Bråk lärares begreppskunskap och undervisning

Transkript

1 Malmö högskola Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle Examensarbete 10 poäng Bråk lärares begreppskunskap och undervisning Fractions teachers subject matter knowledge and teaching Maria Dalholm Tina Svensson Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2005 Examinator: Harriet Axelsson Handledare: Marianne Rönnbom

2 2

3 Sammanfattning I detta arbete undersöks kunskap om bråkbegreppet hos fyra olika lärare och hur de använder denna kunskap i sin undervisning. Resultaten diskuteras bl a med utgångspunkt från Liping Mas bok Knowing and teaching elementary mathematics. Undersökningen har en subjektiv dimension bestående av intervjuer med lärarna. Begreppskunskapen fokuserar på division av bråktal, innehållsdivision och del helhetsaspekten. Resultatet visar på att det finns stora skillnader men också likheter i lärarnas kunskaper om bråkbegreppen och deras undervisning. De lärare som har bäst kunskaper om bråkbegreppet är de som har längst erfarenhet i yrket och bedriver eller har bedrivit ett aktivt samarbete med kollegor om undervisningen. Nyckelord: begreppskunskap, bråk, del helhet, innehållsdivision, Liping Ma, undervisning 3

4 4

5 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte Teoretisk bakgrund Liping Ma knowing and teaching elementary mathematics Konstruktivismen Undervisning i matematik Bråkterminologi Definition av naturliga tal Definition av bråk Bråkets olika aspekter Division Delningsdivision Innehållsdivision Bråk i kursplanen Undervisning om bråk Del helhet Innehållsdivision Division med bråk- Liping Ma Variation i undervisningen Svårigheter med bråk Begreppsförståelse Bilder i bråkundervisningen Språkets betydelse i undervisningen Utveckling av matematiska begrepp Lärarens bråkbegreppskunskaper Metod Urval Datainsamlingsmetod

6 4.3 Procedur Databearbetning Resultat Upplägg av resultatet Resultatredovisning Resultatredovisning Diskussion och slutsatser Hur undervisar lärarna i matematik? Vilka kunskaper har fyra olika lärare om bråkbegreppet? Hur använder de fyra olika lärarna sina kunskaper om bråkbegreppet i undervisningen Slutsatser Tillförlitlighet Avslutning Referenser...55 Bilagor 6

7 1. Inledning Det är viktigt att vi som lärare är observanta på vilka begreppskunskaper eleverna har. Om en elev inte har förstått ett begrepp ska vi kunna identifiera vilka förkunskaper eleven måste ha för att förstå begreppet. I kursen matematikdidaktisk forskning ingick avhandlingen Knowing and teaching elementary mathematics av Liping Ma (1999). Här visar Ma på kunskaper och brister i begreppsuppfattning hos lärare och försöker synliggöra anledningen till detta. Ma betonar betydelsen av att ha grundläggande matematiska begrepp befästa hos lärarna. Detta är en förutsättning för att lärarna ska kunna undervisa eleverna så att de i sin tur kan få matematiska begreppskunskaper. Mas undersökning har varit inspirationskällan till detta examensarbete. Vi ville undersöka några svenska lärares begreppskunskaper och få insikt i hur dessa påverkar deras undervisning. Avsikten var att göra en mindre studie inom ramen för ett examensarbete med detta tema. Vi valde att fördjupa oss kring bråkbegreppet. Bråk anses vara de mest komplexa talen i grundläggande matematik och division med bråk det mest avancerade ämnet inom aritmetiken (Ma 1999). Vår förhoppning med arbetet var att detta val skulle ge det största differentierade resultatet i vår undersökning. Rapporter visar löpande att svenska elever blir sämre och sämre i matematik. TIMSS 2003 (Skolverket 2004) redovisar att svenska elever uppvisar förhållandevis svaga resultat i algebra. Anledningen till detta är att det ägnas relativt lite tid åt algebra i skolan i jämförelse med andra länder. Skolverket talar om åtgärder som förändring av innehåll i läromedel, förändring i organisationen av matematikundervisningen i skolan samt en förändring av lärarutbildningen. Våra erfarenheter av matematikundervisningen i grundskolan är jämförbara med det resultat som TIMSS redovisar. Vi anser att undervisningen inte tar upp bråkbegreppet, som 7

8 ligger till grund för bland annat den algebraiska begreppsutvecklingen, med ett tillräckligt djup. Genom detta arbete vill vi belysa betydelsen av goda begreppskunskaper hos läraren samt vikten av mångfald i undervisningen. Vi ser fram emot att undervisa eleverna i deras begreppsförståelse och vara delaktiga i framtidens skolutveckling. 8

9 2. Syfte Genom vår undersökning vill vi undersöka begreppskunskaper om bråk hos lärare och se hur de använder dessa i sin undervisning. Syftet är att undersöka hur väl bråkbegreppet är befäst hos läraren och hur denna begreppskunskap påverkar lärarens undervisning. Frågeställningar: Hur undervisar fyra olika lärare i matematik? Vilka kunskaper har fyra olika lärare om bråkbegreppet? Hur använder de fyra olika lärarna sina kunskaper om bråkbegreppet i undervisningen? 9

10 3. Teoretisk bakgrund 3.1 Liping Ma knowing and teaching elementary mathematics Mas (1999) avhandling har varit en inspirationskälla till detta examensarbete. Anledningen till att Ma har skrivit boken är att hon har arbetat som lärare både i Kina och i USA. Hon blev uppmärksam på de stora skillnaderna i grundläggande matematisk kunskap mellan amerikanska och kinesiska elever. Ma bestämde sig för att närmare studera skillnaderna mellan kinesiska och amerikanska lärares kunskaper och anledningen till detta. Ma har använt sig av TELT, Teacher Education and Learning to Teach Study, intervjufrågor i sitt arbete. Det finns två avgörande anledningar till detta. Den första är att de är av matematisk natur och handlar om lärares matematiska ämneskunskaper. Den andra är att den täcker ett brett område av grundläggande matematik; subtraktion, multiplikation, division med bråk och förhållandet mellan area och omkrets. Dessutom finns det en stor databas med svar som går att använda som jämförelse. Ma fann att det var stor skillnad mellan amerikanska och kinesiska lärare. De kinesiska lärarna har mycket kortare utbildning än de amerikanska. Amerikanska lärare tenderade att vara mer instrumentalt (procedural) fokuserade. De flesta amerikanska lärarna visade på en god algoritmisk kompetens när det gällde subtraktion och multiplikation, men hade svårigheter med mer avancerad matematik som division med bråk och förhållandet mellan rektangelns area och omkrets. De kinesiska lärarna visade på goda algoritmiska kunskaper och begreppsmässig förståelse för alla fyra områdena. Nivån på de kinesiska lärarnas kunskaper var ganska lika. De amerikanska lärarnas kunskapsnivåer var däremot klart fragmenterade och visade på stora brister. De kinesiska lärarna levde efter devisen Veta hur, men också veta varför. För de kinesiska lärarna räckte det inte med att bara muntligt förklara en algoritm. De ville också förklara och bevisa den underliggande logiska grunden. De amerikanska lärarna var däremot nöjda om de hade en standardalgoritm för att lösa en uppgift. Ma nämner PUFM, Profound Understanding Of Fundamenthal Mathematics, vilket innebär att en lärare har en djup och bred förståelse för fundamental matematik och matematisk 10

