Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 en bok om matematikens användningsområden skriven av Marcus Näslund. Mer info:

Transkript

1 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 1 SPORT OCH SPEL Matematik för såväl mentala som fysiska ansträngningar Ekvationslösning, matematiska resonemang, sannolikhetsteori Räkna med slumpen Det var i och med att olika spel såsom tärningsspel och kortspel blev populära och den franska adeln började förlora stora summor som sannolikhetsteorin först blev en matematisk gren. Denna fascination började på 1500-talet och har bara vuxit sedan dess, slumpen är idag ett viktigt beräkningsverktyg. Inom många olika tillämpningar känner vi inte till allt som påverkar det vi vill mäta. Att kunna räkna med slumpen, flera olika värden samtidigt, ger förvånansvärt bra resultat. Sport och spel är tydliga exempel på hur slumpen är en viktig faktor. Ingen känner till alla faktorer som påverkar en kommande match. De som är insatta kan göra goda förutsägelser, men ingen kan veta säkert förrän vinnaren korats. Vore det inte för denna osäkerhet skulle spelbolagen inte ha någon marknad alls. Korrekta matematiska resonemang, statistik och sannolikhetsteori är ovärderliga verktyg i spelsammanhang. Angivelser om hur sannolik en händelse är, till exempel att lag A vinner mot lag B, beräknas tillsammans med erfarna och inom sporten pålästa människor. Sannolikhetsteori, som ursprungligen utvecklades för att kunna vinna på spel, används fortfarande för detta ändamål även om ämnet idag är bredare än så. När mobiltelefoni växte fram i USA auktionerades frekvenser ut till olika telefonbolag. I brist på experter inom området visade det sig att tillämpningsområden som spelteori gav de bästa och mest rättvisa metoderna att ordna försäljningarna på. Inte ens löparbanan går fri från matematiken. De yttre banorna är längre än de inre. Eftersom man vill att alla löpare ska nå mållinjen efter lika lång sträcka så måste de yttersta löparna börja framför de innersta. Frågan om hur mycket längre bakom de ska starta har inte ett självklart svar (utan matematikens hjälp, det vill säga). Andra exempel på sportrelaterad matematik som inte riktigt är på samma tema är inom materialvetenskap där kunskaper i kemi, fysik och matematik blandas för att ta fram bättre, starkare och hållbarare redskap (till exempel tennisracketar, hjälmar och skor). Golfbollar är som bekant fulla av gropar eftersom detta förbättrar deras flygförmåga. Just hur dessa gropar ska se ut och placeras för bästa resultat kan visas med ekvationer inom aerodynamik. Beräkningar av odds En sannolikhet betecknas matematiskt med 0 (0 %) om det är omöjligt, och 1 (100 %) om det garanterat kommer ske. Däremellan används decimaltal för att indikera andra sannolikheter: 0,1 innebär en mycket osannolik händelse och 0,9 en mycket sannolik händelse. 1 0,5 innebär en chans. Inom bettingsammanhang omräknas sannolikheter till hur mycket pengar en spelare kan tjäna vid en korrekt gissning och benämns oftast odds. En händelse som är mycket sannolik ger inte så mycket pengar och har kanske 1,1 i odds. Det vill säga, personen vinner endast 1,1 gånger de satsade pengarna om denna 1 Är det fyra gånger mer sannolikt att något sker än att det inte sker är sannolikheten 0,8. Detta kan också uttryckas som fyra mot ett eller skrivas 4:1. Så kommer dock sannolikheter ej skrivas i denna bok.

