DATORÖVNING 1: BESKRIVANDE STATISTIK OCH SIMULERING

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "DATORÖVNING 1: BESKRIVANDE STATISTIK OCH SIMULERING"

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin - thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer VT 2013 DATORÖVNING 1: BESKRIVANDE STATISTIK OCH SIMULERING Innehåll 1 Inledning 2 2 Komma igång med R R som miniräknare Enkel grafik Att analysera data Visualisering av data Numeriska mått Tvådimensionella data Slumpvariabler: modellering och simulering av data Det sammanlagda antalet drifstopp Den sammanlagda drifttiden *Fördjupning om slumpvariabler och simulering * Sällsynta händelser *Simulering inom numerisk analys *Mer om R som programmeringsspråk *Variabler *Lite mer om vektorer och matriser *Funktioner *If-villkor *Loopar *Mer om datahantering och grafik *Spara grafik *Dataramar *Spara och läsa in datafiler Att installera R hemma Windows Linux MacOS X

2 1 Inledning I den här datorövningen ska vi bekanta oss med den statistiska mjukvaran R och titta lite på några av dess användningsområden. Målet med datorövningen är Att lära oss hur man kan använda R för att beskriva, illustrera och sammanfatta datamaterial. Att se några första exempel på hur man kan använda R för simulering av komplexa problem där slumpen är inblandad. Några av avsnitten i texten är märkta med en stjärna (*). Dessa är lite mer avancerade och är tänkta att ge fördjupning för den som vill veta mer om slumpvariabler, simulering eller programmering i R. I slutet av texten beskrivs det hur man kan installera R om man har en egen dator hemma. Texten nedan utgår i övrigt från att du använder Windows, men skillnaderna mot att använda programmet i Linux eller MacOS X är mycket små. 2 Komma igång med R I Windows-datorsalarna startas R genom att man väljer och sedan letar upp R i menyn. 2.1 R som miniräknare Start-menyn > Program > Student När du startar programmet möts du av R-prompten > där du kan skriva in olika kommandon. Vi ska först använda R som en räknedosa. Testa t.ex. att skriva in följande kommandon och kontrollera med huvudräkning om R räknar rätt: 2+7 2/(3+5) 8^2 Grunden för mycket av arbetet med R är användandet av funktioner. De skrivs på formen funktionsnamn(a,b,c,...) där bokstäverna innanför parenteserna är de variabler och parametrar som funktionen använder. Exempelvis finns viktiga matematiska funktioner som e x, log(x) och x med i programmet: exp(2) log(2) sqrt(4) exp(log(5)) 2

3 När du arbetar med den här datorövningen så är det behändigt att ha instruktionerna öppna på datorn i en pdf-läsare. Då kan du kopiera koden direkt från texten till R. Ett annat nyttigt trick är att trycka på uppåtpil när man står i prompten. På så sätt kan man få tillbaka de kommandon som man tidigare skrivit in. Ett exempel på en funktion som har flera parametrar är min, som ger det inmatade värde som är minst: min(2,4,6,8) min(4,6,8) Ibland vill man skriva med kommentarer i sin kod, som ska läsas av människor. Det kan man göra genom att lägga till symbolen # ( brädgård ): # max ger det största värdet: max(4,6,8) # Som i det här fallet är Enkel grafik Funktionen curve kan användas för att rita olika grafer. Följande kod ritar funktionen x 2 i intervallet ( 2, 2). curve(x^2,-2,2) Man kan ändra linjens utseende genom olika inställningar, exempelvis med parametern col: curve(x^2,-2,2,col="red") Prova att ändra värdet på col till andra färger. Om man redan har ritat en kurva så kan man lägga till en annan kurva på samma bild genom att lägga till add=true när man använder curve för att rita den nya kurvan: curve(x^2,-2,2,col="red") curve(x^3,add=true,col="blue") Slutligen kan man använda main, xlab och ylab för att sätta en rubrik respektive text på axlarna i figuren: curve(x^2,-2,2,col="red",main="fin figur", xlab="x-axel",ylab="y-axel") col, main, xlab och ylab kan användas med de flesta grafikfunktioner i R. Vi ska snart titta på några exempel. Det finns ett stort antal parametrar som man kan använda för att bestämma utseendet på sin graf. Prova att sätta in olika heltalsvärden (1-6) på parametrarna lty och lwd; t.ex. curve(x^2,-2,2,lty=1,lwd=1) Hur påverkar lty och lwd figuren? 3

