5 Fleraxliga spänningstillstånd Plant (tvåaxligt) spänningstillstånd: Mohr s Cirkel Treaxliga spänningstillstånd...

Transkript

1 VT15

2 Innehållsförteckning 1 Allmänt Enheter och storheter Matematik och geometri Räkneregler Derivator och Integraler Trigonometri Area- och Tngdpunktsformler Volm- och Tngdpunktsformler Materialsamband och materialdata Normalspänning Skjuvspänning Materialdata (SS-standard) Materialdata enligt EN-standard Dimensionering och säkerhetsfaktor Konstruktionselement Stänger (axialbelastning) Knäckning Axlar (vridning) Vridmotstånd och vridstvhet Balkar (böjning) Yttröghetsmoment Elementarfall - nedböjning Elementarfall - övertaliga stödreaktioner Tabeller: Vanliga balktvärsnitt... 31

3 5 Fleraxliga spänningstillstånd Plant (tvåaxligt) spänningstillstånd: Mohr s Cirkel Treaxliga spänningstillstånd Effektivspänning och säkerhetsfaktorer Spänningskoncentrationer Diagram: Spänningskoncentrationer Utmattning... 45

4 1 Allmänt 1.1 Enheter och storheter Storhet Benämning Vanlig beteckning Enhet Kommentar Sträcka l, s meter m grundenhet Area A kvadratmeter m 2 Volm V kubikmeter m 3 Vinkel α, β, φ radian rad 1 = π 180 rad Massa m kilogram kg grundenhet Densitet ρ kilogram per kubikmeter kg/m 3 Kraft F, P newton N 1 N = 1 kg 1 m 1 s 2 Vridmoment M newtonmeter Nm Tid t sekund s grundenhet Frekvens f hertz Hz 1 Hz = 1 s 1 Hastighet v meter per sekund m/s v = ds dt Vinkelhastighet ω radianer sekund rad/s ω = dφ dt Acceleration a meter per sekundtvå m/s 2 a = dv dt Vinkelacceleration α radianer per sekundtvå rad/s 2 α = dω dt 1

5 Storhet Benämning Vanlig beteckning Enhet Kommentar Impuls I newtonsekund Ns I = F dt = Δp Rörelsemängd p kilogrammeter per sekund kgm/s p = mv 1 kgm/s = 1 Ns Tröghetsmoment J Kilogrammetertvå kgm 2 Arbete W W = Fs 1 J = 1 Nm Energi, potentiell W p, E p joule J E p = mgh Energi, kinetisk W k, E k E k = mv2 2 Effekt P watt W 1 W = 1 J/s = Nm/s Trck p 1 Pa = 1 N 1 m 2 Spänning σ pascal Pa 1 MPa = 1 N 1 mm 2 Elacticitetsmodul E 1 GPa = 10 3 MPa Yttröghetsmoment Vridstvhet I Kv meterfra m 4 1 mm 4 = m 4 1 cm 4 = 10 8 m 4 1 cm 4 = 10 4 mm 4 Böjmotstånd Vridmotstånd Wb Wv metertre m 3 1 mm 3 = 10 9 m 3 1 cm 3 = 10 6 m 3 1 cm 3 = 10 3 mm 3 Temperatur T kelvin K grundenhet Längdutvidgningskoefficient α per kelvin K 1 2

6 Tiopotenser SI-prefix SI-smbol 10 n 1000 n Namn Storlek Yotta Y Kvadriljon Zetta Z Triljard Exa E Triljon Peta P Biljard Tera T Biljon Giga G Miljard Mega M Miljon Kilo k Tusen 1000 Hekto h /3 Hundra 100 Deka da /3 Tio Ett 1 Deci d /3 Tiondel 0,1 Centi c /3 Hundradel 0,01 Milli m Tusendel 0,001 Mikro μ Miljondel 0, Nano n Miljarddel 0, Piko p Biljondel 0, Femto f Biljarddel 0, Atto a Triljondel 0, Zepto z Triljarddel 0, Yokto Kvadriljondel 0, Grekiska alfabetet Namn Versal Gemen Namn Versal Gemen Alpha Α α N Ν ν Beta Β β Xi Ξ ξ Gamma Γ γ Omikron Ο ο Delta Δ δ Pi Π π Epsilon Ε ε Rho Ρ ρ Zeta Ζ ζ Sigma Σ σ Eta Η η Tau Τ τ Theta Θ θ Ypsilon Υ υ Jota Ι ι Phi Φ ϕ Kappa Κ κ Chi Χ χ Lambda Λ λ Psi Ψ ψ M Μ μ Omega Ω ω 3

