommunikation åsidosätts ofta i undervisningen. Denna utveckling ses problematisk bland forskare som ser en risk att elever ges en alltför ensidig undervisning där matematisk förståelse inte prioriteras (Jäder, 2015). Ytterligare problem lyfts fram av studier 7

rörande synen på matematisk kunskap. Exempelvis ses utantillinlärning som en vanligt förekommande inlärningsmetod vilket i förlängningen leder till att elever inte lyckas överföra sina kunskaper till nya, för dem okända, situationer och problem. Kulturen inom matematik har länge varit att kunna lösa så många uppgifter som möjligt på kortast möjliga tid med hjälp av redan inövade algoritmer (Hiebert, 2003). Hiebert (2003) har istället visat att det är effektivare och mer värdefullt att skapa förståelse för olika processer inom matematik. Denna studie kan även kopplas till den diskussion som förts angående procedurkompetensens roll. Å ena sidan lyfter Star (2005) fram vikten av procedurkompetens och menar att den kan läras på djupet och medföra positiva resultat i elevernas matematiska kunnande. Å andra sidan menar Brown m.fl. (2006) att procedurkompetensen ges ett alltför stort utrymme. För stort fokus på procedur kan göra mer skada än nytta och bör istället spela en sekundär roll i undervisningen. Andra teorier lyfter dock vikten av både procedurkompetens och begreppslig förståelse. Båda dessa kompetenser är centrala i elevernas matematiska kunnande och avgörande för elevens möjligheter att använda sin matematik inom olika områden och kontexter (Voutsina, 2012). Diskussionen ovan exemplifierar att vissa kompetenser ses mer framträdande än andra och användandet av procedurer har dominerat undervisningen på bekostnad av andra kompetenser. Med tanke på den förändrade synen på matematiska kunskaper, blir det relevant att ytterligare undersöka vad som diskuterats angående de matematiska kompetenserna. Bland annat har vanligt förekommande problem kopplade till elevernas förtrogenhet med de matematiska kompetenserna, samt vad som orsakar dessa problem diskuterats bland både lärare och experter: Vad gäller procedurkompetens nämner många lärare att äldre elever är osäkra vid beräkning av algebra, aritmetik och grafer. Möjliga orsaker till detta nämns som slentrianmässig användning av tekniska hjälpmedel samt att ett ensidigt fokus på t.ex. aritmetik inte gynnar någon av de övergripande kompetenserna (NCM, 2017). Kopplat till representationskompetens beskriver lärare hur elever ofta har problem med innebörden av ett begrepp, samt dess koppling till andra områden. Otydliga definitioner av de matematiska begreppen ses som den största orsaken till detta, men laborationer och samtal skulle kunna medföra större förtrogenhet till begreppen (NCM, 2017). Det största problemet kopplat till resonemangskompetens ser lärarna som elevernas svårigheter med förståelse för bevis. För att förbättra denna förståelse bör större fokus 8

läggas på bland annat redovisningsuppgifter, samt uppgifter som innebär bedömning om huruvida en lösning finns eller inte (NCM, 2017). Resultaten från TIMSS 2015 visar dock att de svenska eleverna, både i årskurs 4 och 8 är starka inom just den resonerande delen av matematik (Skolverket, 2016c). Vad gäller kommunikationskompetens har det visat sig att eleverna har svårt att tolka matematiska texter samt använda likhetstecknet på rätt sätt. Återigen beskrivs problemet med otydlig definition av begrepp samt för stort fokus på färdighetsövningar, och inte teori (NCM, 2017). Ovan ges en bild av lärarnas syn på elevers kompetensrelaterade svårigheter. Diskussionen berör främst elever i äldre åldrar men med tanke på att kompetenserna ska genomsyra undervisningen genom hela skolgången (Niss & Højgaard, 2011; Skolverket 2016b) blir det i föreliggande studie relevant att presentera de problem som kan uppstå på sikt. 2.3 Digital teknik i skolan Statistiken som presenterades i inledningen om att användandet av digital teknik ökat markant medför ett intresse att undersöka hur detta speglar matematikämnet. I läroplanen presenteras innehåll kopplat till digitala verktyg i ämnets övergripande syfte. Där nämns att eleverna ska ges möjligheter att använda digital teknik för beräkningar, presentationer, tolkning av data samt undersökning av problemställningar. Även i de övergripande målen och riktlinjerna ingår modern teknik, där eleven ska ges möjlighet att utveckla sin förmåga till kunskapsinhämtande och lärande (Skolverket, 2016b). I och med de digitala läromedlens intåg i skolvärlden har dess för- och nackdelar diskuterats mer och mer under senare år. Forskare och debattörer menar att det finns mycket att vinna både i engagemang och i kunskaper, i och med ett mer digitalt lärande, men att det också finns risker med utvecklingen. Å ena sidan menar exempelvis Jönsson (2015) att det finns problem med digitalt stöd i matematik. Internetbaserade sidor kan vara användbara för eleverna, men det är samtidigt viktigt att vara uppmärksam på riskerna med dessa hemsidor. Han menar att hemsidorna är ett bevis på att det finns behov inom skolan som inte tillgodoses. Det är snarare i interaktionen med läraren som eleverna bör tillgodogöra sig kunskaper inom matematikämnet och inte på en webbplats där eleverna exempelvis repeterar matematikövningar. Å andra sidan 9

visar flera andra studier på positiva effekter med ett digitalt lärande inom matematik. Exempelvis visade projektet Matematik för den digitala generationen (Ryan, 2015) att digitala verktyg hade många positiva inverkningar på matematikundervisningen. I och med ett ökat användande av digitala verktyg stärktes elevernas uthållighet och de orkade då arbeta längre med uppgifter utan att tröttna. Vidare visades att digitala verktyg kan underlätta att sätta det matematiska innehållet i fokus. När elever interagerar i spelen och webbsidorna blir lärandet mer effektivt och eleverna kan lösa fler uppgifter utan att tröttna än om traditionella läromedel används. Även Gyllenstig Serrao (2017) nämner att spel och digitala verktyg i undervisningen kan få eleverna mer arbetsvilliga och mindre benägna att ge upp när de möter motgångar. Detta samstämmer också med Ryans (2012; 2015) resonemang om att digital teknik är effektivt för färdighetsträning inom matematik eftersom eleverna då kan fokusera på matematiken och inte på finmotoriken. Samuelsson (2006) nämner hur datoranvändningen i matematikämnet genomgått en förändring, där undervisningen tidigare mestadels handlade om repetitionsövningar men idag innefattar mer simulation och problemlösning. Detta bekräftas i Carlsens (2013) studie på förskolebarns användning av ett digitalt matematikläromedel. Resultaten visade goda effekter i det matematiska lärandet, både vad gäller förståelse för olika representationsformer och problemlösning. Tidigare studier har också visat hur digitala program kan uppmuntra till både kommunikation och resonemang, samt förbättra elevers attityder till matematik (Herheim, 2010; Samuelsson, 2006). Även fast användandet av digitala verktyg har visat sig ha både positiv och negativ effekt på lärandet är det viktigt att ha i åtanke att det fortfarande är läraren som har det övergripande ansvaret för hur de digitala verktygen används, samt för det stöd eleven får. Exempelvis kan matematiska begrepp i ett digitalt läromedel behöva konkretiseras av en vuxen för att ge barnet förståelse för den matematiska meningen. Det digitala verktyget kan på så sätt implicit mediera ett matematiskt innehåll medan den vuxne gör detsamma explicit för barnen (Carlsen, 2013). 2.4 Sammanfattning Som tidigare beskrivits baseras målen i läroplanen i matematik idag på matematiska kompetenser, istället för enbart på matematiskt innehåll. Läroplanens innehåll ska genomsyra hela skolans undervisning och eleverna ska således ges möjlighet att ständigt utveckla sina matematiska 10

