Läromedlets terminologi

Transkript

1 Självständigt arbete I, 15 hp Läromedlets terminologi - hur elever i årskurs 5 uppfattar läromedlet samt lärarens undervisning om plangeometriska former Författare: Lars Magnusson Handledare: Oduor Olande Examinator: Constanta Olteanu Termin: HT 16 Ämne: Matematik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN02E

2 Svensk titel Läromedlets terminologi - hur elever i årskurs 5 uppfattar läromedlet samt lärarens undervisning om plangeometriska former The terminology of teaching aids how students in grade 5 understand the teaching aids and the teacher s instructions in plane geometrical forms Abstrakt Många skolor utgår ifrån ett läromedel i sin matematikundervisning och mycket undervisningen baseras efter just det läromedlet. Därmed blir det som står i läromedlet viktigt för elevernas möjlighet att nå skolans kunskapsmål. Inom geometri behövs terminoligin för att kunna identifiera och namnge de olika formerna genom att kommunicera. Används inte det formella språket uppstår lätt missförstånd vilket gör att eleverna går miste om viktiga kunskaper. Genom att undersöka hur elever uppfattar terminologin i läromedlet tillsammans med sin lärares syn på deras undervisning kan förståelse för hur undervisning bör utföras för att få kunniga elever. Även läraren kan få reda på vad eleverna uppfattar och vad de inte uppfattar vilket gör att de kan hjälpa eleverna att skapa förståelse för de geometriska formerna. Nyckelord Läromedel, matematisk terminologi, geometri, plangeometri Populärvetenskaplig sammanfattning Studien genomförs för att kunna förstå vad eleverna uppfattar av sin matematikundervisning. Mycket av undervisningen inom matematik sker med hjälp av läromedlet och hur läraren planerar sin undervisning. Därav är vikten av att förstå vilken bild eleverna får av läromedlet och undervisningen stor. För att undersöka studiens syfte analyserades vilka egenskaper figurerna beskrivs med och hur de beskrivs. Läromedlets användning av terminologi undersöktes också. Sedan intervjuades läraren för att undersöka dess potentiella kompletterande av läromedlet. För att kunna urskilja elevernas uppfattningar testades sedan eleverna genom att de förklarade figurerna för varandra i par. Resultatet i denna studie visar att eleverna uppfattar geometriska former på ett väldigt likt sätt mot hur elevernas läromedel och lärare presenterar dem. Formerna benämns efter sina formella namn i stor utstreckning. Eleverna använder dock inte formernas egenskaper för att beskriva dem vilket inte heller läromedlet gör. Eleverna visar även att ord som presenteras i senare årskurser inte behärskas. Eftersom resultatet tydligt visar att det finns en korrelation mellan undervisningen och elevers uppfattningar får det konsekvenser för läraruppdraget. Genom att analysera de läromedel läraren använder i sin undervisning kan han eller hon föregå potentiella missuppfattningar vilket leder till att elevernas kunskaper ökar. 1

3 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte Frågeställning Litteraturöversikt Matematikens terminologi Inlärning av terminologi Terminologiska missförstånd Plangeometriska begrepp med grundskoleelever Formellt och informellt språk Matematiska språkets utveckling Elevers förståelse av texter Läromedlets språk Teoretiska utgångspunkter Introduktion till variationteorin Lärandeobjekt Lärandeobjektets externa horisonter Specifika och generella lärandeobjekt Direkt och indirekt lärandeobjekt Aspekter och drag Variationsmönster Metod Fenomenografi Två aspekter av uppfattning Kontextualisering och dekontextualisering Analys av empiri Läromedelsanalys Test Lärarintervju Bearbetning Urval Reabilitet och validitet Etiska principer Resultat Empiri Analys av empiri Övergripande aspekter Storlek Form Uttrycksform Hörn Rotation Diskussion Metoddiskussion Läromedel Test

4 8.1.3 Lärarintervju Resultatdiskussion Slutord och förslag till framtida studier Slutsats Bilagor Bilaga 1 - Medgivandeblankett Bilaga 2 Bild Bilaga 3 Bild

5 1. Inledning Det matematiska språket är komplicerat för både svaga och starka elever men det är samtidigt avgörande för att kunna utveckla matematiska färdigheter (Riccomini, Smith, Hughes & Fries, 2015). Jag har sett flera exempel på att elever varken vill eller vågar diskutera matematik i klassrummet vilket ofta sker på grund av att den andra ändå inte fattar vad jag menar. Det visar vikten av att lära sig att använda språket, den matematiska terminologin, för att bedriva matematiska samtal. Skolverket (2016) betonar vikten av kommunikation inom matematikämnet. I läroplanen (2016) skriver de att eleverna ska utveckla en känsla för matematik för att kunna kommunicera matematiskt i vardagliga och matematiska sammanhang. Två av fem förmågor i läroplanen (2016) handlar om att kunna resonera, argumentera och samtala om matematik. En av förmågorna är specifikt inriktad på matematiska begrepp. Bråting, Sollervall och Stadler (2014) skriver att terminologin ger förutsättningar till denna kommunikation. Bergqvist och Österholm (2014) poängterar vikten av effektivt kommunikation för att kunna förstå andra men också för att andra ska kunna förstå mig själv. Läromedlets texter anser Österholm och Bergqvist (2013) står för en viktig del av elevers matematiska lärande. Med tanke på att TIMSS (Mullis, 2008) resultat visar att över 90 % av svenska elever baserar stor del av sin undervisning från läromedlet är dess texter viktiga för elevernas utveckling. Det finns många sätt att lära elever den matematiska terminologin vilken behövs för att förstå matematik. Ett sätt att lära sig den är genom elevernas läromedel i matematik (Mullis, 2008). I de skolor jag praktiserat i används oftast boken i undervisningen och kompletteras med förklaringar och begrepp vilka läraren ibland tar från andra källor. På grund av läromedlets centrala plats i matematikundervisningen har både de matematiska begrepp samt beskrivningarna i läromedlet stort inflytande på elevernas förståelse. Det kan vara svårt för eleverna att förstå läromedlens innehåll eftersom dess språk ofta är koncentrerat och fullt med ämnesspecifika termer (Chapman, 1995; Löwing & Kilborn, 2002). Matematik innehåller flera olika områden och jag har valt att avgränsa den här studien till plangeometri. För att få eleverna att få bästa möjliga utveckling kan elevernas undervisning analyseras. Genom att analysera läromedlen samt lärarens undervisning skapas förståelse för elevernas förutsättningar. Testas sedan elevernas kunskaper klargörs potentiella kunskapsluckor och undervisningen kan utvecklas. 4

6 2. Syfte Studien utförs för att utvärdera hur elever i årskurs 5 på en skola i sydöstra Sverige uppfattar skolans matematikundervisning. Syftet med examensarbetet är att klargöra elevernas uppfattning av matematikläromedlens och lärarens terminologi inom plangeometriska former för att öka förståelse kring användningen av formellt och informellt språk i geometri. 2.1 Frågeställning Vilka aspekter av de plangeometriska formerna fokuseras på i läromedlet i matematik? Vilka aspekter av de plangeometriska formerna fokuserar läraren på? Vilka aspekter av de plangeometriska formerna urskiljs av eleverna från läromedlet och lärarens undervisning av eleverna i matematik? 2.2 Avgränsning Jag har valt att avgränsa innehållet inom plangeometriska former till cirklar och polygoner i undersökningen eftersom grundläggande geometriska objekt däribland poligoner, cirklar (Skolverket, 2016:65) anges i läroplanens centrala innehåll. I elevernas läromedel förekommer polygoner i form av trianglar och fyrhörningar vilket gör att jag begränsar min studie till dessa. Terminologi och begrepp används i studien. Terminologi syftar till den övergripande terminologin för matematiken där ett ord har en given betydelse (TNC, 1986) och begrepp är ord vilka även omfattas av vardagsspråk. 5

7 3. Litteraturöversikt Arbetets syfte är att klargöra elevernas uppfattning av matematikläromedlets och lärarens terminologi inom plangeometriska former (cirklar, trianglar och fyrhörningar). Utifrån studiens syfte har jag valt att inrikta presentationen på litteratur till kommunikation, formellt och informellt språk samt terminologi i allmänhet och speciellt inom matematikämnet. Jag kommer även redovisa forskning om hur läromedlens språk påverkar elevers förståelse. 3.1 Matematikens terminologi Morgan, Craig, Schuette och Wagner (2014) delar upp begreppet språk i flera kategorier. En av dessa kategorier kan ses likt ett fackspråk att skriva beroende på vilket yrke eller grupp vi tillhör. En annan är kommunikation, verbal eller icke-verbal enligt system över hur och när den ska användas beroende på sammanhang. En tredje kategori kännetecknas med ett specifikt sätt att prata med varandra inom en gemenskap. Terminologin är bestämd inom matematiken för att samtalsdeltagarna ska kunna förstå varandra (Morgan m.fl., 2014). Termerna, vilka kan vara vardagsord, får inom den matematiska diskursen en specifik betydelse. Matematikens olika uttrycksformer går även det att dela in i underkategorier. Den tidigare nämnda terminologin, matematiska symboler samt diagram (Morgan, m.fl., 2014). Morgan m.fl. (2014:845) ställer frågan How does a person s use of language position them or others in relation to mathematics och presenterar två motsatta teorier om hur matematiska objekt kan ses. Den ena är att objekten kan ses enskilt trots dess behov av kommunikation och den andra är att objekt och kommunikation är ett. Morgan m.fl. (2014) skriver att Pimm (1987) delar synen att matematik och språk är ett eftersom matematik har ett system för mening, ämnesspecifik terminologi och ordens klara betydelse och uttryck. Matematik kan ses både som skilt ifrån språk eller att det är ett språk. Det kan bero på att matematikens symbolspråk går att se som språk samt att det har både meningsuppbyggnad och regler specifikt för matematik (Bergqvist & Österholm, 2014). Språkets betydelse i matematik är viktigt och dess olika uttryck visar sig i matematikens representationsformer (Bergqvist & Österholm, 2014). Dessa är symbolspråk, användarens talspråk och bildspråk i form av diagram och tabeller. Kommunikation inom matematik bör ske med resultatet att andra personer förstår innebörden av matematiska objekt (Bergqvist & Österholm, 2014). För att utveckla det matematiska tänkandet behövs det matematiska språket. Bergqvist och Österholm (2014) poängterar också vikten av att kommunicera effektivt för att kunna förstå andra men också för att andra ska förstå mig. Att kalla en kvadrat för fyrkant kan ses problematiskt eftersom de inte är synonymer. En fyrkant har olika uttryckssätt och är begränsad med fyra kanter (Bergqvist & Österholm, 2014). Undervisningens terminologiska fokus bör därmed riktas mot betydelse istället för ytlighet. Läraren är en förebild vad gäller språkbruket i klassrummet. Vikten av terminologi vid lärarens samtal är därmed viktig och vissa termer är viktigare än andra. Bergqvist och Österholm (2014) skriver om när begreppen addera och subtrahera används istället för plussa och minus anses det inte ha samma vikt eftersom de syftar på samma handling men med olika begrepp. 6

