Dubbel algebra. En målkatalog

Transkript

1 Dubbel algebra När Adolf af Ekenstam, Linköping, för en tid sedan läste de båda artiklar som här är sammanslagna till en, upptäckte han att de publicerats i fel ordning. Inte så att något misstag begåtts, men att det hade varit mer logiskt att utföra de undersökningar som redovisades i artiklarna i Nämnaren nr 2, årg 9 och nr 3, årg 12 i omvänd ordning. Studien av elevernas förståelse för grundläggande begrepp i algebra borde ha gjorts före den om elevernas svagheter i bokstavsräkning, menade artikelförfattaren. Egentligen är det dock helt naturligt att man som lärare börjar undersöka det man upplever som ett problem, i det här fallet att elevernas färdigheter att manipulera med bokstäver var otillfredsställande. Först sedan undersökningens resultat analyserats, uppstår misstanken att svårigheter och missförstånd kanske delvis bottnar i tidigare luckor och brister hos eleverna. Det var så undersökningen om de prealgebraiska målen kom till. Den artikeln ("Mellan aritmetik och algebra") från 1985/86 kommer alltså här före den om algebraiska manipulationer från 1982/83 ("Dia-gnos av färdigheter i algebra"). Artiklarna är en aning beskurna. I gengäld är några rader om resultaten från en engelsk studie tillfogade. Bland referenserna har medtagits en undersökning som Karl Greger och jag gjort tillsammans. I denna studerades i vilken utsträckning ett utnyttjande av datorn kunde förstärka elevernas begreppsbildning i algebra. Det var en direkt fortsättning på studien om de prealgebraiska målen. Här kommer den första artikeln. En målkatalog 130

2 En arbetsgrupp bestående av lärare från Göteborg (K Greger och G Holmström) och Linköping (S Attmar, I Gustafsson samt artikelförfattaren) sammanställde den målkatalog, över de viktigaste prealge-braiska målen, som i koncentrat ser ut som på föregående sida. Utifrån denna målkatalog utformades testuppgifter som förelades ca 400 elever i åk 9 sk. Testresultatet kompletterades med intervjuer av ca 100 elever, utförda av lärarkandidater som seminarieuppgift. Testuppgifter Av utrymmesskäl redovisas blott tre testuppgifter. De slutsatser som sedan dras bygger alltså på ett större testmaterial. 1) Ringa in det eller de tal som betecknar hälften av a Ungefär hälften av eleverna fann alla tre uttryck, 20% gav bara svaret. Resonemangen hos många elever tydde på bristande förståelse för innebörden av division och multiplikation. Här är ett sådant exempel. (E anger eleven, I intervjuaren) E: a - 2 kan det inte vara för det är minus. a/2 är korrekt, för man ska dividera med 2 för att få hälften av a. Dessa två (2a och 0,5a) är fel. Det är multiplikation. 2/a är omöjligt. Det är tvärtom mot a/2, och då är 1/2a fel också. är också fel. I: Du säger att a/2 är rätt men inte. Förklara en gång till. E: Det där är en halv (pekar på 1/2 ) och det är det där (a/2) också. I: Varför är då fel? E: Det är multiplikation, så det är omöligt. 2 a) Ett äpple kostar a kronor och ett päron b kronor. Vad betyder utrycket 3a + 5b? 2 b) Ett bord kostar a kronor och en stol b kronor. Skriv ett uttryck som anger hur mycket ett bord och fyra stolar kostar tillsammans. Lösningsfrekvenserna på dessa var helt olika. Den första uppgiften att tolka hade lägre än den andra att producera ett uttryck. Många elever insåg inte att det i a) rörde sig om ett pris. E: Det menas 3 äpplen och 5 päron. I: Ingenting annat? E: Nej. I: Har det ingenting med priserna på frukterna att göra? E: Skulle det? Konstigt. Här följer några exempel på elevsvar. (1)3 äpplen kostnaden + 5 päron kostnaden (2)Äpplet kostar 3 kr, päronet 5 kr (3)Hur mycket tre äpplen kostar. Hur mycket fem päron kostar (4)Någon köper 3 äpplen och 5 päron (5)Han köper 8 frukter (6)3 + 5 = 8 kr (7)3a + 5b = 8ab. 3) Hur uppfattar du uttrycket x +3? Svaren varierade högst väsentligt som framgår av nedanstående varianter. (1)Som en olöst ekvation (2)Om jag sätter x + 3 = 0 så blir x + 3 = 0 + 3; x = 3. Talet 3 (3)x + 3 = 0 ger x = -3 (4)3x (5)Det är omöjligt att addera om man inte vet vad x är. Man kan inte veta det, men 3x är det inte (6)Som ett tal vilket som helst plus 3 (7)200 motorcyklar kör på vägen och plötsligt dyker 3 till upp. Slutsatser Här följer några slutsatser från undersökningen. elevernas val av lösningsmetoder och strategier samt deras uppfattning om vad algebraiska uttryck och bokstäver betyder 131

