Bråk i mellanstadiet. Självständigt arbete II, 15 hp. - hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån delar och helhet i årskurs 4

Transkript

1 Självständigt arbete II, 15 hp Bråk i mellanstadiet - hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån delar och helhet i årskurs 4 Författare: Lars Magnusson Handledare: Oduor Olande Examinator: Constanta Olteanu Datum: Kurskod: 4GN04E Ämne: Matematik Nivå: Avancerad nivå

2 Svensk titel Bråk i mellanstadiet - hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån delar och helhet i årskurs 4 Fractions in middle school how teachers and teaching aids present part-whole fractions in grade 4 Abstrakt Bråktal visar sig i fler aundersökningar vara ett av de mest problematiska områden för elever att lära. Flera forskare menar att detta beror på att bråktal inte är lika vanligt förekommande i vardagssituationer längre. De är dock viktiga och de tidiga prestationerna inom bråktal korrelerar med allmänna matematiska kunskaper senare i skolåren. För att förvärva kunskaper inom bråkområdet är förståelse viktig och genom att arbeta med begreppsförmågan kommer förståelse också att uppstå. Detta görs inledningsvis genom att låta eleverna möta bråktal genom olika former och representationsformer för att sedan slussa över dem till symboler. Genom att analysera hur läraren presenterar bråkbegreppet i mellanstadiet och hur undervisningen planeras utifrån läromedel och konkreta material kan förståelse skapas för varför bråktal visar sig problematiskt för så många. Nyckelord Bråk, del av helhet, helhet, undervisning, variationsteori Populärvetenskaplig sammanfattning Studien syftar att synliggöra hur lärare väljer att utforma sin matematikundervisning. Undervisningen baseras på olika slags läromedel, bland annat lärobok och digitala läromedel, samt lärarens egna planeringar med hjälp av bland annat konkret material. För att ge möjlighet att utreda syftet undersöktes presenterade aspekter av bråktal med inriktning på delar av helhet i undervisningen. Lärare observerades och intervjuades för att synliggöra deras uppfattningar och läromedlet i form av lärobok analyserades för att kunna klargöra dessa aspekter. Hur aspekterna presenterades låg även i fokus vid undersökningen. Studiens resultat tydliggör att aspekter är avgörande för bråktalens förståelse presenteras i undervisningen av olika grad. Konkret material och olika former används för att skapa förståelse för de komplicerade bråktalen speciellt inom delar av helhet. Lärarens arbetssätt visar sig vara den vital för möjligheten till en god undervisning. Hur läraren väljer att komplettera den bild av bråktal läromedlet presenterar är grunden för att eleverna ska skapa goda kunskaper. På grund av att lärarens centrala roll synliggörs i resultatet är det av yttersta vikt att läraren undersöker alternativa vägar i sin undervisning, istället för att förlita sig på en undervisningskälla. Digitala läromedel och konkret material bör ges plats i undervisningen för att skapa motiverade och kunniga elever. 1

3 Tack Efter att ha lagt ner mycket tid och energi på studier under dessa fyra år finns det flera nyckelpersoner att tacka, två av dem har varit viktigare än andra. Först vill jag tacka min dotter Isa. Du har en förmåga att alltid få mig på bra humör och jag är stolt över att få kalla mig för din pappa. Jag vill även tacka den person som har ställt upp för mig och hela tiden fått mig att försöka bli lite bättre. Linn, tack för ditt stöd under dessa fyra år. Utan dig hade det inte gått så bra som det gjort. Du får mig att prestera ännu bättre och att ha dig i min närhet kommer att göra mig till en bättre lärare, men framförallt en bättre person. Vi är en liten bit på vägen och det ska bli väldigt spännande att se vart vi hamnar. Tack! 2

4 Innehållsförteckning 1. Inledning 4 2. Syfte Frågeställning 4 3. Litteraturöversikt Vad är bråk? Bråktalens skepnader Begrepps- och procedurförmåga Bråktalens komplexitet Missuppfattningar om det hela Bråk i undervisning Bråk i läromedel Teoretisk ansats Variationsteorin Lärandeobjekt Kritiska aspekter och kritiska drag Variationsmönster Metod Metodologisk ansats Genomförande Läromedelsanalys Intervju Observation Urval Validitet och reliabilitet Etiska principer Resultat Undervisningens utformning Identifierade aspekter Analys av empiri Helhet Lika stora delar Täljare och nämnarens betydelse Ekvivalenta uttryck Bråktalens koppling till decimaltal och procent Diskussion Metoddiskussion Läromedelsanalys Intervju Observation Resultatdiskussion Slutord och förslag till framtida studier Slutsats 30 Bilagor 35 Bilaga 1 - Observationsschema 35 3

5 1. Inledning Idag tar bråktal inte lika stor plats i vardagen till skillnad mot tidigare (Kilborn, 2014). De förekommer dock i gymnasiematematiken vilken de flesta av dagens elever läser. Tonas vikten av bråk ner i grundskolan resulterar det därmed i att elevernas möjligheter till utbildning försämras (Kilborn, 2014). Skolverket (2016:64) skriver i läroplanens centrala innehåll att eleverna fram till årskurs 6 ska ha arbetat med tal i bråkform och hur de förekommer i vardagliga situationer, rationella tal och deras egenskaper samt att jämföra tal i bråkform, decimalform och procent. Bråk är därmed en betydande del i läroplanens (Skolverket, 2016) centrala innehåll men berörs även i dess syfte i form av att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet (Skolverket, 2016:62). Internationella undersökningar som TIMSS (Mullis, 2008) och PISA visar bristande bråkkunskaper hos svenska elever. Charalambous och Pitta-Pantazi (2007) skriver att bråktal till och med är ett av de mest problematiska delarna av matematiken, historiskt sett. Problem visar sig både i grundskolan och gymnasiet vilket indikerar dess omfattning. Eftersom 90 % av eleverna i de svenska skolorna har en undervisning vilken baseras på ett läromedel utgör dess presentation av bråkbegreppet en viktig del till elevernas förståelse (Mullis, 2008). När jag har talat med matematiklärare om problematiska matematiska begrepp nämner de flesta bråk. Vid observationer av lärare under deras matematikundervisning har det även varit tydligt att de baserat stor del av sin undervisning med hjälp av ett eller flera läromedel, oftast i form av en lärobok. Vissa lärare undersöker sedan vilka aspekter läromedlen presenterar för att kunna planera sin undervisning utifrån upptäckerna. Lärarnas medvetenhet kring elevernas svårigheter inom bråk gör att de reflekterar över sin undervisning för att ge eleverna bästa möjliga förutsättningar att skapa förståelse. Elevers matematiska bråkprestationer under de tidiga skolåren korrelerar med elevernas allmänna matematiska prestationer under senare år (Lortie-Forgues, Tian & Siegler, 2015; Torbeyns, Schneider, Xin & Siegler, 2014). Inlärning av algebra försvåras även om bråkkunskaper saknas vilket är avgörande för att klara av matematik senare under skolgången. För att kunna förstå ekonomi men även andra viktiga delar i samhället, som tidningar, behövs grundläggande bråkkunskaper (Lortie-Forgues m.fl., 2015). Bråktalens betydelse är därmed omfattande, inte bara för möjligheten till god och jämlik utbildning (Kilborn 2014), det är också en förutsättning för att kunna fatta beslut i vardagen avgörande för vårt samhälle. 2. Syfte Studiens mål är att synliggöra hur matematikundervisningen utförs i årskurs 4 på en skola i sydöstra Sverige. Syftet med studien är att undersöka hur lärare väljer att presentera bråkbegreppet med hjälp av läromedel samt hur lärarens undervisning stimulerar elevernas förståelse av bråkbegreppet med fokus på delar och helhet. 2.1 Frågeställning Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras i läromedlet för årskurs 4- elever? 4