4 3 Att analysera data Hantering av data är grunden för allt arbete i R. Använd följande kommando för att skapa en vektor med namnet x och tilldela den värdena 7, 2, 5: x = c(7,-2,5) Prova nu att skriva x Då visas alltså de värden som vi nyss tilldelade x. Vanligtvis använder vi vektorer för att spara våra datamaterial i R. Härnäst ska vi undersöka några datamaterialet med hjälp av R. Ett svenskt företag som utvecklar hårdmetallstift för borrkronor har i sitt laboratorium undersökt brottsegheten (enhet MPa m) för två material, A och B. Vi ska här använda R för att visualisera och numeriska beskriva mätresultaten. Vi börjar med att läsa in de två datamaterialen: segheta=c( , , , , , , , , , ) seghetb=c( , , , , , , , , , ) Vi kan nu skriva segheta för att få mätvärdena för brottsegheten för material A och seghetb för att få mätvärdena för brottsegheten för material B. 3.1 Visualisering av data Vi börjar med att rita upp ett histogram för mätvärdena för material A: hist(segheta) Histogrammet visar frekvensen av mätvärden i de olika intervallen. Dess form berättar hur värdena är fördelade. Är histogrammet symmetriskt kring dess mittpunkt eller finns det fler värden till vänster eller till höger? Hur ska detta tolkas? Man vill ofta skala om y-axeln så att den sammanlagda arean av rektanglarna blir 1. Det gör man genom att skriva hist(segheta,freq=0) Vi vill jämföra histogrammet för material A med det för material B. Om vi bara skriver hist(seghetb,freq=0) så ritas det nya histogrammet i samma fönster som det gamla, så att det gamla histogrammet försvinner. Genom att skriva dev.new() så kan man öppna ett nytt grafikfönster där ny grafik hamnar: hist(segheta,freq=0) dev.new() hist(seghetb,freq=0) 4

5 Titta lite på histogrammen, jämför deras form och fundera över vad de säger om skillnaderna mellan de två materialen. Alternativ kan man rita de två histogrammen bredvid varandra i samma grafikfönster, med hjälp av kommandot par: par(mfrow=c(1,2)) hist(segheta,freq=0) hist(seghetb,freq=0) Ett annat nyttigt hjälpmedel är lådagram, som i R fås med funktionen boxplot (från det engelska namnet box-and-whiskers plot). Vi kan rita upp lådagrammen för de båda materialen genom att skriva: boxplot(segheta,seghetb) Vi kan lägga till förklarande text med main och names: boxplot(segheta,seghetb,main="brottseghet", names=c("material A","Material B")) eller kanske piffa upp grafiken lite genom att sätta färg på lådorna med col: boxplot(segheta,seghetb,main="brottseghet", names=c("material A","Material B"), col=c("purple","pink")) Ser det ut att finnas en skillnad mellan brottsegheten hos de båda materialen? För många funktioner i R finns en rad parametrar som man kan använda för att exempelvis ställa in färg och lägga till förklarande texter. För att se en lista över alla parametrar för boxplot kan man skriva:?boxplot Då öppnas ett hjälpfönster där funktionen beskrivs 1 (men ibland är beskrivningarna rätt tekniska). 3.2 Numeriska mått En stor fördel med att använda R är att man slipper räkna ut medelvärden och andra numeriska mått för hand. Medelvärdet får man exempelvis genom funktionen mean: mean(segheta) mean(seghetb) medan summary ger, i tur och ordning, det minsta värdet, undre kvartilen, medianen, övre kvartilen och det största värdet: summary(segheta) summary(seghetb) 1 I Linux-versionen av R måste man trycka på tangenten Q (som i quit) för att lämna hjälpbeskrivningen. För Windows stänger eller minimerar man fönster. 5