7 1.2 Matematik och geometri Räkneregler Potenser Om a 0 och x, m, n R gäller följande: a 0 = 1 a x = 1 a x a m n n = a m För potenser med samma bas gäller följande (om a 0 och a, x, R): a x a = a x+ (a x ) = (a ) x = a x a x = ax a För potenser med samma exponent gäller följande (om a, b, x R): (a b) x = a x b x ( a b ) x = ax b x Logaritmer x är a-logaritmen av om a x = och a > 0, a 1. a x = x = log a 10 x = x = log 10 = lg e x = x = log e = ln c > 0, log a x = log c x log c a lg x = ln x ln 10 ln x = lg x lg e ln 10 = 1 lg e lg e = 1 ln 10 log a (x ) = log a x + log a log a x = log a x log a log a x p = p log a x 4

8 1.2.2 Derivator och Integraler Derivator Primitiva funktioner f(x) f (x) f(x) F(x) x a a x a 1 k k x 1 x x 1 x 2 x a (a 1) 1 2 x e ax a e ax e kx a x ln x a x ln a 1 x a x (a > 0, 1) 1 x 1 sin x x a+1 a + 1 a x ln a 1 k ekx ln x ln tan x 2 sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 1 tan x cos 2 x cot x 1 sin 2 x 1 arcsin x 1 x 2 arctan x tan x sin 2 x cos 2 x 1 g (x) 1 + x 2 g(x) ln cos x x + sin x cos x 2 x sin x cos x 2 ln g(x) Om f(x) och g(x) är deriverbara funktioner gäller: h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) h(x) = f(x) g(x), g(x) 0 h (x) = g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) g(x) h(x) = f(g(x)) h (x) = f (g(x)) g (x) 5

9 1.2.3 Trigonometri Enhetscirkeln 3π 4 1 sin α π/2 π 3 π 4 radianer π -1 π-α α -α π 6 1 π 12 cos α 5π 4 7π 4-1 3π/2 Exakta trigonometriska värden för några vinklar Grader Radianer 0 π 12 π 6 π 4 π 3 5π 12 π 3 sin cos tan Exakt värde Approximation 0,259 0,707 0,866 0,966 Exakt värde Approximation 0,966 0,866 0,707 0, Exakt värde Approximation 0,268 0,577 1,732 3,732 6

10 Liksidig triangel a A b c α sin α = a c cos α = b c tan α = a b, α = arcsin a c, α = arccos b c, α = arctan a b Ptagoras sats: cot α = b a, α = arccot b a c 2 = a 2 + b 2 Godtcklig triangel Herons formel: h a β γ A c b α A = p(p a)(p b)(p c) p = a + b + c 2 Areasatsen: A = ab sin γ 2 = ac sin β 2 = bc sin α 2 Area: A = hb 2 Cosinussatsen: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Sinussatsen: sin α a sin β = b = sin γ c 7

11 Trigonometriska formler sin 2 α + cos 2 α = 1 sin( α) = sin(α) cos( α) = cos(α) tan( α) = tan(α) sin(90 α) = cos(α) cos(90 α) = sin(α) tan(90 α) = cot α sin(α 90 ) = cos(α) cos(α 90 ) = sin(α) tan(α 90 ) = cot α sin(180 α) = sin α cos(180 α) = cos α tan(180 α) = tan α sin(α ± 180 ) = sin α cos(α ± 180 ) = cos α tan(α ± 180 ) = tan α sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α + β) = tan(α β) = tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β 1 + tan α tan β sin α + sin β = 2 sin sin α sin β = 2 cos α + β α β cos 2 2 α + β α β sin 2 2 cos α + cos β = 2 cos cos α cos β = 2 sin α + β α β cos 2 2 α + β α β sin 2 2 cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α sin 2α = 2 sin α cos α tan 2α = sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α 2 tan α 1 tan 2 α cos 3α = 4 cos 3 α 3 cos α sin 2 α 2 = 1 cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 8