2 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 2 har rätt. En mycket osannolik händelse kan istället ge kanske 7,8 eller 25 i odds. En potentiellt större vinst, men mindre sannolikhet att det faktiskt blir vinst alls. Att anpassa oddsen korrekt är svårt och görs med goda insikter i de sporter som det gäller. Sannolikheterna måste beräknas (ungefärligt, såklart) och oddsen anpassas så att de är tillräckligt höga för att folk ska vilja spela men samtidigt tillräckligt låga för att företaget inte ska riskera att gå i konkurs. För alla sorters skraplotter genomförs samma beräkningar. Antalet lotter med vinst bestäms utifrån hur stora vinsterna är och hur stor sannolikhet det är att alla vinstlotter hinner skrapas inom en viss tid. Spelföretaget måste se till att ha tillräckligt med pengar att kunna betala ut dessa vinster och därför hinna sälja övriga lotter och få in pengar på det viset först. Dessa statistiska beräkningar kan tas till sin spets och hela sportligor kan placeras i statistiska sammanhang, vilket är vanligt i fotboll och baseboll. 2 Med resultat från uppmätta data (vinster, förluster, spelarkostnader, senaste matcher mot samma lag) och analyser av olika mönster försöker tävlande designa ekvationer som kan förutsäga framtida matcher. Sannolikheter i matematik betecknas oftast med ett P efter engelskans probability. Den händelse det avser skrivs inom parentes efter. Till exempel betecknas sannolikheten att på en tärning få en trea som. Sannolikheten för en händelse beräknas sedan som antalet gynnsamma utfall, alltså de möjligheter man är intresserad av, dividerat med det totala antalet möjligheter. Låt säga att en fotbollsspelare under sin karriär lagt 16 straffsparkar och gjort mål på 7 av dem. Sannolikheten för mål respektive inte mål är enkelt uttryckt: Det är alltså mer sannolikt (56 %) att det inte blir mål på nästa straff. Här kan ännu mer matematik läggas in. Kanske var de flesta missarna för flera år sedan och spelaren har hunnit bli mycket bättre sedan dess. Borde de senaste straffarna påverka sannolikheten mer? Hur långt tillbaka borde historik tas med i beräkningarna? Viktiga frågor för att kunna bestämma bra odds. Att bestämma vem som är bäst Ofta vill personer i sportbranschen kunna uttala sig om hur bra olika personer eller lag är i förhållande till varandra, även utanför tävlingar. De får en viss rankning, ett tal som talar om hur bra de lyckats mot andra. Att rättvist dela ut en rankning är en svår sak. Inte heller finns det någon självklar formel, det är istället något som måste resoneras fram med matematiska kunskaper. Samtidigt måste formeln kunna motiveras och bevisas kunna fungera, så att de bästa lagen faktiskt representeras som bäst. Inom fotboll har det internationella organet FIFA ett poängbaserat rankningsystem, där fler poäng betyder ett bättre lag. Den enklaste varianten är att ett lag får en poäng om det vinner en match och förlorar ett poäng om de förlorar en match. En metod som snabbt kan bli problematisk. Bland hundratals fotbollslag bör ett lag tjäna mer på att vinna en match mot världens bästa än mot världens sämsta. Hur många poäng bör det skilja? 2 Konceptet är känt som statistical soccer och statistical baseball i USA. Dessa är de vanligaste sporterna i detta sammanhang, men samma sak fungerar självklart på vilka som tävlingar helst där tillräckligt med data finns att räkna på.