kompetenser (Skolverket, 2016b). Vilken kunskap som anses viktig skiljer sig dock mellan olika forskare och tidigare studier har visat på en ojämn fördelning av de matematiska kompetenserna i både läromedel och provuppgifter (Boesen 2006; Boesen m.fl., 2016; Johansson, 2003). Det problematiska med detta är att läromedel till stor del styr undervisningen inom matematik och påverkar således vilket innehåll eleverna möter (Skolverket, 2008). De senaste åren har digitala läromedel blivit allt vanligare, och användandet av dessa har visat på både föroch nackdelar (Gyllenstig Serrao, 2017; Jönsson 2015; Ryan, 2015). Vad som inte undersökts eller tagits upp för vidare diskussion är i vilken utsträckning digitala läromedel förmedlar de matematiska kompetenserna, samt om innehållet skiljer sig från traditionella läroböcker. Med tanke på den förändrade kunskapssynen inom matematik samt den ökade digitala användningen blir en sådan undersökning därför relevant att genomföra. 3. Tidigare forskning I detta kapitel presenteras en översikt över forskningsläget inom studiens ämnesområde. De matematiska kompetenserna ligger i fokus och även studier där innehållsanalys genomförts på läromedel i matematik presenteras. Forskningsläget beskrivs ur både ett internationellt och nationellt perspektiv, och studier från alla skolans årskurser förekommer i översikten. 3.1 Synen på matematiska kompetenser Många matematikforskare är överens om att det finns vissa särskilda kompetenser som är nödvändiga att tillgodogöra sig för att framgångsfullt lära sig matematik. Dessa kompetenser sträcker sig utanför de traditionella matematiska innehållsmålen, såsom exempelvis algebra, geometri eller sannolikhet och statistik. Kompetenserna innefattar processer och förmågor som är nödvändiga i utövandet av matematik och tillägnandet av matematisk kunskap (Kilpatrick m.fl., 2001; Niss & Højgaard, 2011). Trots att många forskare har olika syn på vilka kompetenser som är viktiga för matematiskt kunnande går det ändå att se många likheter i deras synsätt. De kompetenser som genomgående benämns som nödvändiga är framför allt problemlösnings-, resonemangs-, procedur-, representations- och kommunikationskompetens (Kilpatrick m.fl., 2001; Lithner m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011; Palm m.fl., 2004). I övrigt är även tanken om att kompetenserna är sammanvävda och att de tillsammans är nödvändiga för lärande 11

gemensamt för forskningen om kompetenser. Det går alltså inte att lära sig matematik genom att enbart öva en av dessa matematiska kompetenser (Kilpatrick m.fl., 2001; Niss & Højgaard, 2011). Kompetenserna går således in i varandra och synen på vad som är viktigt är alltså ändå relativt samstämmig. Det är också viktigt att ha i åtanke att alla kompetenser påverkar varandra och ett bemästrande av dem alla krävs för full matematisk kompetens (Niss & Højgaard, 2011). Värt att nämna är att det också finns vissa kompetenser som hör till varje enskild forskares syn, t.ex. att se matematik som givande och användbar (Kilpatrick m.fl., 2001), modelleringskompetensen (Niss & Højgaard, 2011; Lithner m.fl., 2010) samt verktygs- och hjälpmedelskompetensen (Niss & Højgaard, 2011). 3.2 Läromedelsforskning inom matematik Studier som undersöker läromedel har riktats mot tre olika håll: (1) lärobokens roll, (2) lärobokens användning samt (3) innehållsanalys eller jämförande av läroböcker (Fan m.fl., 2013; Rezat & Strässer, 2015). Föreliggande studie fokuseras mot den sistnämnda av dessa tre dimensioner vilket medför en relevans i att överblicka detta forskningsområde. Innehållsanalys av läromedel utgör den största delen av läromedelsforskningen inom matematik där studier oftast riktas mot ett visst innehåll i böckerna. Jämförande studier mellan böcker i en serie eller mellan läromedel från olika länder är också vanliga inriktningar (Fan m.fl., 2013; Rezat & Strässer, 2015). Tidigare internationella studier på innehåll i läromedel inom matematik, har bland annat undersökt: i vilken uträckning läromedel återanvänder eller skapar nytt innehåll, innehållet av statistik i läroböcker, hur grundskoleböcker presenterar och utvecklar beräkningar samt hur bråk och division presenteras i läroböcker (Fan m.fl., 2013). Nordiska studier har fokuserat på bland annat: en historisk överblick över läroböckers introduktion av derivata, innehållet av algebra i gymnasieläromedel, användning av siffrorna 1 och 0 i matematikläromedel samt användningen av tallinjen i läromedel avsedda för årskurs 1 (Rezat & Strässer, 2015). Gällande innehållsanalys kopplat till de matematiska kompetenserna i läromedel är forskningen mer begränsad, och en stor del av studierna riktar sig mot antingen högstadiet eller gymnasiet. Denna studie fyller därför en lucka inom detta område, i och med inriktningen mot kompetenser samt grundskolans yngre åldrar. De studier som tidigare undersökt kompetenser har i mångt och mycket inriktat sig mot enbart en eller ett fåtal av kompetenserna. Problemlösnings- och 12