12 1.2.4 Area- och Tngdpunktsformler Cirkelbåge Cirkelsegment sin α x TP = R α TP = 0 R α α x Area = αr 2 x TP = 2 sin α 3α R α α x TP = 0 Godtcklig triangel Parallellogram Area = b h 2 c h Area = b h TP = h 2 α h TP = h 3 x TP = c2 h 2 + b 3 b x x TP = b + h sin α 2 b x Parallelltrapets a + b Area = h 2 x TP =? TP = 2a + b a + b h 3 α a b h x 9

13 1.2.5 Volm- och Tngdpunktsformler Sfär z R Volm = 4πR3 3 x Ytterarea = 4πR 2 x TP = z TP = TP = 0 Kon z h Volm = Ah 3 = πr2 h 3 Mantelarea = πr r 2 + h 2 r A x x TP = TP = 0 z TP = h 4 Pramid A z x h Volm = A h 3 OBS: x TP 0, TP 0 z TP = h 4, A = Bottenarean 10

14 2 Materialsamband och materialdata 2.1 Normalspänning N A N N σ A σ A N N N L 0 δ Normalspänningen ges av sambandet: σ = N A Normaltöjningen ges vid små deformationer av sambandet ε = δ L 0, (δ L 0 ) och vid stora deformation av: ε = ln (1 + δ L 0 ) = ln ( L L 0 ) σ är normalspänningen N är normalkraften A är snitttans area ε är normaltöjningen δ är (positiv) längdändring L 0 är den ursprungliga längden Hooke s lag (gäller för linjärt elastiska material): ε = σ E + αt α är materialets temperaturutvidgningskoefficient T är temperaturändringen E är marialets E-modul. 11

15 2.2 Skjuvspänning T A T τ A T T τ A γ T T Skjuvspänningen ges av sambandet: τ = T A Hooke lag för skjuvning av linjärt elastiska material: γ = τ G τ är den genomsnittliga skjuvspänningen T är skjuvkraften i snitttan A är snitttans area γ är vinkeländring p.g.a skjuvning G är materialets skjuvmodul Samband mellan E och G: G = E 2(1 + ν) ν är Poissons konstant för aktuellt material 12

16 2.3 Materialdata (SS-standard) (Kompatibel med övningsuppgifterna i boken) Material- Beteckning Enligt SS-14 Kolstål (obehandlat) (normaliserat) (obehandlat) (normaliserat) (normaliserat) (seghärdat) Rostfritt (släckglödgat) Aluminium (glödgat) (hårdbearbeta t och anlöpt) (varmåldrat) E-modul GPa Possions konstant α 10 6 K Brottgräns Drag/ trck Sträckgräns MPa Böj Vrid Ungefärlig motsvarighet EN , > S235JRG , > , > , > , > ,3-860 > ,29 - >490 R p02 > 200 MPa ,32 16, R p02 > 65 MPa AW , R p02 > 170 MPa ,32 23 >340 R p02 > 270 MPa AW7020 Utmattningsdata (MPa) Dragning Böjning Vridning Växlande Pulserande Växlande Pulserande Växlande Pulserande ± ±110 ± ±150 ± ± ± ±130 ± ±170 ± ± ± ± ±160 ± ±210 ± ± ± ±180 ± ±240 ± ± ± ± ± ±

17 2.4 Materialdata enligt EN-standard Stålbeteckningar i EN-standard enligt tp och tillämpning Exempel: S 360 J2 S E L Ståltp Konstruktionsstål Maskinstål Stål för rör och tuber P Trckkärlsstål G Gjutstål HC Höghållfsta stål B Armeringsstål Mekanisk egenskap (beroende på ståltp) För ståltper: S, E, L och P Minsta tillåtna sträckgräns R eh för nominell tjocklek 16 mm i MPa För höghållfasta stål: HC Minsta tillåtna resttöjningsgräns R p0.2 i MPa För armeringstål: B Minsta tillåtna sträckgsgräns R eh i MPa Tilläggssmboler övriga kvalitetskrav, tillämpningar och leveranstillstånd (beroende på ståltp och kvalitet) Exempel: Krav på slagseghet Slagseghet Testtemp. 27 J 40 J 60 J JR KR LR 20 C J0 KO LO 0 C J2 K2 L2-20 C J3 K3 L3-30 C J4 K4 L4-40 C J5 K5 L5-50 C J6 K6 L6-60 C 14