11 begreppsförståelse. I sin undersökning fann Ma att 10 % av de kinesiska lärarna hade PUFM. Dessa lärare hade många års erfarenhet av att undervisa i matematik i alla åldersklasser i grundskolan. 10 % av de kinesiska lärarna samt alla amerikanska lärare saknade PUFM helt. Ma menar att PUFM utvecklas efter det att man blivit lärare. Detta kan enligt Ma bero på att: Kinesiska matematiklärare undervisar endast i matematik De har 3-4 lektioner per dag. Övrig tid använder de till att förbereda lektioner De studerar undervisningsmaterial intensivt De har teaching research groups, möten med varandra en gång per vecka för att utbyta idéer och reflektioner om undervisningen De lär från sina elever De uppmuntrar till variation, att lösa en uppgift på mer än ett sätt 3.2 Konstruktivismen Både i Sverige och internationellt är konstruktivismen ett dominerande paradigm för hur man ser på undervisning och lärande inom matematikdidaktiken både som forskningsfält och som kunskapsområde. Även om idéerna på sina håll börjar slå igenom ute på skolorna är det den traditionella undervisningen, t ex teknikträning, som dominerar enligt Engström (1998a). Hur elevers lärande kan underlättas på bästa sätt är en central fråga för matematikutbildningen över hela världen. Enligt konstruktivismen finns en vision av en aktiv och kunskapsteoretiskt stärkt elev (Ernest 1998). Konstruktivismen bygger alltså på ett arbetssätt, där elevernas lärande sätts i centrum i stället för att läraren förmedlar givna kunskaper som skall utveckla deras matematiska värld. Konstruktivismen grundar sig på Piagets begrepp om assimilation och ackommodation av kunskap men också på reflektiv abstraktion. Det innebär att den lärande skapar sig en förståelse utifrån sina erfarenheter i förhållande till existerande kunskap. Därefter förändras 11

12 den existerande kunskapen där så är nödvändigt och reflekteras på vidare erfarenheter för att kunna göra generaliserade eller abstrakta former (Jaworski 1998). Vad karakteriserar då en konstruktivistisk undervisning? Engström ger exempel på detta: utgår från en uppfattning att eleven använder sig av det han/hon redan vet för att utveckla personligt meningsbärande lösningar, stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter, kännetecknas av ett stort inslag av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att konstruera sin egen matematik, ger stort utrymme åt gruppdiskussioner, som låter eleverna bryta sina uppfattningar mot andras, utvecklar elevernas förmåga att motivera och bestyrka sina idéer, ser lärandet som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar och sätt att formulera problem ges ett stort utrymme, förankras i elevernas verklighet, inte i påhittade situationer, betonar kreativa aktiviteter som tillåter eleverna att utveckla sina möjligheter i stället för att producera ett givet svar, presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika lösningar; (Engström 1998a, s 11) 3.3 Undervisning i matematik Kunskap i matematik, vad är det? Det finns många sätt att se på denna och Skovsmose (refererad i Hedrén 2001) delar in den i tre delkunskaper: matematisk, reflekterande och teknisk kunskap. Matematisk kunskap används när ett problem tolkas och lösning söks t ex genom att tillämpa ett eller flera av de fyra räknesätten. Reflekterande kunskap behövs när lösningen är färdig och man vill kontrollera resultatet genom t ex rimlighetsbedömning, överslagsberäkning och jämförelse med lösning till liknande problem. 12

13 Teknisk kunskap används när själva beräkningen görs, antingen med huvudräkning, överslagsräkning, skriftlig räknemetod, miniräknare eller med hjälp av något färdigt dataprogram. I kursplanen för matematik (Skolverket 2000) kan man läsa följande: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, (s 26) Det är viktigt att synliggöra i undervisningen att elevernas egen vilja att lära, deras egen inställning och motivation är drivkraften i arbetet. Läraren skall naturligtvis hjälpa, stödja och stimulera eleverna men kan aldrig ta över inlärningen. Oavsett hur skicklig en lärare är pedagogiskt kan han/hon inte få alla elever att bli duktiga i matematik, men möjligheten att nå så långt elevens förutsättningar medger måste finnas. Genom att få arbeta med konkret materiel och berätta vad man ser och gör ökar förutsättningarna avsevärt för elevernas begreppsbildning (Malmer 2002). Enligt Engström (1998b) är det viktigt för lärandet i matematik att eleven får reflektera över sina handlingar och erfarenheter samt att kommunicera om dessa med andra. Lärarens uppgift i denna process är att försöka förstå elevens föreställningar så att de kan diskutera och utmana dessa med eleven. Skolan står inför krav av förändring och förbättring p g a ökat kunskapsbehov i samhället. Traditionell undervisning dominerar i dagens skola där läraren tror sig kunna överföra kunskap till eleven. Fokus ligger här på hur läraren kan överföra kunskapen till eleven på bästa sätt (Engström 1998a). 13