8 3.2 Inlärning av terminologi Riccomini, Smith, Hughes och Fries (2015) skriver att det kan vara svårt att kommunicera matematisk även kunniga elever eftersom matematisk kommunikation är beroende av förståelse. Genom att sträva efter förståelse läggs även terminologin i långtidsminnet (Riccomini m.fl., 2015). För att öka undervisningens effektivitet är det viktigt att identifiera och sedan bemöta avgörande hinder för att förstå en geometrisk form. Riccomini m.fl. (2015) poängterar vikten av att skapa en förståelse för matematisk terminologi för att eleverna ska kunna använda språket effektivt. Förutsättningar för att kommunicera effektivt är inte bara förståelse men också rik terminologi, kunskap om siffrors värde och betydelsen av symboler (Riccomini m.fl., 2015). Riccomini m.fl. (2015) exemplifierar Marzanos (2004) synsätt om hur lärare och elevers syn på undervisning av terminologi. I exemplet tror lärare att elever lär sig av att enbart få höra och se ord i undervisningen. Eleverna själva anser sig dock behöva frekvent undervisning med uttalade tekniker. Eleverna bör använda det informella språket vid förklaringar för att senare när de utvecklat denna förståelse ska börja använda det formella språket (Rubenstein & Thompson, 2002). Rubenstein och Thompson (2002) fortsätter att skriva att det formella språket uttrycks muntligt, skriftligt, läsligt och genom bilder. Bemöts elever av för många okända matematiska termer samtidigt hindrar det elevens möjlighet till upptäckandet av matematik (Bay-Williams & Livers, 2009). Istället bör eleverna föroberedas på nödvändiga termer för kommande lektion och tidigare använd terminologi. Görs det blir eleverna delaktiga vilket effektiviserar undervisningen. Bay- Williams och Livers (2009) poängterar också återblickar på tidigare innehåll, inte bara terminologi. För att bedriva effektiv undervisning behöver dock språket i form av definitioner ges tid. Det kan ske genom att varje dag belysa en matematisk fråga kopplad till terminologi för att få en återblick (Bay-Williams & Livers, 2009). Bay- Williams och Livers (2009) ger även exempel på att det kan göras genom högläsning, polygon-jakt i tidningar samt att läsa skönlitterära böcker med matematiskt tema. Genom att utgå från eleverna effektiviseras undervisningen ytterligare (Bay-Williams & Livers, 2009). Använder läraren en fotbollsplan för att representera en rektangel istället för att bara visa rektangeln närmar sig läraren elevens uppfattningar och utvecklar en djupare förståelse (Bay-Williams & Livers, 2009). När fotbollsplanens omkrets beräknas bör läraren, vilket tidigare nämnts, föregå eleverna med bärande terminologi. Begrepp som sida, lång, kort och mäta kan beskrivas för att elever och lärare snabbt ska förstå varandra vid beräkningar skriver Bay-Williams och Livers (2009) Terminologiska missförstånd Missförstånd uppstår ofta inom kommunikation. Rubenstein och Thompson (2002) har delat in terminologiska missförstånd i elva kategorier. Tre av dem anser jag är speciellt relevanta för denna studie. Rubenstein och Thompson (2002) börjar med att ge exempel på ord vilka har en betydelse inom matematik och en i vardagsspråk. Samma term kan även ha olika betydelse inom matematiken. Kvadratens kant är kubens hörn och kubens kant är kvadratens sida. Det formella ordet romber kan informellt beskrivas likt en diamant vilket är ett tecken på ord vilka inte hör hemma inom terminologin men trors tillhöra den (Rubenstein & Thompson, 2002). 7

9 Faran med missuppfattningar inom matematisk terminologi skriver även Bay-Williams och Liver (2009) om. De tar upp fyra exempel: ord med annan mening i vardagen vilken kan vara mönster, ord vilka inte har en lika specifik mening i vardagsspråk, till exempel skillnad, homonymer vilka i engelskan kan vara sum och some samt missförstånd vid översättningar från andra språk. 3.3 Plangeometriska begrepp med grundskoleelever I en studie i norra Sverige av Juhlin (2015) undersöks årskurs 4-elevers kommunikation inom matematik. Studien synliggör elevernas användning av terminologi. Eleverna genomför två tester om fyrhörningar. I undersökningen synliggörs att de vanligaste förekommande, och rätt använda orden vid beskrivningar av fyrhörningar är lång, hörn, spetsig, trubbig och sida. Anledningen till att hörn är vanligt förekommande påstår Juhlin (2015) är att polygonens utseende kännetecknas av antal hörn. Termerna kvadrat, fyrhörning och rektangel används mer sällan vilket Juhlin (2015) förklarar att det beror på att eleverna inte befäst kunskapen om terminologin. Elevernas lärare påstår även, enligt Juhlin (2015), att de inte fått lära sig begreppen parallellogram och parallelltrapets än och att de därför är nästan helt utelämnade. Under det andra testet användes 70 % av begreppen korrekt vilket pekar på att eleverna är på väg att skapa sig ett geometrical register (Juhlin, 2015:77). Ett geometriskt register är orden inom geometri eleverna anskaffat. Ett annat tecken på att eleverna enbart har kommit en bit i sin begreppsliga utveckling är vid sortering av fyrhörningar och att de inte stannar med att beskriva rektanglar eller kvadrater som enbart det utan de använder sig av överflödiga beskrivningar. Vissa av termerna användes även i fel kontext. Det mest felaktigt förekommande var kant vilken missförstods för sida av eleverna men användes också istället för hörn. Andra inkorrekta begrepp var kvadrat, spetsig och uttrycket halv triangel. Den felaktiga användningen kan bero på att de finns i vardagsspråk med annan betydelse än i matematik (Juhlin, 2015). Inom vardagsspråk går det att uttrycka sig genom att använda både sida eller kant för att beskriva en figur medan det i matematiken finns regler (Juhlin, 2015). Eleverna använder liknelser med vardagliga ting för att beskriva fyrhörningarna. I undersökningen gör eleverna liknelser mellan fyrhörning, sudd och penna (Juhlin, 2015). Monaghan (2000) utförde en studie där 24 engelska årskurs 7-elever beskriver skillnaderna mellan fyrhörningar. I jämförelsen mellan kvadrater och rektanglar skriver Monaghan (2000) att tre elever inte gör någon direkt skillnad på fyrhörningarna utan att de har fyra raka vinklar. Fyra elever tog resonemanget ett steg längre genom att förklara att samtliga kvadratens sidor är lika långa medan rektangels motsatta sidor enbart behöver vara det. De flesta, 16, av eleverna förklarade inte skillnaden med parallella sidor utan istället med att skillnaden handlar om horisontell längd. Monaghan (2000) skriver även att han anser att de kan se skillnad på om en kvadrat har lika långa sidor som rektangelns längsta sidor eller om rektangelns längsta sidor är vertikala. De flesta eleverna uppfattade rektangelns egenskap först och främst som lång (Monaghan, 2000). En metastudie över 1400 matematikuppgifter markerar att den karaktäristiska rektangeln presenteras med en längd dubbelt så lång som höjden (Monaghan, 2000). Eleverna ser därmed inte rektangelns två uttrycksformer, avlång och kvadrat. Rektanglar uppfattas raka medan parallellogram lutande eller sneda av flerparten av eleverna (Monaghan, 2000). Deras uppfattning om rak verkar enligt Monaghan (2000) 8

10 vara synonym med horisontell och vertikal. Precis likt rektangeln ses parallellogram med sina långa sidor horisontellt. Den uppfattas även som skev rektangel eller att rektangeln är dragen i två hörn vilket är ett tecken på informellt språk. Enbart en av eleverna använde liknelser med vardagsting, en dörr, vilket kan vara ett tecken på dess användning i vardagsundervisning likt det effektiva lärandesätt Bay-Williams och Livers (2009) tidigare beskrivit. Drag-liknelsen anser Monaghan (2000) kan komma från experiment med geostrips eller liknande vilket tyder på att eleverna ser formerna flytande istället för fasta. I en studie bland elever i årskurs 3 i Singapore visar eleverna att de använder rätt termer för att benämna kvadrater, rektanglar och trianglar (Ilham, Zulkardi & Darmawijaya, 2013). De inte kan dock argumentera för det (Ilham, m.fl, 2013). De använder inte dess egenskaper för att beskriva figurerna. När en elev gjorde en ansats att beskriva triangelns vinkel förklarades det med att det är där två linjer möts och de använde ett papper för att ta hjälp att benämna en rät vinkel. Ilham m.fl. (2013) skriver också att det visades sig att trianglar var svårbenämnda när de var för roterade eller spetsiga eftersom de såg tunna ut och därmed inte liknade en triangel. Eleverna arbetade sedan med bland annat datorprogram där de kunde förändra trianglarnas utseende med att flytta hörnen. I slutet av studien visar det sig att tre av fyra elever använder rätt termer för att benämna trianglar, kvadrater och rektanglar. De visar också att de kan använda egenskaper för att förklara former och även använda dem vid problemlösning vilket betyder att de kommit en bit på vägen med sitt geometriska tänkande (Ilham m.fl., 2013). Hasegawa (1997) skriver i sin studie med japanska elever i årskurs 2 att kurvade trianglar benämndes trianglar men att de spetsiga trianglarna var svåra att urskilja vilket även Ilham m.fl. (2013) identifierat. Vissa av eleverna använde informellt språk för att benämna trianglarna. En beskrev en triangel likt en pyramid. I studien användes rätvinkliga, liksidiga och likbenta trianglar trots att rätvinkliga och likbenta först tas upp i japanska årskurs 3. Hasegawa (1997) poängterar att lärarens roll är viktig för att få eleverna att lära terminologin och speciellt när den ska byggas upp från grunden. 3.4 Formellt och informellt språk Löwing och Kilborn (2002) skriver om det matematiska språkets betydelse för ämnet. De menar att ett informellt språk räcker under tidiga skolår men för att komma vidare i matematiken behövs förståelse för termer, begrepp och matematikens logiska språk. Vidare skriver Löwing och Kilborn (2002) att elever ofta kommer i kontakt med ett, för eleverna, svårt språk i matematiken. De föreslår att fokus bör ligga på förståelse för att senare använda ett formellt språk (Bergqvist & Österholm, 2014; Riccomini m.fl. 2015). Denna uppfattning skiljer sig därmed från Morgan m.fl. (2014) vilka betraktar det matematiska språket som en del av matematiken. Problematiken med matematiska termer vilka också finns i vardagsspråket beskrev Löwing och Kilborn (2002) likt Juhlin (2015). Språkets användning inom matematiken kan ses i flera steg där den matematiska informationen först bearbetas, sedan kommuniceras och till sist konstrueras till ny kunskap (Löwing & Kilborn, 2002). Geometri beskrivs speciellt problematisk vad gäller terminologi (Löwing & Kilborn, 2002). Trianglar kan beskrivas som trekanter på ett okomplicerat sätt medan fyrhörningar finns i flera dimensioner där en kvadrat är en rektangel vilken är ett 9