18 Varmvalsade produkter av olegerat konstruktionsstål Vanliga leveransformer är t.ex. plåtar och balkprofiler. God svetsbarhet. Används vanligen i obearbetad tillstånd. Nominell Tjocklek (mm) Sträckgräns R eh i MPa beroende av nominell tjocklek Brottgräns R m i MPa beroende av nominell tjocklek >16 >40 >63 >80 >100 >150 >200 >250 3 >100 >150 > < S S S ? Maskinstål Vanliga leveransformer är t.ex. stålaxlar och stålämnen för skärande bearbetning. Dålig svetsbarhet. Används oftast i bearbetat tillstånd. Nominell Tjocklek (mm) Sträckgräns R eh i MPa beroende av nominell tjocklek Brottgräns R m i MPa beroende av nominell tjocklek >16 >40 >63 >80 >100 >150 >200 3 >100 > < E E E

19 16

20 3 Dimensionering och säkerhetsfaktor Tillåten normalspänning σ till ges av σ till = R e n s eller σ till = R p0.2 n s Tillåten skjuvspänning τ till ges av τ till = τ s n s n s är säkerhetsfaktorn mot plastisk deformation. R e eller R p0.2 är materialets sträckgräns eller resttöjningsgräns. τ s är den skjuvspänning som ger kvarstående deformation. Om τ s inte är känd kan den approximeras ur sträckgränsen eller resttöjningsgränsen. τ s 0,6 R e eller τ s 0,6 R p0.2 Om största normalspänning är given beräknas säkerhetsfaktorn enligt n s = R e σ max eller n s = R p0.2 σ max Om största skjuvspänningen är given beräknas säkerhetsfaktorn enligt n s = τ s τ max σ max är den till absolut beloppet största förekommande normalspänningen τ max är den största förekommande skjuvspänningen. 17

21 4 Konstruktionselement 4.1 Stänger (axialbelastning) Normalspänningen i en stång ges av sambandet: σ = S A σ är normalspänningen S är stångkraften A är stångens tvärsnittsarea Förlängningen ges av sambandet: δ = SL EA eller (om en eller flera av dessa storheter varierar): L N(x) dx E(x)A(x) 0 δ är (positiv) längdändring L är stångens längd E är materialets elasticitetsmodul N(x) är normalkraften i stången som en funktion av lägeskoordinaten x Knäckning Knäckkraft enligt Euler: P k = π2 EI L f 2 1. P 2a. P 2b. P 3. P 4. P L f = 2L L f = L L f = L L f = 0,7L L f = 0,5L P k = π2 EI 4L 2 P k = π2 EI L 2 P k = π2 EI L 2 P k = 2,05 π2 EI L 2 P k = 4 π2 EI L 2 18

22 4.2 Axlar (vridning) θ M V L, K V M V Maximal skjuvspänning ges av sambandet: τ max = M V W V Vridningsvinkeln ges av sambandet: θ = M VL GK V eller (om en eller flera av dessa storheter varierar): τ max är största skjuvspänning M V är vridande moment W V är axelns vridmotstånd θ är vridningsvinkeln L är axelns längd G är materialets skjuvmodul K V är tvärsnittets vridstvhet θ = 0 L M V(x) dx G(x)K V (x) Om ett vridmoment fördelar sig över N st parallella axlar gäller: τ i,max = M V W Vi G i K Vi N i=1(g i K Vi ) M V L θ = N i=1(g i K Vi ) Samband mellan överförd effekt, varvtal och vridmoment för en axel. P = M V ω ω = π n 30 P är den överförda effekten. ω är vinkelhastigheten (rad/s) n är varvtalet (rpm) 19