6 Det kan vara intressant att exempelvis observera att det största värdet för material A är mindre än den undre kvartilen för material B! Vad gäller spridningsmått så fås variansen med kommandot var och standardavvikelsen med sd: var(segheta) sd(segheta) sqrt(var(segheta)) # Standardavvikelsen är roten ur variansen! 3.3 Tvådimensionella data För tvådimensionella data är man ofta intresserad av att rita ett spridningsdiagram för de två variablerna. Vi ska här titta på data från ett försök i Alperna, där man mätte kokpunkten för vatten (i grader Celsius) vid olika atmosfäriska tryck (i tum kvicksilver). Vi läser in datamaterialet: kokpunkt=c( , , , , , , , , , , , , , , , , ) tryck=c(20.79,20.79,22.40,22.67,23.15,23.35,23.89,23.99,24.02, 24.01,25.14,26.57,28.49,27.76,29.04,29.88,30.06) och ritar ett spridningsdiagram med funktionen plot: plot(tryck,kokpunkt) Kontrollera vilken variabel som hamnar på x-axeln och vilken som hamnar på y-axeln. Vi kan snygga till det hela lite med några grafiska parametrar. lwd avgör storleken på punkterna: plot(tryck,kokpunkt,main="kokpunkt i Alperna",col="red",lwd=5) Slutligen kan vi räkna ut korrelationen mellan kokpunkt och tryck: cor(tryck,kokpunkt) 4 Slumpvariabler: modellering och simulering av data De mest intressanta tillämpningarna av sannolikhetsteori och statistik rör data som kan beskrivas med slumpvariabler. Vi ska här titta på några exempel där de kommer till användning och visa hur man med datorsimulering kan använda dem för att lösa olika problem. Att simulera data är vanligt inom både industri och vetenskap. Det finns många situationer där de matematiska modellerna är för komplicerade för att man ska kunna räkna ut sannolikheter på något annat sätt eller där man av olika anledningar inte kan samla in data för statistisk analys. Med hjälp av simuleringar kan man då få en uppfattning om slumpbeteendet och till exempel modellera risker av olika slag (exempelvis för avbrott, översvämningar eller kortslutningar). 6

7 4.1 Det sammanlagda antalet drifstopp Ett företag har 30 fabriker. Under ett år för man statistik över antalet större driftstopp i var och en av fabrikerna. Utifrån insamlade data tror man att driftstopp vid olika fabriker är oberoende av varandra och att då X i betecknar antalet större driftstopp för fabrik i så är X i P o(4). Genom att låta datorn simulera slumpvariabler med fördelningen P o(4) så kan vi försöka få en känsla för hur fördelningen ser ut. Koden nedan gör 1000 simuleringar av antalet driftstopp för en fabrik med hjälp av kommandot rpois, som används för simulering av Poissonfördelningen. Den simulerar därmed hur det hade kunnat se ut om vi samlat in data för en fabrik under 1000 år (och inget på fabriken ändrades under de åren!). Vi ritar sedan upp resultatet i ett histogram. sim1=rpois(1000,4) hist(sim1,main="antalet driftstopp i en fabrik") Prova att köra simuleringen flera gånger för att se hur resultatet varierar. Titta på utseendet på histogrammet. Är fördelningen symmetrisk kring sin mittpunkt eller verkar det som att man oftare hamnar till vänster eller till höger om den? Är avvikelserna lika stora åt vänster och höger? Hur ska det tolkas? Företaget är intresserade av det totala antalet driftstopp i de 30 fabrikerna, dvs av 30 i=1 X i. Det är den sortens problem som vi stötte på på föreläsning 4, där vi behövde räkna ut sannolikheter för summor av slumpvariabler. Koden nedan gör 1000 simuleringar av det totala antalet driftstopp under ett år; vi använder den utan att förklara i detalj vad som görs i de olika stegen. sim2=matrix(na,30,1000) for(i in 1:30) { sim2[i,]=rpois(1000,4) } sim3=colsums(sim2) hist(sim3,main="totala antalet driftstopp i 30 fabriker") Jämför histogrammet med det som vi fick för en enda fabrik. Är fördelningen mer symmetrisk nu än förut? Företaget anser att 4 driftstopp per år är ett för högt genomsnitt och inför ett antal förbättringar som får ner antalet driftstopp till i genomsnitt 2 per år. Då blir istället X i P o(2). Vi jämför fördelningen för antalet driftstopp i en fabrik före och efter förbättringen: par(mfrow=c(1,2)) sim.fore=rpois(1000,4) sim.efter=rpois(1000,2) hist(sim.fore,main="fördelning före förbättring", xlim=c(0,15),ylim=c(0,0.6),freq=false) hist(sim.efter,main="fördelning efter förbättring", xlim=c(0,15),ylim=c(0,0.6),freq=false) Slutligen är företaget intresserade av att veta hur fördelningen för det totala antalet driftstopp i de 30 fabrikerna har förändrats. Vi jämför fördelningen för 30 i=1 X i före och efter förbättringen: 7

