Lösningsförslag till Problem i kapitel 5 i Mobil Radiokommunikation

Transkript

1 Lösningsförslag till Problem i kapitel 5 i obil Radiokommunikation 5. Rayleighfädande kanal med medelsignalenergin/bit Ws. AVGB med spektraltätheten N / W/Hz. ottagare som fungerar tillfredsställande med ett signalbrusförhållande [γ ] db > 4 db. a) Bråkdel av tiden som [γ ] db < 4 db. b) insta antal valdiversitetskanaler för att bråkdelen av tiden som [γ ] db < 4 db, efter sammanvägning, skall bli mindre än,. γ N 5 Ws W/Hz Lägsta SNR γ 4/,5 som mottagaren klarar. a) Bestäm hur stor del av tiden som Γ < γ. Kanalen är rayleighfädande signalbrusförhållandet Γ är exponentialfördelat: P Γ (γ) e γ/γ för γ för γ < P(Γ < γ ) P Γ (γ ) e γ /γ e,5/5,49 d.v.s. [SNR] db < 4 db under 5 % av tiden. b) Fördelningsfunktionen för en godtycklig gren i är P Γi (γ) e γ/γ för γ för γ < γ 5 Fördelningsfunktionen för diversitetssystemets resulterande Γ är P Γ (γ) P(Γ < γ) P(Γ < γ,γ < γ,,,γ < γ) {oberoende grenar} (P(Γ i < γ)) P Γi (γ) e γ/γ för γ för γ < I vårt fall är γ γ 4/,5 och P(Γ < γ ) P Γ (γ ) e γ /γ 4

2 e,5/5 4 varav 3,5 välj Ett diversitetssystem med okorrelerade och rayleighfördelade grenar, var och en med samma medel-snr, γ. Beskrivning av tre olika sammanvägningsmetoder samt approximativ fördelningsfunktion för signalbrusförhållandet för var och en efter sammanvägning om antalet grenar,, är stort. Ledning: Summan av ett stort antal grenar är approximativt normalfördelad. I Valdiversitet - välj bästa gren. F Γ (γ) P(Γ i < γ) e γ/γ II Optimalviktsdiversitet - sammanväger samtliga grenar med optimalvikt. edelvärdet av signalbrusförhållandet, Γ i, i varje gren är γ. edelvärdet av summan av grenars signalbrusförhållande, alla med samma fördelning, är γ. Variansen för varje gren vid rayleighfördelning är γ. Variansen för grenar är γ. Centrala gränsvärdessatsen ger då att resulterande γ är normalfördelat enligt γ N γ, γ med fördelningsfunktionen III F Γ (γ) Φ γ γ γ Likaviktsdiversitet - sammanväger samtliga grenar med samma vikt. Den sammanvägda enveloppen ges då av uttrycket (5.) på sidan 86: A A i i där A i är rayleighfördelad medan den resulterande signalens SNR ges av (5.) på samma sida:

3 γ A N N Då är stort är A i i z A i i, enligt centrala gränsvärdessatsen, approximativt normalfördelad med, se (.54) och (.55) på sidan 74: E[A i ] σ π σ Ai σ π 4 och z N σ π, σ π 4 Vi kan nu skriva. γ g(z) där N z N γ z. Täthetsfunktionen för γ blir: p Γ (γ) df Γ (γ) dγ df Z(g(z)) dz p Z(z) g (z) p Z(z) z N Nγ z dz dg(z) df Z(g(z)) dz dg(z) dz σ Z π exp N Fördelningsfunktionen: P Γ (γ) γ p Γ (x) dx N γ σ Z N γ m Z N x v substitution: x v N dx v N 3

4 N σ Z π N γ v exp v m Z σ Z N v dv σ Z π N γ exp v m Z σ Z dv v m Z t σ Z σ Z dt dv σ Z π N γ m Z σ Z e t / dt Φ N γ m E Z b σ Z Φ N γ σ π σ π 4 γ σ N Φ N γ σ N π N σ N π 4 Φ γ γ π 4 γ π Rayleighfädande kanal på vilken sänds datameddelanden med BPSK. edelsignalbrusförhållandet γ 3/. a) Felsannolikheten utan diversitet. b) Antalet diversitetskanaler om felsannolikheten skall minska till 5. Sammanvägningsmetoden är optimalviktsdiversitet. c) Felsannolikheten för en kanal enbart störd av AVGB och med samma signalbrusförhållande. a) γ 3/ 9,95. Eftersom γ kan vi använda (4.39) på sidan 54: 4