11 parallellogram. Tillförs ytterligare en dimension finns det än fler termer att lära. Löwing och Kilborn (2002) poängterar terminologins vikt eftersom felaktig användning av termerna kan det leda till att eleverna missuppfattar hela begreppet. Nertonade krav på formellt språk och individualiseringskrav gör dock att vissa elever går miste om matematiska termer. När de sedan möter komplicerad matematik där behovet av ett exakt språk är avgörande får de svårigheter med förståelsen vilket Bergqvist och Österholm (2014) ger exempel på med fyrkant och fyrhörning. Läraruppdraget kopplat till terminologi anses dock tudelat. Läraren bör använda ett språk eleven förstår men samtidigt introducera eleverna för ett matematiskt språk (Löwing & Kilborn, 2002). Både formell och informell kommunikation bör utföras på olika nivåer. För att förstå läromedlens komprimerade texter, genom både vardagliga och matematiska texter, kan göra det svårt för eleverna att förstå innehållet. Förutsättningarna kräver därmed utökad kunskap kring terminologins användning (Löwing & Kilborn, 2002). Hoppet från det vardagliga, informella, språket till det ämnesspecifika tekniska vilket är nödvändigt för att lära sig det nya ämnet blir ofta problematiskt (Schleppegrell, 2007; Löwing & Kilborn, 2002; Juhlin, 2015). Språket är en given del av lärandet av ämnet och kan inte separeras. Genom att bemästra språket öppnar sig möjligheten att kunna kommunicera effektivt (Bergqvist & Österholm, 2014; Riccomini m.fl. 2015). För att kunna gå på djupet i matematiken behövs språket vilket öppnar upp nya möjligheter. Det informella språket räcker för att mäta, räkna och andra vardagssituationer. Eftersom eleverna skapat sin kunskap om världen med det informella språket bör undervisning utgå därifrån och vidare till det formella, tekniska språket genom förståelse av problem på vägen (Bergqvist & Österholm, 2014). För att avancera från att enbart kunna använda språket för vardagliga situationer behövs det utvecklade, formella språket för exakta och specifika formuleringar (Schleppegrell, 2007). Inlärning av nya, tidigare okända begrepp kan vara enklare att lära sig än invanda vilka får ny mening inom matematiken (Schleppegrell, 2007). Schleppegrell (2007) skriver också att det formella språket av lärare ofta ses som en utmaning att lära in. 3.5 Matematiska språkets utveckling Bråting m.fl. (2014) poängterar behovet av ett omfattande språk för att beskriva upplevelser, skapa minnen samt strukturera sinnesintryck. Matematikens utveckling har gjort att behovet att kunna beskriva matematikens objekt har ökat vilket resulterar i ett behov av en rik terminologi för att exakt kunna beskriva matematik. Euklides 2000-år gamla definition av rektangeln har ändrats från: En rektangel är en fyrsidig figur där alla vinklarna är räta men alla sidorna är inte lika stora (Bråting, m.fl 2014:8) till En rektangel är en parallellogram vars alla vinklar är räta (Bråting, m.fl 2014:8). Den nutida förklaringen grundar sig i parallellogrammets egenskaper vilket visar att rektangeln är en speciell form av parallellogram till skillnad från den gamla (Bråting m.fl., 2015). Bråting m.fl. (2014) diskuterar två sätt att befästa termer inom matematik. Det ena är att skapa konkreta företeelser såsom cirkel. Det andra är definition genom kännetecken och egenskaper. Bråting m.fl. (2014) lägger även vikt vid att det matematiska språket inte 10

12 bara är viktigt för professionella matematiker utan att många yrkesgrupper har behov av matematisk kommunikation. Kommunikation på situationens nivå är betydande och i skolan med dess kommunikationsuppmuntrande läroplan blir därmed terminologin viktig. Terminologin ger förutsättningar att diskutera, argumentera och resonera (Bråting, m.fl., 2014). 3.5 Elevers förståelse av texter Österholm (2008) exemplifierar två texttyper i matematiska läromedel. De förklarande texterna används för att förklara hur elever bör lösa uppgifter. Sedan finns de vanligast förekommande uppgiftstexterna där eleverna löser en uppgift som är beskriven i text. Texterna läses olika beroende på om läsaren anser texten vara matematisk eller inte (Österholm, 2008). Österholm (2008) skriver att tydliga tecken på en matematisk text är hur central del symboler tar istället för text. Österholm (2008) nämner flera forskare vilka framhäver vikten av att hjälpa elever med att utveckla läsförståelse för matematiska läromedel på grund av dess svårlästa art (t.ex. Burton & Morgan, 2000; Cowen, 1991; Fuentes, 1998; Konior, 1993; Krygowska, 1969). Chapman (1995) betonar även att matematiska texter är svårläsliga på grund av många specifika termer och ett koncentrerat språk med tabeller, symboler och bilder i kombination. Österholm (2008) poängterar även att matematiska texter läses olika beroende på om läsaren ser den som matematisk eller inte. Olika läsförståelsestrategier används även beroende på vilken sorts text det är. En strategi kan vara att fokusera på symboler och siffror för att få reda på svaret. Enligt Österholm (2008) utvecklas denna strategi när undervisningens fokus ligger på att utföra uppgifter istället för att förståelse vilket både Österholm (2014) samt Löwing och Kilborn (2002) tidigare problematiserat. Ett behov finns därmed att lära elever att förstå matematiska texter och Österholm (2008) framhäver vikten av andra matematiska texter än uppgiftsfokuserade. 3.6 Läromedlets språk Österholm och Bergqvists (2013) undersöker skillnaden mellan matematiska och historiska läromedel beträffande språkets komplexitet. Enligt Österholm och Bergqvist (2013) finns det få genomförda studier inom området vilket de anser är konstigt eftersom många påståenden presenteras om komplicerade matematiska texter. Påståenden menar de inte framförs tillsammans med empiri eller argument. Begreppet mathematical language är inte heller definierat. De redan utförda studierna jämför matematiska texter med varandra men inte med andra skolämnen. Därför har Österholm och Bergqvist (2013) valt att ställa läromedlen i matematik mot historiaämnets läromedel vad gäller 4:an till 7:ans böcker. I allmänhet har de matematiska läromedlen mindre komplexa meningar än historieböckerna och inga skillnader beträffande ordens svårighetsgrad i studien (Österholm & Bergqvist, 2013). Österholm och Bergqvist (2013) skriver att empiri stödjer deras resultat att de matematiska texterna både är mindre komplexa och har kortare meningar än texter i andra ämnen. Resultatet skulle kunna bero på att läromedelsförfattare i matematik strävar efter att förenkla språket eftersom det varit för komplext men eftersom forskning inte heller visar den höga svårighetsgraden låter det otroligt (Österholm & Bergqvist, 2013). 11

13 4. Teoretiska utgångspunkter För att analysera och tolka empirin har jag valt variationsteorin. Först presenteras en introduktion av variationsteorin, begreppet lärandeobjekt och dess inriktningar, aspekter och drag samt variationmönster. 4.1 Introduktion till variationteorin Variationsteorin har sitt ursprung i fenomenografin vilken intresserar sig för hur fenomen upplevs på olika sätt beroende på individ (Lo, 2012). Ference Marton öppnar i förordet i Los (2012) bok med att förklara att engelsmän inte vet vad England är förens de har sett vad England inte är. Påstående innebär att för att få en ökad förståelse för vad något är behövs det upplevas utifrån flera perspektiv. För att förstå vad England är behövs ett annat land vilket skiljer sig ifrån England upplevas. Teorin ger ett sätt att beskriva lärandeförhållanden (Emanuelsson, 1996). Inom variationsteorin finns det flera centrala begrepp vilka kan användas för att analysera undervisning. De jag kommer att beröra i detta arbete är lärandeobjekt, variationsmönster och kritiska aspekter. 4.2 Lärandeobjekt Inlärningsfokuset under undervisningssituationer kallas inom variationsteorin för lärandeobjekt. För att nå ett lärandemål vilket kan vara att kunna benämna fyrhörningar behöver eleverna ägna sig åt lärandeobjektet. Det kan i sig vara fyrhörningars egenskaper. Lärandeobjektet är inte statiskt, utan förändras ständigt eftersom lärarens och elevernas förståelse förändras kontinuerligt (Lo, 2012). Fokus kring lärandeobjektet vilket är ett tydligt kännetecken för variationsteorin kan vara olika beroende på mottagare. Relationen till objektet uppstår när subjektet blir medveten om det (Emanuelsson, 1996; Svensson, 1984). Goda lärare försöker få många elever att lära sig mycket under lektionerna och därför måste lärandeobjektet vara dynamiskt för att öka effektiviteten (Svensson, 1984) Lärandeobjektets externa horisonter För att få förståelse för lärandeobjektet bör koncentration läggas på att hitta olika förklaringar, inte lika (Lo, 2012). Genom att diskutera lärandeobjektet mellan lärare och elev synliggörs det för både elev och lärare. Lärandeobjektet kan även ställas mot externa horisonter vilket betyder att lärandeobjektet ställs i dess kontext. Lärs siffran 4 in är den given att ställa mellan 3 och 5 för att förstå siffrans mening. 4 kan också betyda olika beroende på kontext (Lo, 2012). Lo (2012) poängterar också att läraren inte bara behöver ämneskunskaper för att undervisa lärandeobjektet. Läraren behöver också förståelse för sina elever och deras bakgrund eftersom det påverkar inlärningen Specifika och generella lärandeobjekt Det finns både specifika aspekter och generella aspekter för lärandeobjekt inom variationsteorin (Lo, 2012; Marton & Tsui, 2004). Den specifika syftar på ett ämnesinnehåll där till exempel texter läses för att nå ett kortsiktigt utbildningsmål. Det generella aspektens mål är ofta långsiktigt till skillnad från det specifika. Den generella aspekten av lärandeobjektet lär vi oss i form av egenskaper eller tankesätt och i relation innehållet som ska läras in (Lo, 2012). Marton och Tsui (2004) skriver att generella aspekter är undervisningssättet vilket kan vara att komma ihåg, tolkningar och insiktsfullhet. 12

14 4.2.3 Direkt och indirekt lärandeobjekt Genom att läraren bemöter lärandeobjektet tillsammans med eleverna utvecklas lärandeobjektet. Det förfinas för att passa eleverna och deras värld. Trots att läraren bör ses som en vuxen och lärande elev är det svårt för läraren att få en insikt i elevernas tankevärld när uppgifter utförs under svårigheter (Lo, 2012). Vissa aspekter läraren tar för givet kan visa sig vara problematiska för elever. Om det direkta lärandeobjektet är att känna till kvadratens egenskaper är kunskaper viktigt men också att kunna använda desas kunskaper i olika sammanhang. Syftet med att kunna kvadratens egenskaper stannar inte bara där, tanken är att det ska användas till det indirekta lärandemålet, till exempel en problemlösning (Lo, 2012). 4.3 Aspekter och drag Vissa egenskaper är avgörande för att förstå ett begrepp och de kallas aspekter (Lo, 2012). Ett objekt har många särskilda aspekter och om det visar sig att några av dessa aspekter kan vara hinder för att förstå begreppet kallas de aspekterna för kritiska aspekter (Marton & Tsui, 2004). Tidigare forskning visar att språk i till exempel läromedel kan vara en kritisk aspekt (Österholm, 2008; Löwing & Kilborn, 2002). Vinklar, färg och storlek kan därmed också vara kritiska aspekter eftersom de är egenskaper elever tolkar olika beroende på individ och bakgrund. Dessa egenskaper är kritiska drag för den kritiska aspekten i frågan (Lo, 2012) En triangels färg kan vara en potentiell kritisk aspekt och själva färgen kallas drag. När en triangel visas i flera färger öppnar sig en dimension av variation av aspekten färg. Innan denna dimension av variation visas kan eleverna tro att samtliga trianglar måste vara svarta (Lo, 2012). Lo (2012) beskriver två anledningar att identifiera lärandeobjektets kritiska drag. Det första är för att läraren ska kunna förstå lärandeobjektet och därmed kunna uttrycka dragen för eleverna att urskilja dem också. Det självklara för läraren kan vara svårt att dela upp i delar när det uppfattas som helhet. Om det däremot inte uppfattas likadant för eleverna behöver läraren gå in på djupet för att sätta sig in i deras tankar. Det andra är för läraren att hjälpa elever att se tidigare givna eller omedvetna drag för att de ska erbjudas en dimension av variation. När kritiska drag utelämnas är det ofta för att läraren tar dem för givet eller anser dem självklara för eleverna vilket skapar en lucka i lärandet (Lo, 2012). De kritiska aspekterna är beroende på lärandeobjekt samt individ (Marton & Tsui, 2004) vilket gör det svårare för läraren att identifiera dem. Genom läromedelsanalys kan potentiella kritiska aspekter identifieras vilket gör att de kan föregås i undervisningen (Lo, 2012). Lärarens förhållningssätt för att hitta de kritiska dragen är väsentlig eftersom läraren behöver sätta sig in i sina elevers tänkande för att kunna hitta dem (Lo, 2012). 4.4 Variationsmönster Lo (2012) skriver att ett nödvändigt villkor för lärande är att urskilja lärandeobjektets kritiska drag utifrån en variation av perspektiv. Lo (2012) nämner flera studier vilka visar att elever med lärare vilka använder variationsmönster i undervisning lär sig mer. Variationsteorin kan även användas för att analysera undervisning. Lo (2012) nämner fyra sätt att variera undervisningen och de är genom kontrast, separation, generalisering och fusion. Olteanu (2016) nämner även similaritet vilken också kommer att beskrivas. 13