14 3.4 Bråkterminologi Definition av naturliga tal Naturliga tal kallas de positiva heltalen 0, 1, 2, 3, 4 till oändligheten (Thompson 1991) Definition av bråk Ett rationellt tal är ett, tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal, p/g, där g 0 (National encyklopedin 1991). Enligt National encyklopedin (1991) är bråk ett matematiskt uttryck av formen a/b. a kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll. Vid räkning med enbart heltal kan alla additioner, subtraktioner, multiplikationer samt vissa divisioner utföras. Genom att man inför bråk utvidgas räkneområdet till de rationella talen, där de fyra enklaste räknesätten alltid kan utföras, utom vid division med noll. Täljaren (tyskans erzählen, berätta) är det tal som talar om hur många bråkdelar det gäller. Nämnaren (tyskans nennen, benämna) ger bråket dess namn, dess benämning. Ordet rationell kommer från latinets ratio och betyder kvot (Thompson 1991) Bråkets olika aspekter De rationella talen har en komplexitet och är kontextuellt sammansatta (Freudenthal, refererad i Engstöm 1997). Det är viktigt att vi funderar över bråkets olika gestaltningar för att avgöra vilken uppfattning det finns av bråk och vilka aspekter som ska behärskas (Kilborn & Löwing 2002). Det är grundläggande att eleverna får möta de olika aspekterna samt få handskas med olika utseende på helheten (Malmer 2002). Kieren (refererad i Runesson 1999) menar att rationella tal, om de behandlas utifrån olika aspekter, underbegrepp eller underkonstruktioner kan öppna för kontakt med många av matematikens områden. Detta gäller inte bara talteori utan även geometri, algebra och oändlighetsbegreppet. 14

15 Bråk som tal, bråket har en plats på tallinjen. Bråket 1/2 har en plats på tallinjen (Kilborn & Löwing 2002). Bråk som del av en helhet, bråkets beteckning som uttrycker del av helhet. En hel som delas upp i ett antal lika stor delar vars benämning beror på antalet delar (Malmer 2002). Bråktalet 3/5 betyder t ex att chokladkakan har delats i 5 delar och bråktalet representerar 3 av dessa 5 delar (Kilborn & Löwing 2002). Bråk som del av ett antal, ett bråktal tas av ett antal. Bråktalet 1/5 exemplifieras enligt nedan, där 1/5 av de 15 kulorna är 3 kulor (Kilborn & Löwing 2002). 15

16 Bråk som proportion eller andel, proportionen ¼ eller 25% saknar antalsbetydelse eller storlek. Det är först när man anger var proportionen ska tas som det blir ett tal (Kilborn & Löwing 2002). 2/5 av bolagets vinst är min som delägare, oberoende vinstens storlek. Dessa 2/5 saknar antalsbetydelse, det måste relateras till ett tal, i detta fall bolagets vinst. Andelen 2/5 är lika stor som t ex 4/10 eller 40 % (Kilborn 1990). Bråk som uttryck för en relation, som koncentration, en del saft och nio delar vatten, eller som frekvens, var femte bil i Sverige är en Volvo (Malmer 2002). Bråk som förhållande, bråktalet 2/10 kan betyda 2 hg godis för 10 kr, där 2 och Division har olika enheter. Hur mycket godis får jag för 45 kr? (Kilborn & Löwing 2002). De rationella talen bildar en ordnad talmängd. För varje par av rationella tal a och b, gäller en och endast en, av följande relationer a < b, a = b, a > b. I den rationella talmängden finns fyra grundoperationer: addition, subtraktion, multiplikation och division med tillhörande räknelagar. (Engström 1993, s 9) Division definieras av National encyklopedin (1991) som: delning, indelning, avdelning en av de grundläggande operationerna inom aritmetiken. Division är omvändningen till multiplikation, i analogi med att subtraktion är omvändningen till addition. Uppgiften är att för ett givet tal A (täljaren, dividenden) och ett annat tal B (nämnaren, divisorn) finna ett tal K (kvoten), så A = B * K. Division är inversen till multiplikation men division har även viktiga kopplingar till subtraktion. Liksom att multiplikation kan uppfattas som en upprepad addition kan division uppfattas som en upprepad subtraktion. Division i likhet med subtraktion kan ses ur olika aspekter där man i subtraktion tar bort, lägger till och jämför medan i division skiljer mellan delningsdivision och innehållsdivision (Kilborn & Löwing 2002). 16

17 3.4.5 Delningsdivision Division i matematiken är delning av en given storhet (givet tal) med ett bestämt antal lika stora delar. Talet som delas, kallas dividend (täljare). Talet som anger hur många lika stora delar dividenden ska delas, kallas divisor (nämnare). Talet som visar varje storlek kallas kvot. ( Krongvist & Malmer (1999) ger exempel på delningsdivision: 12 äpplen delas upp så att 3 barn får lika många var. Hur många äpplen får varje barn? 12 / 3 = 4 Svar: 4 äpplen. Här vet man delarnas antal och ska ta reda på delarnas storlek. Vid laboration fördelar man ett antal i 3 delar. (s 48) Innehållsdivision Divisionen är även att finna hur många gånger en given storhet (divisorn) ingår i en annan storhet (dividenden) och detta angivs av kvoten. 7 går upp 4 gånger i 30 och 2 enheter blir över. Den del, som blir över, när divisionen utförts som icke går jämt ut, kallas rest. Blir resten 0 sägs divisionen gå <jämt ut> ( Krongvist & Malmer (1999) ger exempel på innehållsdivision: 12 äpplen delas upp med 3 i varje påse. Till hur många påsar räcker äpplena? 12 / 3 = 4 Svar: 4 påsar. Här vet man delarnas storlek och ska ta reda på delarnas antal. Här utför man en upprepad subtraktion genom att ta 3 varje gång. (s 48) Bråk i kursplanen I kursplanens mål att sträva mot i matematik (Skolverket 2000) står det: Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och procent, (s 27) Eftersom de rationella talen är en del av de reella talen ska eleven sträva mot att förstå och använda räkning med tal i bråkform (Kilborn & Löwing 2002). 17

18 Mål att uppnå i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa problem i elevens närmiljö. Inom denna ram skall eleven ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform, (s 28) Mål att uppnå i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel, (s 29) Engström (1997) saknar ett didaktiskt perspektiv i kursplanen, en anknytning till den didaktiska forskningen, bland annat användningsaspekten av bråket såsom mått och förhållande samt förhållandet bråk algebra. 3.5 Undervisning om bråk Del helhet Innan skolstarten har flertalet barn erfarenheter av att dela saker, dela i lika stora delar och dela med lika många i varje del. Dessa situationer bör man ta fasta på i överförandet till en fastare struktur, där hälften, en tredjedel och en fjärdedel introduceras. Denna utgångspunkt ger eleverna förutsättningar för att förstå tankegångarna, identifiera dem i tidigare erfarenheter och använda dem i nya situationer (Kronqvist & Malmer 1999). Hunting, Davis och Bigelow (refererade i Engström 1997) menar att barn redan i 4-5 års ålder kan lösa bråkrelaterade uppgifter. 18