5 P f 4γ 4 9,95 b) Enligt (5.4) på sidan 95 ges villkoret för bitfelssannolikheten vid optimalviktsdiversitet och PSK vid SNR > av följande olikhet: P fd Pröva olika värden på,5 4γ < 5 P fd 5.4 Välj 4. c) Enligt (4.) på sidan 47 är bitfelssannolikheten vid AVGB: Paketradiosystem där paketlängden koherenstiden varje paket upplever kanalen som konstant, d.v.s. långsam flat rayleighfädning. Paketen mottas korrekt om [SNR] db > db γ mot. edel-[snr] db [γ ] db db i basstationen. a) Sannolikheten att meddelandet tas emot korrekt. b) Sannolikheten att, om det finns ytterligare en basstation med medel- [SNR] db 5 db, ett av meddelandena tas emot korrekt., 4,7 4 3, 5 4 8,6 7 P PSK Q γ Q 9,95 Q 6,37,3 SNR i den första basstationen kallas Γ. a) P{Γ > γ mot } γ mot p(γ) dγ e γ/γ dγ e γ/γ γ γmot γ mot e γ mot/γ exp / / e, 9 % 5

6 5.5 b) För den andra kanalen med medel-[snr] db 5 db gäller på samma sätt att P{Γ > γ mot } exp /,79 5/ Om kanalerna är oberoende gäller: P{max(Γ,Γ ) > γ mot } P{max(Γ,Γ ) < γ mot } P{(Γ < γ mot ) (Γ < γ mot )} P{Γ < γ mot } P{Γ < γ mot } (,95)(,79) +,79 +,95,95,79, % Ett valdiversitetssystem för mottagning av meddelanden modulerade med DPSK. Kanalen är utsatt för långsam rayleighfädning. edelsignalbrusförhållandet i varje gren är [γ ] db db. Bitfelssannolikheten för en, två och tre oberoende diversitetsgrenar. Diversitetssystemets bitfelssannolikhet ges av uttrycket (5.35) på sidan 95: P fd där för fallet DPSK P e (γ) P DPSK, fixt γ, ges av uttrycket (4.3) på sidan 47: medan täthetsfunktionen, p(γ), för SNR i valdiversitetssystemet ges av (5.7) på sidan 8: I P e (γ )p(γ ) dγ P e (γ) P DPSK e /N e γ p(γ ) γ exp γ γ exp γ γ P fd e γ e γ γ/γ dγ exp γ + dγ γ γ 6

7 γ + exp γ + γ γ γ + γ γ + γ ( + ),45 ; jämför även med uttrycket (4.35) på sidan 53. II P fd e γ e γ γ/γ e γ/γ dγ exp γ γ + exp γ γ + γ γ γ dγ γ Jämför detta resultat med det, för stora värden på SNR, angivna approximativa uttrycket (5.44) på sidan 97: III 3 γ γ + exp γ γ + γ + γ γ + exp γ γ + γ. γ + γ + + 7, P fd γ 7,5 3 P fd e γ 3 e γ γ/γ e γ/γ dγ γ 3 exp γ γ + γ e γ/γ + e γ/γ dγ γ 3 exp γ γ + exp γ γ + + exp γ γ + 3 γ γ γ dγ 3 γ γ γ + γ γ + + γ γ ,75 3. Jämför detta resultat med det, för stora värden på SNR, angivna approximativa uttrycket (5.44) på sidan 97: 7

8 P fd 3 γ 3 3, Ett två-kanals valdiversitetssystem med icke-koherent FSK. Båda kanalerna är utsatta för långsam flat rayleighfädning och har lika stor medeleffekt. inskningen i medeleffekt i förhållande till ett system utan diversitet om felhalten uppgår till 4. I Utan diversitet edelsignalbrusförhållandet γ fås av (4.39) på sidan 54: P varav γ 4 f γ 4 II ed två-kanals valdiversitet Diversitetssystemets bitfelssannolikhet ges av uttrycket (5.35) på sidan 95: P fd P e (γ )p(γ ) dγ där för fallet icke-koherent FSK P e (γ) P IK, uttrycket (4.7) på sidan 48: fixt γ, ges av P e (γ) P IK e /N e γ / medan täthetsfunktionen, p(γ), för SNR i valdiversitetssystemet ges av (5.7) på sidan 8: p(γ ) γ exp γ γ exp γ γ Bitfelshalten kan nu tecknas:. P fd e γ/ e γ γ/γ e γ/γ dγ exp γ γ + exp γ γ + 4 γ γ γ dγ 8