15 Kontrast Olteanu (2016) skriver att en kontrast erfars när skillnaden mellan två aspekter synliggörs och en dimension av variation skapas. Kontrast gör att medvetenhet kring världarna öppnas (Lo, 2012). Ska en elev lära sig termen triangel kan den kontrasteras mot en fyrhörning vilket gör att de jämförs bredvid varandra. Om de tas upp en och en är det däremot svårare att jämföra dem eftersom deras förkunskap bör tas fram och ställas mot den nya informationen (Lo, 2012). Detta gäller även med elevernas tidigare kunskap. För att ny kunskap ska kunna tilläggas behövs den gamla synliggöras för att kontrasteras mot den nya. Görs inte det kommer den nya kunskapen falla bort och den gamla, troligtvis felaktiga, fortsätta gälla (Lo, 2012). Marton (2014) exemplifierar hur färgen kan kontrasteras genom att visa upp en form med olika färg. Färgen varieras medan formen är oföränderlig vilket resulterar i att färgen kontrasteras. Elever vilka själva kan kontrastera gamla och nya kunskaper gör också bra ifrån sig i klassrummet men det är framförallt läraren som ska skapa kontrasteringsförutsättningarna, inte eleverna (Marton, 2014). Separation När en egenskap varieras från ett lärandeobjekt samtidigt som de andra är oförändrade har en separation skett (Olteanu, 2016). Tas till exempel aspekten vinkel kan den räta vinkeln i en rätvinklig triangel separeras från triangeln och visas självstående. Visas sedan en triangel med en annan vinkel har det skapats en dimension av variation för aspekten vinkel. När den ses enskilt läggs enbart fokus på vinkeln vilket kan göra att räta vinklar känns igen i andra sammanhang (Olteanu, 2016). Generalisering Med generalisering menas att en triangels egenskaper förändras en i taget (Lo, 2012). Det kan till exempel vara att visa olika typer av trianglar som rätvinkliga eller liksidiga, båda definieras som trianglar men de är olika slags trianglar (Lo, 2012). Det sker dock en separation från trianglar när en rätvinklig triangel visas upp eftersom alla trianglar inte är rätvinkliga. Beroende på vilket lärandeobjektet är sker alltså en separation eller generalisering enligt Lo (2012). Marton (2014) nämner att om när den tidigare nämnda färgen generaliseras visas den även tillsammans med andra former. Fusion Genom att variera flera aspekter samtidigt hos ett lärandeobjekt och dess förhållande till varandra sker fusion (Lo, 2012). Det kan till exempel vara när begreppet triangel lärs in och aspekterna area och vinklar tidigare har separerats. Marton (2014) beskriver fusion som att sätta ihop flera tidigare separerade aspekter, vilka kan vara tidigare nämnda area och vinklar, på samma gång. Similaritet Olteanu och Olteanu (2012) beskriver att similaritet är ett underordnat variationsmönster till generalisering. Vid similaritet hänvisas minst två uttryck till samma mening (Olteanu & Fors, 2013). Olteanu (2016) beskriver variationsmönstret som att det används kreativt för att få elever att utvecklas. Genom similaritetsmönster utvecklas klassrumskommunikationen eftersom eleverna erbjuds uppleva liknande aspekter genom flera uttryckssätt. 14

16 5. Metod I detta kapitel kommer studiens metod redogöras för. Metodens teori förklaras med underrubriker samt tillhörande begrepp. Sedan beskrivs hur läromedelsanalyserna, testerna samt lärarintervju utförts. 5.1 Fenomenografi För att att besvara mina frågeställningar kommer jag använda mig av ett fenomenografiskt perspektiv eftersom fenomenografin ligger till grund för variationsteorins utveckling. För att analysera hur läromedlen framställer cirklar, trianglar och fyrhörningar kommer jag också testa eleverna genom att de förklarar dessa plangeometriska begrepp för varandra. Där kommer jag att se hur de uppfattat begreppen de lärt sig i boken när de kommunicera med dem. Fenomenografins grundtanke är att människor uppfattar världens fenomen på olika sätt (Uljens, 1989). Marton och Booth (2000) använder sig av begreppet erfara istället för uppfattning. Fenomenografin beskriver därmed de olika uppfattningar människor har om sin omvärld. Inom fenomenografin analyseras uppfattningarna och delas in i kategorier utifrån liknande uppfattningar (Marton & Booth, 1997). Begreppet uppfattning har i vardagsspråk och inom fenomenografin olika betydelser. I vardagsspråk är uppfattning utbytbar med åsikt medan den i fenomenografin handlar om att beskriva uppfattning av något istället för om något (Uljens, 1989). De beskriver därmed den grundläggande förståelsen och inte tankarna en individ har om något Två aspekter av uppfattning Fenomenografin delar upp uppfattningar enligt vad och hur. Vad-aspekten berör det objekt, både fysiskt och psykiskt, vi tänker på (Uljens, 1989). Hur-aspekten är en avgränsning och själva processerna vilka förekommer avgränsningen. Beroende på hur vi ser något avgör också vad vi ser. Våra erfarenheter avgör vad vi ser eftersom hur sker på olika sätt beroende på vem du är. Fenomenografin utgår från att även om vi uppfattar ett fenomen på ett visst sätt från start kan vi tänka oss att det kan uppfattas på andra sätt vi inte ser för tillfället (Uljens, 1989) Kontextualisering och dekontextualisering Uppfattningar vilka är ett centralt begrepp inom fenomenografins kan enligt Uljens (1989) kontextualiseras och dekontextualiseras. Dekontextualisering menas med att uppfattningar en människa har kan separeras från sin kontext, vilken i detta fall är människan. Sedan kan den jämföras med andra människors dekontextualiserade uppfattningar (Uljens, 1989). Ingen hänsyn tas till vart uppfattningen kommer ifrån utan den ses likt ett självständigt betydelseinnehåll. Uppfattningen kan vara mer eller mindre sammankopplad med andra uppfattningar (Uljens, 1989). Kontextualisering sker när uppfattningen analyseras i sitt sammanhang, alltså tillsammans med människan och dess kultur eller omvärld (Uljens, 1989). Uljens (1989) skriver också att ett exempel på kontextualisering kan vara elevers uppfattning av trianglar vilken sätts i sammanhanget att eleven haft ett visst läromedel i matematik eller ålder. 15

17 5.2 Analys av empiri Läromedelsanalysens frågor kommer att redovisas nedan indelat i förklarande samt uppgiftstexter. Sedan kommer elevtestet där eleverna beskriver matematiska figurer att presenteras. Slutligen presenteras de till läraren ställda frågorna för att undersöka vad läraren presenterar för eleverna Läromedelsanalys För att undersöka vilken terminologi och aspekter eleverna i den här studien presenteras inför under lektionerna analyseras läromedlen, Matteborgen 4A och 5A. Österholm (2008) delar in matematiska texter i läromedel efter förklarande och uppgiftsbaserade texter och de kommer att analyseras var för sig. De olika texterna analyseras för att se hur många av dem som innehåller cirklar, trianglar och fyrhörningar, vilka är relevanta plangeometriska figurer för den här studien. Betoningen kommer att ligga kring vilken dimension av variation läromedlet förmedlar. Studien kommer att undersöka hur läromedlet erbjuder variationsmönster i uppgifterna. Läromedlet analyseras utifrån följande frågor med bakgrund möjliga kritiska aspekter (Juhlin, 2015; Monaghan, 2000; Ilham m.fl, 2013; Hasegawa, 1997). 1. Vilka begrepp används för cirklar, trianglar och fyrhörningar? 2. Används flera geometriska former samtidigt och i så fall hur? 3. Vilka aspekter, så som längd, storlek, form, vinklar, rotation, representation erbjuder läromedlet? 4. Kontrast - Ställs figurerna i kontrast mot något de inte är? Vad kontrasteras de emot i så fall? 5. Generalisering och separation - Utgår uppgifter ifrån helheten och sedan separerar vissa egenskaper eller visas egenskaperna först? 6. Fusion - Varieras flera aspekter samtidigt? 7. Similaritet används flera liknande förklaringar? Specifikt för förklarande texter: 8. Hur många förklarande texter är cirklar, trianglar, kvadrater, rektanglar, romber, parallellogram och parallelltrapetser med i? I Matteborgen 4A och 5A skiftar lärandeobjekt mellan geometriska former i anslutning till teman. Matteborgen 4A är indelad i mätning av sträckor i meter och centimeter samt plan- och rymdgeometriska objekt. De plangeometriska figurerna i studien, cirkel, triangel, kvadrat och rektangel, presenteras tillsammans. De presenteras alltså i vad Lo (2012) kallar lärandeobjektets externa horisont vid fyra tillfällen (Figur 3). Förklarande texter används ofta som direkt lärandeobjekt eftersom de förklarar en figurs egenskaper eller användningsområde. Uppgiftstexterna tillämpar sedan kunskaperna och i slutet av kapitlen erbjuds problemlösning vilket Lo (2012) beskriver som exempel på indirekt lärandeobjekt. Matteborgen 5A är indelad i skala samt area. De plangeometriska figurerna används tillsammans med area och framförallt kvadratcentimeter. Det direkta lärandeobjektet visas likt i Matteborgen 4A främst i förklarande texter. De används sedan i enkla 16

18 uppgifter med enskilda former för att till slut öka svårighetsgraden med problemlösning med sammansatta figurer. Variationsmönster redovisas tillsammans med de plangeometrisk figurerna. Helheterna för de i studien relevanta plangeometriska figurerna står främst i centrum i Matteborgen 4A och 5A. Få av figurernas aspekter förklaras explicit i böckerna. Läromedlens uppgifter är ofta uppbyggda med att läsaren ombes räkna ut omkretsen utifrån rektanglars bredd och längd med små skillnader i storlek. Uppgiftens mening är därmed liknande i flera uppgifter vilket tyder på att böckerna utgår ifrån ett similaritetsmönster. I studien förekommer hänvisningar till en bild (Figur 3) vilken är tagen från Matteborgen 4A. Författaren har fått tillåtelse från Sanoma Utbildning att använda bilden i studien Test De 22 elever vilka medverkade i studien fick en gemensam genomgång om hur testet skulle utföras. Eleverna hade delats in i par och fick sedan sitta i sitt par i ett klass- eller grupprum samtidigt som deras röster spelades in. Eleverna sattes sedan i par mittemot varandra med ett papper var framför sig. Elev 1 hade ett papper (Bilaga 2) med sammanlagt 2 cirklar, 2 trianglar och 6 fyrhörningar utplacerade på pappret och elev 2 hade ett blankt papper. Cirklarna var i olika storlekar, trianglarna var likbenta och rätvinkliga och fyrhörningarna bestod av kvadrat, rektanglar, romb parallellogram och parallelltrapets. Elev 1 förklarade sedan vad denne såg på sin bild för Elev 2. Elev 2 lyssnade och försökte avbilda det han eller hon hörde på sitt tomma papper. Om Elev 2 inte förstod förklaringen eller inte hörde vad Elev 1 sa kunde denne be Elev 1 säga det igen eller berätta vad den själv hade ritat. När de hade gjort klart detta papper hade de ett till papper (Bilaga 3) där Elev 2 skulle förklara på samma sätt som Elev 1 tidigare gjort Lärarintervju Följande frågor ställdes till läraren via mail för att få veta vad läraren erbjuder i undervisningen för att få eleverna att förstå de för studien relevanta plangeometriska begrepp. Övergripande 1. I vilken årskurs undervisar du om cirklar, trianglar och fyrhörningar? Cirklar 1. Vilka egenskaper/kännetecken för cirklar tar du upp? 2. Finns det några ytterligare delar du tycker är viktiga som du går igenom? Trianglar 1. Vilka olika slags trianglar berättar du om, säger du något speciellt om dem? 2. Vilka egenskaper/kännetecken för trianglar tar du upp? 3. Finns det några ytterligare delar du tycker är viktiga som du går igenom? Fyrhörningar 1. Vilka olika slags fyrhörningar berättar du om, säger du något speciellt om dem? 17

