Array Processing. Markus Drevö & Stefan Johansson

Transkript

1 Array Processing Markus Drevö & Stefan Johansson Two Decades of Array Signal Processing Hamid Krim and Mats Wiberg Beamforming: : A Versatile Approach to Spatial Filtering Barry D. Van Veen and Kevin M. Buckley 1

2 Disposition Introduction Sensor Arrays (Gruppsensorer) Beamforming (Lobformning) Subspace methods (MUSIC) Parametric methods Applications Questions Exercises 2

3 Introduction Estimation of spatial and temporal parameters An array is used to filter signals in a space-time field by exploiting spatial characteristics Fuse data collected at several sensors History 1887 Heinrich Herz began experimenting with radio waves. He discovered that radio waves are transmitted by some materials and reflected by other. World War II, radar Navigate ships Guide airplanes Detect enemy craft 3

4 Assumptions Plane wave Narrowband Superposition Sensors Point receivers at spatial coordinates Flat frequency responce over the signal bandwitdth 4

5 Uniform Linear Arrays N sensor elements located at z-axis Location of sensor elements r = r zn [ 0 0 r ] = n zn T N 1 d, 2 d = 0,1, KN 1 5

6 Uniformly Weighted Linear Arrays Array response y L * H () t w x = w x() t = l=1 Uniform weights: w l l l 1 =, l = 0,1, K, L L 1 Beam pattern B θ ( θ ) = 1 L L sin 2 1 sin 2 2π cosθ d λ 2π cosθ d λ 6

7 Uniformly Weighted Linear Arrays L = 11, d/λ = 0.5 L = 5, d/λ = 0.5 7

8 Uniformly Weighted Linear Arrays L = 11, d/λ = 0.25 L = 5, d/λ =

9 Why Beamforming? Receive signals from specific location Attenuate sources at other locations Noise reduction 9

10 Beamforming Methods Classical Beamforming FIR filter Maximize or Minimize output power in certain direction Data independent Statistically Optimum Beamforming Data dependent Wheights based on received data statistics Adaptive Beamforming Used when received data statistics is not known Ergodicity assumption -> statistics and weights can be estimated 10

11 Classical Beamforming Maximize output power Signal x ( t) = A θ s t + n Solution: a w cosθ for ULA Limitation Electrical angle: ( ) ( ) ( t) ( θ ) ( θ ) a( θ ) Standard beamwidth for ULA: = a H a ( θ ) = [ 1 e K] jkd ω φ = d cosθ c 2π L Picture 4, page 73 in Two Decades of Array 11

12 Statistically Optimum Beamforming Assumption: Data is wide sense stationary Second order statistics are known Multiple Sidelobe Canceller + Simple - Requires absence of primary from auxillary data Reference Signal + Direction of desired signal unknown - Requires reference signal Max SNR + True maximization of SNR - Requires known R s and R n Linearly Constrained Minimum Variance (LCMV) + Flexible and general constraints - Computation of constrained weight vector 12

13 Statistically Optimum Beamforming Capon s Beamformer Minimum Variance Distortionless Response filter Variant of LCMV: min w H ( w R w) x w H a( θ ) = 1 Rˆ 1 a( θ ) Solution: w = a H 1 ( θ ) Rˆ a( θ ) Solution: 13

14 Adaptive Beamforming Second order statistict generally not known Two basic approaches: Block adaptation Continuous adaptation Standard adaptive filter configuration 14

15 MUSIC (MUltiple( SIgnal Classification) Subspace method DOA - estimator Weakness: Fails to resolve closely spaced signals in small samples and low SNR Strength: Statistically consistent estimates Assumptions Spectral decomposition can be expressed as R = APA APA H H full rank σ I = U Λ U +σ U s s H s n U H n 15

16 MUSIC spectrum spectrum Definition of the MUSIC spatial spectrum P M P M ( θ ) ( θ ) = a a H H ( θ ) a( θ ) ( θ ) Πˆ a( θ ) ˆ = Π H U ˆ nu ˆ n is not a true spectrum, merely the distance between two subspaces 16

17 MUSIC examples Example 1 Sources at 80 and 90 degrees 10 sensors 100 samples d=0.5λ Example 2 Sources at 89 and 90 degrees 10 sensors 100 samples d=0.5λ 17

18 MUSIC Example db Angle [deg] Angle [deg] 18

19 MUSIC Example db db Angle [deg] Angle [deg] 19

20 Parametric Methods Previous methods not good enough for highly correlated or coherent data Increased efficiency and robustness Computationally worse than earlier methods Most frequently used Maximum Likelihood 20

21 Applications Radar Weather analysis and forecasting Guide airplanes Sonar Communications Seismology Detection and location of underground nuclear explosions Imaging of structure and physical properties of the ground Tomography Medical applications Industrial Automatic monitoring and fault detection/localization Product quality assurance in a manufacturing environment 21