19 Kronqvist & Malmer (1999) anser liksom Kilborn (1990) att de enkla bråken har en stark verklighetsanknytning som gör dem lätta att konkretisera. Det är viktigt att eleverna får möta olika situationer och olika tankeformer där bråk förkommer. Oftast förekommer de inte som naturliga tal utan som t ex storhet, en tredjedels vinst och som enheter för proportion, tv programmet varade i en kvart. Det är dessa vardagssituationer som man bör ta fasta på i arbetet med bråk. Ett viktigt moment då det gäller tal i bråkform är att ha klart för sig vad helheten är för att kunna bedöma delarnas innebörd. För att eleverna ska kunna förstå detta från början behövs konkret materiel så eleverna kan storleksordna, utföra visuella mätningar och göra jämförelser. Man kan i undervisningen arbeta med Cuisenaire-stavar där eleverna får formulera relationerna mellan helheten och delarna vilket ger dem en påtaglig upplevelse av relationerna. Att arbeta med tal i bråkform på detta sätt gör att bråk blir en fullständig självklarhet som sin tur ger förståelse för procentbegreppet (Kronqvist & Malmer 1999). Begreppet del - helhet är en grundläggande relation inte bara inom matematiken utan också för andra begreppsbildande tillämpningar. Erfarenheter av delning är grunden för förståelsen av de rationella talen (Engström 1997). Piagets studier visar på två grundläggande relationer för barns föreställningar om bråk, del - helhet och del del. Han har bedrivit både verbala studier och konkret hanterande av delning hos barn. Hans studier visar att de yngre barnen fokuserar antingen på delarna eller på helheten och kan ha svårigheter att integrera delen i helheten ända upp i 9 10 års ålder (refererad i Engström 1997). Piaget och hans medarbetare Inhelder och Szemiska identifierar ett antal karakteristiska för barnets bråkföreställningar som nödvändiga för en operationell förståelse: 1. Eleven måste uppfatta det hela som varande delbar och sammansatt av separata delar. 2. Uppfattningen om bråk måste inbegripa idén om ett bestämt antal delar. 3. Eleven måste uppfatta delningen av en given helhet som fullständig, dvs. utan rest. 4. Eleven måste uppfatta relationen mellan antalet delar, i vilken den hela delas i, och antalet nödvändiga delningar ( klipp ). 19

20 5. Bråkuppfattningen måste innebära föreställningen hos eleven att alla delar är lika. 6. När delningen är operationell hos eleven, måste denne se dubbelnaturen hos bråket: dels att utgöra en del av en ursprunglig helhet och dels en helhet som i sig ytterligare kan delas. 7. Helheten måste vara invariant, dvs. summan av alla bråk måste vara lika med den ursprungliga helheten. (Engström 1997, s ) Piagets studier har även visat att det språkliga behärskandet av relationen del helhet kommer flera år senare än det faktiska behärskandet Innehållsdivision När nämnaren är mindre än ett så ska man inte längre tala om delning och fördelning utan om innehåll. Det är då viktigt att eleverna förstår att kvoten måste bli större än täljaren. Vid division med tal mindre än ett måste eleverna tänka innehållsmässigt. Exempel: 3 ½. Hur många halva går det på tre hela? Många har svårighet att skilja på hälften av och dividerat med en halv (Malmer 2002). 3.6 Division med bråk- Liping Ma Ma (1999) presenterade nedanstående uppgift i sina intervjuer som handlade om division med bråk. People seem to have different approaches to solving problems involving division with fractions. How do you solve a problem like this one? (s 55) Ett instrumentalt sätt att lösa uppgiften: Konvertera 1 ¾ till 7 / 4. Invertera ½ till 2. Multiplicera 7 / 4 med 2. Detta blir 14 / 4 vilket är lika med 3 ½. Detta sätt att lösa uppgiften och att använda terminologin användes av de amerikanska lärare som klarade av att lösa uppgiften. Kineserna däremot använde en annan terminologi, 20

21 nämligen: Att dividera med ett tal är det samma som att multiplicera med inversen. Denna terminologi används i kinesiska matematikböcker för att förklara algoritmen division med bråk. Många amerikanska lärare klarade över huvud taget inte av att lösa uppgiften. Några försökte göra täljare och nämnare liknämniga, minsta gemensamma nämnare. Detta resulterade i att resultatet kunde bli 28 / 8 vilket inte förkortades vidare. Här visar lärarna att de inte behärskar begreppet även om resultatet i sig är rätt. De kinesiska lärarna använde grundläggande matematiska regler och lagar för att visa hur uppgiften kan lösas; kommutativa lagen och bibehålla värdet av kvoten. (Se bilaga1) De visar också på tre alternativa sätt att lösa uppgiften. (Se bilaga 1) Alternativ 1: Att använda decimaltal Alternativ 2: Den distributiva lagen Alternativ 3: Lösa uppgiften utan att multiplicera Därefter bad hon de intervjuade lärarna att göra en räknehändelse som skulle kunna gestalta uppgiften. De flesta amerikanska lärare klarade inte av att sätta in uppgiften i en räknehändelse. De flesta blandade ihop att dividera med ½ med att dividera med 2. Exempel 1: Du har en hel paj och tre fjärdedelar av en annan paj och två personer. Hur vill du göra för att dela pajerna lika så att personerna får lika stor bit var? Eller förväxlade de att dividera med ½ med att multiplicera med en ½. Exempel 2: Du har en hel paj och tre fjärdedelar paj. Du delar upp pajerna i fjärdedelar och så tar du hälften av det totala. Nästan alla kinesiska lärare kunde presentera en korrekt räknehändelse. Dessa kan delas in i tre olika modeller: 21

22 Innehållsdivision: 1 3 / 4 meter dividerat med 1/2 meter = 7/2 Hur många halva metrar går det på 1 3 / 4 meter? Partitiv: 1 3 / 4 meter dividerat med 1/2 = 7/2 meter Om halva vägen är 1 3 / 4 meter, hur lång är hela längden? Produkt och faktor: 1 3 / 4 m 2 dividerat med 1/2 meter = 7/2 meter Om en sida i en 1 3 / 4 m 2 rektangel är 1/2 meter, hur lång är den andra sidan? 3.7 Variation i undervisningen Undervisning om bråkbegreppet kan variera. Denna kan yttra sig på olika sätt. Eleverna kan t ex presenteras en teknik för att lösa en viss typ av uppgift. Tekniken hålls konstant medan uppgifterna varierar. Ett annat sätt är att tekniken varieras för att lösa en och samma uppgift (Runesson 1999). I Runessons undersökning visar resultatet att trots att lärarna undervisar om samma innehåll och trots att flera av dem använder samma läromedel, samt att de samtalar med sina elever om samma uppgifter ser undervisningen helt olika ut. Detta betyder att eleverna kan få helt olika uppfattning om ett ämne. Skillnaden mellan hur ämnet behandlas gäller inte enbart om de begreppsliga respektive procedurella aspekterna fokuseras eller ej, utan också på vilket sätt de kan framträda för eleverna. Detta påverkar elevernas kunskaper (Runesson 1999). 3.8 Svårigheter med bråk När det gäller elevers svårigheter med bråk har flera identifierats. Exempel är att eleven gör generaliseringar av helheten, s k N-distraktorn (Streefland, refererad i Runesson 1999). Den 22