3 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 3 Samtidigt kan inflation förstöra systemet och måste undvikas. Om ett lag får lika mycket poäng för varje vinst så kommer de bättre lagen snabbt kunna dra ifrån de sämre lagen, och då kommer det i framtiden inte synas om något av bottenlagen blivit bättre. För att klättra upp på listan behöver de i så fall orättvist många poäng eftersom skillnaden hunnit bli stor. Ett vanligt sätt att beräkna poängbaserade rankningar av detta slag kallas Elosystemet, döpt efter dess utvecklare Arpad Elo, professor i fysik. Det används idag i många olika sporter som fotboll, basket, baseboll och brädspel som schack, backgammon och go. Vi tänker oss någon sport där spelare A utmanas av spelare B. Det kan röra sig om individer eller hela lag, det gör ingen skillnad. Poängräkningen baseras i Elo-systemet enligt följande idé: om en spelare har 400 Elo-poäng mer än sin motståndare är det 10 gånger mer troligt att denna vinner. Om en spelare har 800 poäng mer än sin motståndare är vinstsannolikheten då gånger större jämfört med motståndaren. Förväntat vunna poäng för spelare A, som varierar beroende på motståndarens styrka, beräknas med: Förväntat vunna poäng ger alltså en indikation för hur stor vinstchansen är. Om låg vinstchans och vice versa. är lågt betyder det en Här används och som beteckningar för hur många poäng (vilken förväntad spelstyrka) spelare A respektive B har. Denna ovanstående är alltså ett mått på det mest sannolika värdet för spelare A:s antal vunna poäng. När matchen eller partiet sedan spelats går det att konstatera hur många poäng som spelare A faktiskt vann,. Kanske ingen alls, om matchen blev en förlust? Poängen uppdateras efteråt med K är en konstant med olika värden hos olika organisationer. Värdet kan också varieras beroende på hur många poäng spelaren redan har, den behöver inte vara densamma för alla spelare. Däremot måste den självklart väljas på ett sätt som gör rankningen rättvis för alla och denna rättvisa måste kunna bekräftas matematiskt. Elo och andra liknande system används inte enbart bland sporter i gammal benämning utan också i stor utsträckning hos e-sporter, dator- och tv-spel, för att kunna matcha spelare med jämbördiga motståndare. Varianter av Elo används på sökmotorer på internet för att bestämma vilka sidor som är mest relevanta enligt vad du sökt efter. Denna teknik kallas Pagerank, uppkallad efter Larry Page som tillsammans med matematikern Sergey Brin först grundade företaget Google Här tydliggörs återigen styrkorna med abstraktion och generalisering. Nästan samma idéer och ekvationer som används för Elo-systemet för sporter tillämpas här på hemsidor. Istället för att ett lag vinner över ett annat hanteras här vilka hemsidor som länkar till andra. Om ingen länkar till en viss hemsida anses den inte så viktig. Skulle istället många länkar leda till hemsidan får den fler poäng och hamnar högre upp på listan med sökresultat. Matematik för att vinna Trots att slumpen är den dominerande faktorn i vanliga spel kan många människor ofta förbättra sina strategier. Slumpmässiga spel såsom kortspel och vanliga casinospel som roulette kallas för stokastiska, till

4 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 4 skillnad från brädspel som schack och go där all information alltid är tillgänglig. De benämns istället som deter-ministiska. Ett deterministiskt kortspel skulle innebära att alla kort alltid var uppvända och alla spelare fick veta hur leken var blandad i förväg, men det skulle istället förstöra nöjet med spelet. Spel som bingo eller slantsingling är också slumpmässiga (sto-kastiska), men är för simpla för att val av strategi ska ha någon på-verkan. 