resonemangskompetenserna är de kompetenser som mest frekvent undersöks i läromedel, både nationellt och internationellt. I Brehmers & Van Steenbrugges (2016) studie undersöktes tre välkända läromedelsserier i matematik för gymnasiet. Undersökningen fokuserade på i vilken utsträckning problemlösningsuppgifter förekom, var i kapitlen eventuella problemlösningsuppgifter var placerade, vilken svårighetsgrad uppgifterna hade samt i vilken kontext uppgifterna presenterades. Resultatet av studien, som baseras på 5722 uppgifter, visade att problemlösning sällan förekom (endast 5,45% av uppgifterna). När problemlösningsuppgifter väl förekom skedde det i slutet av kapitlen och uppgifterna hade då en hög svårighetsgrad samt presenterades i en ren matematisk kontext. Precis som Brehmer & Van Steenbrugge (2016) har Stylianides (2009) identifierat matematiska kompetenser i matematikböcker, men istället med inriktning mot resonemangskompetens. Studien baseras på läromedel från USA, där 4855 uppgifter analyserats. Resultaten visar att hälften av uppgifterna inte inbjuder till resonemang överhuvudtaget samt att 40% av uppgifterna endast ger en möjlighet till resonerande. I en studie från Australien undersöks resonemangskompetensen ytterligare. Analysen av matematikböcker riktade mot åttonde klass, visade att de flesta förklaringar som presenteras inte används som tankeverktyg, utan är istället kopplade mot den enskilda uppgiften som ska lösas (Stacy & Vincent, 2009). En ytterligare studie baserad på läromedel för elever i åldrarna 13-17 år, från 12 olika länder, har undersökt resonemangskompetensen inom algebra och geometri. Studien fokuserar på vilken nivå av resonemang som krävs av eleven och resultatet går i samma riktning som de ovan beskrivna studierna. En stor andel av uppgifterna från alla de undersökta länderna, kräver inget kreativt resonemang, och de uppgifter som kräver detta läggs ofta i slutet av kapitlen (Jäder, 2015) - precis som problemlösningsuppgifterna som Brehmer & Van Steenbrugge (2016) undersökt. Problemet med dessa resultat anser författaren vara att många lärare väljer att fokuseras på de enklare, inledande uppgifterna. Detta skulle kunna innebära att elever som arbetar på grundläggande nivå inte ges någon möjlighet att träna sin resonemangsförmåga med utgångspunkt i läromedlen (Jäder, 2015). Även om en stor del av den tidigare forskningen är inriktad mot problemlösning och resonemang finns även studier om de andra kompetenserna inom matematik. Exempelvis visar Stylianous (2011) studie på vikten av förståelse för representationsformer. Tidigare studier har visat att elever ofta har svårt med användandet av representationsformer, men resultatet av Stylianous (2011) forskning visar att både matematikexperter och elever på högstadiet använder 13

representationsformer som verktyg vid lösande av problem. De olika representationerna ger en ökad förståelse för problemet, belyser centrala delar i uppgifterna och kan användas för undersökning. Experterna använde representationsformerna mer abstrakt medan eleverna använde dem mer konkret. Användandet av olika representationsformer kan göra matematikämnet mer meningsfullt och effektivt. Även Johansson (2003) har undersökt de matematiska kompetenserna, och då inriktat sig mot dess förekomst i läromedel samt hur väl sammankopplade läromedlen är med läroplanen. Studien innefattar en innehållsanalys av vanligt förekommande läroböcker, där delar som: läsa och förstå, lösa rutinuppgifter, problemlösning, resonerande samt kommunicerande i grupp ingår. I analysen ingår fyra äldre böcker (två från 1979 och två från 1985) vilka jämförs med en lärobok från 2001. Vad gäller kompetenser visar resultaten att den nyare boken innehåller flest rutinuppgifter samt minst uppgifter i kategorin läsa och förstå. Två av de äldre böckerna innehåller fler problemlösande uppgifter men boken från 2001 är den enda som innehåller resonerande uppgifter. Studien visar på en förändring i läroböckerna i matematik där den nyare boken lagt till delar om problemlösning och resonemang. Johansson (2003) poängterar dock att det fortfarande är upp till läraren hur läroboken sedan används. Delar av läroböckerna kan utelämnas från undervisningen och på så sätt innebära att elever inte får ta del av alla kompetenser. Vidare visar studiens resultat att läroböckerna inte till fullo samstämmer med innehållet från läroplanerna, ett visst innehåll är helt utelämnat eller enbart begränsat representerat (Johansson, 2003). 3.3 Kompetensbaserade ramverk i tidigare studier Det finns tidigare forskning som går i samma linje som denna studie, d.v.s. som inriktar sig mot att undersöka matematiska uppgifter med utgångspunkt i ett kompetensbaserat ramverk. Dessa studier är dock begränsade (Säfström, 2013) och analyserar inte läromedel utan riktas istället mot uppgifterna i prov. Exempelvis har Boesen (2006; 2016) genomfört två studier inom denna kategori. Den ena studien som undersöker vilka matematiska kompetenser som testas i de svenska nationella proven visade att testandet av samtliga kompetenser skedde i mer än 39% av uppgifterna. Resultaten visar också att procedurkompetensen samt kommunikationskompetensen var de två kompetenser som var vanligast förekommande i proven. Detta stämmer enligt studien in på alla de testade årskurserna. Dock fanns en skillnad mellan årskurserna vad gällde de andra kompetenserna. I de yngre åldrarna testas inte resonemangskompetensen i lika hög grad som i de äldre årskurserna. Resultaten visade också att de yngsta eleverna testades i lägre 14

grad i både kommunikations- och sambandskompetensen. I Boesens (2006) tidigare studie undersöktes de matematiska kompetenserna med fokus på i vilken grad kompetenser prövas i nationella prov, jämfört med prov konstruerade av lärare. Studien visar hur lärarnas konstruerade prov ofta saknar uppgifter där elevernas resonemang samt problemlösande testas. Uppgifterna visade sig ofta vara av en mer imitativt karaktär. Frågorna i de nationella proven visade sig däremot innehålla fler uppgifter där elevernas kreativa sida utmanas. 3.4 Forskningsläget Som presenterats ovan har större delen av forskningen om de matematiska kompetenserna varit inriktad mot högstadiet och gymnasiet. Existerande forskning om de matematiska kompetenserna på yngre elever från låg- och mellanstadiet är begränsad. Med tanke på att elever ska ges möjlighet att möta alla dessa kompetenser redan i tidig ålder (Niss & Højgaard, 2011; Skolverket, 2016b) är det därför centralt att även undersöka vilka kompetenser som kan identifieras i läromedel i yngre åldrar. Vidare visar den tidigare forskningen att de flesta studier enbart undersökt en eller ett fåtal av kompetenserna. De matematiska kompetenserna är alla sammanlänkade och beror av varandra (Niss & Højgaard, 2011) vilket medför en relevans i att undersöka och jämföra dem med hjälp av ett övergripande ramverk. Studier som undersöker alla de matematiska kompetenserna är dock mer sällsynta, där väldigt lite empirisk forskning baserat på kompetensrelaterade ramverk genomförts (Boesen m.fl., 2016; Säfström, 2013). Den forskning som genomförts inom området är då inriktad mot uppgifter i prov och inte i läromedel. Vad gäller forskning kopplad till digitala läromedel inom matematik är också studier om matematiska kompetenser sällan förekommande. Tidigare studier har ofta riktats mot ett elevperspektiv och bland annat visat att användandet av digitala verktyg kan ha positiva effekter gällande problemlösningsförmåga, kommunikation samt begreppsförståelse (Carlsen, 2013; Herheim, 2010; Samuelsson, 2006). Med de beskrivna studierna i åtanke fyller denna studie en lucka i forskningen om de matematiska kompetenserna. Studien intar ett vidare perspektiv och riktas mot alla kompetensers förekomst i läromedel. 15

4. Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att undersöka matematiska kompetenser i läromedel. Studien syftar även till att jämföra kompetensförekomsten mellan ett digitalt respektive ett tryckt läromedel. Frågeställningarna som används för att besvara syftet är: Vilka kompetenser testas i det digitala respektive det tryckta läromedlet? I vilken utsträckning testas kompetenserna i de båda läromedlen? 5. Teori I detta kapitel beskrivs studiens teoretiska utgångspunkter och kapitlet inleds med en beskrivning av de teorier som ligger bakom studiens innehållsanalys. Eftersom syftet med arbetet är att undersöka förekomsten av matematiska kompetenser i läromedel riktas teorikapitlet också mot att definiera kompetenserna. Förutom definitionerna förklaras även vikten av att särskilja dessa kompetenser samt hur studieobjektet kan undersökas på textnivå. 5.1 Innehållsanalys Denna studie innefattar en innehållsanalys av matematikläromedel. Med innehållsanalys menas ett sätt att beskriva textinnehåll på ett systematiskt sätt och metoden kan innefatta analyser på alla typer av medier. Denna analys kan genomföras både manuellt och digitalt, och är en lämplig metod för att finna mönster i ett innehåll. Inriktningen har sitt ursprung i en empirisk vetenskapssyn och även fast ett stort fokus ofta läggs på det som explicit uttrycks i texter, kan analysen belysa ett implicit innehåll (Bergström & Boréus, 2012). Enligt Fan m.fl. (2013) riktas innehållsanalys inom matematikämnet mot hur ett visst innehåll presenteras och behandlas, och innefattar ofta en jämförelse mellan olika läromedel. Studies focusing on analysing the concerned features of mathematics textbooks under study and, in the case of textbook comparison, compa- 16

ring the similarities and differences of two or more series of mathematics textbooks. Fan m.fl. (2013, s. 635) Läromedelsanalyser inom matematikämnet har ofta syftat till att belysa läromedlets innehåll och inte hur det används eller vilken roll det spelar (Fan m.fl., 2013). Även Rezat & Strässer (2015) menar att det är viktigt att ha i åtanke att en innehållsanalys endast redovisar möjligheter till lärande. Oavsett teoretiskt ramverk, vilket innehåll som analyseras eller vilket fokus analysen har, kan inga slutsatser angående bokens påverkan på elever dras. Vidare beskriver Bergström & Boréus (2012) hur innehållsanalys ofta innebär att kvantifiera och räkna ett innehåll, vilket kommer att genomföras i denna studie. Innehållet som räknas är då de matematiska kompetenserna och förekomsten av dessa kan då lyfta fram vissa mönster i läromedlens innehåll. Eftersom definitionerna i det teoretiska ramverket riktas mot elevens kompetenser, krävs en omtolkning mot ett textperspektiv för att kunna undersöka uppgifter i läromedel. Då definitionerna läses är det därför viktigt att ha i åtanke att dessa riktar sig mot elevens kunnande och skicklighet (Niss & Højgaard, 2011). Analysen i denna studie intar alltså inte ett elevperspektiv, så hur den enskilde eleven utvecklar en kompetens kommer inte kunna besvaras. Ett analysverktyg har, med detta i åtanke, utarbetats i syftet att undersöka vilka kompetenser som testas i uppgifter på textnivå. Indikatorer på att kompetenserna övas kommer presenteras i kapitlet analysverktyg. 5.2 Definiering av kompetenser Ordet kompetens används synonymt med kunnighet, skicklighet eller expertis. Att inneha kompetens inom ett område innebär således att effektivt och överskådligt kunna bemästra de mest centrala aspekterna inom området, och på så vis besitta en säkerhet i sitt omdöme (NE, 2017; Niss & Højgaard, 2011). Kopplat till matematik innebär det att:...mathematical competence comprises having knowledge of, understanding, doing, using and having an opinion about mathematics and mathematical activity in a variety of contexts where mathematics plays or can play a role. Niss & Højgaard (2011, s. 49) 17

Att vara matematiskt kompetent innebär inte enbart att ha kunskap inom ett område utan även att ha förståelse för matematiken samt att kunna använda den matematiska kunskapen. Detta användande ska kunna ske i olika kontexter och situationer, och att ha en åsikt om matematikens roll är också en del i att vara matematiskt kompetent (Niss & Højgaard, 2011). Denna beskrivning ger en generell och överskådlig syn på vad det innebär att vara matematisk kompetent, men definitionen kan ytterligare avgränsas. En matematisk kompetens beskrivs som en självständig och distinkt del av den matematiska kunskapen, och kan vidare sägas vara en förmåga, samt en beredskap, att kunna agera lämpligt vid olika matematiska utmaningar. Även om kompetenserna kan ses som distinkta och självständiga beskrivs det här hur dessa överlappar och beror av varandra: The fact that such competencies are independent and relatively distinct does not imply that the different competencies are unrelated to each other or that they are so sharply defined that there is no overlap. any one competency cannot normally be acquired or mastered in isolation from the other competencies. Niss & Højgaard (2011, s. 49) Även om Niss & Højgaard (2011) poängterar hur kompetenserna överlappar varandra finns en poäng att i denna studie tydligt särskilja dessa. Eftersom studien ämnar att empiriskt undersöka förekomsten av enskilda matematiska kompetenser blir den distinkta uppdelningen avgörande för presentationen av resultatet. En tydlig uppdelning minskar risken att ett fenomen kategoriseras inom flera olika kompetenser (Boesen m.fl., 2016). Kategoriseringen av de matematiska kompetenserna, som presenteras nedan, bygger i föreliggande studie på ramverket MCRF (Mathematical Competencies: a Research Framework) utarbetat av Lithner m.fl. (2010). Ramverket har i sin tur inspirerats av NCTM Principle and Standards (Midgett & Eddins, 2001) samt Niss & Højgaards (2011) KOM-projekt och syftar till att underlätta empiriska studier av matematiska kompetenser. MCRF:s definitioner av de matematiska kompetenserna utgör en grund till denna studies analysverktyg (se metod och material). 18

5.2.1 Problemlösningskompetens Med problemlösningskompetens menas kortfattat att ha förmågan att kunna formulera, representera samt lösa matematiska problem. Därutöver innebär kompetensen att kunna välja en passande och rimlig lösningsstrategi att använda sig av. Vidare definieras en problemlösande uppgift som en uppgift där en given strategi inte på förhand finns framskriven för eleven. Med detta i åtanke finns i MCRF:s definition endast två typer av uppgifter: problem eller ickeproblem (rutinuppgifter) (Kilpatrick m.fl., 2001; Lithner m.fl., 2010). Problem kan vara öppna eller stängda, rent matematiska eller anpassade efter en viss situation (Niss & Højgaard, 2011; Midgett & Eddins, 2001). Det faktum att en uppgift kan ses som ett problem för en elev men inte för en annan (Niss & Højgaard, 2011) har utelämnats ur denna studie, med tanke på att analysen har ett textperspektiv och inte ett elevperspektiv. Andra definitioner av problemlösning innehåller bland annat delar om att uppgiften ska vara krävande för eleven samt att den ska kunna lösas på olika sätt (Hagland, 2013; Niss & Højgaard, 2011). Dessa delar har utelämnats i definitionen för att tydligare kunna genomföra analysen av det empiriska materialet. Denna studie riktar sig, som nämnts, inte mot testandet av elevernas upplevelser av uppgifterna utan istället mot ett textperspektiv. Detta medför att problemlösningsdefinitionen exempelvis inte kan innefatta att ett problem ska vara utmanande, såsom t.ex. Hagland (2013) beskriver det. 5.2.2 Resonemangskompetens Resonemangskompetens handlar om att kunna resonera matematiskt. Kompetensen innebär att explicit kunna underbygga matematiska val med argument och matematiska bevis. Ett argument anses matematiskt då slutsatserna är sanna eller anses rimliga. Dessa slutsatser ska även förankras i matematiska komponenter såsom exempelvis begrepp eller objekt. Ett bevis behöver vara logiskt underbyggt med matematiska argument. I kompetensen ingår även att eleven ska kunna förstå och tolka argument, välja och använda matematiska argument för att stödja sina slutsatser samt kunna bedöma och utvärdera resonerande (Lithner, m.fl., 2010). De sistnämnda delarna har dock utelämnats i denna studies definition, med tanke på att förståelse och tolkning inte kan undersökas på uppgiftsnivå. 19