23 4.2.1 Vridmotstånd och vridstvhet Massivt cirkulärt tvärsnitt D Tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt d D Tunnväggigt cirkulärt tvärsnitt t R R t W V = πd3 16 z K V = πd4 32 z W V = π D 4 d 4 16 D K V = π 32 (D4 d 4 ) z W V 2πR 2 t K V 2πR 3 t Massivt rektangulärt tvärsnitt k WV och k KV ges av b/a enligt: b/a k WV k KV b 1,0 0,208 0,1406 1,2 0,219 0,1661 z 1,5 0,231 0,1958 a 2,0 0,246 0,229 2,5 0,258 0,249 W V = k WV a 2 b 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 K V = k KV a 3 b 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 0,333 0,333 Tunnväggigt rektangulärt tvärsnitt t a, t b t b Liksidigt massivt triangulärt tvärsnitt a Godtckligt tunnväggigt tvärsnitt A t(s) W V = 2A t min K V = 4A2 ds s t(s) A är den area som inneslutes av tvärsnittets medellinje. s Massivt elliptiskt tvärsnitt 2a 2b a z W V = 2abt K V = 2a2 b 2 t a + b z W V = a3 20 K V = a z W V = π 2 ab2 K V = πa3 b 3 a 2 + b 2 20

24 4.3 Balkar (böjning) Vanliga riktningar för snittkraften T(x) och snittmoment M(x) i balkar. M(x 1 ) T(x 1 ) x 1 x 2 Största normalspänning från böjande moment. σ max = M W b T(x 2 ) M(x 2 ) x T(x) = M (x) q(x) = T (x) = M (x) σ max är absolutbeloppet av den största drag eller trckspänningen. W b är böjmotståndet. Böjmotståndet W b (för böjning runt -axeln) är: W b = I z max OBS: Vid böjning runt z-axeln ersätts z max av max I är balktvärsnittets ttröghetsmoment z max är absolutbeloppet av z- koordinaten för den delen av tvärsnittet som är mest avlägsen från böjningsaxeln. Normalspänningen på en given plats i en balk som är parallell med x-axeln och böjs runt axeln kan beräknas enligt: σ(x, z) = N A N M(x) Δx 0 + M(x) z I(x) σ(x, z) z x N är summan av eventuella axiell krafter. A är tvärsnittets area. M(x) och I(x) är tvärsnittsmoment och ttröghetsmoment för den givna x-koordinaten. z är z-koordinaten, med positiv riktning nedåt och z = 0 beläget vid tvärsnittets tngdpunkt. 21

25 4.3.1 Yttröghetsmoment Massivt cirkulärt tvärsnitt D Tjockväggigt cirkulärt tvärsnitt d D Tunnväggigt cirkulärt tvärsnitt t R R t z I = I z = πd4 64 Massivt Rektangulärt tvärsnitt z I = I z = π 64 (D4 d 4 ) Elliptiskt tvärsnitt z I = I z πr 3 t Likbent triangulärt tvärsnitt h 2b h b I = bh3 12 z I z = hb3 12 I = πab3 4 2a z I z = πba3 4 I = bh3 36 b z I z = hb3 48 Sammansatta tvärsnitt (gemensam böjningsaxel) För tvärsnitt som har samma böjningsaxel får ttröghetsmomenten summeras. Exempel: 1 2 I = I 1 + I 2 22

26 Steiners sats (parallellförskutningssatsen) Vid böjning runt en axel som ligger parallellt med den som går genom tngdpunkten kan man beräkna motsvarande ttröghetsmomentet m.h.a. Steiners sats: I η är tans ttröghetsmoment med avseende på den parallella axeln. I 0 är tans ttröghetsmoment med avseende på tngdpunktsaxeln. I η = I 0 + a 2 A är tans area. A a är avståndet mellan tans tngdpunktsaxel och den parallella axeln. Exempel på tillämpning av Steiner s sats: Yttröghetsmomentet för ett sammansatt tvärsnitt. 1 a 1 2 a 2 I = I,1 + I,2 = I 0,1 + A 1 a I 0,2 + A 2 a

27 4.3.2 Elementarfall - nedböjning Konsolbalk av längden L med E-modul E och ttröghetsmoment I 1. med punktlasten P i fria änden: w(x) = PL3 x2 (3 6EI L 2 x3 L 3) w(l) = PL3 3EI w (L) = PL2 2EI 2. med konstant utbredd last Q: q(x) = Q/L w(x) = QL3 24 EI (x4 L 4 4 x3 L x2 L 2) w(l) = QL3 8 EI w (L) = QL2 6 EI 24