6 Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras av läraren för elever i årskurs 4? Hur presenterar lärare bråkbegreppets delar och helhet för elever i årskurs 4? 3. Litteraturöversikt I det här kapitlet presenteras tidigare forskning kring bråktal. Först kommer bråk i allmänhet presenteras tillsammans med dess bakgrund. Olika skepnader av bråk kommer att belysas i form av del av helhet, del av antal, bråk som tal, förhållande och skala. Vanliga missuppfattningar inom bråk kommer att redogöras för samt hur lärare bör arbeta med bråk för att vägleda elever mot förståelse av de komplicerade bråktalen. Till sist kommer läromedels uppbyggnad att presenteras eftersom en läromedelsanalys genomförs i studien. 3.1 Vad är bråk? Bråktal uttrycker andelar av ett antal eller en mängd och består av en till synes ofullständig division (utan kvot) av två naturliga tal (McIntosh, 2009). Det övre talet kallas täljare, det undre nämnare och skiljs åt med ett bråkstreck ( 1 ). Ordet nämnare 2 beskriver bråktalets andelars beteckning, vilket kan vara sjättedelar om helheten är delad i sex delar. Ordet täljare härstammar från ordet tälja och är ett gammalt svenskt uttryck för berätta eller att räkna antal (McIntosh, 2009). Täljaren beskriver antal delar av nämnaren. Bråktals fördel mot decimal- och procenttal är att de kan uttrycka exakta kvoter medan till exempel decimaltal inte alltid kan det (McIntosh, 2009). Dess samband med procent och decimaltal gör bråktal viktiga trots att bråktal sällan används i dagens samhälle (McIntosh, 2009) Bråktalens skepnader Karlsson och Kilborn (2015b) skriver att bråktal presenteras genom olika skepnader. Del av helhet, del av antal, tal på en tallinje, förhållande samt skala nämns som exempel. Skolans vanligast förekommande skepnader är del av helhet, del av antal samt relation (Häggblom, 2012). Karlsson och Kilborn (2015a) skriver också att del av helhet och del av antal är central i undervisningen men att bråk som tal försakas. Del av helhet Häggblom (2012) skriver att del av helhet är det vanligast förekommande avsnittet av bråk i skolans läromedel. För att skapa förståelse för del av helhet ska helheten vara tydligt avgränsad samt varieras i storlek och form. Häggblom (2012) betonar även att delarna initialt ska vara av samma storlek när de presenteras för eleverna. Del av antal Till skillnad från del av helhet består del av antal av flera indelade objekt (Häggblom, 2012). Svårigheter att skilja mellan del och antal sker ofta och är ett hinder för förståelse. Om fyra kuber presenteras och tre är färgade, är antalet färgade kuber tre. Andelen färgade kuber är 3 4. Med del av antal är det viktigt att konkretisera räkneoperationer på flera olika sätt och uttrycksformer. Del av antal kan också användas med hjälp av likadelning. När 6 delar delas in i till exempel grupper med 2 eller 3 delar med lika många i varje del är exempel på likadelning. Häggblom (2012) skriver att när 5

7 barnen arbetar på detta sätt uppfattar de talens del och kopplas ihop med multiplikation, vilket förenklar arbetet med svårare bråktal. Bråk som tal En position mellan två heltal kan beskrivas genom bråk som tal (McIntosh, 2009). Karlsson och Kilborn (2015b) betonar att bråk som tal är den viktigaste aspekten av bråk. För att beskriva bråk som tal kan tallinjen användas. Talen konkretiseras och underlättar för eleverna att skapa förståelse för talens storlek. Det är avgörande för många elever som visar på okunskap om att det finns tal mellan exempelvis 1 2 och 1 3 (Karlsson & Kilborn, 2015a). Förhållande Lamon (2012) beskriver förhållande som en jämförelse mellan två olika mängder. De kan jämföras mellan olika delar eller delar och helhet. Om en äggkartong med 12 ägg innehåller 5 bruna och 7 vita ägg kan förhållandet beskrivas som 5:7 (bruna:vita), vid jämförelse mellan antal. Vid jämförelse mellan antal och helheten beskrivs det genom 5:12 bruna ägg. Skala När en figur återges identiskt i annan storlek används skala (Karlsson & Kilborn, 2014). Om avbilden är 2 m och orginalet är 1 m är skalan 2:1. När den vänstra siffran är högst är avbildningen en förstoring och när den är lägst är det en förminskning. Karlsson och Kilborn (2014) skriver att barn tidigt skaffar sig en förståelse för skala och att de kan förbättra den genom att initialt avbilda figurer med skala 2:1 på rutat papper. 3.3 Begrepps- och procedurförmåga Svårigheterna med att lära bråktal kan ske av olika anledningar. Gabriel m.fl (2012) skriver att undervisning kan delas in i begrepps- och procedurförmåga för att undersöka vilka kunskaper elever förvärvar i skolan. I Gabriels m.fl. (2012) studie arbetar en grupp med ordinarie undervisning, även kallad kontrollgrupp, och den andra med experimentell undervisning genom fem olika kortspel. Det visar sig att den experimentella gruppen förbättrar sig mer över lag men att kontrollgruppen förvärvar bättre procedurförmåga. Kontrollgruppen ökade dock inte sin begreppsförmåga och den förvärvade procedurförmågan var mekaniskt inlärd (Gabriel m.fl., 2012). Begreppsförmåga Med begreppsförmåga innefattas explicit och implicit förståelse av bråktalens beståndsdelar samt vetskapen om att bråktal kan ha samma värde, förståelse för täljarens och nämnarens betydelse samt förståelsen för bråktalens storlek (Gabriel m.fl, 2012). Aksu (1997) beskriver begreppsförmågan som förståelsen för hur begreppen är kopplade till andra matematiska idéer och begrepp. Procedurförmåga Procedurförmågan kan däremot ses som i vilken följd matematiska problem löses (Gabriel m.fl., 2012). Gabriel m.fl. (2012) skriver även att andra forskare tolkar procedurförmågan som kunskaper om symboler, algoritmer och regler. Att veta att 6