5.2.3 Procedurkompetens Med procedurkompetens innebär att kunna utföra matematiska procedurer. Med en procedur menas en sekvens av matematiska handlingar som är ett accepterat sätt att lösa en uppgift (Lithner, m.fl., 2010, s. 162, vår översättning). Att kunna använda en procedur innebär på så sätt att dessa matematiska handlingar utförs i syfte att lösa en uppgift. Kompetensen innebär dessutom att användandet av procedurer kan göras på ett rutinmässigt sätt där varje steg följer en bestämd ordning. En procedur kan även benämnas algoritm. Procedurkompetensen handlar om att kunna tolka procedurer, välja och använda procedurer för att lösa uppgifter samt bedöma och utvärdera resultat till följd av procedurer (Lithner m.fl., 2010; Palm, 2004). Huruvida elever tolkar och utvärderar procedurer ingår inte i denna studies analys med tanke på det redan nämnda textperspektivet. 5.2.4 Representationskompetens Med representationskompetens menas att ha kompetens att hantera och förstå olika representationer. Inom matematiken finns ett antal olika representationsformer som alla är sammanlänkade. Figur 1. Bild över representationsformer inom matematik (jfr Häggblom, 2013) Bilden visar hur alla fem representationsformer hänger samman och representerar ett begrepps olika former. Exempelvis kan en uppgift redovisas skriftligt, kopplas till en verklig händelse, 20

visas med ett konkret material (exempelvis klossar), skrivas med symboler eller ritas med en bild (Häggblom, 2013). Dessa representationsformer kan också nämnas som matematiska enheter och att förstå aspekterna av, samt relationerna mellan dessa ses som en del i representationskompetensen. Att kunna konkretisera matematiska enheter, både mentalt och i verkligheten är avgörande för denna kompetens. Eleven ska således kunna använda olika representationsformer för att kunna lösa problem och visa matematiska idéer (Lithner m.fl., 2010). 5.2.5 Kommunikationskompetens Med kommunikationskompetens innebär att kunna kommunicera med hjälp av bland annat symboler och begrepp. I kommunikation finns en sändare och en mottagare samt ett medium som används i överförandet av information. Det varierar vem avsändaren är men oftast är det exempelvis en textbok, en lärare eller en student och mottagaren är oftast en annan student eller lärare. Kommunikationskompetens innebär också att eleven ska kunna tolka och förstå skriven, muntlig och visuell information. I kompetensen ingår även att kunna formulera, konstruera och bedöma matematisk information (Boesen m.fl., 2016; Lithner m.fl., 2010). Återigen har delarna att tolka och förstå utelämnats då detta inte kan analyseras i och med studiens inriktning mot ett textperspektiv. 6. Metod och material Då studiens teoretiska utgångspunkter ovan definierats kommer detta kapitel att fokusera på hur dessa teorier kan appliceras i analysen av det empiriska materialet. I kapitlet kommer studiens metodiska val att underbyggas och diskuteras. De delar som presenteras är urval, analysverktyg, validitet och reliabilitet samt arbetsfördelning. 6.1 Urval De uppgifter som analyseras i denna studie är avgränsade till områdena aritmetik och algebra. Detta val baseras på att de är centrala delar i läroplanen (Skolverket, 2016b), samt på att en 21

övervägande del av uppgifterna i det empiriska materialet berör dessa områden. Uppgifter inom geometri, statistik, sannolikhet samt kombinatorik har utelämnats från studien. För att ytterligare begränsa vår analys har två läromedel, ett tryckt och ett digitalt valts ut. Läroboken Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) har valts ut som tryckt läromedel. Även fast det inte finns någon tillgänglig statistik på hur mycket böckerna används i skolorna, har författarna egna erfarenheter om att läromedlet används frekvent på många håll. Vidare är läroboken anpassad till LGR 11 (Skolverket, 2016b) och har tidigare varit ett uppskattat läromedel med goda resultat i Finland (Studentlitteratur, 2017). Det digitala matematikspelet Matte 3 - Rymdäventyret från Learning Excursions (2016) har valts ut som digitalt läromedel. Valet baseras på att läromedelsserien fått goda recensioner och rekommendationer på hemsidor där appar recenseras (itunes, 2017). Appen bygger precis som det tryckta läromedlet på läroplanen, vilket ger ytterligare relevans till valet av digitalt läromedel. Båda läromedlen riktar sig till elever i årskurs 3. De nedan presenterade Tabell 1 och 2 visar antalet uppgifter från de båda läromedlen uppdelat i det tryckta läromedlets kapitel samt de olika delarna av appen. Talen visar antal uppgifter som ingått i analysen av materialet, medan talen inom parentes är totala antalet uppgifter i läromedlen. I Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) har uppgifter innefattande flera steg (a,b,c,..) räknats som en uppgift. Tabell 1 - Uppgifter från Favorit matematik 3A Tabell 2 - Uppgifter från Matte 3 - Rymdäventyret Favorit matematik 3a Antal uppgifter Matte 3 - Rymdäventyret Antal uppgifter Kapitel 1 74 (113) Kapitel 2 96 (129) Kapitel 3 54 (74) Planet Bulbon 28 (34) Planet Skvar 17 (17) Planet Stellar 12 (24) Planet Dimondus 6 (30) Kapitel 4 73 (112) Planet Tritonus 24 (32) Problemlösning 33 (38) Totalt: 297 (428) Totalt: 120 (175) 22

I Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) innehåller varje kapitel övningar kopplade till sitt övergripande tema. Med läroboken medföljer även en CD med ett digitalt innehåll kopplat till varje kapitel. Denna har utelämnats då analysen av Favorit matematik 3A (ibid.) endast är ämnad att undersöka ett tryckt läromedel. Matte 3 Rymdäventyret är indelad i olika delar (kallat planeter) där varje del består av ett antal uppgifter som ska lösas i en spelmiljö. Problemlösningsdelen är avgränsad från den spelbaserade delen och dessa uppgifter förekommer således inte i de andra delarna. 6.2 Analysverktyg Som beskrivits i teorikapitlet ligger ramverket MCRF (Lithner m.fl., 2010) till grund för studiens utarbetade analysverktyg. Då kompetenserna redan definierats fokuserar detta kapitel på att visa kompetensernas indikatorer i text samt exemplifiera utifrån det empiriska materialet. Viktigt att poängtera är att inte alla delar av MCRF:s ramverk används i denna studie. Ramverket har modifierats där exempelvis sambandskompetens samt uppdelningen av kompetensrelaterade uppgifter (CRA) inte ingår i det utarbetade analysverktyget. Analysverktyget har utarbetats i syftet att undersöka uppgifter på textnivå och de indikatorer som beskrivs baseras på definitionerna av kompetenserna i MCRF, samt på innehållet i Häggblom (2013) och ramverket för PISA (OECD, 2009). Dessa ramverk innehåller båda exempel på uppgifter som kan relateras till varje enskild kompetens. Med utgångspunkt i dessa uppgifter har sedan liknande exempel från de analyserade läromedlen identifierats. Minst en uppgift från varje läromedel presenteras under varje kompetens för att exemplifiera innehållet i båda läromedlen. När ett analysverktyg konstrueras förekommer alltid ett ställningstagande om vad som ska räknas i analysen. Det kan vara vissa ord, teman eller vad som helst som går att urskilja i text. Egenskaperna som väljs ut brukar kallas variabler (Bergström & Boréus, 2012) men benämns i denna uppsats som indikatorer i text. Indikatorerna gör det möjligt att kunna identifiera när de olika kompetenserna testas i läromedlen. 6.2.1 Problemlösningskompetens indikatorer i text: En matematisk undersökning krävs för att lösa uppgiften Det finns ingen på förhand given strategi 23

Stängt problem: ett givet svar Öppet problem: flera möjliga svar Exempel 1. Problemlösning 7. Visa hur du löser uppgiften. Skriv svar. a) En klass har 32 elever. En dag är 8 elever hemma för att de är sjuka. Hur många elever är det i klassen den dagen? b) I en klass 3a är det 17 elever i klassen en dag. 8 elever är hemma för att de är sjuka. Hur många elever är det i klassen när alla är friska? Karppinen m.fl. (2013, s. 13) I uppgiften presenteras inte explicit någon strategi att använda och det finns heller inte något framskrivet exempel på en liknande lösning. Eleven behöver därför själv välja strategi för att kunna lösa problemet. Eftersom båda uppgifterna är uppbyggda på ett likartat sätt, och kan lösas med samma metod, skulle uppgift b) kunna ses som en rutinuppgift. Eftersom denna analys intar ett textperspektiv där inte elevens tidigare kunskaper kan analyseras anses dock båda passa in i problemlösningskompetensen. Uppgift a) kan lösas både genom att räkna 32-8 = 24, eller 8 + 24 =32. Exempel 2. Problemlösning Du ska lösa problemet genom att använda plockmaterial eller rita en bild som förklarar hur du tänker. Du kan också använda räknespråket eller skriva med ord. 9. Tangeli städar raketen på 3 timmar. För Sinosa tar det dubbelt så lång tid. Hur lång tid tar det om Tangeli och Sinosa städar raketen tillsammans? Learning Excursion, 2016 Här presenteras en uppgift utan någon framskriven metod för hur uppgiften ska lösas. I likhet med uppgiften i det tryckta läromedlet här ovan behöver eleven själv välja strategi för att kunna 24

lösa uppgiften. Uppgiften kategoriseras då, enligt analysverktyget, som en problemlösningsuppgift. Uppgiften är ett exempel på ett stängt problem med ett möjligt svar men kan lösas på olika sätt, exempelvis genom att rita en bild, göra en tabell eller genom att ställa upp en ekvation. 6.2.2 Resonemangskompetens indikatorer i text: Uppgifter där eleven uppmanas att visa sitt matematiska resonemang Uppgifter där eleven uppmanas att argumentera och/eller förklara sin lösning Exempel 3. Resonemang - Förklarande uppgift 5. Fyra barn ska dela 5 pajer lika. Hur mycket paj får varje barn? Hur kom du fram till ditt svar? Förklara. Karppinen m.fl. (2013, s. 181) Till uppgiften visas även en bild med fem pajer och fyra barn, samt två tomma cirklar med en uppmaning skriven att: Måla hur mycket varje barn får. Denna uppgift kategoriseras som ett testande av elevens resonemangskompetens. I och med att eleven inte bara ska lösa problemet och svara på uppgiften, utan även uppmanas att förklara blir det ett tillfälle att resonera matematiskt. Eleven ges här en möjlighet att föra ett matematiskt resonemang samt argumentera för detsamma. Att med hjälp av begrepp argumentera för sina matematiska slutsatser ses som centrala delar i resonemangskompetensen (Lithner m.fl., 2010). Exempel 4. Resonemang - Förklarande uppgift Du ska lösa problemet genom att använda plockmaterial eller rita en bild som förklarar hur du tänker. Du kan också använda räknespråket eller skriva med ord. 1. 22 barn ska resa med raketer. Det ryms tre eller fyra barn i varje raket. I hur många raketer kommer det att vara tre barn och i hur många är det fyra barn. Learning Excursion (2016) 25

Uppgiften ovan kategoriseras som övande av resonemangskompetensen. Som skrivits tidigare uppmanas eleven att på något sätt förklara hur hen tänkt för att komma fram till svaret på uppgiften. Uppgiften inbjuder till resonemang i fler än ett logiskt led. När eleven förklarar hur uträkningen genomförts erbjuder uppgiften till resonerande utöver själva uträkningen. Alla uppgifter som erbjuder eleven en möjlighet att förklara eller visa hur en uppgift är löst kategoriseras under resonemangskompetens. Resonemangskompetensen är något som ofta övas muntligt i klassrummet (Häggblom, 2013) men eftersom studien har ett textperspektiv kan endast det som indikeras i text tas i beaktning. 6.2.3 Procedurkompetens indikatorer i text: Algoritmiska uppgifter Exempel 7. Procedur - Algoritmer Räkna 32-2= Räkna 6+8= Karppinen m.fl. (2013, s.12; 32; 58) De tre ovan presenterade uppgifterna visar exempel på uppgifter som kategoriseras under procedurkompetensen. För att lösa dessa uppgifter krävs en algoritmisk uträkning som följer en 26

på förhand bestämd metod (Lithner, 2010). Eleven behöver välja en fungerande metod för en korrekt beräkning. Exempel 8. Procedur 4. Additionskombinationer Dra till rätt svar Learning Excursion (2016) Exemplet illustrerar en uppgift i det digitala läromedlet där procedurkompetensen tränas. Här erbjuder appen övande av hur vanliga rutinuppgifter löses. Här behöver eleven genomföra algoritmiska uträkningar för att lösa uppgiften korrekt. Med utgångspunkt i de ovan nämnda indikatorerna i text placeras således alla uppgifter som kräver någon typ av rutinmässig beräkning som procedurkompetens. Detta innebär beräknande med addition, subtraktion, multiplikation samt division (Häggblom, 2013). 6.2.4 Representationskompetens indikatorer i text: Uppgifter där olika representationsformer presenteras Uppgifter där eleven ges möjlighet att se samband mellan dessa olika representationer Exempel 5. Representation - Bildmodell och symboler 27