3 Kortspel som Blackjack och Poker är tillräckligt komplexa för att olika strategier ska kunna ge olika resultat och är alltså de som är intressanta i sammanhanget. Någon ofelbar strategi som garanterar vinst existerar inte, i och med att spelen är stokastiska. Du kan ha otur. Trots det kan man säga att en strategi är bäst om den har störst sannolikhet att lyckas, även om det finns en viss sannolikhet att man en dag ändå bara förlorar med den. I kortspelet Blackjack är målet att som spelare få högre poäng än dealern utan att få mer än 21. Knektar, damer och kungar räknas som 10. Ess räknas som 1 eller 11, spelaren väljer det som passar bäst. Du som spelare börjar med två kort och kan be om nya tills du är nöjd eller fått mer än 21 och därmed förlorat. Således betyder två damer tjugo poäng. Ess, trea och femma ger eller poäng. Att använda sina kunskaper i matematik för att förbättra sin chans att vinna i kortspel brukar kallas att räkna kort och har i många fall klassats som fusk av casinon och spelbolag. Så ska det självklart inte kallas. Vad det istället visar är matematikens kraft även i spelsamman-hang. Oftast är spelen designade på så vis att du som spelare har större sannolikhet att förlora än att vinna även med bästa möjliga strategi. Vore det på annat vis skulle spelföretaget snabbt gå i konkurs! Men kryphål kan existera och dessa hittar matematiken. Som exempel, vad är sannolikheten att ur en blandad kortlek dra en trea? För en vanlig kortlek finns fyra treor bland totalt 52 kort, så: Vi får aldrig veta i vilken ordning som korten ligger i, den enda information vi får tillgång till är vilka kort som är synliga på bordet. I Blackjack är de synliga korten alla de utdelade förutom ett av dealerns kort, men i olika pokervarianter finns det olika många antal synliga kort. Ibland kan man som spelare bara utgå från sina egna. Därtill kommer en del matematisk och en del psykologisk analys av hur mycket pengar som andra personer har satsat. Har spelaren bra kort, eller är det en bluff? Säg att totalt fyra kort har delats ut, varav du fått två sexor och dealern fått en nia och ett okänt. Antalet kort som du inte känner till är. Det finns alltså 49 möjligheter för nästa kort. Med dina två sexor har du bara fått tolv poäng. Vill du ha ett kort till? Här kommer sannolikhetsteorin in. Eftersom alla tior, knektar, damer och kungar är värda tio poäng betyder det att 16 kort kan ge dig 10 poäng till, totalt 22, så att du förlorar. Sannolikheten för detta med totalt 49 kvarvarande kort är: 3 Om vi antar att spelen fungerar korrekt, alltså att myntet har en chans att visa krona eller klave. Efter tydligare undersökningar kanske det visar sig att myntet inte är äkta och visar klave mycket oftare, varefter den bästa strategin inför en singling vore att alltid gissa på klave.

5 Utdrag från Verklighetens Kvadratrötter: Sida 5 Alltså en stor möjlighet, men fortfarande är det mer troligt (67,35 %) att du får ett kort under 10. I detta fall är det alltså rättfärdigat (med en bästa strategi) att acceptera ett kort till, även om denna strategi omöjligen kan vara perfekt: möjligheten att det blir 22 poäng och förlust finns ändå. 4 I verkligheten blir det mycket svårt för en människa att utföra dessa exakta beräkningar. På något vis måste de förenklas så att huvudräkning kan ge tillräckligt bra resultat. Här finns det många möjliga strategier. På grund av matematikens kraft är det vanligt att använda flera kortlekar samtidigt och blanda inför varje spel för att jämna ut oddsen. Oavsett kan den som vill räkna kort använda följande enklare system. 5 Starta med talet noll i huvudet och följ dessa regler för varje kort som visar sig: Om kortet är: 2, 3, 4, 5, 6: Lägg till 1 Om kortet är: 7, 8, 9: Gör inget Om kortet är: 10, Kn, D, K, E: Dra bort 1 Om du under spelets gång observerar en tvåa, fyra, sexa och en knekt, är bordets nuvarande poäng. Såhär fortsätter du lägga till och ta bort poäng för varje kort som visas. Ett högt värde betyder att det är mer sannolikt att höga kort kommer upp framöver, medan ett lågt värde betyder att det är mer sannolikt att nästa kort är lågt. Värdet används under spelets gång för att ha koll på om nästa kort troligtvis är ett högt eller lågt kort, varefter en spelstrategi kan anpassas. Metoden ger dig en möjlighet att förutsäga nästa kort. Ju snabbare du är på huvudräkning desto mer avancerade system kan användas. En dator har således ett enormt övertag men ingen äkta passion eller förståelse för spelet. Vissa saker kan vi ännu inte, och kommer kanske aldrig kunna, representera med den strikta logiska matematiken. Med andra ord: Sport och spel åtnjuts än så länge bara av människan men aktiviteterna är starkt assisterade av matematiken, vilket detta kapitel gett goda exempel för. 4 Det kan kanske tyckas konstigt att beräkningen inte är då det är fyra kort som ligger på bordet, men eftersom ett av dem inte är uppvänt påverkar det inte sannolikheten för de andra. 5 Denna variant kallas Hi-Lo.