8 täljarna adderas vid addition med samma nämnare är ett typiskt exempel på procedurförmåga (Gabriel m.fl., 2012). För att kunna anskaffa en god procedurförmåga är en god begreppsförmåga avgörande. En studie av Byrnes och Wasik (1991) med årskurs 5-elever visar att när eleverna får arbeta med sin procedurförmåga så förbättrades enbart den. När begreppsförmågan fokuserades i undervisningen resulterade det däremot i att även procedurförmågan förbättrades (Perry, 1991). I vissa aspekter av bråk behöver dock procedurförmågan inövas för att lösa uppgifter. Vid addition och subtraktion med olika nämnare, behöver eleverna lära sig mer metodkunskap för att kunna lösa problemet (Gabriel m.fl., 2012). 3.4 Bråktalens komplexitet Bråktal uppfattas ofta som komplicerade och svårlärda. Enligt Torbeyns m.fl. (2014) är bråktalens uppbyggnad ett problem eftersom bråktal kan ses som en division av två heltal fast utan kvot. Multipliceras 6 med 1/2 är det 3, produkten blir därmed inte större. En annan komplicerad aspekt är att reglerna skiljer sig vid multiplikation och division mot naturliga tal. Heltal blir större eller oförändrade vid multiplikation men med bråktal sker det inte alltid (Torbeyns m.fl., 2014). Ofta missar lärare att få eleverna att skapa förståelse för vad bråktalen innebär innan de används i beräkningar (Aksu, 1997). Därmed skriver brister den tidigare nämnda begreppsförmågan (Gabriel m.fl., 2012). Gabriel, Coche, Szucs, Carette, Rey och Content (2012) skriver att bråktal är ett av de svåraste matematiska avsnitten i grundskolan. Problematiken kan bland annat bero på att användandet av tal i bråkform har minskat i vardagslivet (Karlsson & Kilborn, 2015a; Kilborn, 2014; McIntosh, 2009). Eftersom procent utgår ifrån bråktal betonar Karlsson och Kilborn (2015a) vikten av kunskaper inom tal i bråkform samt att både proportionalitet och förhållande är viktiga inom vardagslivet. Enligt läroplanen (Skolverket, 2016) ska eleverna vid ett flertal tillfällen bekanta sig med bråk genom det centrala innehållet mellan årskurs 1-6. Både delar av helhet samt samband mellan tal i bråkform, decimalform och procent nämns. Skolverket (2016) betonar även vikten av att använda matematiken för att samtala, argumentera och diskutera, vilket visar ett behov av matematiska begrepp. Elevernas bråkkunskaper korrelerar med deras allmänna matematiska prestation längre fram i skolgången (Lortie-Forgues m.fl., 2015; Torbeyns m.fl., 2014). Det beror på att bråktal kräver en djupare matematisk förståelse än andra matematiska innehåll. Vissa, annars självklara, matematiska regler gäller inte alltid vid bråkräkning (Torbeyns m.fl., 2014). Siegler, Givvin och Thompson (2010) skriver att goda kunskaper inom bråktal för amerikanska årskurs 5-elever även korrelerar med allmänt goda kunskaper i årskurs 10. Bristande kunskaper inom bråktal är även en av två hindrande faktorer vid algebrainlärning (Lottie-Forgues m.fl., 2015). Betydelsen av bråktal stannar inte bara inom matematiken utan är också viktig inom ekonomi, ämnen där matematik i allmänhet inte är en avgörande faktor och för att kunna tolka information i tidningar (Lortie-Forgues m.fl., 2015). 3.5 Missuppfattningar om det hela Att regler för heltal inte är direkt överförbara till bråktal är en av anledningarna till bråktalens komplexitet (Lamon, 2012; Torbeyns m.fl., 2014). När helheten introduceras i de tidiga skolåren presenteras det hela alltid som 1 vilket resulterar i missuppfattningar 7

9 längre fram i undervisningen (Lamon, 2012). Det hela kan representeras av både fler, i form av ett antal sammansatta objekt, eller färre, i form av ett redan delat objekt. Ett 6- pack med läsk kan både representera det hela, men också 6 stycken burkar läsk. Lamon (2012) skriver att det avgörande är att det hela klargörs och att delarna av helheten är av samma storlek eftersom de annars inte är jämförbara. En annan möjlig missuppfattning vid inlärning av bråk är att en tredjedel av helheten kan vara lika mycket som en halv av någon annan helhet (Lamon, 2012) (figur 1). = 1 enhet = 1 enhet = 1/2 enhet = 1/2 enhet = 1/3 enhet Figur 1 jämförelse av delar av helhet. Wentworth och Monroe (1995) skriver likt Lamon (2012) om svårigheterna att definiera begreppet det hela inom bråk. Anledningen till problemen är ofta lärares representationer av det hela hämmar elevers förståelse. I studien beskrivs tre exempel på missförstånd. Det första beskrivs genom en studie av Maher och Davis (1990) där en lärare delar upp två pizzor i tolv delar var och att sju elever tar en del från varje pizza, alltså två sammanlagt. Läraren kopplar ihop det hela som 12 delar när det hela av två pizzor är 24 delar. När läraren adderar de ätna delarna blir de 14 vilket då anses omöjligt 12 eftersom mer än allt därmed måste vara uppätet. Det andra är när en lärare använder äggkartonger för att presentera 1. Läraren klipper 5 först ut en enhet med fem delar av en äggkartong. Sedan klipps en ensam del ut för att representera 1/5. Denna enhet läggs över enheten med 5 delar (Wentworth & Monroe, 1995). När läraren sedan ombes förklara 1 används samma ensamma kartongbit som 3 tidigare använts för 1 och sätts på en kartong med 3 delar. Wentworth och Monroe 5 (1995) skriver att elevens bild av bråktalen resulterar i att de tror att 1 och 1 är lika stora. 3 5 Det tredje exemplet handlar om multiplikation med bråktal. Eleverna ombads multiplicera 1 med 1 och 1 med 1 på ett rutigt papper. Multiplikationernas helheter är olika men dess del av helheten blir lika stora på grund av det rutade pappret (Wentworth & Monroe, 1995). Forskarna (Wentworth & Monroe, 1995) skriver även att antalet fel på denna uppgift korrelerar med användandet av rutigt papper. Samtliga exempel visar vikten av att tydliggöra det hela för att kunna skapa en förståelse för bråk (McIntosh, 2009; Wentworth & Monroe, 1995). Wentworth och Monroe (1995) betonar att presenterade uppgifter ska vara väl genomtänkta och att materialen har stor betydelse för elevernas lärande. Genom att inledningsvis ha det hela 8