3 varierade kraftigt. Ibland avspeglades lärarnas uppfattning, men ofta hade eleverna byggt upp egna föreställningar. många elever hade inte en klar uppfattning av variabelbegreppet utan ansåg en bokstav vara ett objekt och inte beteckning för tal (t ex ansåg många att 3a betydde 3 äpplen, i stället för priset på tre äpplen). uttryck och ekvationer blandades ihop, tolkning av ett uttryck syntes vara svårare än konstruktion av ett. (Ett äpple kostar a kronor. Vad betyder 4a? Kontra Ett äpple kostar a kronor. Skriv upp hur mycket 4 äpplen kostar). såväl tolkning som översättning till matematiskt språk av välkända fraser (ex hälften av a) fann många elever svårt. Lärare i tillämpade ämnen tänker antagligen inte på detta utan använder t ex 0,12E omväxlande med 12E/100 för att beteckna 12 procent av energien E. Detta kan ha stor betydelse för elevernas förståelse i ett inledningsskede. Avslutning Undersökningen avslöjade en rad svårigheter mellan aritmetik och algebra vilka eleverna borde klara av före de egentliga algebrastudierna, som annars lätt blir meningslösa. Sammanfattningsvis bör elevernas förmåga ökas väsentligt att i enkla sammanhang läsa, förstå och tolka algebraiska uttryck samt skriva, producera och använda enkla algebraiska uttryck. Artikeln om algebradiagnoserna har jag döpt om till Tre bekanta: a 2 /a, a/a och a/a 2 För flera år sedan konstaterades vid en undersökning, utförd vid lärarhögskolan i Uppsala, se ref [2], att eleverna i åk 9 hade bristande färdigheter i algebra. Så var t ex lösningsfrekvensen på uppgiften "Utveckla (3z + 1) 2." ganska låg. Nu är ju denna uppgift ganska komplex. En elev som missade den kanske inte visste vad 2:an betyder vid utvecklingen angav 3z 2 i stället för korrekta 9z 2 glömde dubbla produkten inte kunde utföra multiplikationen (3z + 1)(3z + 1) trodde att z z är lika med 2z. Många andra felvarianter att förtiga. I syfte att utröna var eleverna körde fast och att överhuvudtaget studera vilka steg, som var speciellt svåra, gjordes en undersökning inom vissa moment. Den omfattade ca elever i åk 1 på gymnasieskolans treåriga linjer. Eleverna hade just startat sina gymnasiestudier, så det var behållningen från grundskolan som testades. Idén var följande. Utifrån en uppgift i Uppsalaundersökningen, t ex den ovan angivna, konstruerades en svit, där varje uppgift erhölls ur den föregående genom att förändra (om möjligt) bara en detalj. Här följer en del av sviten som började med (3z + 1) 2. Lösningsfrekvenserna står i mittspalten. Utgående från ett tiotal uppgifter av komplicerad art, de flesta hämtade från Uppsalaundersökningen, konstruerades ca 130 uppgifter som fördelades på 10 prov. Uppgifter från en viss svit fördelades på proven 132