8 par(mfrow=c(1,2)) sim2=matrix(na,30,1000) for(i in 1:30) { sim2[i,]=rpois(1000,4) } sim3=colsums(sim2) sim4=matrix(na,30,1000) for(i in 1:30) { sim4[i,]=rpois(1000,2) } sim5=colsums(sim4) hist(sim3,main="totala antalet driftstopp, före förbättring", freq=false) hist(sim5,main="totala antalet driftstopp, efter förbättring", freq=false) Skalan har ändrats, men verkar fördelningen ha ändrats bortsett från det? Har den samma form som tidigare, eller har formen ändrats (exempelvis genom att bli mindre symmetrisk)? Om formen är densamma, eller åtminstone ungefär densamma, så kan man kanske hoppas på att det finns en fördelning som går att använda för att beskriva 30 i=1 X i då X i P o(m), oavsett vilket värde vi har på m! 4.2 Den sammanlagda drifttiden I en stor serverpark körs hundratals processorer parallellt. Processorerna jobbar konstant från det att de installeras tills de går sönder. Livslängden för en processor, dvs hur länge den kan köras innan den går sönder, beskrivs av en kontinuerlig slumpvariabel som anses vara exponentialfördelad med en genomsnittlig livslängd på 1000 dagar. Fördelningen illustreras av koden nedan, som genomför 1000 simuleringar av livslängden för en processor. sim1=rexp(1000,1/1000) hist(sim1,main="livslängd för en processor") Är fördelningen symmetrisk eller inte? Är avvikelsen till höger om dess mittpunkt större än avvikelsen till vänster? Hur ska detta tolkas? Vid ett tillfälle installeras 100 nya processorer i serverparken. Man är intresserad av att veta vad den totala livslängden är för de 100 nya processorerna, dvs hur länge de sammanlagt kommer att ha arbetat innan alla har gått sönder. Koden nedan gör 1000 simuleringar av den totala livslängden för 100 processorer: sim2=matrix(na,100,1000) for(i in 1:100) { sim2[i,]=rexp(1000,1/1000) } sim3=colsums(sim2) hist(sim3,main="totala livslängden för 100 processorer") Om livslängden för en processor betecknas X i så är den totala livslängden alltså 100 i=1 X i. Precis som i det föregående avsnittet så är vi här därmed intresserade av en summa av slumpvariabler. Jämför histogrammet för den totala livslängden med histogrammen från simuleringarna av driftstopp. Liknar fördelningarna varandra, bortsett från att skalan på histogrammen skiljer sig åt? Vad kan vi dra för slutsatser av detta? 8