10 konstant skriver Wentworth och Monroe (1995) att förståelse skapas och att det sedan kan varieras när förståelsen infunnit sig. 3.6 Bråk i undervisning Häggblom (2012) skriver att cirklar och rektanglar ofta representerar helheter på grund av dess olika fördelar. Cirklar kan tydligt delas in i 1, 1 och 1 men uppger svårigheter vid indelning av vissa andra bråk. Rektanglar kan fördelaktigt användas vid operationer av bråktal samt i form av chokladkakemodellen när rektangeln delas upp både på bredd och längd (Häggblom, 2012). Häggblom (2012) betonar vikten av att variera representationen av bråktal varav fem sätt nämns: Symboler kan användas för att skriva tre fjärdedelar ( 3 4 ). Konkret material genom en flanotavla med cirkelform. Verkligt material i form av till exempel en cirkelformad tårta. Språk genom tre fjärdedelar. Rita egna figurer. Karlsson och Kilborn (2015a) beskriver även likadelning som en metod att förklara del av helhet. Likadelning innebär att när en helhet delas i två delar blir den ena delen en halv. Delarna kan med fördel skrivas ut med bokstäver för att signalera att de är enheter (Karlsson & Kilborn. 2015a). Clarke, Roche och Mitchell (2006) skriver att australiensiska elever i årskurs sex har stora problem med att urskilja helheten. När uppgifter visar en bild av exempelvis 2 3 av helheten och eleverna ska rita den visar det sig vara problematiskt. Studien tydliggör också elevernas svårigheter att benämna enskilda andelar när helheten är indelad i både fjärde- och sjättedelar (Clarke m.fl, 2006). Clarke m.fl. (2006) fortsätter att poängtera vikten av att låta elever möta uppgifter där helheten delas in i olika stora delar och former. Öppnas elevernas tankar om bråk upp och missförstånd synliggörs sker lärande (Clarke m.fl., 2006). McIntosh (2009) beskriver fem avgörande aspekter för att skapa förståelse för bråktal. Dessa är överförbara till delar av helhet vilket är studiens fokus. Det första är att samtliga delar ska vara av samma storlek för att beräknas som bråkdelar. Det andra är att eleverna måste förstå att nämnaren visar antalet delar helheten delats i. Det tredje att om täljarna är identiska medan nämnaren skiljer sig så är talet mindre om nämnaren är större. Det fjärde skriver McIntosh (2009) är att täljaren visar antalet delar av helheten. Till sista nämner McIntosh (2009) ekvivalenta uttryck vilket innebär att flera bråkuttryck kan representera samma tal. Om elever har förståelse för dessa fem bråkaspekter har de möjligheten att bemästra bråkbegreppet. För att ge elever möjligheter att förstå och sedan lösa problem kan uppgifterna med fördel kontextualiseras (Hodges, Cady & Collins, 2008). Kontextualisera betyder att problemet bemöts utifrån sitt sammanhang. Genom kontexten kan problemet förstås och sedan tolkas med hjälp av olika representationsformer. När tolkningen sker från ett vardagsexempel till andra representationsformer har de en bättre chans att bygga på sin redan befintliga kunskap med nya tankar skriver Hodges m.fl. (2008). Är eleverna 9

11 ovana vid tolkningen genom läromedel och undervisning blir problemet komplicerat och lösningsfrekvensen låg. Genom att uppmana eleverna att använda och värdera representationsformernas för- och nackdelar kan läraren hjälpa eleverna till förståelse. Läraren kan vid lektionerna även uppmana till lösningar baserade på flera olika representationsformer skriver Hodges m.fl. (2008). En uppgift kan med fördel lösas genom symboler och med ritad figur till en början. När eleven sedan kommit fram till en lösning kan eleven beskriva med ord hur den löste uppgiften. Uppgifterna ska utgå utifrån en för eleverna välbekant kontext för att senare låta eleverna lösa uppgifter längre ifrån deras egna föreställningsvärld. Laborativa material Laborativa material hjälper elever att förstå komplicerade och abstrakta objekt (Hodges m.fl., 2008). När begreppen introduceras bör laborativa material användas. De laborativa materialen vara inköpta av skolan eller skapas av lärar och elever. De egengjorda kan till exempel skapas med hjälp av vanligt A4-papper. När bråkförståelsen infunnit sig kan de sedan gå över till att använda ritade bilder för att till sist förlita sig på symboler. Cusinaire-stavar och mönstrade block är exempel på laborativa material lämpade för bråkinlärning (Hodges m.fl., 2008). Cusinaire-stavar är olikfärgade stavar i varierade längder vilka kan representera bråktal. Även Cramer, Post och DelMas (2002) skriver om laborativa materials fördelar, även i sjätte klass. De tycker att elever sällan får koppla laborativt material med bråktal i undervisningen (Cramer m.fl., 2002). Gabriel m.fl. (2012) och Hodges m.fl. (2008) skriver i sina studier att bråktal ska introduceras tillsammans med konkret material för att sedan gå över till mer abstrakta symboler. Det konkreta materialet, i detta fallet trästavar, synliggjorde helheten. Eleverna utvecklade även en trygghet i att det vid addition av bråktal kan bli mer än helheten, eller 1. Inte bara att bråktalen konkretiseras, elevernas motivation att lära stärks också genom att eleverna deltar i läroprocessen (Gabriel m.fl., 2012). 3.7 Bråk i läromedel Läromedlets, i de flesta fall i form av en lärobok, upplägg påverkar lärarens undervisning på flera olika sätt (Alajmi, 2012). Alajmi (2012) nämner att till exempel att läxor, matematiska avsnitt och lärarens metodik påverkas. Ländernas läroplaner visar sig i läromedlen skriver Charalambos, Delaney, Hsu och Mesa (2010) och det går även att se om länderna förespråkar begrepps- eller procedurförmåga. I läromedlen tas bråktal ofta upp i andra klass genom att storleksordna och namnge bråktal trots att de inte har någon förståelse för bråktalens innebörd skriver Bezuk och Kramer (1989). För att skapa förståelse behöver den tidigare nämnda begreppsförmågan stimuleras initialt. I studien undersöker Alajmi (2012) hög- (Japan), medel- (USA) och lågpresterande (Kuwait) länders läromedel. Skillnaden i deras prestationer utgår ifrån TIMSS (Mullis, 2008). De analyserade läromedlen är ifrån mellan årskurs 1-5. Alajmi (2012) hänvisar till undersökningar av bland annat Flanders (1987) där mycket ny matematisk information presenteras i amerikanska läromedel under de tidiga åldrarna. Mycket repetition sker därmed för äldre elever. Anledningen till den vanligt förekommande repetitionen kan vara att bråktal introduceras redan i första klass i USA och Kuwait. För 10