4 så att en uppgift inte skulle ge någon idé om hur en annan löstes. Eleverna löste alltså inte uppgifterna inom en svit tills de körde fast. Undersökningen är i sin helhet redovisad i [3] och [4]. Här återges några resultat från algebradelen. Några resultat Genom att studera lösningsfrekvenserna fick man en ganska nyanserad bild av vad eleverna kunde och inte kunde. Lösningsfrekvenserna för uppgifterna framgår av vänsterspalten i tabellen på föregående sida. Slutsatserna var bl a följande: Felet 3z 2 (i stället för 9z 2 ) var vanligt. Kvadreringsregeln var bortglömd. Om uttrycket skrevs som en produkt av två faktorer kunde många fler klara uppgiften. Ett minustecken försvårade inte uppgiften. De flesta visste att p p = p 2 och att p 4 kan skrivas 4p, även om några trodde att det var lika med p 4. Låt oss nu titta på den svit som innehöll a 2 /a, a/a och a/a 2. Den springande punkten är tydligen om täljaren blir 1 efter förenkling. (Alla faktorer i täljaren går att förkorta bort). Den intressanta konsekvensen blev att uppgifterna i vänstra rutan till höger förenklades, medan de i högra rutan försvårades, då faktorer tillfogades. Svårigheten att bemästra ettan i täljaren försvann ju för de förstnämnda uppgifterna. 133

5 För att ytterligare få bekräftat vad som var svårigheten gavs följande: De föreliggande svårigheterna var dessa: Korrekt tolka (mv) 2, m 2 v och mv 2 Bemästra ett uttryck där täljaren blir 1. Läsaren kan ju försöka gissa i vilken ordning uppgifterna är uppskrivna med hänsyn till lösningsfrekvenser. Observera, att svaret blir l/v i den första uppgiften, m eller v i de övriga. Lösningsfrekvenserna blev 17, 41, 48, 72% respektive. Bemästrandet av ettan i täljaren var tydligen den stora stötestenen. Uppgifterna ser ut att vara mycket likartade, men lösningsfrekvenserna visar att eleverna uppfattade dem som mycket olika. I stället för egna avslutande kommentarer har jag valt att återge några slutsatser från det engelska SESM-projektet (Strategies and Errors in Secondary Mathematics). Inom detta studerades under åttiotalets första del bl a förståelsen för algebra hos åringar. I rapporten pekas på flera olika typer av svårigheter som just hänger ihop med den grundläggande förståelsen. Här följer några. Många elever kan inte skilja mellan vad bokstaven representerar och bokstaven själv. T ex 3a - a = 3. "Man tar bort a från 3a". (Eller varför inte a/a 2, där a tas bort från täljare och nämnare och inget blir kvar i täljaren...). Även elever som accepterar att bokstäver står för tal behandlar bokstäverna som något konkret. Tydligast framgår detta i mer abstrakta exempel som för enkling av 2a + 5b + a, där det blir en 134 symbolhantering med privata regler såsom "Addera alla tal och skriv sedan bokstäverna". Åtskilliga elever har svårt att skilja mel lan likheten, x + 8 = 10, där x står för ett bestämt tal, och líkheten x + y = y + x där x kan betyda vilket tal som helst. Ett uttryck av typen "n + 3" uppfattas ínte som ett svar utan som en summa som man ska göra något med. Det får två konsekvenser: antingen ges inget svar alls, alternativt substitueras ett värde, eller så hittar eleven på en privat regel för att få ihop ett svar, n3 eller 3n vilket senare leder till förvirring, då beteckningen 3n införs för 3 n. Det kan ha sitt intresse för läsaren att jämföra dessa iakttagelser med resultaten ovan och inte minst med sina egna erfarenheter. Referenser [1] Booth, L. Algebra: Children s Strategies and Errors. Nfer-Nelson, Windsor, Berkshire SL4 IDF [2] Ernestam, A. och Olofsson. Undersökning av elevernas färdigheter i elementär algebra, åk 9. Lärarhögskolan i Uppsala, rapport nr 4/74. [3] af Ekenstam, A. och Nilsson. Om behållningen av grundskolans matematikkurser. Lärarhögskolan i Linköping, rapport nr 9/77. [4] af Ekenstam, A. och Nilsson, A. New Approach to the Assessment of Children's Mathematical Competence. Educational Studies in Mathematics 10, [5] af Ekenstam, A. Den grundläggande undervisningen i algebra, Nämnaren nr 4, 77/78 och nr 1, 78/79. [6] af Ekenstam, A. och Greger, K. Programming and Understanding of Variables. Journal für Mathematikdidaktik 2, 1989.