23 medför t ex att 1/6 uppfattas som ett större tal än 1/5 därför att 6 är ett större tal än 5. Det finns relationer mellan elevers svårigheter och undervisning om tal i bråkform enligt flera forskare. De naturliga talen i undervisningen behandlas utifrån många olika aspekter och på olika sätt medan undervisningen om bråk är ensidig. För att förstå avancerad matematik krävs förståelse för rationella tal och begreppets komplexitet. Runesson visar på att forskare som Behr m fl, som utfört omfattande forskning kring elevers kunskaper om rationella tal, menar att det finns kritiska brister i undervisningen som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Förståelse för multiplikativa strukturer som t ex att bestämma ¾ av 20 kulor är ett exempel. Men det som forskarna anser allvarligast är de ytliga sätt som rationella tal behandlas på i undervisningen. De pekar på att procedurer betonas mer än förståelse. Vidare säger de att den komplexitet som finns när det gäller rationella tal inte lyfts fram och blir definitivt inte tillräckligt behandlad i undervisningen (Runesson 1999). När undervisningen utvidgas från de naturliga talen till de rationella talen, och då de först framstår som bråk, brutna tal, uppstår en problematik enligt Engström (1998b). Till skillnad från de naturliga talen där talet representeras av en symbol, och där det finns en relation mellan symbolen och dess referens, är de rationella talen annorlunda. I ett rationellt tal finns det olika begreppsliga tolkningar i en och samma symbol. En fjärdedel kan t ex skrivas som 1/4, 2/8, 0,25, 0,250. I de naturliga talen finns ett minsta tal men det finns ingen minsta bråkdel. I de rationella talen representerar 1 något stort, det hela, men i de naturliga talen är 1 det minsta man kan ha av någonting. 3.9 Begreppsförståelse I Algebra för alla (Bergsten m fl 2001) beskrivs hur begreppet blir relaterat till nya situationer, nya aspekter, nya symboler och till nytt språk genom utveckling. Olika matematiska begreppsformer kopplas till begreppet och det sker en översättning som i sin tur skapar djupare begreppsförståelse. Detta kan då kallas en begreppsbild (concept image) och inte bara begrepp (Vinner & Tall, refererade i Bergsten m fl 2001). Begreppsutveckling kan i sin tur betraktas som begreppsbild-ning (Bergsten, refererad i Bergsten m fl 2001). 23

24 Detta betonar bildens roll i utvecklingen av begreppsförståelsen. Engström (1998c) menar att utveckling av matematiska begrepp är en lång process. Figur 3.1: Bild av begreppet begreppsbild (Bergsten, refererad i Bergsten m fl 2001, s 139). Begreppsförståelsen för bråk, t ex förlängning av ett bråktal: 2/3 = (2 * 2)/(3 * 2) = 4/6, ligger som viktig grund för att kunna förstå och kunna hantera algebraiska omskrivningar som (4x 2 /6xy) = (2x/3y) (Bergsten m fl 2001). Behärskar inte eleverna bråkräkning i grundskolan får de problem när de ska utföra algebraiska förenklingar i gymnasieskolan (Löwing 2004) Bilder i bråkundervisningen Armstrong och Novillis Larsson (refererade i Engström 1997) har studerat barns sätt att jämföra figurer delade på olika sätt och menar att sådana figurer som finns i läromedel på olika sätt inbjuder till direkt jämförelse, t ex cirkelsektorer. Det är viktigt att eleverna ges möjlighet att utveckla erfarenheter kring del helhets relationen som kvantitativ, som kan jämföras med någon annan figur och som matematisk logisk relation, där bråkterminologin och symboler förekommer i relation till figurerna. I bråkundervisningen används ibland bilder på ett oöverlagt sätt där eleverna antas se strukturen, begreppet genom bilder. Varje bild tolkas utifrån varje elevs erfarenhet och bilden talar inte för sig själv. Därför är det inte säkert att eleven tolkar bilderna som läraren tror (Engström 1998b). 24

25 3.11 Språkets betydelse i undervisningen För att elever och lärare inte ska prata förbi varandra och för att det inte ska uppstå missuppfattningar är det viktigt att alla behärskar den matematiska terminologin. Inom matematiken är det viktigt med ett gemensamt språk för att uttrycka begrepp. Om inte läraren kan den matematiska terminologin finns det risk för att eleverna får problem med begreppsbildningen och svårigheter att tänka och uttrycka sig i ämnet (Löwing 2004). Barn kan ha svårt för att uttrycka likheter och skillnader i objekts egenskaper genom att de ofta har en svag uppfattning om ords betydelse, det är därför viktigt att utveckla dessa. Barn behöver också utveckla abstrakt tänkande vilket innebär att de kan göra överföringar mellan olika uttrycksformer t ex talat och skrivet språk, bild och rörelse (Skolverket, refererad i Ahlberg m fl 2001). Ett viktigt steg i symbolutvecklingen mot vårt gemensamma symbolsystem det matematiska språket, är att barn får visualisera tankar i bilder och skapa egna symboler (Sterner 2000). Bratt & Wyndhamn (2000) menar att den abstrakta kunskapen främst är språkburen. Figuren nedan visar hur språkhandlingen utgör länken mellan kunskapen och uttrycket för denna kunskap. KUNSKAP T ex begrepp, samband UTTRYCK T ex språk, bild HANDLING T ex språkbehandling, kommunikation Figur 3.2: Bild av hur språkhandlingen utgör länken mellan kunskapen och uttrycket för denna. (Bratt & Wyndhamn 1996, s 60) Om eleverna ska få ett väl fungerande ordförråd krävs det inlärningssituationer där ord behövs och efterfrågas. Malmer (2002) menar att genom praktiskt arbete såsom laborationer och undersökande arbete skapas flera sådana situationer. Malmer menar också 25