9 5 *Fördjupning om slumpvariabler och simulering 5.1 * Sällsynta händelser När vi introducerade Poissonfördelningen så påstod vi att den kan användas när man räknar hur ofta en sällsynt händelse inträffar under en tidsperiod. Motiveringen var att om X Bin(n, p) där n är stort och p är litet så får man approximationen Bin(n, p) P o(n p). Med hjälp av R kan vi undersöka när approximationen är bra och när den är dålig. Funktionerna dbinom och dpois beräknar sannolikhetsfunktionerna för binomial- respektive Poissonfördelningarna. Om approximationen är bra så ska dessa ge nästan samma svar. På föreläsningen gavs tumregeln är approximationen är tillräckligt bra om n > 10 och p < 0.1. Prova olika värden på n och p i koden nedan för att undersöka om det verkar vara en bra tumregel! # Bestäm värden på n och p: n=20 p=0.1 # Beräkna sannolikhetsfunktionerna: binomial=dbinom(0:n,n,p) poisson=dpois(0:n,n*p) # Rita upp sannolikhetsfunktionerna: barplot(rbind(binomial,poisson), beside=1, col=c("purple","pink"), legend.text=c("bin(n,p)","po(n*p)"), ylab="sannolikhetsfunktion",xlab="x", main=paste("jämförelse av Bin(n,p) och Po(n*p) då n =",n,"och p =",p)) 5.2 *Simulering inom numerisk analys Numeriska metoder som bygger på simulering av slumpvariabler kallas Monte Carlometoder. Dessa används inte bara inom slumpmodellering, utan även inom exempelvis numerisk analys. Med hjälp av slumpvariabler kan man beräkna integraler numeriskt, vilket vi kort ska illustrera som avslutning på datorövningen. Funktionen 1 x 2 bildar en kvartscirkel på intervallet (0, 1). Vi provar att rita upp den med R: curve(sqrt(1-x^2),0,1) För att beräkna x 2 dx, dvs arean under kurvan i figuren, kan vi simulera par (X i, Y i ) av slumptal som är likformigt fördelade 2 i kvadraten (0, 1) 2. Om vi simulerar ett stort antal likformigt fördelade talpar kan vi beräkna arean under kurvan som andelen talpar som hamnar under kurvan. 2 Vi tänker oss att slumptalen kan anta alla värden i intervallet, så att det här är fråga om kontinuerliga slumpvariabler och inte diskreta slumpvariabler! 9

10 För att illustrera principen simulerar vi 100 talpar: # Antal simulerade talpar: n=100 # Simulera (x,y) x=runif(n) y=runif(n) # Kontrollera vilka talpar som ligger på eller under kurvan: under.kurvan = y<=sqrt(1-x^2) # Ger värdena TRUE eller FALSE # Rita upp kurvan igen: curve(sqrt(1-x^2),0,1,lwd=2) # Rita ut de simulerade talparen, med punkter under kurvan i rött: points(x,y,col=under.kurvan+1) # Hur stor andel av punkterna är röda? integralen=sum(under.kurvan)/n Analytiskt får vi x 2 dx = π/4. Vad blir resultatet av Monte Carlo-beräkningen? Kommer svaret närmare π/4 när antalet simulerade talpar ökas? Monte Carlo-beräkning av integraler är ganska ineffektivt inom envariabelanalys, då de kräver fler iterationer än andra metoder (metoderna är O(1/ n)). Däremot är de mycket användbara inom flervariabelanalys, där andra metoder är för svåra att implementera eller dras med andra problem. Ofta används mer sofistikerade integrationsmetoder än den vi presenterade ovan; en typ av metoder som kallas MCMC, Markov Chain Monte Carlo, används idag flitigt inom en rad olika områden. 6 *Mer om R som programmeringsspråk 6.1 *Variabler Hantering av vektorer är viktigt i många beräkningsprogram. Vi skapade tidigare vektorn x: x = c(7,-2,5) Man refererar till exempelvis det andra elementet genom att skriva x[2] och till element 2 och 3 genom x[2:3] Vektorer kan manipuleras, t.ex. genom att addera en konstant till samtliga element; prova x

11 En vektor x bestående av talen 1, 2,..., 10 kan enkelt skapas genom att skriva y = c(1:10) Med hjälp av semikolon kan man skriva fler kommandon efter varandra på samma rad: y[1:5]+1; y^2 6.2 *Lite mer om vektorer och matriser Vektorer med särskilt valda, regelbundna mellanrum mellan elementen kan skapas med kommandot seq: z = seq(0,10,2) Kommandona rbind och cbind kan användas för att foga samman rad- eller kolumnvektorer och därmed skapa matriser. Prova följande: x = c(1,2,3); y = c(4,5,6); A = cbind(x,y); B = rbind(x,y); C = t(b) Det sista kommandot ger matristransponat. 6.3 *Funktioner Ibland är man intresserad av att skapa egna funktioner i R, vilket lyckligtvis är ganska enkelt att göra. Ett exempel är: powern=function(x,n=2) { z=x^n return(z) } som skapar en funktion powern som har två inparametrar; dels en vektor x och dels en vektor n. Om inget värde ges på n så använder funktionen det förinställda värdet n=2. Funktionen returnerar x n. Efter att vi har definierat funktionen så kan vi anropa den precis som vilken annan funktion som helst: powern(2) powern(4,-1) powern(4,1/2) x=c(1,2,3); powern(x,x) Dock måste vi definiera funktionen på nytt varje gång vi startar R. 6.4 *If-villkor If-else-satser fås på samma sätt som i de flesta andra programmeringsspråk. Kommandot cat används för att skriva ut text: slantsingling<-rbinom(1,1,1/2) if(slantsingling==0) { cat("krona! \n") } else { cat("klave! \n") } x==y kontrollera om två variabler x och y är lika, medan x<y och x<=y undersöker om x är mindre än respektive mindre än eller lika med y. 11

