Logik für Informatiker

Transkript

1 Logik für Informatiker Vorlesung 6: Normalformen Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca 10. November /65

2 MOTIVATION FÜR AUSSAGENLOGIK Aussagenlogik erlaubt Repräsentation von Wissen und Schlussfolgerungen auf Grundlage dieses Wissens viele Anwendungsprobleme direkt kodierbar: Constraint-Satisfaction-Probleme aller Art Schaltkreisentwurf und -verifikation viele Probleme verwenden Logik als einen Bestandteil: Handlungsplanung General Game Playing Beschreibungslogik-Anfragen (Semantic Web) 2/65

3 ALGORITHMISCHE FRAGESTELLUNGEN Wesentliche Fragestellungen: Schlussfolgern (Θ = φ?): Folgt aus Formeln Θ die Formel φ logisch? Äquivalenz (φ ψ): Sind Formeln φ und ψ logisch äquivalent? Erfüllbarkeit (SAT): Ist Formel φ erfüllbar? Falls ja, finde eine erfüllende Belegung. 3/65

4 DAS ERFÜLLBARKEITSPROBLEM Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) Gegeben: aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform (KNF) Üblicherweise repräsentiert als Paar (V, ): V Menge von Aussagevariablen (Propositionen) Menge von Klauseln über V (Klausel = Menge von Literalen v bzw. v mit v V ) Gesucht: erfüllende Belegung der Formel (Modell) oder Beweis, dass keine erfüllende Belegung existiert SAT ist ein berühmtes NP-vollständiges Problem (Cook 1971; Levin 1973). 4/65

5 RELEVANZ VON SAT FÜR INFORMATIK SAT-Algorithmen sehr wichtig und sehr intensiv erforscht! 5/65

6 CONSTRAINT-STATISFACTION-PROBLEM SAT kann als Constraint-Satisfaction-Problem (CSP) aufgefasst werden: CSP-Variablen = Aussagevariablen Wertebereiche = {0, 1} Constraints = Klauseln Allerdings haben wir hier oft Constraints, die mehr als zwei Variablen betreffen mehrwertige Logiken! 6/65

7 CONSTRAINT-STATISFACTION-PROBLEM Was ist ein Constraint? constraint = Einschränkung, Nebenbedingung (math.) Bedingung, die jede Lösung eines Problems erfüllen muss Verwendung: Mathematik: Anforderung an die Lösung eines Optimierungsproblems (z. B. Gleichung, Ungleichung) Software-Testing: Spezifikation von Invarianten für Überprüfung von Datenkonsistenz (z.b. Assertions) Datenbanken: für Integritätsbedingungen (z.b. foreign key) 7/65

8 CONSTRAINT-SATISFACTION-PROBLEME INFORMELL Gegeben: eine Menge von Variablen mit einem bestimmten Wertebereich eine Menge von Constraints (Bedingungen), die diese Variablen erfüllen müssen meist binär, d. h. jede Bedingung spricht über zwei Variablen Gesucht: eine Belegung der Variablen, die alle Constraints erfüllt 8/65

9 BEISPIELE Didaktische Beispiele... die aber zu viel komplexere Problemstellungen weiterführen lateinische Quadrate Sudoku 8-Damen-Problem Graphfärbung Erfüllbarkeit in Aussagenlogik Komplexere Beispiele: Datenbankanfragen Gleichungs- und Ungleichungssysteme 9/65

10 BEISPIEL: LATEINISCHE QUADRATE 10/65

11 BEISPIEL: SUDOKU 11/65

12 BEISPIEL: SUDOKU 12/65

13 BEISPIEL: SUDOKU 13/65

14 SUDOKU: TRIVIA wohlgeformte Sudokus haben genau eine Lösung dafür müssen im Minimalfall 17 Felder vorausgefüllt werden (McGuire et al., 2012) gelöste Konfigurationen nur unter Ausnutzung von Symmetrie 14/65

15 BEISPIEL: 8-DAMEN-PROBLEM 15/65

16 8-DAMEN-PROBLEM: EINE LÖSUNG 16/65

17 BEISPIEL: GRAPHFÄRBUNG 17/65

18 VIER-FARBEN-PROBLEM berühmtes mathematisches Problem: Vier-Farben-Problem kann man Landkarten immer mit 4 Farben einfärben? Vermutung aufgestellt von Francis Guthrie (1852) 1890 erster Beweis, dass 5 Farben ausreichen mehrmals falsche Beweise, die über 10 Jahre Bestand hatten gelöst 1976 durch Appel und Haken: 4 Farben reichen Appel und Haken reduzierten Problem auf 1936 Fälle, die durch Computer überprüft wurden erstes grosses offenes Problem in der Mathematik, das per Computer gelöst wurde führte zu Kontroverse: Ist das ein Beweis? 18/65