12 lite fokus ligger på förståelse i läromedlen skriver Alajmi (2012) och fortsätter att förklara att andelen uppgifter där förklaringar krävs är betydligt färre än symboler. Bråkkapitlens placering hindrar även inlärningen eftersom de vid flera tillfällen ligger i läromedlets slut. Det resulterar i att det inte tar samma plats (Alajmi, 2012). Det finns även stora skillnader mellan ländernas läromedel i uppgiftskonstruktionen skriver Alajmi (2012). Japanska läromedel skilde sig tydligt ifrån amerikanska och kuwaitiska läromedel i flera aspekter, framförallt att flera uppgifter baserades på verkliga händelser. Genom att basera uppgifterna på verkliga scenarion ser eleverna nyttan med kunskaperna (Alajmi, 2012). Charalambos m.fl. (2010) skriver att även uppgifterna i cypriotiska, taiwanesiska och irländska textböcker skiljer sig. De cypriotiska och irländska läromedlen har få kognitivt krävande uppgifter, vilket stimulerar metodförmågan. De taiwanesiska läromedeln innehåller flera, vilket snarare stimulerar begreppsförmågan. Av läromedlens matematiska avsnitt var delar av helhet den mest framträdande aspekten av bråk i de cypriotiska och irländska läromedlen trots att det tog lite plats i de taiwanesiska läromedlen (Charalambos m.fl., 2010). Hodges m.fl. (2008) har undersökt hur Häggbloms (2012) fem olika representationsformer används i tre amerikanska matematiska läromedel. Studien visade att bråkavsnittet i de tre läromedlen skiljer sig mycket från varandra. Två av läromedlen, Thematics och Glencoe, använder symboler i fler än åtta fall av tio medan det tredje, CMP, har en bred variation av representationsformer (Hodges m.fl., 2008). CMP använder symboler vid hälften av uppgifterna men även textform, bilder och vardagsexempel i var fjärde uppgift. Thematics och Glencoes, vilka har stor koncentration vid representationsformen symboler, upplägg gör att undervisningen behöver kompletteras med ytterligare representationsformer för att ge eleverna möjlighet att lära (Hodges m.fl., 2008). Hodges m.fl. (2008) antar att anledningen till den höga koncentrationen symboler kan bero på att läromedlens författare förespråkar abstrakt tänkande. Elever med redan utvecklad förståelse har god möjlighet att lösa abstrakta uppgifter medan elever vilka är på väg att bygga en förståelse är i behov bråktal ur fler aspekter. Hodges m.fl. (2008) fortsätter att poängtera att om lärare enbart går efter läromedlet skapas elever med skilda kunskaper. 4. Teoretisk ansats I det här kapitlet kommer variationsteorin presenteras, eftersom den ligger till grund för analysen av studiens empiri. Lärandeobjekt, aspekter och drag samt de olika variationsmönstren är bärande begrepp och kommer att klargöras nedan. 4.1 Variationsteorin Variationsteorins grund är att urskilja skillnader inom lärande för att skapa lärandeförutsättningar (Runesson, 2006). Fenomenet som ska läras undersöks och presenteras utifrån dess egenskaper och förståelsen skapas genom att egenskaperna varieras. Genom variationen förstår eleven fenomenet utifrån flera håll, vilket gör att förståelsen fördjupas (Runesson, 2006). Guo och Pang (2011) skriver att lärande inte kan ske utan variation. En grundläggande förutsättning för lärande i variationsteorin är att något alltid lärs in, vilket kallas lärandeobjekt (Lo, 2012; Marton & Booth, 2000; Marton, 2014). Förståelse för lärandeobjektet sker genom att dess egenskaper tydliggörs. Lärandeobjektets egenskaper kallas inom variationteorin aspekter. De bör 11

13 visas ur olika synviklar för att ges möjlighet att förstås (Lo, 2012; Marton, 2014). Dessa synvinklar kallas för variationsmönster (Lo, 2012; Olteanu, 2016; Olteanu & Fors, 2013; Olteanu & Olteanu, 2012). 4.2 Lärandeobjekt Lärandeobjektet syftar på det eleverna lär sig i undervisningen (Lo, 2012). Lärandeobjektet är inte alltid det läraren vill att eleven ska lära sig, utan det skiljer sig mellan elever. Det är lärarens uppgift att undersöka vilket lärandeobjektet är för varje elev (Marton & Booth, 1997). Marton (2014) skriver att det kan preciseras i tre aspekter, i form av innehåll, undervisningens lärandemål och i form av kritiska aspekter. Lärandeobjekt och lärandemål blandas lätt ihop (Lo, 2012). Lärandemål kan vara att använda bråktal i problemlösning, medan lärandeobjektet är att eleverna först ska benämna täljare och nämnare. Skolors fokus går alltmer mot bedömning till följd av att lärandemål för skolorna uttalas (Lo, 2012). Lärandemålen kan till exempel utvärderas vid nationella prov. Skiftar fokus mot lärandemål minskar fokus på skolans uppdrag, lärande (Lo, 2012). Lärandemålen ska utvärdera undervisningen för att utveckla den, inte för att lärande ska hamna i perifirin. Lärandeobjektet inriktar sig, till skillnad från lärandemålet, på lärandets start (Lo, 2012). Om bråktal ska användas vid problemlösning (lärandemål) behöver eleven först behärska nämnarens innebörd (lärandeobjektet) innan det är möjligt. Under tiden eleverna arbetar med lärandeobjektet skiftar det form, vilket visar lärandeobjektets dynamiska karaktär. Om läraren inte håller lärandeobjektet dynamiskt inför sina elever resulterar det i att eleverna inte ges möjlighet att lära. Både elever och lärare förstärker sina kunskaper om lärandeobjektet om det diskuteras emellan dem skriver Lo (2012). 4.3 Kritiska aspekter och kritiska drag Ett lärandeobjekt kan ses utifrån olika synsätt och utifrån medvetandegjord aspekt är bilden av lärandeobjektet olika (Lo, 2012). Aspekterna delas in i icke-kritiska eller kritiska, beroende på om de försvårar elevens förståelse för fenomenet eller inte (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012; Marton, 2014). Marton (2014) skriver att aspekter är en dimension av variation av lärandeobjektet och drag är ett värde av aspekten. Om ett bråktal är lärandeobjektet kan helhet vara en aspekt av bråktalet och draget 2 2. Aspekter eleverna inte är medvetna om är därmed kritiska för dem. Sambandet mellan två aspekter kan även hindra förståelsen för lärandeobjektet (Marton, 2014). För att få elever att lära sig behöver de urskilja aspekterna med lärarens stöd. För att läraren ska lyckas med detta är det avgörande att läraren förutser lärandeobjektets potentiella kritiska aspekter (Marton, 2014). De kritiska aspekterna är olika beroende på lärandeobjekt och elever på grund av deras olika erfarenheter. Enda sättet att urskilja dem är att undersöka elevgruppens förståelse (Marton, 2014). 4.4 Variationsmönster Ett nödvändigt villkor för lärande är att ett lärandeobjekts drag varieras för att göra dragen möjliga att urskilja (Lo, 2012). Det kan vara drag som tidigare tagits för givet och plötsligt genom variationen blivit synligt eller när en individ bekantar sig med ett 12