12 6.5 *Loopar Loopar kan skapas genom både for och while: for(i in 1:10) { cat(i,"\n") } i<-1 while(i<=10) { cat(i^2, "\n") i<-i+1 } 7 *Mer om datahantering och grafik 7.1 *Spara grafik Om man kör R i Windows så kan man spara grafik genom att högerklicka på figuren. Ett alternativ är att använda kod för att spara sin grafik: pdf("fig1.pdf", width=8, height=8, title="min pdf") curve(x^2,-5,5,xlab="x-axel",ylab="y-axel",main="bild som pdf!") dev.off() Figuren sparas i filen fig.pdf. Man kan spara grafik i andra format än pdf genom att byta ut pdf(fig1.pdf",... mot någon av följande postscript("fig1.ps",...) postscript("fig1.eps",...) png(file="fig1.png",...) jpeg(file="fig1.jpg",...) bitmap(file="fig1.bmp",...) 7.2 *Dataramar Med kommandot data.frame organisera data av olika slag i en dataram och sedan extrahera olika delar av datamaterialet. Låt säga att vi sammanfattar data för några personer som följer: langd = c(180,175,190); vikt = c(75,82,88); namn = c("adam","bertil","cesar") friends = data.frame(namn,langd,vikt) Data ligger nu samlat i en matrisliknande struktur: friends som alltså är det som vi kallar dataramen. Vi kan plocka ut de delar vi är intresserade av genom att använda dollartecken: friends$namn 12

13 7.3 *Spara och läsa in datafiler Man kan spara data från R i textfiler med kommandot write.table. Exempelvis kan vi spara dataramen friends som vi skapade ovan: write.table(friends,file="friends.txt") Textfilen friends.txt hamnar automatiskt i arbetsmappen. När vi senare vill läsa in datamaterial i R igen och spara det i variabeln friend2 skriver vi nu 3 friends2=read.table("friends.txt") 8 Att installera R hemma 8.1 Windows Gå till och klicka på Download R for Windows. Dubbelklicka på den nerladdade filen för att påbörja installationen. 8.2 Linux Instruktionerna nedan är för Ubuntu. För övriga distributioner, se Öppna en terminal och skriv sudo gedit /etc/apt/sources.list Lägg till raden deb oneiric/ längst ned i filen. Om du kör en annan Ubuntuutgåva än oneiric så ändrar du till den utgåvans adjektiv (lucid, natty, hardy...) istället. Spara och avsluta gedit. Du kan nu installera R från terminalen genom att skriva sudo apt-get update sudo apt-get install r-base Programuppdateringar fås automatiskt tillsammans med andra systemuppdateringar. Du startar programmet genom att skriva R i terminalen. 8.3 MacOS X Gå till och klicka på R pkg (latest version). Dubbelklicka på den nerladdade filen för att påbörja installationen. 3 Eftersom filen ligger i arbetsmappen så räcker det med att skriva filnamnet när man använder read.table för att läsa in data. Alternativt kan man skriva hela sökvägen (t.ex. C:\Filer\Statistik\friends.txt) för att komma åt filer som inte ligger i arbetsmappen. 13

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jesper Rydén Statistik för ingenjörer 1MS 008 vt 2010 DATORÖVNING 1: INTRODUKTION, BESKRIVANDE STATISTIK 1 Inledning Utvecklingen av datorer har lett till

Läs mer

DATORÖVNING 2: SIMULERING

DATORÖVNING 2: SIMULERING UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin - thulin@math.uu.se Matematisk statistik Statistik för ingenjörer VT 2013 DATORÖVNING 2: SIMULERING Innehåll 1 Inledning 1 2 Inledande exempel

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

Laboration 1: Introduktion till R och Deskriptiv statistik

Laboration 1: Introduktion till R och Deskriptiv statistik STOCKHOLMS UNIVERSITET 13 februari 2009 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Gudrun Brattström Laboration 1: Introduktion till R och Deskriptiv statistik Denna första datorlaboration

Läs mer

Datorövning 1 Fördelningar

Datorövning 1 Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet

Läs mer

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka

Läs mer

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin Statistik för ingenjörer 1MS008 VT 2011 DATORÖVNING 2: SKATTNINGAR OCH KONFIDENSINTERVALL 1 Inledning I den här datorövningen ser vi hur R kan

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 1: TIDSSERIER.