28 3. med ökande utbredd last Q: q(x) = x 2 Q L 2 w(x) = QL3 x3 x2 60 EI (x L5 L3 L 2 ) w(x) = 11 QL3 60 EI w (L) = QL2 4 EI 4. med minskande utbredd last Q: q(x) = (L x) 2Q L 2 w(x) = QL3 x5 ( 60EI L x4 x3 x L4 L3 L 2) w(l) = QL3 15 EI w (L) = Q L 2 12 EI 5. med momentbelastning M i fria änden: w(x) = ML2 2 EI (x2 L 2) w(l) = ML2 2 EI w (L) = ML EI 25

29 Fritt upplagd balk av längden L med E-modul E och ttröghetsmoment I 6. med punktlasten P vid x = αl: α + β = 1 αl βl w(x) = PL3 6 EI β ((1 β2 ) x L x3 L 3) då x L α w(αl) = PL3 3 EI α2 β 2 w max vid x = L 1 β2 3 w (0) = PL2 αβ(1 + β) 6 EI w (L) = PL2 αβ(1 + α) 6 EI 7. med utbredd last Q: då α β w(x) = QL3 24 EI (x4 L 4 2 x3 L 3 + x L ) w ( L 2 ) = 5 QL3 384 EI w (0) = w (L) = QL2 24 EI 8. med ökande utbredd last Q: w(x) = QL3 180 EI w (0) = 7 QL2 180 EI w (L) = 8 QL2 180 EI x5 x3 (3 10 L5 L x L ) 26

30 9. med minskande utbredd last Q: w(x) = QL3 180 EI w (0) = 8 QL2 180 EI w (L) = 7 QL2 180 EI ( 3 x5 L x4 x L4 L x L ) 10. med vridmoment M A vid x = 0 och M B vid x = L: M A M B w (0) = M AL 3 EI + M BL 6 EI w (L) = M AL 6 EI M BL 3EI w(x) = L2 6 EI {M A ( x3 L 3 3 x2 L x L ) + M B ( x3 L 3 + x L )} 11. α + β = 1 med vridmoment M vid x = αl: αl βl w(x) = ML2 6 EI ((1 3β2 ) x L x3 L 3) då x L α w (0) = ML 6 EI (1 3β2 ) w (L) = ML 6 EI (1 3α2 ) 27

31 4.3.3 Elementarfall - övertaliga stödreaktioner Reaktionsmomentet M A vid fast inspända änden för balk som är fast inspänd vid x = 0 och balk fritt upplagd vid x = L. 12. med punktlasten P vid x = αl: 13. med utbredd last Q: α + β = 1 αl βl M A = PL 2 β(1 β2 ) M A = QL med minskande utbredd last Q: 15. med vridmoment M vid x = αl: α 1 M A = 2 QL 15 αl M A = M 2 (1 3β2 ) βl 28

32 Reaktionsmomenten M A vid x = 0 och M B vid x = L för balk av längden L, fast inspänd i båda ändar. 16. med punktlasten P vid x = αl: 17. med utbredd last Q: α + β = 1 αl M A = PLαβ 2 βl M B = PLα 2 β M A = M B = QL med vridmoment M vid x = αl: 19. med minskande utbredd last Q: α + β = 1 αl βl M A = Mβ(1 3α) M B = Mα(1 3β) M A = QL 10 M B = QL 15 29

33 30

34 4.3.4 Tabeller: Vanliga balktvärsnitt HEA-balk z z Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) HE 100 A 16, ,0 8,0 12 HE 120 A 19, ,0 8,0 12 HE 140 A 24, ,5 8,5 12 HE 160 A 30, ,0 9,0 15 HE 180 A 35, ,0 9,5 15 HE 200 A 42, ,5 10,0 18 HE 220 A 50, ,0 11,0 18 HE 240 A 60, ,5 12,0 21 HE 260 A 68, ,5 12,5 24 HE 280 A 76, ,0 13,0 24 HE 300 A 88, ,5 14,0 27 HE 320 A 97, ,0 15,5 27 HE 340 A ,5 16,5 27 HE 360 A ,0 17,5 27 HE 400 A ,0 19,0 27 HE 450 A ,5 21,0 27 HE 500 A ,0 23,0 27 HE 550 A ,5 24,0 27 HE 600 A ,0 25,0 27 HE 650 A ,5 26,0 27 HE 700 A ,5 27,0 27 HE 800 A ,0 28,0 30 HE 900 A ,0 30,0 30 HE 1000 A ,5 31,