Matematiska kompetenser i läromedel Karppinen m.fl. (2013, s. 8) Uppgiften ovan kategoriseras som en uppgift relaterad till representationskompetens. Additions- och subtraktionsuppgifterna konkretiseras med hjälp av de blåa och gröna bollarna, vilket ger eleven en möjlighet att se sambandet mellan dessa och siffrorna/symbolerna. Detta visar exempel på hur matematiska symboler och bildmodeller sammanlänkas (Häggblom, 2013). Exempel 6. Representation - Bildmodell och symboler 18. Fyll i multiplikationstabellen 5x5 - Skriv i de saknade produkterna Learning Excursion (2016) Uppgiften är ett exempel som har kategoriserats som testandet av elevens representationskompetens. Uppgiften innehåller en kvadrat med tal mellan 1-25. Uppgiften går ut på att markera alla tal som saknas i femmans tabell. Multiplikationstabellen fungerar som en bildmodell som samspelar med talen i uppgiften, d.v.s. en koppling mellan bild och symbol. Ytterligare exempel på uppgifter som kategoriseras som representationskompetens är uppgifter där bilder, konkreta modeller, symboler eller vardaglig text samspelar (Häggblom, 2013). 6.2.5 Kommunikationskompetens indikatorer i text: Uppgifter som uppmanar till att eleven visa sin lösning Uppgifter som ger utrymme till att kommunicera med matematiska symboler, begrepp och uttrycksformer 28

Exempel 9. Kommunikation - Visa hur 3. Visa hur du löser uppgiften och skriv svar. a) På skolans vind finns 116 trästolar och 246 plaststolar. Hur många stolar finns det sammanlagt? Karppinen m.fl. (2013, s. 35) I denna uppgift uppmanas eleven att visa och skriva ner sin lösning. Detta kräver en kommunikativ förmåga och uppgiften hamnar därför under kommunikationskompetens. Att kunna kommunicera innebär att kunna visa sin lösning för en mottagare (Lithner m.fl., 2010). I denna uppgift blir läraren mottagare där eleven får visa sin lösning. Exempel 10. Kommunikation Du ska lösa problemet genom att använda plockmaterial eller rita en bild som förklarar hur du tänker. Du kan också använda räknespråket eller skriva med ord. 3. Kvaddy kastar tre tärningar. Summan blir 12. Vad kan tärningarna visa? Försök hitta så många förslag som möjligt. Hur många förslag hittar du om summan är 10? Learning Excursion (2016) Exemplet ovan kommer från problemlösningsdelen i appen och visar som de andra problemen prov på hur kommunikationskompetensen testas. Som nämnts tidigare uppmanas eleven att visa sina svar vilket tränar kommunikationskompetensen. Enligt definitionen som analysverktyget utgår från ska eleven kunna tolka och förstå information som kan vara både skriven, muntlig och visuell. Dessutom innebär kompetensen att kunna kommunicera sin lösning till en mottagare (Lithner m.fl., 2010). I uppgiften ska så många förslag som möjligt hittas, och visas, och på så sätt övas kommunikationskompetensen. Alla uppgifter som erbjuder eleven en möjlighet att visa sin beräkning placeras under kommunikationskompetens. Rita, skriva och använda symboler innebär alla sätt att kommuni- 29

cera sin lösning (Häggblom, 2013). Då matematiska symboler redan innan finns ditplacerade, exempelvis: - =, kategoriserats inte uppgiften som kommunikationskompetens. 6.3 Reliabilitet och validitet Hög reliabilitet uppnås ifall det iakttagits en hög noggrannhet vid mätningarna och om resultatet blir detsamma vid en andra mätning, eller om mätningen skulle genomföras av någon annan. Om en annan person kan rekonstruera forskningen och kommer fram till samma resultat anses intersubjektiviteten vara god (Bergström & Boréus, 2012). Innan materialinsamlingen genomfördes en pilotstudie där tio slumpade uppgifter, från båda läromedlen, analyserades av båda författarna. En pilotstudie innebär att analysverktyget används på en liten del av det material som analysen avser. Fördelen med detta är att eventuella problem kan identifieras och korrigeras (Bergström & Boréus, 2012). Efter den inledande insamlingen jämfördes resultaten med varandra, vilket visade att samma resultat uppnåtts i 8 av 10 analyserade uppgifter. I de två uppgifter som inte överensstämde var det resonemangskompetensens förekomst som skapade osäkerhet. Uppgifterna diskuterades då tills en samstämmighet i bedömningen nåddes och analysverktyget korrigerades därefter. I det vidare arbetet med analysen fördes ständigt diskussioner mellan författarna där uppgifternas innehåll låg i fokus. Det skulle kunna ifrågasättas att tio uppgifter är för lite för att fastställa att reliabiliteten och intersubjektiviteten i pilotstudien är god. Men med tanke på att analyserna av de båda läromedlen skedde simultant samt att de resultat som inte överensstämde diskuterades kan ändå reliabiliteten och intersubjektiviteten anses hög. Validitet innebär att den metod som används mäter det som den faktiskt ämnar att mäta (Bergström & Boreus, 2012). Som Kilpatrick (1992) skriver måste frågan ställas ifall forskningsmetoden har möjliggjort att studiens syfte faktiskt har uppfyllts. Studiens framarbetade analysverktyg stärker studiens validitet och möjliggör samtidigt uppfyllandet av syftet: att identifiera samt jämföra matematiska kompetenser i ett digitalt respektive ett tryckt läromedel. Validiteten kan anses hög då verktyget även är kopplat till PISA:s ramverk (OECD, 2009) samt till Häggbloms (2013) forskning. Indikatorerna i text, som är en del av verktyget, gör det tydligt vad som söks i läromedlen. I likhet med att validiteten höjs av analysverktyget kan även reliabiliteten sägas stärkas. Analysverktyget kan användas på vilket matematiskt läromedel som helst för att identifiera kompetenserna. Att vem som helst skulle kunna använda verktyget för 30