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 1: TIDSSERIER. MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-03-24 DATORLABORATION 1: TIDSSERIER. I Tarfala har man under en lång följd av

Läs mer

Demonstration av laboration 2, SF1901

Demonstration av laboration 2, SF1901 KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion

Läs mer

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera

Läs mer

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs

Läs mer

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi. Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Eempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat

Läs mer

Målet för D2 är att studenterna ska kunna följande: Dra slumptal från olika sannolikhetsfördelningar med hjälp av SAS

Målet för D2 är att studenterna ska kunna följande: Dra slumptal från olika sannolikhetsfördelningar med hjälp av SAS Datorövning 2 Statistisk teori med tillämpningar Simulering i SAS Syfte Att simulera data är en metod som ofta används inom forskning inom ett stort antal ämnen, exempelvis nationalekonomi, fysik, miljövetenskap

Läs mer

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg. Laboration 1. Simulering

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg. Laboration 1. Simulering Matematikcentrum (7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg Laboration Simulering HT 006 Introduktion Syftet med laborationen är dels att vi skall bekanta oss med lite av de olika funktioner

Läs mer

Datorövning 1: Fördelningar

Datorövning 1: Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF45/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-18 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och

Läs mer

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering

Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT007 Laboration Simulering Grupp A: 007-11-1, 8.15-.00 Grupp B: 007-11-1, 13.15-15.00 Introduktion Syftet

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna

Läs mer

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg / Lars Wahlgren VT2012 En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel Vi har redan under kursen stiftat bekantskap med Minitab

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Diskreta slumpvariabler

Diskreta slumpvariabler 1/20 Diskreta slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/1 2013 2/20 Dagens föreläsning En maskin gör fel ibland! En man berättar att han har minst en

Läs mer

Datorövning 1: Fördelningar

Datorövning 1: Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och

Läs mer

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska)

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska) Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2010, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet

Läs mer

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet

Läs mer

Problemlösning. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 30/ /16

Problemlösning. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 30/ /16 1/16 Problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 30/1 2013 Kursinformation: diskussionsuppgifter Under kursens gång kommer vi att ha 12 diskussionsproblem

Läs mer

DATORÖVNING 2: STATISTISK INFERENS.

DATORÖVNING 2: STATISTISK INFERENS. DATORÖVNING 2: STATISTISK INFERENS. START Logga in och starta Minitab. Se till att du kan skriva Minitab-kommandon direkt i Session-fönstret (se föregående datorövning). CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN Enligt

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Datorövning 1 Introduktion till Matlab Fördelningar

Datorövning 1 Introduktion till Matlab Fördelningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-12 Datorövning 1 Introduktion till Matlab Fördelningar I denna datorövning ska du först

Läs mer

Målet för D1 är att studenterna ska kunna följande: Använda några av de vanligaste PROC:arna. Sammanställa och presentera data i tabeller och grafiskt

Målet för D1 är att studenterna ska kunna följande: Använda några av de vanligaste PROC:arna. Sammanställa och presentera data i tabeller och grafiskt Datorövning 1 Statistisk teori med tillämpningar Repetition av SAS Syfte Syftet med Datoröving 1 (D1) är att repetera de SAS-kunskaperna från tidigare kurser samt att ge en kort introduktion till de studenter

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

Målet för D3 är att studenterna ska kunna följande: Dra slumptal från olika sannolikhetsfördelningar med hjälp av SAS

Målet för D3 är att studenterna ska kunna följande: Dra slumptal från olika sannolikhetsfördelningar med hjälp av SAS Datorövning 3 Statistisk teori med tillämpningar Simulering i SAS Syfte Att simulera data är en metod som ofta används inom forskning inom ett stort antal ämnen, exempelvis nationalekonomi, fysik, miljövetenskap

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan

Läs mer

DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES-

DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES- DATORÖVNING 6: CENTRALA GRÄNSVÄRDES- SATSEN OCH FELMARGINALER I denna datorövning ska du använda Minitab för att empiriskt studera hur den centrala gränsvärdessatsen fungerar, samt empiriskt utvärdera

Läs mer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.