26 att det är viktigt att läraren själv förstår och behärskar innebörden av de matematiska processerna så att det matematiska stoffet överförs på lämplig nivå till eleverna Utveckling av matematiska begrepp Ma (1999) har en del synpunkter när det gäller undervisningen. I USA anses elementär matematik vara enkel och allmänt känd och alla som har gått i skolan behärskar denna. Detta menar Ma är helt fel. För att förstå elementär matematik krävs långa och hårda studier. Även om klassrumsundervisningen på ytan ser ut att vara otraditionell med gruppdiskussioner, problemlösning och praktiskt arbete blir inte de matematiska begreppen befästa hos amerikanska elever. Detta menar Ma beror på att lärarna inte har begreppen befästa. T ex i gruppdiskussioner och problemlösning är det viktigt att läraren kan coacha och säkerställa att begreppen blir befästa hos eleverna. I Kina däremot ser klassrumsundervisningen mycket traditionell ut på ytan. Läroboken i matematik ligger till grund för undervisningen men följs inte slaviskt, eleverna sitter i rader vända mot läraren som leder undervisningen framme vid tavlan. Men läraren uppmuntrar till diskussioner och är lyhörd för elevernas initiativ och idéer. Läraren kan också med sin goda begreppskunskap coacha eleverna och på så sätt hjälpa dem att befästa sina begrepp. Löwing (2004) anser att den matematikdidaktiska teorin måste kompletteras med vetskap kring vilka förkunskaper som krävs för att ha förmågan att skapa olika strategier, konkretiseringsmodeller och metaforer för begreppsuppbyggnad. Här krävs teoretiska kunskaper hos den undervisande läraren. Har man inte denna kunskap undviker man att behandla kunskapen i fråga och låter eleverna t ex översätta alla tal i bråkform till decimalform och sedan låta miniräknaren ge ett ungefärligt svar. Detta medför att eleverna får brister i sin begreppskunskap vad det gäller bråk. Eleverna måste förstå att decimaltalet endast är ett annat sätt att skriva en speciell typ av bråk Lärarens bråkbegreppskunskaper Ma (1999) beskriver lärarens begreppskunskaper och dess betydelse för undervisningen. Hon beskriver att lärarens ämneskunskap utvecklas i en cyklisk process bestående av bildning, lärareförberedelser och undervisning. Hon menar att när lärarna fortfarande är 26

27 studenter får de sin matematiska kompetens, under lärarutbildningen börjar de se sammanhanget mellan matematikkunskap och undervisning av skolmatematik. Slutligen under deras lärarkarriär, när de undervisar eleverna med matematikkunskap, utvecklar de ytterligare sin begreppskunskap. Mål och riktlinjer i, Lpo 94 (Utbildningsdepartementet 2002): 2.2 KUNSKAPER Skolan skall ansvara för att eleverna inhämtar och utvecklar sådana kunskaper som är nödvändiga för varje individ och samhällsmedlem. Dessa ger också en grund för fortsatt utbildning. Skolan skall bidra till elevernas harmoniska utveckling. Utforskande, nyfikenhet och lust att lära skall utgöra en grund för undervisningen. Lärarna skall stäva efter att i undervisningen balansera och integrera kunskaper i sina olika former. (s 11) Läraren skall utgå från varje enskild individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande, organisera och genomföra arbetet så att eleven utvecklas efter sina förutsättningar och samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela sin förmåga, (s 14) Innan man som lärare börjar undervisa, måste man vara medveten om undervisningens syfte/mål och hur olika individer förmår uppfatta och tillämpa kunskapen. Kilborn & Löwing (2002) anser att det ställs höga krav på den undervisande läraren i matematik. Läraren ska ha goda didaktiska kunskaper samt förstå ämnets karaktär och innehåll. Läraren måste också ha kännedom om hur eleven uppfattar matematiken i olika situationer. Det har stor betydelse för inlärningen på vilket sätt eleven får möta det matematiska innehållet och arbeta med detta. Det är läraren som är ansvarig för förmedlingen och bearbetningen av innehållet. Kilborn & Löwing (2002) ställer sig frågan om inte undervisning uppstår först då läraren har kunskap om det matematiska innehållet och har olika metoder till eleverna. Kilborn & Löwing visar på olika didaktiska kunskapsbehov hos läraren, kunskaper om det karakteristiska innehållet, 27

28 kunskaper om hur eleven tänker om innehållet samt hur man kan stödja elevens förståelse för innehållet. Dessa didaktiska kunskaper gör det möjligt för läraren att möta den enskilda elevens behov. Följaktligen speglar valet av undervisningsmetod lärarens egen förståelse till innehållet och hur eleven förstår detta. Det är viktigt att undervisningens innehåll och syfte når fram till eleven och att det sker ett lärande hos eleven. Detta är lärarens ansvar och detta kräver enlig Kilborn & Löwing (2002) en behärskning av det matematiska innehållet, ett professionellt kunnande hos läraren. Att behärska det matematiska innehållet innefattar enligt Löwing (2004) avsevärt mycket mer än att läraren kan förstå ett innehåll och kunna lösa en uppgift och knyta an till innehållet. Löwing menar att läraren måste behärska innehållet så att han/hon kan möta elevernas olika behov i undervisningen. Dessa behov är komplexa på grund av elevernas olika förkunskaper och hur motiverade de är för ämnet. Med andra ord måste läraren kunna förklara på många olika sätt, samt ha många olika konkretiseringsmetoder och metaforer att ansluta till. Kunskaper om att behärska ett innehåll är betydligt mer omfattande än den kunskap som behövs för att uppfatta ett begrepp eller lösa ett givet problem. Skolverkets rapport Lusten att lära (2003) visar att lärarens betydelse är avgörande för elevens lust att lära. Resultatrika lärare anpassar sin undervisning efter elevens behov och har kunskaper om många olika undervisningsmetoder som passar eleverna. En undervisning som visar på innehållets relevans och som fångar upp elevernas tankesätt och bygger vidare på dessa är centralt för utvecklandet av elevernas tillit till sin egen förmåga. Detta är ett kraftfullt sätt att bygga upp förståelsen för matematiken. Välutbildade och erfarna lärare har alltså förmågan att skapa en didaktisk och stimulerande helhet av sitt kunnande i olika undervisningssituationer. (Skolverket 2003, s 36) Alexandersson (refererad i Löwing 2004) menar att läraren måste ha en aktiv roll i klassrummet och besitta professionella ämneskunskaper och använda sig av dessa i sin undervisning. Han menar att detta är instrumentet för att ha förmågan att analysera elevernas förkunskaper. När läraren har djupare ämneskunskaper har han/hon också förmågan att förklara och skapa analogier när ett visst innehåll ska förmedlas eller 28