19 BEISPIEL: ERFÜLLBARKEIT AUSSAGENLOGIK 19/65

20 PRAKTISCHE ANWENDUNGEN Es gibt tausende praktische Anwendungen von Constraint-Satisfaction-Problemen. Dies gilt allein schon für das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik. Einige Beispiele: Verifikation digitaler Schaltkreise Timetabling (Erstellen von Zeit- und Belegungsplänen) Planung von Wasser- und Elektrizitätsleitungen, Strassen und ähnlicher Infrastruktur Zuweisung von Frequenzspektren (Rundfunk, Mobilfunk) Konfiguration von elektronischen Geräten (z. B. Drucker) Mehr darüber in der KI Vorlesung (4. Semester)! 20/65

21 AUSSAGENLOGISCHE MODELLIERUNG BEISPIEL 1: SUDOKU 21/65

22 SUDOKU AUSSAGENLOGISCHES MODELL 22/65

23 SUDOKU AUSSAGENLOGISCHES MODELL 23/65

24 SUDOKU AUSSAGENLOGISCHES MODELL 24/65

25 SUDOKU AUSSAGENLOGISCHES MODELL 25/65

26 AUTOMATISCHE HARDWAREVERIFIKATION DIGITALE SCHALTKREISE 26/65

27 DIGITALE SCHALTKREISE FORMALISIERUNG IN DER AUSSAGENLOGIK 27/65

28 DIGITALE SCHALTKREISE FORMALISIERUNG IN DER AUSSAGENLOGIK 28/65

29 DIGITALE SCHALTKREISE VERIFIKATION 29/65

30 DIGITALE SCHALTKREISE VERIFIKATION 30/65

31 SYSTEMATISCHE SUCHE: DPLL 1 (embrace truth) 2 (reject falsity) 3 (accept the inevitable) 4 (go with the flow) 5 (take a guess) MOMS Heuristik 31/65

32 DPLL ALGORITHMUS REVISITED Der DPLL-Algorithmus (Davis/Putnam/Logemann/Loveland) entspricht Backtracking mit Inferenz. rekursiver Aufruf DPLL(, I) für Klauselmenge und partielle Belegung I Ergebnis ist erfüllende Belegung, die I erweitert; unsatisfiable, wenn keine solche Belegung existiert oberster Aufruf als DPLL(, ) Inferenz in DPLL: simplify: nachdem der Variablen v der Wert d zugewiesen wird, werden alle Klauseln vereinfacht, die über v sprechen Unit Propagation: Variablen, die in Klauseln ohne weitere Variablen (Einheitsklauseln) auftreten, werden sofort belegt 32/65

33 DPLL ALGORITHMUS REVISITED GROBE EIGENSCHAFTEN Grundlage vieler moderner SAT-Solver Kombination aus: Resolution mit Subsumtion und Fallunterscheidung Verwendet Backtracking Kann Modelle für erfüllbare Klauseln einfach erzeugen 33/65

34 DPLL ALGORITHMUS REVISITED VERIFIKATION 34/65

35 DPLL ALGORITHMUS REVISITED VERIFIKATION 35/65

36 DPLL ALGORITHMUS REVISITED VERIFIKATION 36/65

37 FALLUNTERSCHEIDUNG Verschiedene Heuristiken welches Literal gewählt wird. Gute Heuristik: Wähle Literal so, dass in möglichst kurzen Klauseln vorkommt Erhöht Wahrscheinlichkeit, dass große Anteile der Klauselmenge in wenigen Schritten gelöscht werden. 37/65

38 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB EIN LOGIK-KRIMI 38/65

39 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB Omi Leckerschmatz backt am Sonntag einen Kuchen. Nachdem der Kuchen fertig ist, wird er zum Ausruhen auf die Fensterbank gestellt. Die drei Bengel Hatzmatz, Schnappmäulchen und Mampf-Schlingel spielen im Hof. Als Omi vom Gottesdienst zurückkommt bemerkt sie, dass der Kuchen geklaut worden ist. 39/65

40 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB Omi Leckerschmatz backt am Sonntag einen Kuchen. Nachdem der Kuchen fertig ist, wird er zum Ausruhen auf die Fensterbank gestellt. Die drei Bengel Hatzmatz, Schnappmäulchen und Mampf-Schlingel spielen im Hof. Als Omi vom Gottesdienst zurückkommt bemerkt sie, dass der Kuchen geklaut worden ist. Die drei Verdächtige sind natürlich unsere drei Bengel. 39/65