35 Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) HE 100 A ,492 72,8 1,33 26,8 52,6 6,57 HE 120 A , ,31 38,5 60,2 7,52 HE 140 A , ,89 55,6 81,6 9,60 HE 160 A , ,16 76, ,7 HE 180 A , , ,7 HE 200 A , , ,1 HE 220 A , , ,0 HE 240 A , , ,7 HE 260 A , , ,1 HE 280 A , , ,0 HE 300 A , , ,1 HE 320 A , , ,7 HE 340 A , , ,6 HE 360 A , , ,1 HE 400 A , , HE 450 A , , HE 500 A , , HE 550 A , HE 600 A , HE 650 A , HE 700 A , HE 800 A , HE 900 A , HE 1000 A ,

36 HEB-Balk Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) z z HE 100 B 20, HE 120 B 26, , HE 140 B 33, HE 160 B 42, HE 180 B 51, , HE 200 B 61, HE 220 B 71, , HE 240 B 83, HE 260 B ,5 24 HE 280 B , HE 300 B HE 320 B ,5 20,5 27 HE 340 B ,5 27 HE 360 B ,5 22,5 27 HE 400 B , HE 450 B HE 500 B , HE 550 B HE 600 B , HE 650 B HE 700 B HE 800 B , HE 900 B , HE 1000 B

37 Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) HE 100 B ,495 89,9 1,673 33,5 92,9 9,29 HE 120 B , ,175 52, ,6 HE 140 B , ,497 78, ,7 HE 160 B , , ,2 HE 180 B , , ,2 HE 200 B , , ,7 HE 220 B , , HE 240 B , , ,6 HE 260 B , , ,9 HE 280 B , , HE 300 B , , ,9 HE 320 B , , HE 340 B , , HE 360 B , , HE 400 B , , HE 450 B , , HE 500 B , HE 550 B , HE 600 B , HE 650 B , HE 700 B , HE 800 B HE 900 B , HE 1000 B ,

38 IPE-Balk Vikt (kg/m) h (mm) b (mm) t1 (mm) t2 (mm) r (mm) z z IPE 80 6, ,2 3,8 5 IPE 100 8, ,7 4,1 7 IPE , ,3 4,4 7 IPE , ,9 4,7 7 IPE , ,4 5,0 9 IPE , ,0 5,3 9 IPE , ,5 5,6 12 IPE , ,2 5,9 12 IPE , ,8 6,2 15 IPE , ,2 6,6 15 IPE , ,7 7,1 15 IPE , ,5 7,5 18 IPE , ,7 8,0 18 IPE , ,5 8,6 21 IPE , ,6 9,4 21 IPE , ,0 10,2 21 IPE ,2 11,1 24 IPE ,0 12,

39 Tvärarea I W Iz Wz Kv Wv (mm 2 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 6 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) 10 3 (mm 4 ) 10 3 (mm 3 ) IPE ,801 20,0 0,085 3,69 7 1,35 IPE ,710 34,2 0,159 5,79 12,1 2,12 IPE ,178 53,0 0,277 8,65 17,4 2,76 IPE ,412 77,3 0,449 12,3 24,5 3,55 IPE , ,683 16, ,89 IPE , ,009 22,2 48 6,00 IPE , ,424 28,5 70,2 8,26 IPE , ,049 37,3 91 9,89 IPE , ,836 47, ,2 IPE , ,199 62, ,7 IPE , ,038 80, ,9 IPE , ,881 98, ,6 IPE , , ,5 IPE , , ,1 IPE , , ,0 IPE , , ,1 IPE , , ,1 IPE , , ,4 36