29 diskuteras. Alexandersson poängterar dock att varken goda ämneskunskaper eller en väl utvecklad metodisk förmåga är tillräcklig utan menar att det centrala i undervisningen är hur dessa två aspekter förenas. 29

30 4. Metod Undersökningen bygger på individuella intervjuer med fyra lärare med olika utbildningar. Varje intervju genomfördes vid ett tillfälle och pågick i ungefär minuter, under höstterminen Urval Fyra lärare valdes ut efter vilken utbildning de har. Kravet var att de är utbildade i matematik och undervisar i ämnet. Vi ville också med vårt urval finna lärare som är verksamma i olika årskurser i grundskolan. En av oss har tidigare varit kollega med en av dessa lärare. De övriga tre lärarna är slumpmässigt utvalda så till vida att vi kontaktat olika skolor i en viss region per telefon. Vi frågade efter en matematikintresserad lärare med utbildning i matematik. Då vi kom i kontakt med fler lärare än vad vi ämnade undersöka, valde vi ut två kvinnor och två män för att utjämna skillnader sett ur ett genusperspektiv. Vi har valt att benämna lärarna i urvalsgruppen med bokstäverna A, B, C, och D. A: grundskollärare med inriktning Textilslöjd/Ma. B: grundskollärare 4-9 med inriktning Ma/No. C: småskollärare med fortbildningskurs i Ma/No. D: grundskollärare 1-7 med inriktning Ma/No. Alla fyra lärarna fullföljde intervjun. Därför har vi inget bortfall i vår undersökning. 4.2 Datainsamlingsmetod Vi har valt intervju som undersökningsmetod. Undersökningens syfte ligger till grund för detta val. Det har en subjektiv dimension med fokus på lärarens bråkkunskaper samt hur dessa kunskaper används i lärarens undervisning. Undersökningen är gjord som en kvalitativ intervju med fasta frågeområden, där frågorna anpassats efter intervjupersonerna. 30

31 Avsikten var att få så uttömmande svar som möjligt under intervjun (Johansson & Svedner 2001). Vi genomförde först en pilotstudie med syfte att undersöka huruvida våra frågeområden gav den information vi hade för avsikt att insamla. Därefter bearbetades och kompletterades intervjun med nya frågor, samt följdfrågor som kunde vara användbara. Intervjun består av tre delar, A, B och C. (Se bilaga 3) Del A består av två frågeområden, en informell del med bakgrundsfrågor och en del som berör lärarens syn på matematiken samt hur denne bedriver sin undervisning. Del B består av två frågeområden som behandlar bråkbegreppet samt bråkbegreppet ur en didaktisk synvinkel. Frågorna 10 och 11 är hämtade från Liping Ma (1999). Fråga 12 är hämtad från Gudrun Malmers analystest av läsförståelse i problemlösning ALP 4 fråga 9. Del C består av en avslutande fråga angående lärarens visioner. 4.3 Procedur Vid den första telefonkontakten med de fyra lärarna informerade vi om vårt syfte, nämligen att vi var intresserade av lärarens undervisning samt deras kunskaper om bråkbegreppet. Ur forskningsetisk synpunkt fick läraren innan intervjun en information kring vad arbetet skulle mynna ut i, att dennes deltagande var frivilligt, med rätten att avbryta sin medverkan när han/hon ville samt att läraren eller dennes arbetsplats inte skulle nämnas eller vara spårbar (Johansson & Svedner 2001). (Se bilaga 2) För att ge den som intervjuade möjlighet att ha fokus på den intervjuade och undvika att glida över i en strukturerad intervju, vilket är vanligt vid kvalitativa intervjuer (Johansson & Svedner 2001), intervjuade en av oss. Den andra satt bredvid och observerade samt kom vid behov med följdfrågor och styrde in intervjun på dess syfte. Alla intervjuer genomfördes i tysta grupprum med deltagande av endast berörda personer. Lärarna hade inte sett intervjufrågorna tidigare. Den intervjuade hade inte frågorna framför sig. Dessa ställdes efterhand till läraren av den som intervjuade. När fråga 10 och 12 31

32 ställdes fick läraren uppgiften framför sig på ett papper (se bilaga 4-7). Han/hon fick också tillgång till en penna att anteckna med. Läraren uppmanades att lugnt tänka högt, fundera på varje fråga och om möjligt ge flera svarsalternativ. Syftet var att få så uttömmande svar som möjligt. Alla intervjuerna registrerades med hjälp av diktafon för att tonfall och eventuella avbrutna meningar skulle registreras. 4.4 Databearbetning Intervjuerna bearbetades genom att diktafonen lyssnades av och intervjun skrevs ut och dokumenterades ordagrant. Materialet har sedan bearbetats med hänsyn till undersökningens syfte. 32

33 5. Resultat 5.1 Upplägg av resultatet Resultatet av vårt arbete är uppdelat i två avsnitt. Resultatredovisning 1 innefattar frågorna 1-2, 7, 10 och 11. Först redovisas en sammanfattning av svaren på frågorna 1-2. Dessa frågor behandlar de 4 lärarnas bakgrund. Därefter redovisas fråga 7, 10 och 11 som behandlar lärarnas kunskaper om bråkbegreppet. Resultatredovisning 2 innefattar frågorna 3-6, 8, 9, 12 och 13. Fråga 3-6 och 13 är en sammanställning av vad lärarna har utryckt kring sin undervisning i matematik. Fråga 8, 9 och 12 försöker beskriva lärarnas undervisning av bråkbegreppet. 5.2 Resultatredovisning 1 Fråga 1. Vilken bakgrund har du, utbildning? Fråga 2. Vilka erfarenheter har du inom yrket? Lärare A: Hon är 45 år, utbildad grundskollärare, och undervisar i textil och matematik i år 7-9. Hon har 40 poäng i matematik och har varit verksam lärare i 17 år varav 16 år på nuvarande skola. På senare år har hon blivit mer och mer intresserad av matematik. Lärare B: Han är 50 år och utbildad grundskollärare 4-9 i Ma/NO med 30 poäng i matematik och har varit verksam lärare i 3 år, alla år på nuvarande skola. I dag undervisar han i år 7 9. Han anser att han alltid har haft lätt för matematik. Lärare C: Hon är 61 år och utbildad småskollärare med en fortbildning i Ma/NO som gett behörighet att undervisa t o m år 6. Hon har 10 poäng i matematik från fortbildning samt en del från tidigare utbildning. Som lärare har hon varit verksam i 39 år på många olika skolor, både 33