41 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB Omi Leckerschmatz backt am Sonntag einen Kuchen. Nachdem der Kuchen fertig ist, wird er zum Ausruhen auf die Fensterbank gestellt. Die drei Bengel Hatzmatz, Schnappmäulchen und Mampf-Schlingel spielen im Hof. Als Omi vom Gottesdienst zurückkommt bemerkt sie, dass der Kuchen geklaut worden ist. Die drei Verdächtige sind natürlich unsere drei Bengel. Genau einer von ihnen ist der Dieb. 39/65

42 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB Omi Leckerschmatz backt am Sonntag einen Kuchen. Nachdem der Kuchen fertig ist, wird er zum Ausruhen auf die Fensterbank gestellt. Die drei Bengel Hatzmatz, Schnappmäulchen und Mampf-Schlingel spielen im Hof. Als Omi vom Gottesdienst zurückkommt bemerkt sie, dass der Kuchen geklaut worden ist. Die drei Verdächtige sind natürlich unsere drei Bengel. Genau einer von ihnen ist der Dieb. Wer ist der Dieb falls wir folgendes wissen: Unschuldige sagen immer die Wahrheit. Schnappmäulchen: Hatzmatz ist unschuldig. Hatzmatz: Mampf-Schlingel ist unschuldig. 39/65

43 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB MODELLIERUNG Bezeichne Hatzmatz, Schnappmäulchen und Mampf-Schlingel mit H, S, M. Die Variablen H, S, M stehen dann für ist schuldig. (H S M) (H (S M)) (S (H M)) (M (H S)) (Genau einer von ihnen ist der Dieb.) S H (Schnappmäulchen: Hatzmatz ist unschuldig.) H M (Hatzmatz: Mampf-Schlingel ist unschuldig.) 40/65

44 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB DPLL ANWENDEN 41/65

45 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB DPLL ANWENDEN 42/65

46 DIE SUCHE NACH DEM KUCHENDIEB DPLL ANWENDEN 43/65

47 DPLL MODELL GENERIEREN 1 Isolierte Literale werden als wahr angenommen. 2 Literale in 1-Klauseln werden ebenfalls als wahr angenommen. 3 Dadurch nicht belegte Variablen können für das vollständige Modell beliebig belegt werden 44/65

48 KOMPLEXITÄT Im Worst Case: Exponentielle Laufzeit Exponentiell in: Anzahl der verschiedenen Variablen Besser geht es vermutlich nicht, da SAT NP-vollständig 45/65

49 DPLL ZUM PROBLEMLÖSEN Idee: Kodiere Problem als Aussagenlogische Formel Sodass: Modell löst Problem Beachte: Erst Umformung in CNF (geht mit schneller CNF), dann DPLL Oft: Kodierung direkt als CNF Im Folgenden: Wir betrachten einige Beispielanwendungen. 46/65

50 LOGELEI DPLL ANWENDEN 47/65

51 LOGELEI DPLL ANWENDEN 48/65

52 N-DAMEN ALS SAT-PROBLEM DPLL ANWENDEN 49/65

53 N-DAMEN ALS SAT-PROBLEM DPLL ANWENDEN 50/65

54 N-DAMEN ALS SAT-PROBLEM DPLL ANWENDEN 51/65

55 N-DAMEN ALS SAT-PROBLEM DPLL ANWENDEN 52/65

56 NÜTZLICHE GENERATOREN MINDESTENS EINE WAHR 53/65

57 NÜTZLICHE GENERATOREN HÖCHSTENS EINE WAHR 54/65

58 NÜTZLICHE GENERATOREN GENAU EINE WAHR 55/65

59 BEISPIEL: KLAUSUREN VERTEILEN s Studenten schreiben Klausuren k Klausurtypen Paare von benachbart sitzenden Studenten gegeben Problem: Welcher Student, bekommt welchen Klausurtyp Sodass: Keine benachbarten Studenten bekommen gleiche Klausur Kodiere in KNF, so dass Modell eine Zuordnung: Student Klausurtyp liefert 56/65

60 BEISPIEL: KLAUSUREN VERTEILEN 57/65

61 VERALLGEMEINERUNG: K AUS N 58/65

62 HÖCHSTENS K WAHR 59/65

63 MINDESTENS K WAHR 60/65

64 MINDESTENS K WAHR 61/65

65 GENAU K WAHR 62/65

66 BEISPIEL: LOGELEI 63/65

67 BEISPIEL: LOGELEI 64/65

68 BEISPIEL: LOGELEI 65/65