40 5 Fleraxliga spänningstillstånd 5.1 Plant (tvåaxligt) spänningstillstånd: Normalspänninge och skjuvspänning i x och -riktningarna: σ x = E 1 ν 2 (ε x + νε ) σ = E 1 ν 2 (ε + νε x ) τ x = γ x G Hooke s lag med temperaturterm: ε x = 1 E (σ x νσ ) + αt ε = 1 E (σ νσ x ) + αt γ x = τ x G τ(α) Normalspänning σ(α) och skjuvspänningen τ(α) för snittta vars normal har vinkeln α mot x-axeln: σ(α) = σ x cos 2 α + σ sin 2 α +2τ x cos α sin α σ(α) τ(α) = (σ x σ ) sin α cos α + τ x (cos 2 α sin 2 α) σ x τ x τ x α σ x Huvudspänningarna σ 1, σ 2 och vinkeln ψ 1 från x-axeln till första huvudspänningsriktningen: σ 1,2 = σ c ± R = σ x + σ 2 ± ( σ x σ 2 ) + τ2 2 x sin(2ψ 1 ) = τ x R, cos(2ψ 1) = σ x σ 2R Töjning i godtcklig vinkel α mot x-axeln: ε(α) = ε x cos 2 α + ε sin 2 α +γ x cos α sin α γ(α) = (ε ε x ) sin(2α) + γ x cos(2α) Huvudtöjningarna ε 1 och ε 2 : ε 1,2 = ε c ± R = ε x + ε 2 ± ( ε x ε 2 ) + ( γ 2 x 2 2 ) sin(2ψ 1 ) = γ x 2R, cos(2ψ 1) = ε x ε 2R 37

41 5.2 Mohr s Cirkel τ τ max R x σ x, τ x 2ψ 1 σ 2 σ c σ 1 σ 2ψ 2 σ, τ x 5.3 Treaxliga spänningstillstånd Normalspänning och skjuvspänning: σ x = E 1 ν 2 (ε x + ν(ε + ε z )) σ = E 1 ν 2 (ε + ν(ε x + ε z )) σ z = Hooke s lag med temperaturterm: E 1 ν 2 (ε z + ν(ε x + ε )) τ x = γ x G ε x = 1 E (σ x ν(σ + σ z )) + αt ε = 1 E (σ ν(σ z + σ x )) + αt ε z = 1 E (σ z ν(σ x + σ )) + αt 38

42 5.4 Effektivspänning och säkerhetsfaktorer Säkerhetsfaktorn vid fleraxliga spänningstillstånd: n s = R e σ e eller n s = R p0.2 σ e Effektivspänning enligt vonmisse s hpotes: n s är säkerhetsfaktorn mot plastisk deformation. R e eller R p0.2 är materialets sträckgräns eller resttöjningsgräns. σ e är effektivspänningen (se nedan) σ vm e = σ 2 x + σ 2 + σ 2 z σ x σ σ σ z σ z σ x + 3 τ 2 x + 3 τ 2 z + 3 τ2 zx = 1 2 (( σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 ) Effektivspänning enligt Tresca s hpotes: σ T e = max[ σ 1 σ 2, σ 2 σ 3, σ 3 σ 1 ] = σ hsp hsp max σ min 39

43 6 Spänningskoncentrationer Största spänningsvärdet σ max vid geometri där brottanvisningar skapas ges av σ max = K t σ nom K t är den geometriska formfaktorn. σ nom är den nominella spänningen. K t och σ nom fås ur diagram för det specifika fallet. 6.1 Diagram: Spänningskoncentrationer (Diagrammen kommer från kursbokens formelsamling) DRAGNING 40

44 41

45 BÖJNING 42

46 43

47 VRIDNING 44

48 7 Utmattning Exempel på Haigh-diagram Dragbelastning / Trckbelastning σ a För andra tper av belastning än trck/drag bts värdena i diagrammet enligt nedan: Böjning Vridning σ s σ u σ ub σ up σ ubp σ u τ uv σ up τ uvp σ up σ u σ s σ s σ B σ B σ s τ s σ B τ B λδκσ u λδκσ up σ up σ s σ B σ m Diagram för reduceringsfaktorer (ur kursbokens formelsamling) 45

49 Teknologisk volmfaktor: λ (för gjutna produkter) Anvisningsfaktor K f K f = 1 + q (K t 1) där K f är spänningskoncentrationsfaktorn 46