19 2. Vilka egenskaper/kännetecken för fyrhörningar tar du upp? 3. Parallellogram och Parallelltrapets, i vilken årskurs nämner du dem? 4. Finns det några ytterligare delar du tycker är viktiga som du går igenom? Bearbetning Läromedelsanalyserna, lärarintervjun samt elevuppfattningarna sammanställs i en tabell där formernas utvalda aspekter redovisas. I tabellen, vid läromedelsanalyserna, redovisas om och när aspekterna erbjuds för eleverna genom att prata om dem eller genom uppgifter men också om eleverna visar förståelse för dem. 5.3 Urval När deltagarna valdes ut till undersökningen använde jag mig av det Emerson (2015) kallar bekvämlighetsurval vilket betyder att deltagare vilka passar undersökningens art medvetet väljs ut och får delta. Fördelen med urvalsmetoden är att det går fort att hitta ett urval av deltagare, nackdelarna kan vara att deltagarna väljs ut från samma geografiska eller socioekonomiska förutsättningar vilket kan påverka resultatet (Emerson, 2015). Jag har precis arbetat med klasserna i årskurs fem och de har just avslutat geometriavsnittet i läromedlet. Samtliga 46 elever i klasserna fick erbjudandet att delta, 29 lämnade in lappen och 22 deltog i undersökningen. Antalet deltagare i en kvalitativ studie behöver vara minst 20 till 30 deltagare för att den ska få publiceras om urvalet är målinriktat (Bryman, 2002; Warren, 2002). 5.4 Reabilitet och validitet Med validitet menas med att de empiriska svar vilka framkommer svarar på undersökningens syfte och frågeställningar. Kvalitativ forskning kan ha ett problematiskt förhållande till validitet eftersom det är tolkningar som utförs av något oklart (Uljens, 1989) till skillnad från kvalitativ forskning vilken undersöker ett redan känt fenomen och därmed ligger problematiken i om denne mäter rätt fenomen. Eleverna fick ingen undervisning om de geometriska begreppen av mig eller fick höra möjliga begrepp under genomgången för att påverka deras uppfattning i minsta möjliga mån. Testsvaren kategoriseras noggrant utifrån frågeställningarna med vilka aspekter av de olika formerna eleverna uppfattat. Reliabiliteten beskriver om den använda metoden är pålitlig, alltså om resultatet skulle bli detsamma i ett annat sammanhang (Uljens, 1989). Resultatet kan givetvis skilja sig vid andra sammanhang men så länge koherensen mellan resultat och framtagna kategorier stämmer överens anses inte metoden bristfällig (Uljens, 1989). I fenomenografiska undersökningar handlar reliabiliteten om hur väl forskaren kategoriserar uttryckta uppfattningar. Kategoriseras därmed det sagda på rätt sätt. Här kommer jag försöka tolka testsvaren noggrant för att kunna beskriva elevernas uppfattningar på bästa möjliga sätt. 18

20 5.5 Etiska principer De etiska principer Vetenskapsrådet (2002) tagit fram för denna typ av arbete följs. De fyra principer jag förhåller mig till är: Informationskravet innebär att elever och i detta fall vårdnadshavare ska få information om vad arbetet handlar om, vad eleverna går med på att göra och arbetets syfte. Eleverna blev tidigt informerade om att en undersökning skulle genomföras om hur elever använder språket inom matematiken. Samtyckeskravet innebär att deltagande är frivilligt och att eleven får välja att hoppa av eller bli utelämnad från arbetet vid önskan. Detta informerades om dels i medgivandeblanketten men också vid testets genomförande. Konfidentialitetskravet innebär att alla elever är anonyma och att det enbart är jag som har tillgång till inspelningar och elevsvar. Efter avslutat arbete informerades elever och vårdnadshavare att undersökningarna raderas och pappren tas bort. Nyttjandekravet innebär att undersökningssvaren enbart kommer att användas till mitt arbete. 19

21 6. Resultat I detta kapitel presenteras insamlad empiri. Läromedelsanalyserna av Matteborgen 4A och 5A samt lärarens svar kommer att sammanställas i en tabell (Figur 1) tillsammans med elevernas visade uppfattningar av lärandeobjekten. Cirklar, trianglar och fyrhörningar kommer att presenteras tillsammans med relevanta kritiska aspekter. 6.1 Empiri I Figur 1 presenteras analyserade aspekter i läromedlen på y-axeln och läromedlen, läraren och elevernas uppfattningar på x-axeln. För läromedel och läraren handlar det om de visar eller erbjuder eleverna dessa aspekter. För eleverna handlar det om de uppfattar aspekterna i sina beskrivningar. Läromedelsanalysernas rutor delas in i två för om förklarande texter (F) eller uppgiftstexter (U) presenterar aspekterna. Läromedelsanalyserna samt lärarsvaren redoglrs för med följande symboler +, +/- och. Enkel additionsymbol (+) betyder att aspekten erbjuds flera gånger eller tydligt, additionsymbol med subtraktionsymbol (+/-) betyder att det till viss del erbjuds och enkel subtraktionsymbol ( ) att det inte erbjuds.vid elevsvaren innebär benämningarna hur mycket eleverna visar i sina uppfattningar. Matteborgen 4A Matteborgen 5A Lärare Elev F U F U Cirkel +/- +/ /- + Storlek Uttryck - +/ Trianglar +/- +/- - +/- + Storlek Form +/ /- Uttryck +/ /- Hörn +/ /- Rotation - +/ Fyrhörningar Kvadrat Storlek + + +/ Uttryck - +/- +/ Hörn - +/ /- Rotation - +/- - +/- - - Rektangel Storlek Form +/ Uttryck +/ /- Hörn - +/ Figur 1. Geometriska former i läromedelsanalys, lärarintervju samt elevsvar. 20

22 Identifierade kategorier som presenteras i Figur 1 är: Storlek Om de olika plangeometriska figurerna erbjuds i olika storlekar eller om de förklarar att de kan vara i det. Form - Med form menas med att trianglar och rektanglar visas i olika former. För trianglar kan det vara rätvinkliga, liksidiga, likbenta eller oregelbundna och för rektanglar kan det vara att de har olika längd och bredd samt variationer av dessa. Uttrycksform Här undersöks om figurerna presenteras ifyllda, streckade eller i form av vardagliga uttrycksformer som skyltar, mattor eller fotbollsplaner. Hörn Här undersöks om formerna förklaras med hjälp av antal hörn. Rotation När formerna har sidor vilka inte är horisontella eller vertikala är de roterade. Här räknas även rektanglar med kortare horisontell sida än vertikal eftersom de sällan förekommer. I Figur 2 presenteras analyserade aspekter i fokus och i vilken utsträckning det syns i läromedel, lärarintervju samt genom elevernas testsvar. De geometriska figurerna är sedan underordnade aspekten där de visar i vilken utsträckning varje figur berör den. Matteborgen 4A Matteborgen 5A F U F U Lärare Storlek +/- + +/- +/- - + Cirkel Triangel Kvadrat + + +/ Rektangel Uttryck +/- + +/- +/- - +/- Cirkel - +/ Triangel +/ /- Kvadrat - +/- +/ Rektangel +/ /- Form +/- + +/- +/- - + Triangel +/ Rektangel +/ Hörn +/ /- Triangel +/ /- Kvadrat - +/ /- Rektangel - +/ Rotation - +/ /- Triangel - +/ Kvadrat - +/- - +/- - - Rektangel - +/ Elev Figur 2. Aspekter i läromedelsanalys, lärarintervju samt elevsvar. 21

23 Cirkel I Matteborgen 4A erbjuds cirklar i tre förklarande textrutor (Figur 3) samt fyra uppgifter. Samtliga cirklar visas i samma storlek, 1 cm i diameter. De visas även i uttrycksformerna ifylld cirkel samt vägmärke. I Matteborgen 5A finns inga cirklar. Läraren beskriver inte cirklar årskurs fyra och fem förutom genom cirkeldiagram. Läraren skriver: Cirkeln jobbar vi inte med under åk 4 och 5 mer än att barnen vet att det heter cirkel. De får då också bekanta sig med cirkeldiagram. I årskurs sex fokuseras det enligt läraren mer på cirklar i form av omkrets och area. Eleverna uppfattar cirkeln som cirkel tillsammans med begreppen stor, liten eller cirkelns storlek i centimeter. En elev säger: En cirkel som är typ tre centimeter lång om man skulle mäta den på något vis (Elev 1, intervju). Klot är det alternativ näst flest uppfattar. Hjul, huvud och högtalare används även för att beskriva cirkeln. Triangel Trianglar presenteras vid tre förklarade texter (Figur 3) i Matteborgen 4A varav sammanlagt fem trianglar förekommer. Trianglarna visas genom tre röda liksidiga trianglar, en grön streckad oregelbunden triangel samt en liksidig triangel med uttrycksformen vägmärke med den övre sidan horisontell. Den rätvinkliga triangeln visas med hörn och sida utskrivna. När omkrets ska räknas ut används den oregelbundna triangeln genom att sidorna mäts. I Matteborgen 5 förekommer en likbent triangel i uppgifterna vilken symboliserar två halva kvadrater. Det finns inga förklarande texter med trianglar. Läraren berättar att trianglar benämns som triangel i årskurs fyra. I årskurs fem arbetar eleverna med gradskiva och triangelns 180-gradiga vinkelsumma. Eleverna presenteras inför hur triangelns area räknas ut, dock utan aktivt arbete. Triangelns area samt definitioner för liksidig, likbent, rät-, spets och trubbvinklig triangel presenteras i årskurs 6. Samtliga elever uppfattar trianglarna som just trianglar utom en vilken först benämner den som rektangel men sedan ändrar sig. Liksidiga trianglar uppfattas som vanlig triangel av en tredjedel av eleverna. Den beskrivs också som triangel med spetsen åt ett visst håll, som fot och en elev beskriver den som kon. En av eleverna säger även: en sådan där triangel med lika långa sidor (Elev 2, intevju). Den rätvinkliga triangeln beskrivs främst enbart som triangel och en tredjedel liknar den med vardagliga ting likt ett gupp och flagga. En elev säger: triangel som ett L (Elev 3, intervju). Triangeln uppfattas också liggande, avlång och likt en halv kvadrat. Ingen uppfattar triangelns hörn. Kvadrat I läromedlen presenteras kvadrater med olika storlek, uttryck och rotation. Kvadratens antal hörn räknas också. I Matteborgen 4A visas kvadrater som rosa, ifyllda och med 22