14 nytt lärandeobjekt med nya kritiska drag. Olteanu och Olteanu (2012) skriver att vi behöver erfara en skillnad från våra tidigare erfarenhet för att den ska tydliggöras. För att möjliggöra lärande behöver undervisningen tillgängliggöra variationen, samtidigt som eleverna måste vara mottagliga för den. Både Lo (2012) och Marton (2014) betonar att lärarens uppdrag att se till att eleverna kan urskilja variationen både genom att de ges möjlighet att upptäcka den själv, men också genom vägledning av läraren. Variation i undervisning Lo (2012) skriver att för mycket undervisning baseras på likheter istället för skillnader. Studier har visat att undervisning baserad på variation ger mer omfattande effekt på lärande än den utan variation (Runesson, 2005). Variation bör inte blandas ihop med varierande undervisningsmetoder skriver Lo (2012). För att lärande ska ske behövs inte bara variation utan även rätt undervisningsstrategier och metoder (Lo, 2012). En sådan undervisningsmetod skulle kunna vara att läraren låter eleverna urskilja vad som inte är det som ska läras in, så att eleverna lär sig var fokus inte är på. För att även kunna urskilja ett enskilt drag behövs draget urskiljas i en variation skriver Lo (2012). När aspekten tal undervisas kan draget bråktal visas. Om inte naturliga tal presenteras och urskiljs kan kan uppfattningen vara att alla tal är bråktal. Visas flera olika bråktal istället är det inte möjligt att urskilja variationen av tal, utan istället variationen av bråktal (Lo, 2012). Urskiljning, variation och samtidighet ser Lo (2012) därmed som essentiellt för lärande. För att lära något måste det kunna urskiljas. För att underlätta den möjligheten bör variationen av lärandeobjektet presenteras samtidigt. Marton (2014) exemplifierar en bild av ett soligt sommarlandskap. Visas det soliga landskapet på vintern istället är det stor sannolikhet att skillnaderna uppfattas. Variation av aspekter och drag kan ske på olika sätt. Lo (2012) exemplifierar kontrast, separation, generalisering och fusion. Variationsmönstret similaritet, vilket skulle kunna jämföras med de likheter Lo (2012) beskriver, är ett ytterligare exempel på variationsmönster (Olteanu, 2016, Olteanu & Olteanu, 2012; Olteanu & Fors, 2013). Kontrast Den minsta formen av variation är när två aspekter varieras respektive lämnas konstant vilket kan ske genom kontrast (Marton, 2014). Vid kontrast erbjuds en variation av lärandeobjektets aspekt (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012). När ett drag varieras ställs dragen i kontrast med varandra (Lo, 2012). Guo och Pang (2011) skriver att en liknelse sker mellan två värden av aspekten. Marton (2014) ser det som att eleven blir medveten om en tidigare okänd aspekt. En viktig förutsättning för möjligheten att urskilja kontrasten mellan dragen är att båda dragen upplevs samtidigt, alltså enligt samtidighet (Lo, 2012). Lo (2012) jämför kontrastering med finn-fem-fel - bilder där två bilder med ett antal små skillnader jämförs bredvid varandra. Om de istället inte hade gått att se samtidigt hade skillnaderna blivit svårare att uppfatta. Bråktal kan till exempel kontrasteras genom att helheten först visas i form av en cirkel för att sedan visas som en rektangel. Lo (2012) skriver att ett tecken på skickliga lärare är att de ofta förlitar sig på kontrastering som metod. Lo (2012) skriver att kontrastering även kan ske med uppfattningar genom att kontrastera en individs tidigare uppfattningar mot nya. För att det ska kunna ske måste den nya faktan jämföras mot den tidigare, annars förträngs de nya kunskaperna (Lo, 13

15 2012). Vissa elever behöver ingen lärare för att göra det vilket är en anledning till att de lär sig mer och andra mindre skriver Lo (2012). Separation En förutsättning för separation är att kontrast tidigare skett (Lo, 2012). Om ett bråktals aspekts representationsform varieras genom att visa upp det både som en cirkel och en rektangel har aspekten form separerats från lärandeobjektet bråktal. Innan representationsformen varierades genom kontrast var representationsformen inte synlig eftersom den tidigare ansågs vara en självklarhet för lärandeobjektet (Lo, 2012). När den separerats ifrån lärandeobjektet genom att flera drag av aspekten tydliggjorts kan eleven se värdet skilt ifrån lärandeobjektet (Guo & Pang, 2011). Innan detta görs bör eleverna få se aspekten ur ett flertal dimensioner av variation för att aspekten inte ska bli ett med helheten igen (Lo, 2012). I undervisningen bör lärandeobjektet som helhet visas till en början för att sedan separera lärandeobjektets aspekter skriver Lo (2012). Generalisering När flera aspekter av ett lärandeobjekt varieras samtidigt som den tidigare separerade aspekten är konstant har en generalisering genomförts (Lo, 2012). Det kan till exempel ske genom att visa en färg i olika sammanhang, alltså att generalisera färgen (Marton, 2014). För eleven handlar det inte om att se likheterna mellan objekten med samma färg, utan att se att många andra objekt kan ha samma färg (Marton, 2014). Det betyder att de varierande aspekterna separerats ifrån lärandeobjektet (Lo, 2012). Eleven erbjuds en mer omfattande bild av lärandeobjektet och ökar därmed sin förståelse (Guo & Pang, 2011). Denna variationsform skapar ingen ny mening skriver Marton (2014) men befäster en eller flera redan kontrasterade aspekter. Det finns dock ingen garanti att eleverna lär sig att färg är generaliserbar bara för att de ser att färgen grön kan generaliseras (Marton, 2014). Fusion När flera av lärandeobjektets aspekter separerats och sedan varieras simultant kallas variationsmönstret för fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014). Variationsmönstret kan användas för att se om eleven uppfattar den separerade aspekten när den inte ensamt varieras. Lo (2012) skriver att vissa fenomen är nödvändiga att uppleva genom simultan variation eftersom fenomenet annars inte helt kan förstås. I vissa fall varieras flera ytterligare aspekter till följd av en aspekts variation (Marton, 2014). Om exempelvis en kvadrats antal hörn varieras, varieras även dess form. Om först aspekten täljare varieras av lärandeobjektet bråktals storlek får eleven en förståelse för dess betydelse. Om sedan endast nämnaren varieras förstår eleven även den aspekten av bråktalet och dess koppling till talets storlek. När båda dessa aspekter separerats kan de simultant varieras för att undersöka om elevens förståelse för bråktalets storlek som helhet utvecklats (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012). Similaritet Similaritet, vilket är ett underordnat variationsmönster till generalisering, sker när minst två uttryck ger utlopp för samma innebörd (Olteanu & Olteanu, 2012). Både Olteanu och Olteanu (2012) och Olteanu och Fors (2013) exemplifierar similaritet genom frågor. Olteanu och Olteanu (2012) skriver att variationsmönstret similaritet erbjuds genom att fråga hur mycket något kostar med varierade ordval. Olteanu och Fors (2013) skriver att läraren frågar efter hur något ska avslutas med varierande ordval. 14