att genomföra en analys på denna studies empiri kan dessutom visa på hög intersubjektivitet. För att en hög intersubjektivitet ska kunna uppnås behöver forskning argumenteras för grundligt. Det kan exempelvis ske i form av citat från texter eller beskrivningar av olika bilders detaljer (Bergström & Boréus 2012). Att så sker i denna studies analysverktyg stärker således reliabiliteten i arbetet. Med det sagt kan exemplen som ingår i analysverktyget å ena sidan höja studiens reliabilitet, men å andra sidan bli föremål för tolkning, vilket då istället sänker reliabiliteten. Det senare argumentet går dock att tillbakavisa då exemplen ska ses som just exempel och ändå kan appliceras på andra läromedel. I övrigt är det också viktigt att komma ihåg att analysverktyget inte mäter på vilken nivå kompetenserna testas eller hur uppgifterna varieras. Exempelvis kan inte analysen besvara vilken svårighetsgrad problemlösningen ligger på, vilka representationsformer som samspelar eller vilken typ av procedur som förekommer mest frekvent i läromedlen. Vid materialinsamlingen fördes kontinuerligt protokoll över identifierade kompetenser. Då flera kompetenser identifierades i en och samma uppgift prickades alla dessa in. När alla uppgifter analyserats räknades den totala mängden kompetenser samman och den procentuella fördelningen fördes in i ett diagram. Eftersom analysen genomfördes enskilt fördes anteckningar kontinuerligt under hela processen. Vid tveksamheter kring klassificering av en uppgift markerades detta i dokumenten för att sedan kunna diskuteras författarna emellan. Detta för att öka samstämmigheten och minska oklarheter i klassificeringen, vilket skulle kunna sägas styrka både studiens reliabilitet och validitet (Bergström & Boréus, 2012). 6.4 Arbetsfördelning Då vi är två författare till denna uppsats har analysen delats upp mellan oss båda. Erik ansvarar för analysen av boken Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) medan Anton ansvarar för analysen av det digitala läromedlet, appen Matte 3 Rymdäventyret (Learning Excursion, 2016). Analysuppdelningen har inneburit att båda, var för sig, tagit fram exempel till analysverktyget och underbyggt detta utifrån de teoretiska ramarna. Därutöver har insamlandet av empiriskt material samt sammanställningen av resultaten gjorts individuellt. Under analysen har dock en ständig diskussion förts mellan oss, och vi har samarbetat för att undvika oklarheter. Samarbetet har bidragit till en ökad insikt i varandras analysarbete och även gett oss en 31

större inblick i ämnet i stort. I övrigt har uppsatsen skrivits tillsammans där båda bidragit med både informationshämtande och skrivande i alla kapitel. 6.5 Forskningsetiska principer De forskningsetiska principerna har inte behövt beaktas i någon större utsträckning, då studien varken innefattar observationer eller intervjuer. För att undvika att upphovsrättsliga bestämmelser bryts har de båda läromedelsförlagen kontaktats och tillåtelse att använda bilder från de båda läromedlen har beviljats (Karlsson, 2017; Torres, 2017). 7. Resultat Studiens syfte om att undersöka de matematiska kompetensernas förekomst i läromedel besvaras i de nedan beskrivna resultaten. Kapitlet inleds med en beskrivning av de identifierade kompetenserna, där resultaten är uppdelade efter det tryckta och det digitala läromedlet. Diagram 1 visar resultatet från Favorit matematik 3A och Diagram 2 för Matte 3 Rymdäventyret. Den andra delen av resultatet visar en sammanställning av resultaten där de båda läromedlen jämförs, vilket visas i Diagram 3. 7.1 Kompetenser i Favorit matematik 3A I läromedlet Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) analyserades 297 uppgifter. Diagram 1 visar resultatet av analysen där staplarna visar den procentuella förekomsten av de matematiska kompetenserna i läromedlet. Diagram 1. Resultat för Favorit matematik 3A 32

Resultatet från analysen av Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) visar att i princip alla (95%) uppgifter identifieras som procedurkompetens. Representationskompetensen är också relativt vanligt förekommande där över hälften av uppgifterna kategoriserats inom den kategorin. Vidare visar resultatet att 39% av uppgifterna uppmanar eleverna till att kommunicera matematiskt. De två kompetenser som förekommer mer sällan är problemlösningskompetensen och resonemangskompetensen. Ungefär en femtedel av uppgifterna innefattar ett problemlösande moment och resonemangskompetensen identifierades i endast 7% av de analyserade uppgifterna. Delar av resultatet överensstämmer med flera tidigare genomförda studier. Vad gäller resonemangskompetensen har även tidigare studier visat på att resonemangsuppgifter förekommer i låg utsträckning i matematikläromedel (Jäder, 2015; Stylianides, 2009). Däremot går andra delar av resultatet emot tidigare studier. Även om problemlösning i denna analys förekommer mer sällan än andra kompetenser, visar resultatet på större förekomst än i andra undersökningar. Exempelvis Brehmer & Van Steenbrugges (2016) studie som visade att endast 5,45% av uppgifter i svenska matematikläromedel riktade mot gymnasiet, innehåller problemlösning. 33

7.2 Kompetenser i Matte 3 - Rymdäventyret Precis som i diagram 1 visar diagram 2 i vilken utsträckning kompetenserna identifierades i uppgifterna. Diagram 2 presenterar resultatet av det digitala läromedlet Matte 3 Rymdäventyret (Learning Excursion, 2016) där 120 uppgifter ingått i analysen. Diagram 2. Resultat för Matte 3 - Rymdäventyret I likhet med resultatet från det tryckta läromedlet framkommer det att procedurkompetensen är den kompetens som förekommer i flest uppgifter. Som diagrammet ovan visar identifierades procedurkompetensen i samtliga 120 analyserade uppgifter. Näst efter procedurkompetensen förekom representationskompetensen i högst utsträckning. Den testas i över 8/10 uppgifter och dessa två kompetenser utmärker sig på så sätt från de övriga kompetenserna. Procedur- och representationskompetenserna är de två kompetenser som med marginal identifieras i flest uppgifter. Detta beror på att varken problemlösnings-, resonemangs- eller kommunikationskompetensen ingår i någon annan del av appen än i problemlösningsdelen. I den spelbaserade delen av appen erbjuds således inget övande av några andra kompetenser än procedur eller representation. I problemlösningsdelen förekommer däremot de andra kompetenserna i samtliga uppgifter och problemlösningsdelen utgör knappt 30% av alla uppgifter i appen (33/120). Detta resultat går emot tidigare forskning som visat på ett lågt innehåll av problemlösningsuppgifter i svenska matematikläromedel. Där endast 5,45% av 5722 uppgifter innehöll problemlösning (Brehmer & Van Steenbrugge, 2016). Även förekomsten av 34

kommunikationskompetensen skiljer sig från tidigare forskning. I det digitala läromedlet testades kommunikationskompetensen i 28% av alla uppgifter medan Boesens m.fl. (2016) forskning visade på en klart högre förekomst av kommunikationstestande i sitt undersökta material. 7.3 Jämförelse mellan läromedlen För att besvara studiens syfte om att jämföra ett digitalt respektive ett tryckt läromedel har det analyserade materialet sammanställts. Precis som i de övriga diagrammen visar staplarna förekomsten av kompetenser i läromedlen. Diagram 3. Sammanställning av resultat Som diagrammet visar förekommer fyra av de fem undersökta kompetenserna mer frekvent i det digitala än i det tryckta läromedlet. Dessa kompetenser är problemlösnings-, resonemangs-, procedur- samt representationskompetens. Vad gäller procedurkompetens och problemlösningskompetens visar dock diagrammet på liknande resultat från de båda läromedlen. Båda domineras av procedurkompetens medan problemlösningskompetens förekommer mer sällan (20% i det tryckta och 28% i det digitala läromedlet). Resonemangs- och representationskompetenserna förekommer å andra sidan betydligt mer frekvent i det digitala läromedlet. Gällande resonemangskompetens går resultatet från det digitala läromedlet emot andra studier som undersökt matematikläromedel, då resonemangskompetensen tidigare identifierats i en begränsad andel av uppgifter som analyserats (Boesen m.fl., 2016). Den enda kompetens som 35