24 sidorna 2 cm, i tre förklarande texter. I de förklarande texterna visas de tillsammans med andra geometriska former (Figur 3). I uppgiftstexterna finns kvadraten med i ungefär en fjärdedel av dem. De visas genom uttrycksformerna ifylld, streckade och vägmärke. Kvadratens omkrets beräknas även flera uppgifter, för sig själv och tillsammans med trianglar och rektanglar. Flera kvadrater visas med samma färg och uttrycksform men med olika storlek. Kvadratens storlek skiljer mellan 1 cm till 5 cm. Uttrycksformerna är ifylld, streckad och vardaglig uttrycksform som vägmärke. Kvadraten roteras vid ett tillfälle när den uttrycks genom ett vägmärke (Figur 3). I Matteborgen 5B är kvadrater centrala eftersom halva kapitlet behandlar area. Kvadratmeter skrivs både som kvadratmeter och cm 2. I sex av de förklarande texterna presenteras kvadrater, både själva och genom rutnät för att beräkna andra figurers area. I de flesta fall beräknas områden i form av en stor ifylld kvadrat med eller utan rutnät där sidorna mäts för att kunna beräkna dess area. Kvadraterna presenteras i storlekarna 1 cm till 3 cm och presenteras i de flesta fall som cm och i ett fall som meter. Vid ett tillfälle beräknas arean på en kvadrat med uttrycksform som ett rum. Läraren använder sig av begreppet kvadrat och om eleverna säger fyrkant korrigeras dem. Omkrets beräknas enligt läraren. I årskurs 5 nämns parallella sidor, sidors längd, vinklars storlek, samt att kvadratens vinkelsumma är 360 grader. Eleverna uppfattar kvadraterna som just kvadrater. Samtliga elever förutom en benämner dem som kvadrat och en uppfattar den som rektangel. Hälften uppfattar dem enbart som kvadrat och hälften kvadrat tillsammans med dess storlek och ställer kvadraten och romben på bilden mot varandra. En elev säger: i mitten ska det vara en ganska stor kvadrat sen är det en till kvadrat, en mindre, fast sned (Elev 4, intervju). Två elever beskriver kvadraten med dess sidolängd varav en säger: en kvadrat med sidan kanske fyra centimeter (Elev 1, intervju). Rektangel I läromedlen presenteras rektangelns storlek, form, uttryck och rotation implicit och hörn explicit. I Matteborgen 4A:s förklarande texter förekommer rektangeln vid fyra tillfällen. I tre av dem visas den med formen att ena sidan är 1.5 gånger längre än den andra. Rektangeln presenteras i dessa fall tillsammans med andra geometriska figurer (Figur 3). I uppgiftstexterna förekommer rektanglar i ungefär hälften av uppgifterna och de presenteras i olika storlekar. Rektanglarnas former presenteras från under 1.5 gånger bredden till en horisontell längd på 5 gånger bredden. Uttrycksformerna är i tre fjärdedelar av fallen streckade. Är de inte streckade är de ifyllda och vid ett tillfälle som vardaglig uttrycksform, ett vägmärke. Vid ett tillfälle visas en rektangel roterad med den korta sidan horisontellt. Hörn och sida presenteras och skrivs ut på rektangeln. Sidan används sedan för att mäta omkrets. I Matteborgen 5A finns rektangeln med i fem av de förklarande texterna och de visas i olika storlekar. I en av de förklarande texterna visas hur rektangelns area beräknas och sidorna benämns med längd och bredd. Rektangeln finns med i runt hälften av uppgiftstexterna. Arean på sammansatta figurer i bestående av flera rektanglar beräknas. Uttrycksformer rektangeln presenteras med är med kvadratiska rutnät, streckad samt vardagliga uttrycksformer genom simbassänger, fotbollsplaner, mattor och rum. 23

25 Formerna på rektanglarna skiljer sig mellan en längd under 1.5 gånger bredden till en längd på fyra gånger bredden. Rektanglar roteras enbart vid sammansatta figurer. Läraren benämner rektanglar som rektanglar och om eleverna säger något annat korrigeras det. Läraren beskriver parallella sidor, sidors längd, vinklars storlek samt att kvadratens vinkelsumma är 360 grader. Begreppet rektangel uppfattar samtliga utom två vilka uppfattar den som triangel och kvadrat. I fallet där den uppfattas som en kvadrat beskrivs den likt en lång kvadrat. Rektanglarna uppfattas som lång av hälften, resten uppfattar dem som smala, tjocka, liggande, som en pinne och ett öra. En av eleverna säger: Över cirklarna ska det vara en rektangel som har en väldigt kort bredd och jättelång längd (Elev 4, intervju) Eleven förklarar därmed rektangeln med längd och bredd vilken enbart en gjorde. Romb, parallellogram och parallelltrapets Varken romb, parallellogram eller parallelltrapetser visas i någon av böckerna. Läraren skriver att de börjar med parallellogram först i årskurs 6 men att figurer kan beskrivas efter antal hörn. Romben uppfattas av två tredjedelar av eleverna likt en sned kvadrat. Resterande delen ser den som en kvadrat förutom en som uppfattar en sned rektangel. Tre elever säger: Det är typ som en kvadrat, fast sned (Elev 6, intervju). den lutar lite, en kvadrat (Elev 7, intervju). den liknar en diamant, fast det är det inte (Elev 5, intervju). Parallellogrammen förklaras som sned rektangel. Eleverna vilka uppfattar romben som en sned kvadrat använder liknande uttryck för att förklara parallellogrammen. Parallelltrapetsen uppfattas inte som sneda. En av eleverna säger: det är som en rektangel fast den är typ intryckt (Elev 8, intervju). En tredjedel uppfattar inte någon direkt form utan istället förklarar de hur den andra personen ska rita figuren. De elever som behöver förklara hur parallelltrapetsen är ritad har i de flesta fall bild 2 (bilaga 3) och i den bilden är parallelltrapetsen roterad. Den benämns även som fyrhörning, båt och: den ser ut som en sådan där kinahatt utan spets (Elev 6, intervju). 24

26 Figur 3. Plangeometriska figurer i läromedlet. 25

27 7. Analys av empiri I detta kapitel kommer resultatet att analyseras utifrån studiens teoretiska ansats, variationsteorin. Analysen delas in i övergripande aspekter samt de fem aspekter läromedel, lärarintervju och test är baserade på. Matteborgen 4A och 5A fokuserar inte explicit på att variera de plangeometriska figurernas aspekter. De enda aspekterna läromedlet presenterar explicit är hörn och sida vilket kan leda till kunskapsluckor (Lo, 2012). Lo (2012) skriver också att lärarens uppdrag är att identifiera aspekter eleverna inte känner till. Jag har främst valt att analysera de aspekter som kan urskiljas från de presenterade direkta lärandeobjekten i läromedlen och lärarens beskrivning av hur dessa aspekter förmedlas till eleverna. Det direkta lärandeobjekt är till exempel geometriska figurers egenskaper (Lo, 2012). I denna studie presenteras dessa egenskaper genom aspekterna storlek, form, uttrycksform, hörn, och rotation tillsammans med de olika geometriska figurerna. Aspekterna presenteras tillsammans med hur de visas i läromedlen, hur läraren skriver att den arbetar med aspekten samt om och hur eleverna visar aspekten med sina uppfattningar. 7.1 Övergripande aspekter Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv är läromedlens oförmåga att explicit separera figurernas aspekter från lärandeobjektet negativt. Lo (2012) skriver att den gamla kunskapen behöver göras medveten för eleven för att kunna kontrasteras och sedan bygga på nya kunskaper. Presenteras inte aspekterna explicit kan det betyda att individen blir omedveten om aspekten och att ingen relation uppstår (Svensson, 1984). Samtliga plangeometriska former ställs i sin externa horisont när de visas tillsammans med andra plangeometriska och rumsgeometriska figurer (Figur 3) (Lo, 2012). När en kvadrat med sidan 1 cm förklaras både med kvadratmeter och cm 2 sker variationmönstret similaritet. Uttrycken har samma mening men presenteras på olika sätt vilket gör att lärandeobjekten erfars med samma mening genom att använda olika uttryckssätt (Olteanu, 2016). Aspekten användningsområde för kvadraten varieras också enligt similaritet när dess användningsområde som cm 2 används för att räkna ut arean på flera olika figurer intill varandra. I fyra uppgifter visas trianglar i form av en ifylld liksidig triangel och en liksidig triangel i form av den tidigare nämnda roterade vägskylten. Triangelns aspekter uttrycksform och rotation kontrasteras därmed samtidigt. De kritiska dragen ifylld och med en horisontell sida neråt ändras till vägmärke samt med horisontell sida uppåt. Variationsmönstret är därmed fusion (Lo, 2012; Marton, 2014). Fusion sker även när aspekterna storlek och uttrycksform varieras samtidigt när uppgifterna går från att räkna area på en kvadrat med sidan 1 cm i form av en streckad kvadrat till att en kvadrat med sidan 4 m i uttrycksform av ett rum. 7.2 Storlek Aspekten storlek berörs av lärandeobjekten cirkel, triangel, kvadrat och rektangel (Figur 2). Eleverna uppfattar i allmänhet lärandeobjektet cirkeln efter aspekten storlek trots att varken läromedlen eller läraren erbjuder något variationsmönster för cirkelns storlek (Lo, 2012). Eleverna visar att de kan urskilja kontrasten av cirklarnas aspekt storlek i 26

28 testbilden (Olteanu, 2016; Lo, 2012). När de lyckas urskilja aspekten storlek från cirkeln betyder det att har upplevt variationsmönstret separation (Olteanu, 2016). När de sedan visar att de uppfattar de potentiella kritiska dragen stor, liten samt cirkelns storlek i centimeter upplevde de en generalisering eftersom aspekten visas i olika sammanhang (Lo, 2012; Marton, 2014). Kvadraten generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) i läromedlen eftersom enbart aspekten storlek varieras vid ett flertal tillfällen. Aspekt storlek separeras (Olteanu, 2016) därmed. Eleverna uppfattar kvadratens storlek och beskriver dem med dragen stor, ganska stor samt mindre. Det här är ett tecken på elever vilka själva kan kontrastera (Lo, 2012; Marton, 2014) innehållet i läromedlen. Rektanglarnas aspekt storlek presenteras i en bred dimension av variation genom flera storlekar i läromedlet. Lärandeobjektet rektangel generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) genom att enbart aspekten storlek varieras. Eleverna uppfattar dock inte rektangelns storlek under testet. Parallellogram eller parallelltrapetser, vilka inte tas upp i undervisningen förens i årskurs sex, uppfattas inte heller genom aspekten storlek. 7.3 Form Aspekten form berörs av lärandeobjekten triangel och rektangel. Aspekten form är inte relevant för vare sig cirkel eller kvadrat eftersom de enbart har en form. Det direkta lärandeobjektet triangel generaliseras (Lo, 2012) när enbart aspekten form visas upp med dragen liksidig, rätvinklig, likbent och oregelbunden läromedlen. Liksidig, rätvinklig, likbent och oregelbunden triangel separeras (Olteanu, 2016) därmed ifrån triangel som helhet trots att de inte namnges explicit. Läraren skriver att eleverna får reda på begrepp och utseende för liksidig, likbent, rät-, spets och trubbvinklig triangel vilket betyder att även läraren generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2013) triangeln genom aspekten form med tillhörande begrepp. En av eleverna säger även en sådan där triangel med lika långa sidor och visar att den separerat (Olteanu, 2016) aspekten sida från lärandeobjektet triangel. Lärandeobjektet rektangel presenteras i långa och smala eller breda och korta utföranden och erbjuds därmed genom generalisering (Lo, 2012; Marton, 2014). Rektangelns längd och bredd separeras (Olteanu, 2016) därmed från det lärandeobjektet rektangel eftersom alla rektanglar inte måste vara långa eller breda. Även eleverna visar uppfattningen om aspekten form för lärandeobjektet rektangel eftersom de beskrivs efter dragen lång, smal och tjock vilka även kan ses som direkta lärandeobjekt eftersom de är rektangelns egenskaper (Lo, 2012). Romb och parallellogram uppfattas med det kritiska draget sned av eleverna vilket betyder att draget sned generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014). 7.4 Uttrycksform Aspekten uttrycksform berörs av lärandeobjekten cirkel, triangel, kvadrat och rektangel (Figur 2). Läromedlet erbjuder en bred dimension av variation av uttrycksformer. De vanligast förekommenade är ifyllda och streckade uttryck. Cirkeln visas i form av ifylld i en förklarande text och sedan visas cirkelns kritiska drag ifylld i vad Olteanu (2016) och Lo (2012) benämner kontrast i uppgiften under när den visas i form av det potentiella kritiska draget vägmärke. Draget vägmärke generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) sedan till triangel, kvadrat och rektangel. Triangelns form presenteras även som streckad och ifylld. Eleverna uppfattar trianglarna efter de vardagliga uttrycksformerna fot, kon, gupp och flagga. Kvadraterna presenteras genom vardagliga uttryckssätt i läromedlet genom ett rum vilket även generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) till rektanglar. Andra vardagliga uttryckssätt för lärandeobjektet rektangel är 27