34 privata och kommunala. Hon har arbetat mest med år 1 3, men har på senare tid även arbetat i år 4. I dag undervisar hon i en åldersintegrerad tre-fyra. Hon är intresserad av matematik och anser att det är viktigt att man följer den matematikdidaktiska utvecklingen. Detta gör hon genom att läsa tidskriften Nämnaren, vara verksam inom SMaL samt gå på matematikbiennaler. Lärare D: Han är 35 år och utbildad grundskollärare 1-7 i Ma/NO med 15 poäng i matematik. Han har varit verksam lärare i 4 år, alla år på nuvarande skola. I dag arbetar han i en åldersintegrerad fyr-femma. Tidigare har han deltagit i en matematikgrupp på skolan där lärarna diskuterade matematiska begrepp och den röda tråden genom grundskolan. Fråga 7. Vad innefattar bråkbegreppet för dig? Lärare A: Hon säger att de flesta av eleverna har en intuitiv känsla för bråk. Det är viktigt att eleverna förstår vad täljare och nämnare står för vilket hon menar är kärnan i bråkbegreppet. Det är viktigt att förstå hur stora de eventuella delarna är, hur många de är och hur de kan omsättas till andra exempel som t ex decimaltal. Decimaltal ingår i bråkbegreppet men är underordnat bråket. Hon tycker att bråk är enklare än decimaltal och räknar själv med bråk vid huvudräkning. Eleverna uppmuntras till att omvandla från decimaltal till bråktal när de ska räkna. Hon säger också att bråkbegreppet innefattar del av antal och del av en hel. Lärare B: Han säger att bråk är ett gammalt sätt att räkna på. Kan man alla reglerna är det lätt, men han tycker det är svårt att lära ut. Han säger att bråket kan ses på många sätt och ger exempel på att lägga till eller att dra ifrån ¼ av någonting. 34

35 Lärare C: För lärare C innebär bråk att arbeta med Cuisinaire-stavar, addition och subtraktion med bråk samt del helhet. Hon säger att i treans och fyrans böcker finns det inte mycket bråk endast multiplikation och division. Lärare D: Han menar att bråkbegreppet generellt är svårt för barn att förstå. Han säger att bråk och decimaltal har ett samband och han nämner också hela och del av en del. Fråga10. Människor har olika tillvägagångssätt för att lösa problem som innehåller division med bråk. Hur skulle du lösa följande uppgift? Om lärarnas bilder och uträkningar till fråga 10 i sin helhet, se bilaga 4-7 Lärare A: Skriver = (7/4) / (1/2) = (7/4) x 2 = 14/4 = 7/2 = 3 ½ Hon löser uppgiften snabbt. (Se bilaga 4) Lärare B: Jag kan göra på många olika sätt: Först 1 / (1/2) = 2 sedan (3/4) / (1/2) = 1,5 Detta blir 3,5 tillsammans. (7/4) / (1/2) = 7/2 = 3,5 Han löser uppgiften snabbt. (Se bilaga 5) 35

36 Lärare C: Ja, jag har ett helt äpple och sen har jag då ¾ äpple. Hon ritar en bild. Och så ska jag dela det på hälften, så du ska ha hälften och jag ska ha hälften. Hon delar på hälften och kommer fram till 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/8. Så löser jag det idag, så visar jag det för barnen, visst är det tydligt? Sen kan man ju naturligtvis uttrycka det i åttondelar. Sen när man då gick i skolan så skulle man göra det till samma nämnare så då får man ta två där, 6/8 + 1/8 = 7/8, om de ska ha det på det viset, så gör jag själv idag eftersom jag aldrig längre räknar som när jag gick i skolan. Hon räknar snabbt men löser uppgiften fel. (Se bilaga 6) Lärare D: Han omvandlar 1 ¾ till 7/4 och gör sedan täljaren och nämnaren liknämniga med 4 som nämnare och får (7/4) / (2/4). När han försöker lösa uppgiften nämner han aldrig begreppen täljare och nämnare utan hänvisar till dessa som den där uppe och den där nere. Sedan kommer han inte längre utan går över till decimalräkning i stället. 1,75 / 0,5 = 3,5 Han kan inte lösa uppgiften i bråkform, men löser den i decimalform. (Se bilaga 7) Fråga 11. Kan du formulera en uppgift som detta skulle kunna gestalta? Lärare A: Jag har ett och trekvarts kilo godis och jag ska fördela i påsar med ett halvt kilo i varje. Hur många påsar blir det? Lärare B: Han ritar upp en cirkel som han delar upp i fjärdedelar. Därefter ritar han ytterligare en cirkel uppdelad i fjärdedelar och markerar tre av dem. Han berättar att han ska dela upp i 36

37 halvor och markerar två fjärdedelar och skriver ett. På samma sätt markerar han två och tre. Nu har han en fjärdedel kvar och säger att sista biten blir en halv halva. (Se bilaga 5) Lärare C: Hon hade gett eleverna papper och saxar och låtit dem klippa ut cirklar, en hel och en tre fjärdedels cirkel. Därefter vill hon se om de kan dela upp dessa på hälften, så de fått hälften var. Eller hade hon gjort något annat praktiskt, t ex tagit en och tre fjärdedels apelsin, den ena biten var lite sur så den fick de kasta, hur ska vi dela upp detta rättvist? Hon säger att: Eleverna hade klarat detta jättebra när det är praktiskt och konkret, kanske kan inte alla säga en åttondel med de flesta hade klarat det. (Se bilaga 6) Lärare D: Han vet inte hur han skulle ha gjort. Han kan inte se något framför sig, inte någon speciell uppgift som han kan utgå ifrån. 5.3 Resultatredovisning 2 Fråga 3. Vad tycker du är viktigt i matematik? Fråga 4. Hur och när lär sig dina elever matematik? Fråga 5. Hur bedriver du din undervisning i matematik? Fråga 6. Hur är tillvägagångssättet när ni ska börja med något nytt i matematik? Fråga 13. Vad har du för visioner med din matematikundervisning? Lärare A: Hon anser att det viktigaste med matematikundervisningen är att eleverna kan tillämpa sina kunskaper. Matematiken är enligt henne en balansgång mellan begrepp, färdigheter och kreativa problemlösningssituationer. Hon anser att eleverna lär sig matematik i alla ämnen och att det är viktigt att lära sig på olika sätt. Eleverna lär sig också matematik genom att lyssna på varandra. Hon försöker 37