16 5. Metod I detta kapitel kommer studiens metodologiska teori redogöras för tillsammans med hur insamlad empiri analyseras. Empirin samlades in i form av läromedelsanalys, lärarintervjuer och observationer. 5.1 Metodologisk ansats Denna studie undersökte hur lärare uppfattade läromedel, elevers kunskaper och metoder för att skapa sin undervisning. Studien grundar sig i en kvalitativ ansats vilket betyder att orden analyseras i studien. Forskaren har även en central roll och är ett avgörande mätinstrument skriver Denscombe (2016). Den fenomenografiska ansatsen som låg till grund för undersökningen intresserar sig för hur människor uppfattar sin omvärld (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Marton och Booth (2000) använder erfar istället för uppfattar och nämner även andra tolkningar såsom sätt att förstå, sätt att begripa eller begreppsbildning. Fenomenografi härstammar från orden fenomen och grafi. Fenomen betyder att visa sig eller att ta fram i ljuset. Grafi betyder att beskriva något (Uljens, 1989). För att få en klar förståelse av en individ räcker det inte att bara veta hur individen upplevs utifrån skriver Larsson (1986). Genom att istället försöka ta reda på hur indivder förstår något kan förståelse för indivden utvecklas. Marton och Booth (2000) skriver att fenomenografin intresserar sig för hur människor hanterar omvärlden och därför måste förståelse för hur människor erfar den också tydliggöras. Marton och Booths (1997) skriver att fenomenografin delvis förväxlas med psykologi eftersom båda intresserar sig för vad som erfars och hur det erfars men det skiljer sig eftersom i fenomenografin är det centralt men underordnat i psykologin. Fenomenografin förväxlas även med fenomenologi men i fenomenologin är det självupplevda i och fokus i fenomenografin står någon annans upplevelser i centrum (Marton & Booth, 2000). I denna studie var andra ordningens perspektiv i fokus till skillnad från andra kvalitativa forskningsmetoder vilka fokuserar på första ordningens perspektiv (Larsson, 1986). De intervjuade personerna i denna studie beskrev hur bråkbegreppet framstog för dem efter sina erfarenheter och tänkande, inte hur det nödvändigtvis var. Det betyder även att olika individer har olika uppfattningar, vilket tydligt skiljer sig mot första ordningens perspektiv vilket ska baseras på fakta. Även intervjuarens uppfattningar är viktiga eftersom det påverkar hur denne tolkar empirin (Uljens, 1989). Uljens (1989) skriver att intervjuaren ska sätta ord på sina egna uppfattningar innan empirins samlas in för att öka empirins validitet. Larsson (1986) beskriver fenomenografin i fyra steg: 1. Undersöka andra ordningens perspektiv, alltså hur en individ uppfattar omvärlden. 2. Detta görs genom att samla in empiri genom intervjuer 3. Variation inom uppfattningar av fenomenet synliggörs i empirin 4. Beskrivningskategorierna binds till de specifika uppfattningarna. Uppfattningsnivån representerar tydligt skillnader i uppfattning av fenomenet. 15

17 Första och andra ordningens perspektiv Inom fenomenografin är det speciellt viktigt att skilja på hur fenomenet är och hur ett fenomen uppfattas (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Fenomenografin benämner det som kan styrkas av fakta för första ordningens perspektiv och individers uppfattningar för andra ordningens perspektiv. Till skillnad mot Larsson (1986) förklarar Uljens (1989) första ordningens perspektiv som aspekter forskaren själv beskriver utifrån verkligheten. Andra ordningens perspektiv används däremot för att beskriva andras uppfattningar utifrån verkligheten (Uljens, 1989). Marton och Booth (1997) går än längre och skriver att andra ordningens perspektiv även beskriver fysiska, biologiska och sociala erfaranden av omvärlden. Den andra ordningens perspektiv är avgörande för fenomenografen (Marton & Booth, 1997). För fysiker är därmed första ordningens perspektiv vital skriver (Marton & Booth, 1997). Fokus ligger inte på att benämna uppfattningen efter rätt och fel utan om det är första eller andra ordningens perspektiv (Larsson, 1986). Larsson (1986) skriver också att åsikter inte ska blandas ihop med uppfattningar eftersom åsikter betyder att det går att välja mellan åsikter, uppfattningar är snarare det vi baserar våra åsikter efter. Uljens (1989) benämner det som den för givet tagna verkligheten (Uljens, 1989:19). Kontextualisering Två bärande begrepp inom fenomenografin är kontextualisering och dekontextualisering av uppfattningarna (Uljens, 1989). De uppfattningar fenomenografin intresserar sig för delas in i tankeakter och tankeprodukter (Uljens, 1989). Det uppfattade ses likt en aktivitet för mening när uppfattningar ses som tankeakter och när uppfattningar ses som tankeprodukter syftar det till objektets innehåll. När uppfattningarna kontextualiseras tolkas de tillsammans med den omvärld de härstammar ifrån (Uljens, 1989). De tolkas alltså inte för sig själva utan i sin kontext. Kontextualiseringen kan därmed ses som en helhet eftersom uppfattningen behandlas efter vem som uppfattar det (Uljens, 1989). En lärares uppfattning om ett matematiskt avsnitt uppfattas efter sammanhanget. Bråktal uppfattas till exempel olika beroende på om läraren är en låg- eller högstadielärare. Lärarens syn på avsnittet kan därmed skilja sig beroende på kontext. När uppfattningen kontextualiseras är behovet stort att definiera kontexten för att uppfattningen ska kunna förstås (Uljens, 1989). När lärarna i studien beskrev sina egna uppfattningar om ett fenomen behövde de reflektera över sina uppfattningar. Uppfattningen separerades därmed ifrån helheten och uppfattningen dekontextualiseras (Uljens, 1989). Uppfattningen togs ifrån sitt sammanhang och den analyserades fristående, vilket gjorde att den kunde jämföras med andra uppfattningar från skilda kontexter (Uljens, 1989). 5.2 Genomförande Studiens metod omfattade tre moment. En läromedelsanalys av elevernas matematikläromedel, lärarintervjuer med två lärare samt observationer av deras lektioner. Intervjun av lärarna genomfördes efter observationstillfället, den 25 april Empirin sammanställdes inledningsvis i en tabell och presenterades sedan en i taget. 16