29 simbassäng, matta, fotbollsplan och rum. Även eleverna visar att de använder sig av vardagliga uttryck när de beskriver rektanglar som en pinne och ett öra. Rektanglarna i läromedlen är även uttryckta genom dragen rutnät, ifyllda och streckade vilket betyder att rektangeln generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014). 7.5 Hörn Aspekten hörn berörs av lärandeobjekten triangel, kvadrat och rektangel (Figur 2). Hörn är en av två aspekter vilka separeras (Olteanu, 2016) explicit från en av de plangeometriska formerna (Lo, 2012). Hörn separeras (Olteanu, 2016) från rektangeln och ett rätblock. Hörn generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) sedan till kvadrat och triangel. Genom att separera (Olteanu, 2016) hörn explicit har individerna möjlighet att skapa ett medvetande om objektet och bilda en relation till det direkta lärandeobjektet (Svensson, 1984). Även läraren separerar (Olteanu, 2016) aspekten hörn från de plangeometriska formerna och generaliserar dem till samtliga eftersom han benämner former efter antal hörn. Trots fokus kring aspekten hörn är det enbart en elev som uppfattar hörn vid testen när en parallelltrapets benämns som fyrhörning. Eleven visar att den kan generalisera lärandeobjektet hörn till andra figurer eftersom aspekten form är den enda aspekten som varieras (Lo, 2012; Marton, 2014). 7.6 Rotation Aspekten rotation berörs av lärandeobjekten triangel, kvadrat och rektangel (Figur 2) och de gör det bara vid ett tillfälle var. Vid elevtestet finns en parallelltrapets i varje test varav en är mer roterad och den andra mindre. Den mer roterade förklaras i större utsträckning genom hur den är ritad än den andra vilken istället förklaras med liknelser med andra former. Eleverna visar därmed att rotation är en kritisk aspekt och att de inte kan generalisera (Lo, 2012; Marton, 2014) rotation till testfigurerna. 28

30 8. Diskussion Här kommer studiens metod diskuteras i form av läromedelsanalys, test och intervju. Studiens resultat kommer också att diskuteras genom att resultatet kopplas mot andra studier och litteratur. 8.1 Metoddiskussion Jag ville undersöka hur eleverna uppfattar läromedlets terminologi och lärarens syn på sin undervisning. För att undersöka studiens syfte och frågeställningar lämpade sig därmed fenomenografin eftersom dess ledord är hur individer uppfattar fenomen (Uljens, 1989). Att göra en läromedelsanalys var därmed självklar men också att fråga läraren om dennes syn på sin undervisning för att kunna förstå vad eleverna får presenterat för sig. För att undersöka elevernas uppfattningar behövdes även något slags test genomföras med eleverna Läromedel Vid läromedelsanalysen märktes att Matteborgen 5A, vilken eleverna precis arbetat med, inte tog upp de geometriska formerna grundligt. Därav fick även elevernas tidigare läromedel, Matteborgen 4A, analyseras. De geometriska figurerna fick större utrymme där vilket gjorde att jag valde att analysera det också. Analysfrågorna baserades på variationsmönster tillsammans med kritiska aspekter från tidigare studier (Juhlin, 2015; Hasegawa, 1997; Monaghan, 2000; Ilham m.fl., 2013) samt de aspekter jag ansåg intressanta ifrån läromedlet och läraren. Österholm (2008) framhäver nyttan av att läsa andra texter än uppgiftsbaserade och de texter i boken vilka inte var uppgiftsbaserade var de förklarande texterna. I läromedelanalyserna delas aspekterna därmed upp i uppgiftstexter och förklarande texter Test När jag funderade på lämpligt test till studien valdes snabbt ett kommunikationsbaserad test där eleverna förklarar geometriska former. Först gick tankarna till tangrampussel men de valdes bort eftersom de flesta enbart består av någon kvadrat, någon parallellogram samt ett antal trianglar. Det var för få olika figurer för att passa studien. En egen bild skapades istället bestående av egenvalda geometriska figurer. Cirklar i olika storlekar valdes för att variera den aspekten, trianglarna var liksidiga eller rätvinkliga vilka var de vanligast förekommande i läromedlet. Enbart en kvadrat valdes eftersom den har en form, det fick inte vara för många figurer och att romben var med. Rektanglarna valdes för att erbjuda en dimension av variation gällande aspekten form. Den ena var därför smal och lång och den andra var kort och bred. Parallellogram och parallelltrapets valdes för att undersöka om eleverna uppfattar dess formella namn eller dess uppfattning i jämförelse med andra former. För att undersöka elevernas uppfattningar fick eleverna använda sitt talspråk, vilket är ett av matematikens representationsspråk (Bergqvist & Österholm, 2014). Terminologin behövs för att kunna diskutera och resonera enligt Bråting m.fl. (2014) och därför borde det vara en bra metod. Testerna genomfördes i par för att avdramatisera testet och få det att kännas naturligt för eleverna. Paren delades sedan in efter relation till varandra för att de skulle känna sig bekväma. De fick själva bestämma vem som ville börja vilket kan ha påverkat resultatet eftersom den andra berättaren får höra termerna innan. Det liknar metoden Bay-Williams och Livers (2009) beskriver när läraren går igenom 29

31 terminologin först för att effektivt kunna beskriva figurerna. Det kan göra att den andra personen använder sig av första personens terminologi och därför nyttjar ett mer formellt språk (Löwing & Kilborn, 2002). Deltagarfrekvensen var under hälften vilket kan påvisa ett missvisande resultat. Warren (2002) skriver att det behövs minst 20 intervjuer för att publicera en kvalitativ undersökning. Dock är de deltagande eleverna troligtvis mer intresserade av matematik när de själva väljer att delta vilket kan leda till att studien visar bättre resultat än verkligheten. Andra potentiella felkällor är att eleverna behöver koncentrera sig på annat än figurernas aspekter. Flera elever hade problem med att förklara på vilken sida de olika formerna skulle vara och uppfattade inte att höger är höger för båda. Det påverkar inte figurerna direkt men kan ta koncentration ifrån förklaringarna vilket gör att de använder det Löwing och Kilborn (2002) benämner informellt språk. Färgen på formerna är även något mörkare på vissa håll vilket gör att de kan upplevas tredimensionella vilket några elever i studien uppfattat formerna som Lärarintervju Först hade jag tänkt spela in en intervju med läraren men eftersom läraren var sjuk under hela veckan fick mail skickas istället. Jag valde att ställa frågor till läraren vilka först och främst var inriktade mot var och en av cirkel, triangel samt fyrhörningarna. För att få läraren att själv beskriva viktig information om dennes undervisning valde jag att inte förklara mer ingående om hur långa svar jag ville ha. Det gjorde att jag fick reda på den information läraren ansåg viktigast. Hade jag ställt ytterligare följdfrågor hade jag fått ett svar med mer information vilket skulle kunnat visa mer vad eleverna möter i sin undervisning. 8.2 Resultatdiskussion I boken var det tydligt att de plangeometriska formerna som lärandeobjekt syntes både i sin externa horisont samt för sig själv med olika utseenden. Med ett variationsteoretiskt synsätt blev jag även förvånad över hur lite fokus figurernas aspekter fick i läromedlet och hur få beskrivningar det fanns. Eftersom enbart sida och hörn separerades ifrån figurerna får inte eleverna veta övrig information för att kunna förstå dem. Läromedlets upplägg skiljer sig tydligt mot både Los (2012) och Olteanus (2016) synsätt att fokus ska läggas vid att först separera aspekterna från lärandeobjektet för att det ska framstå tydligt. Variationsmönstret fusion förklaras enligt Marton (2014) att aspekterna ska vara separerade sedan innan vilket därmed blir problematiskt. Att inte förklara aspekter resulterar i att eleverna skapar kunskapsluckor och att de senare kan missförstå lärandeobjektet (Lo, 2012). Det är i de förklarande texterna denna typ av aspekter lämpligtvis bör presenteras. Om dessa texter fick större utrymme i läromedlet anser jag att eleverna skulle få en bättre förståelse för de figurerna när de väl jobbar med uppgifterna. Österholm (2008, 2014) samt Löwing och Kilborn (2002) poängterar vikten av att eleverna får arbeta med förståelse vilket jag anser uppstår när eleverna får diskutera och använda matematik på annat sätt än bara lösa uppgifter i hög takt. Österholm (2008) poängterar också behovet av andra matematiska texter än uppgiftstexter. Även de skönlitterära böckerna Bay- 30