9 5.7 varav γ 97 [γ ] db,9 db, d.v.s. 4,9 7, db lägre medelsignalbrusförhållande än utan diversitet. Jämför även med det approximativa uttrycket (5.46) på sidan 97 gällande för γ : varav γ 73, [γ ] db,4 db, d.v.s. en skillnad på,5 db i förhållande till det mer exakta uttrycket. Flat rayleighfädande paketrundradiosystem. edelsignalbrusförhållandet i mottagaren är [γ ] db 45 db medan korrekt mottagning minst kräver 3 db γ mot. Koherenstiden paketlängden paketen upplever kanalen som konstant. a) Sannolikheten att ett paket tas emot korrekt. b) Sannolikheten att ett paket tas emot korrekt om det finns ytterligare en oberoende antenn med medel-[snr] db 4 db och att endast en antenn behöver ta emot meddelandet korrekt. γ γ γ + exp γ γ + γ + γ γ + 4 exp γ γ + 4 γ γ + γ P fd γ γ - 4 a) Signalbrusförhållandet i huvudmottagaren kallas Γ. P{Γ > γ mot } γ mot p(γ) dγ e γ/γ dγ γ γ mot e γ/γ γmot e γ mot /γ exp 3/ 97 % 45/ b) För den andra antennen med medel-[snr] db 4 db gäller på samma sätt att P{Γ > γ mot } exp 3/,95 4/ Om kanalerna är oberoende gäller: 9

10 5.8 P{max(Γ,Γ ) > γ mot } P{max(Γ,Γ ) < γ mot } P{(Γ < γ mot ) (Γ < γ mot )} P{Γ < γ mot } P{Γ < γ mot } (,969)(,95) +,95 +,969,95,969,997 99,7 %. En kanal med långsam flat rayleighfädning modulerad med icke-koherent FSK medan datatakten är 36 kbit/s. Bitfelssannolikheten är 7 3. Antalet valdiversitetsgrenar för att nedbringa felhalten till 6. Enligt (5.7) sidan 8 är täthetsfunktionen vid valdiversitet med grenar: p(γ ) γ exp γ γ exp γ γ edelsignalbrusförhållandet γ fås enligt (4.39) på sidan 54:. P f γ 7 3 varav γ 43. Enligt (4.36) sidan 53 är bitfelssannolikheten vid fixt SNR P e (γ ) e γ /. Enligt (5.35) på sidan 95 kan vi nu teckna bitfelssannolikheten för diversitetsarrangemanget: P fd P e (γ)p(γ) dγ γ e γ/ e γ/γ e γ/γ dγ γ e γ/ γ/γ e γ/γ i i e γ/γ i dγ i γ ( ) i i exp γ + γ + i γ dγ

11 i γ ( ) i i γ + + i γ exp γ γ + + i γ 5.9 Kravet är att P fd 6. ed γ 43 provar vi olika värden på. 3 4 Välj 4! En radiokommunikationslänk utsatt för flat rayleighfädning. För önskad överföringskvalitet krävs att [SNR] db [γ mot ] db db. edel- [SNR] db är db. För att uppnå tidstillgängligheten 98 %, är systemet kompletterat med ett frekvensvaldiversitetsarrangemang där tillgänglig effekt delas mellan ett antal olika frekvenskanaler. i γ ( ) i i a) Antal diversitetskanaler för att uppnå tidstillgänglighetskravet. b) Största möjliga tidstillgänglighet. a) ed är medelsignalbrusförhållandet i den enda kanalen γ. γ γ + + i P fd γ P fd γ + γ P fd 3 γ + γ γ P fd 4 γ + 3 γ γ + 6 γ Enligt (.6) på sidan 76 är tidstillgängligheten: T till P{Γ > γ mot } γ mot e γ/γ dγ e γ mot/γ exp /,95 γ / ed är medelsignalbrusförhållandet i var och en av de två

12 kanalerna γ. Tidstillgängligheten blir 5 T till P{Γ > γ mot } P{Γ γ mot } P{Γ,Γ γ mot } P{Γ γ mot } P{Γ γ mot } exp γ mot γ exp,967 5 ed 3 är medelsignalbrusförhållandet i var och en av de tre kanalerna γ T till exp γ mot γ. Tidstillgängligheten blir b) Allmänt kan tidstillgängligheten för det angivna frekvensvaldiversitetsarrangemanget tecknas: T till ( e, ) Pröva olika värden på : 3 exp 3 4 T till ( e,4 ) 4,988 5 T till ( e,5 ) 5,996 6 T till ( e,6 ) 6,996 7 T till ( e,7 ) 7,998 8 T till ( e,8 ) 8,995 7 ger maximal tidstillgänglighet 99, % 3,98 98 %