18 Beskrivningarna av lärarnas uppfattningar om undervisningen exemplifierades genom citat från de intervjuade vilket fenomenografiska studier vanligtvis gör (Svensson, 1986). Svensson (1986) anser även att citat bör användas sparsamt vilket togs i beaktande genom att endast de mest betydande citaten presenterades. När aspekterna var frånvarande i läromedelsanalys, intervju eller observation redovisades de inte i resultatet Läromedelsanalys Det mest frekvent använda läromedlet i klasserna var Matteborgen vilket var uppdelat i två läroböcker. Matteborgen 4B var det andra av två läromedel i årskurs 4. Matteborgen 4A vilken används först bestod av kapitel 1-5 och Matteborgen 4B bestod av kapitel I kapitel 9, vilket var 27 sidor, behandlades bråktal. Delar av helhet hade en betydande roll i kapitlet. Bråkkapitlet hade även fyra mål. Målen var att eleverna ska kunna läsa och skriva bråk, avläsa bilder av bråk, avläsa hur många delar det gick på en hel och att storleksordna bråk med samma täljare eller nämnare. Varje delområde inleddes med en presentation av området i en informationsruta och sedan presenterades uppgifter till innehållet därefter. Först presenterades samtliga aspekter av bråk med en efterföljande diagnos. Beroende på resultat fanns det ett enklare respektive svårare avsnitt. I läromedlet analyserades aspekter av bråk för att undersöka vilken bild eleverna fick av bråktal. Aspekterna analysen utgick för det första ifrån hade sin grund i vad tidigare forskning skriver påverkar lärande. Andra aspekter som gavs omfattande utrymme i läromedlet analyserades även. Frågor vilka läromedelsanalysen av Matteborgen 4B baserades på är följande: 1. Vilka aspekter av delar av helhet presenteras i läromedlet? 2. Hur presenteras helheten, delars storlek, täljaren och nämnarens betydelse och ekvivalenta uttryck? 3. Hur mycket begrepps- respektive procedurförmågor presenteras? Intervju Två lärare intervjuades i studien. Intervjufrågornas syfte var att urskilja lärarnas planering utifrån bråkområdet i allmänhet och delar av helhet i synnerhet. Frågorna valdes efter läromedlets upplägg, samt efter vilka aspekter av delar av helhet litteraturen ansåg vitala för förståelsen. 1. Vad anser du eleverna har svårigheter för inom delar av helhet? 2. Hur gör du för att skapa förståelse för helhet, delars storlek, täljaren och nämnarens betydelse och ekvivalenta uttryck? 3. Vilka representationsformer föredrar du i sin undervisning inom delar av helhet? 4. Hur arbetar du med begrepps- respektive precedurförmågan? 5. Hur tycker du att läromedlet förhåller sig till bråk med fokus på delar av helhet? För att få möjlighet att undersöka frågeställningarna valdes intervju som en av tre metoder. När intervjuobjekt valdes ut behövde flera förutsättningar beaktas, val av intervjuform var en av dessa. När en intervju genomförs reflekterar den intervjuade medvetet om sitt medvetande (Marton & Booth, 2000). Intervjun i studien var 17

19 semistrukturerad vilket menas med att intervjuaren har vissa förberedda frågor men att ordning av dessa kan ändras samt att nya frågor kan tillkomma (Denscombe, 2016). Istället för semistrukturerad intervju beskriver Johannson och Svedner (2010) intervjuformen som kvalitativ intervju. Johansson och Svedner (2010) skriver att de kvalitativa intervjuerna ofta ger intressanta resultat om exempelvis lärares undervisning. Intervjufrågorna i studien var av öppen karaktär eftersom lärarnas tankar synliggörs bäst. Det är viktigt eftersom intervjuaren vill att reflektionerna av den intervjuade skulle återges så grundligt som möjligt (Marton & Booth, 2000). När intervjun genomfördes mellan forskare och informant, vilket genomfördes i denna intervju kallas den för personlig. Fördelen är att de är relativt enkla att ordna och enklare att transkribera med enbart två röster (Denscombe, 2016). Denscombe (2016) betonar vikten av att inte lita på intervjuarens minne. Intervjuerna i studien spelades därmed in för att underlätta för författaren om något skulle förbises. Deltagande lärare hade olika erfarenhet av matematikundervisning. Den ena läraren (Lärare 1) hade undervisat i matematik i 20 år. Läraren hade bedrivit matematikundervisning på både låg- och mellanstadiet och undervisat i årskurs 4 vid ett flertal tillfällen. Den andra läraren (Lärare 2) hade undervisat i matematik i snart ett läsår och det är därmed första gången läraren undervisar i matematik i årskurs Observation För att se hur lärarna verkställde sina pedagogiska tankar var det avgörande att verifiera hur dessa tankar presenterades i undervisningen. Observationerna genomfördes med hjälp av ett observationsschema vilket Johansson och Svedner (2010) benämner observationsmanual. Observationsmanualen bör vara välplanerad för att få en lyckad observation och Johansson och Svedner (2010) nämner fem punkter vilka bör finnas med vid en observation: Observatörens namn, tidpunkt och plats för observation. Om obervatören arbetar själv, placering i klassrummet och om den gör det stillaståendes eller rörligt. Noga definierad vad som ska observeras och vem som ska observeras. Hur tiden används vid observationen vad gäller när observationen registreras och pauser mellan de olika observationerna. Vilka hjälpmedel observatören har, exempelvis papper och penna eller till och med inspelningsutrustning. Observationsmallen (bilaga 1) i denna studie var inspirerad av Los (2012) observationsmall ämnad för variationsteorin. Konstanta och varierande värden skrevs ner samt vad eleverna urskiljer vilket fanns med i Los (2012) original. Studiens mall omfattade även fyra variationsmönster utskriva för att förenkla observationen. Observationerna genomfördes genom att författaren satt längst ner i klassrummet, en bit ifrån eleverna med observationsmanual och förde anteckningar med penna och radergummi. Observationen av Lärare 1 var 50 minuter, och observationen av Lärare 2 var 40 minuter. Båda observationerna genomfördes under eftermiddagen den 25 april 2017 med en rast emellan och lektionerna omfattade enbart bråkbegreppet. 18