32 Williams och Livers (2009) nämner anser jag vore en god idé eftersom det får eleverna att förstå att matematik är mer än att bara lösa uppgifter. Genom att använda sig av böcker visar det även kommunikationens roll inom matematiken och jag anser likt Morgan m.fl. (2014) ena synsätt att matematik och språk hör ihop. Hasegawa (1997) skriver att det är lärarens roll att lära eleverna terminologin, speciellt när den ska byggas upp från grunden och även Bergqvist och Österholm (2014) poängterar att vikten av att läraren använder terminologi i sina samtal med eleverna. Det har blivit tydligt för mig att lärarens roll för elevernas terminologi är viktig inte minst med tanke på att matematiska texter är komplicerade precis som Chapman (1995) skriver. Bristen på förklaringar av aspekterna i läromedlet gör att läraren själv behöver ta upp dem i undervisningen och synliggöra dem på det sättet Lo (2012) och Olteanu (2016) beskriver. Läraren känner eleverna bäst och kan därför se till att möta eleverna på deras nivå med ett informellt språk till en början för att sedan när förståelsen är uppbyggd börja använda ett mer formellt språk muntligt, skriftligt, läsligt och genom bilder som Rubenstein och Thompson (2002) förespråkar. Använder läraren sina kunskaper om eleverna blir de inte heller utan de matematiska termer Löwing och Kilborn (2002) beskriver kan hända om krav på formellt språk glöms bort. Jag anser att läraren underlättar sin egen undervisning om eleverna får lära sig att använda det matematiska språket. Genom att tydligt gå igenom relevanta termer i förväg kan terminologiska missförstånd föregås på det sätt Bay-Williams och Livers (2009) nämner. Att blanda ihop betydelsen av ord mellan vardagsspråk och matematiskt språk som Rubenstein och Thompson (2002) beskriver är vanligt minskar givetvis också om eleverna fått termerna förklarade för sig. Att arbeta på det här sättet tror jag resulterar i djupare och mer givande matematiska samtal och att de med terminologins hjälp även avancerar i sitt matematiska tänkande. Enligt Bergqvist och Österholm (2014) effektiviseras kommunikationen i klassrummet vilket gör att undervisningen blir effektivare. Jag tror att det i förlängningen leder till bättre elever och att läraren därmed blir en av många lärare i klassrummet. Det visar även att kommunikationens roll inom matematiken är av stor vikt och hör ihop likt Morgan m.fl. (2014) ena synsätt att matematik och språk ska ses som ett. 8.3 Slutord och förslag till framtida studier När jag skrivit arbetet har många tankar kommit fram kring vilka delar som är viktiga för att få eleverna att bli duktiga i matematik. Dels ett brett innehåll finnas med i läromedlet utan att överskölja eleven med information och sedan ska läraren ha bra vetskap om vad som finns i läromedlet för att kunna välja ut och komplettera med det viktigaste. Att undersöka det tar både tid och energi. Jag tror dock att det underlättar för läraren vilket resulterar i att undervisningen effektiviseras och att eleverna lär sig mer. Eftersom alla skolor inte använder samma läromedel vore det intressant att undersöka vilken bild av det geometriska området övriga läromedel i skolorna erbjuder. Det vore också intressant att ta reda på hur skolor eller kommuner resonerar när de väljer ett läromedel i matematik. Lärarens betydelse för att se till att eleverna får de grunder de behöver i matematik har förtydligats för mig. Därför vore det intressant att undersöka hur matematiklärare 31

33 resonerar när de planerar undervisning för att komplettera de kunskapsluckor läromedlet inte erbjuder. 8.4 Slutsats Aspekterna storlek, form, uttryck, hörn och rotation analyserades i läromedlen och lärarens beskrivning av sin undervisning. Läromedelsanalyserna visar att aspekterna form, storlek och uttryck varieras i hög grad. Rektanglar och trianglars former presenteras i många olika utföranden vilket gör det möjligt för eleverna ut förstå formerna. Flera figurer visades som ifyllda, streckade och genom vardagliga uttrycksformer vilket ger möjligheten att se figurerna på flera sätt. Aspekten rotation var till skillnad från form, storlek och uttryck mycket frånvarande i läromedlen och det var enbart vid ett par tillfällen figurerna roterades. Läraren arbetar medvetet med terminologi för att benämna figurerna och vid de fall eleverna inte använder rätt begrepp korrigerar läraren eleverna. Figurernas antal hörn räknas enligt läraren för att kunna benämna figurerna när inte de inte känns igen, även de med fler hörn är fyra. Läraren skriver: Lär också ut att man benämner flerhörningar efter antalet hörn såsom fem- och sexhörning osv Eleverna visar tydligt att de är ett resultat av sin undervisning genom att de visar sina uppfattningar om aspekter från främst läromedel men också lärarens undervisning. Eleverna benämner formerna efter dess formella namn i stor utstreckning. De nämner dock inte de liksidiga och rätvinkliga trianglar vilket de inte fått undervisning om än samt romb, parallellogram, paralleltrapets som de får lära sig i årskurs 6. Eleverna uppfattar också aspekterna storlek och form i stor utsträckning i enlighet med läromedlet. Få elever visar däremot kännedom vid aspekter som hörn och vinklar. Speciellt rektanglar beskrivs efter dess form med speciellt draget lång, men också smal och tjock. Eftersom läromedlet ofta generaliserar rektangeln genom form indikterar det att eleverna speglar läromedlet i stor utsträckning. Dessa slutsatser indikerar att behovet finns av en lärare som kompletterar undervisningen efter läromedel. För att eleverna ska kunna skapa förståelse för de geometriska formerna behöver de få undervisning om formernas avgörande aspekter. Poängteras aspekterna explicit i undervisningen kommer de också kunna urskilja dem och få en djupare förståelse för vad som är och inte är en viss form. 32

34 Referens: Bay-Williams, J. M., & Livers, S. (2009). Supporting MATH Vocabulary acquisition. Teaching Children Mathematics, (4), Bergqvist, E., Österholm, M. (2014). Språkbrukets roll i matematikundervisningen. Nämnaren: tidskrift för matematikundervisning, 1, Burton, L. & Morgan, C. (2000). Mathematicians writing. Journal for Research in Mathematics Education, 31, Bryman, A. (2002). Samhällsvetenskapliga metoder. 1. uppl. Malmö: Liber ekonomi. Bråting, K., Sollervall, H., & Stadler, E. (2013). Geometri för lärare. Lund : Studentlitteratur. Chapman, A. (1995). Intertextuality in School Mathematics: The case of functions. Linguistics And Education, 7(3), Cowen, C. C. (1991). Teaching and testing mathematics reading. American Mathematical Monthly, 98 (1), Emerson, R. W. (2015). Convenience Sampling, Random Sampling, and Snowball Sampling: How Does Sampling Affect the Validity of Research?. Journal Of Visual Impairment & Blindness, 109(2), Emanuelsson, G. (1996). Matematik - ett kommunikationsämne. 1. uppl. Mölndal: Institutionen för ämnesdidaktik, Univ. Fuentes, P. (1998). Reading comprehension in mathematics. Clearing House, 72 (2), Hasegawa, J. (1997). 'Concept formation of triangles and quadrilaterals in the second grade', Educational Studies in Mathematics 32, Ilham, R., Zulkardi, Z & Darmawijaya, D. (2013). Constructing Geometric Properties of Rectangle, Square, and Triangle in the Third Grade of Indonesian Primary Schools. Journal On Mathematics Education, 2, Juhlin, E. (2015). Traces of Mathematical Facts and Students Understanding of the Concept `Quadrilateral : An enquiry into young students communication. Licentiatavhandling, Luleå University of Technology, Department of Arts, Communication and Education. Konior, J. (1993). Research into the construction of mathematical texts. Educational Studies in Mathematics, 24, Krygowska, Z. (1969). Le texte mathématique dans l'enseignement. Educational Studies in Mathematics, 2,

35 Lo, M.L. (2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. Marton, F. (2014). Necessary conditions of learning. London: Routledge. Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Marton, F., & Tsui, A. (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.: L. Erlbaum Associates. Marzano, R. J. (2004). Building background knowledge for academic achievement. Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development. Monaghan, F. (2000). What Difference Does It Make? Children's Views of the Differences between Some Quadrilaterals. Educational Studies In Mathematics, 42(2), Morgan, C., Craig, T., Schuette, M., & Wagner, D. (2014). Language and communication in mathematics education: an overview of research in the field. ZDM, 46(6), Mullis, I. V. S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 International Mathematics Report: Findings from IEA s Trends in International Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades. Chestnut Hill, MA, USA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College. Olteanu, C., Olteanu, L. (2012). Subtraction: the improvement of communication through critical aspects. Proceedings of The 14th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics: WMSCI 2010, Olteanu, C., Fors, J. (2013). Levels of thinking and critical aspects: Congress of European Research in Mathematics Education. CERME 8, Olteanu, L. (2016). Opportunity to communicate: The coordination between focused and discerned aspects of the object of learning. Journal Of Mathematical Behavior, Pimm, D. (1987). Speaking mathematically: communication in mathematics classrooms. London: Routledge & Kegan Paul. Riccomini, P. J., Smith, G. W., Hughes, E. M., & Fries, K. M. (2015). The Language of Mathematics: The Importance of Teaching and Learning Mathematical Vocabulary. Reading & Writing Quarterly, 31(3),

36 Rubenstein R, Thompson, D (2002). Understanding and Supporting Children's Mathematical Vocabulary Development. Teaching Children Mathematics. 9(2), Schleppegrell, M. J. (2007). The Linguistic Challenges of Mathematics Teaching and Learning: A Research Review. Reading & Writing Quarterly, 23(2), Skolverket. (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11. Stockholm: Skolverket. TNCs skrivregler. (1986). Stockholm: Tekniska nomenklaturcentralen. Uljens, M. (1989). Fenomenografi: forskning om uppfattningar. Lund: Studentlitteratur. Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet. Warren, C. A. B. (2002). Qualitative Interviewing, in J. F. Gubrium and J. A. Holstein (eds), Handbook of Interview Research: Context and Method. Thousand Oaks, CA: Sage. Österholm, M. (2008). Do students need to learn how to use their mathematics textbooks?: The case of reading comprehension. Nordisk matematikkdidaktikk, 13(3), Österholm, M., Bergqvist, E. (2013). What is so special about mathematical texts?: Analyses of common claims in research literature and of properties of textbooks. ZDM - the International Journal on Mathematics Education, (5), doi: /s

37 Bilagor Bilaga 1 - Medgivandeblankett Hej! I och med att jag går sista året på grundlärarprogrammet för 4-6- lärare på Linnéuniversitetet ska jag genomföra ett självständigt arbete i matematik. Jag har valt att undersöka hur elever i årskurs 5 uppfattar och visar sina kunskaper från matematikbokens geometriska avsnitt genom att prata. Anledningen till varför jag inriktar mig på detta är eftersom läroplanen till stor del uppmuntrar att tala och resonera kring matematik och geometri är väldigt tacksam att diskutera. Jag kommer att undersöka detta med hjälp av att eleverna förklarar geometriska former för varandra. De kommer att sitta vända mot varandra utan att se varandras bilder och sedan försöka förklara hur de ser ut så att den andra personen förstår. Eventuellt kommer jag att behöva intervjua några elever i efterhand om jag inte får tillräckligt med material. De som intervjuas kommer att väljas ut slumpmässigt. För att kunna lyssna på dem i efterhand behöver jag göra en ljudupptagning(inte bild) under tiden de gör uppgiften samt den eventuella intervjun. Undersökningen kommer att ske någon dag i vecka 49 eller 50. Jag kommer att följa vetenskapsrådets fyra forskningsetiska principer. De är informationskravet, vilket innebär att ni ska få information om vad uppgifterna har för syfte. Samtyckeskravet, att det är frivilligt att vara med och att ni får välja att hoppa av eller bli utelämnade från arbetet när ni vill. Konfidentialitetskravet, att alla elever är anonyma och att det enbart är jag som har tillgång till inspelningar och elevsvar (efter avslutad arbete kommer undersökningarna att raderas och tas bort). Nyttjandekravet, att de enbart kommer att användas till mitt arbete. För att jag ska kunna utföra detta behöver jag därmed målsmans samt elevens medgivande och jag skulle därför vara väldigt tacksam om jag kan få er hjälp. Lämna in lappen nedan senast tisdagen den 6/12. Har ni några frågor är det bara att ringa eller maila. Tack på förhand, Lasse Magnusson lm222hi@student.lnu.se Samtycke för Jag/Vi samtycker till att material där mitt/vårt barn finns med får användas enligt ovan Undersökning JA ( ) NEJ ( ) Intervju JA ( ) NEJ ( ) Vårdnadshavarens underskrift 36

38 Bilaga 2 Bild 1 Namn: Par med: 37

39 Bilaga 3 Bild 2 Namn: Par med: 38