22 Questions Arrays Hur robusta är r skattningsmetoderna mot fel i antennarrayen, tex varierande avstånd mellan antennerna? Vad är r det för f r likheter/skillnader/fördelar/nackdelar rdelar/nackdelar mellan en array av sensorer och riktade sensorer (eller är r det samma sak). När r skall man placera arrayen linjärt respektive cirkulärt rt (för r och nackdelar) I de två artiklarna talas i huvudsak om arrayer som är ekvidistanta(i vinkel eller avstånd), finns det någon n fördel f med detta, förutom f att analys och design blir lättare? l Skulle en oregelbunden struktur kunna geförb rbätrad prestanda? 22

23 Questions Beamforming I samband med beamformers löser man olika typer av optimeringsproblem, så att man hela tiden får en explicit lösning, kan man tjäna något på att formulera ett mer koplicerat opt.prob. som beskriver situationen bättre?? (Detta( kommer kosta mer beräkningskapacitet.) s.73: Hur relateras kriterierna för "Convential beamformer (Bartlett) formel (25) : max E{w'*x*x'*w} med Capon's beamformer i formel (30) min P(w), då w'*a=1 Tabell 4.1 med olika optimala lobformare tycker jag är intressant. Hur härleder man de olika optimala viktvektorerna? Vilket samband finns mellan de optimala lobformarna och Wienerfilter och linjär regression. Uttrycken verkar vara liknande. Hur får man ekvation 4.1 från tabell 4.1? 23

24 Questions MUSIC KrimViberg diskuterar skilnaderna mellan parametriska och icke- parametriska metoder. Där D r nämns n att parametriska har bättre b prestande men högre h beräkningskrav. Senare visar det sig att 'MUSIC' klarar sig mycket bättre b än beam-forming (båda icke-parametriska). Är förhållandet mellan beräkningskrav och prestanda linjärt eller vilken metod är r egentligen bäst? Varianter påp MUSIC använder nder en viktmatris och en av de bättre b visas i (38). Vad intuitione i att man bara tittar påp en av brustermerna? W blir ju en matris med en ett påp position 1,1 och nollor i övrigt. Vad är största anledningen till att MUSIC och liknande verkar fungera bättre än de mer tradionella metoderna? Är det uppdelningen i signal resp brus del? Hur känslig är algoritmen då man använder få data att bilda R-matrisen? R Kan man använda nda DOA-metoderna i artikeln för f r bredbandig DOA- frekvensskattning genom att bara ersätta rumsstyrvektorn med en rumstidsstyrvektorn på samma sätt s som artikeln "Beamforming" Beamforming..."? 24

25 Questions Other Det talas mycket om spatialt spektrum i artikeln, klassiskt och "pseudospektrum" (i MUSIC-fallet fallet). Finns det någon allmän definintion på ett spatialt spektrum? Vilka analogier finns till temporalt spektrum? Ofta pratar man om asymtotiska resultat (antalet tidssampel,, antal antennelement -> > oändligheten). o Är r sådana s resultat användbara ndbara dåd man t.ex. i radarsammanhang brukar ha väldigt v fåf tidssampel och antal antennelement? I början av artikeln av Krim & Viberg pratas det om vågekvationen, men efter det lämnar man det faktum att det rör sig om partiella la differentialekvationer (PDE). Finns det något att vinna på att använda teorin kring PDEer i detta sammanhang? Flervägsutbredning (multi-pathing)) är ett problem i många tillämpningar. Vilka metoder används i praktiken för att lösa detta, t.ex. i GSM-näten näten? 25

26 Questions Other Greppar ej Maximum Likelihoodmetoden påp sid 77 i Krim & Viberg.. Hur kommer de egentligen fram till (54)? Hur beror högerledet till (54) av theta? I Krim och Viberg näms något om hur bra olika metoder påp att hantera brusig data. Några N algoritmer bedöms som good och några n som efficient,vad är r skillnaden? Finns det något n mer att säga s om vilka metoder som är r lämpliga l dåd man har ett dåligt d SNR förhf rhållande? 26

27 Exercises Exercise 1: a) Jämför ULA med vikter 1/L, Classical Beamforming och Capon s Beamformer (från artikeln Two Decades of.. ). Filen GenerateArrayResponse.m generarar signalen från en ULA där den sökta signalen kommer från DOA 45º och ett antal a störkällor existerar. Parametrar för ULA:n finns i m-filerna och utsignal från sensorer i variabeln x. b) Samma som uppgift 1a men använd signalen genererad av Array_with_Handel.m. Den korrekta Händel stycket kommer från källan vid DOA 35º. Exercise 2: Lokalisera de två källorna I signalen genererad av GenerateArrayResponse_MUSIC.m med hjälp av MUSIC algoritmen (pmusic( i Matlab). Testa även att ändra avståndet mellan källorna, antalet sensorer i arrayen,, antalet data och brusnivå. (Utsignal från sensorer i varibeln x) 27

28 Other information sources Web page for the book: Optimal Array Processing, Harry L. Van Trees Matlab functions: pmusic - MUSIC algorithm rootmusic - Root-MUSIC algorithm 28