Läs mer

DATORÖVNING MED R: INTRODUKTION

DATORÖVNING MED R: INTRODUKTION UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jesper Rydén Matematisk statistik 1MS026 vt 2014 DATORÖVNING MED R: INTRODUKTION 1 Inledning Den allmänna utvecklingen inom datorteknikens område har lett

Läs mer

träna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från

träna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)

Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Datorövning 1 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) I processövningen som ni ska genomföra ingår det att konstruera samt sammanställa en enkät. Denna sammanställning ska göras med hjälp av programmet

Läs mer

Introduktion till MATLAB

Introduktion till MATLAB 29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Beskrivande statistik

Beskrivande statistik Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005

Läs mer

DATORÖVNING 5: SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR FÖR

DATORÖVNING 5: SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR FÖR DATORÖVNING 5: SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR FÖR STICKPROVSMEDELVÄRDEN I denna datorövning ska du använda Minitab för att slumpmässigt dra ett mindre antal observationer från ett större antal, och studera hur

Läs mer

17.1 Kontinuerliga fördelningar

17.1 Kontinuerliga fördelningar 7. Kontinuerliga fördelningar En SV X är kontinuerlig om F X (x) är kontinuerlig för alla x F X (x) är deriverbar med kontinuerlig derivata för alla x utom eventuellt för ändligt många värden Som vi tidigare

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Datorövning 1 Calc i OpenOffice 1

Datorövning 1 Calc i OpenOffice 1 Datorövning 1 Calc i OpenOffice 1 1 OpenOffice Calc Till förmån för de som följer kursen Fysikexperiment för lärare skall vi här gå igenom några få exempel på hur OO Calc (motsvarar MS Excel) kan användas

Läs mer

1 Sannolikhet enligt frekvenstolkningen Kast med tärning

1 Sannolikhet enligt frekvenstolkningen Kast med tärning Lunds univrsitet Matematikcentrum Matematisk statistik Biostatistisk grundkurs, MASB11 Laboration 2 HT-2014, 141212 Fördelningar och simulering Introduktion Syftet med laborationen är dels att vi skall

Läs mer

Laboration med Minitab

Laboration med Minitab MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt

Läs mer

Typvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195.

Typvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195. Lägesmått Det kan ibland räcka med ett lägesmått för att beskriva datamaterial Lägesmåttet kan vara bra att använda då olika datamaterial skall jämföras Vilket lägesmått som skall användas: Typvärde Median

Läs mer

Instruktion för laboration 1

Instruktion för laboration 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.

Läs mer

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018 SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser

Läs mer

Valresultat Riksdagen 2018

Valresultat Riksdagen 2018 Valresultat Riksdagen 2018 I ämnesplanerna i matematik betonas att eleverna ska få möjlighet att använda digitala verktyg. Ett exempel från kursen Matematik 2 är Statistiska metoder för rapportering av

Läs mer

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation

1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen

Läs mer

Institutionen för teknikvetenskap och matematik, S0001M LABORATION 2

Institutionen för teknikvetenskap och matematik, S0001M LABORATION 2 Institutionen för teknikvetenskap och matematik, S0001M LABORATION 2 Laborationen avser att illustrera användandet av normalfördelningsdiagram, konfidensintervall vid jämförelser samt teckentest. En viktig

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.

Läs mer

Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1

Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET 2004-11-04 MATEMATISK STATISTIK Sannolikhetslära och statistik för lärare Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 Programmet StarOffice Calc

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel

Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel 1 Histogram är bra för att dem på ett visuellt sätt ger oss mycket information. Att göra ett histogram i Excel är dock rätt så bökigt.

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg Simulering i MINITAB Det finns goda möjligheter att utföra olika typer av simuleringar i Minitab. Gemensamt för dessa är att man börjar

Läs mer

MATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc.

MATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc. Introduktion till MATLAB Martin Nilsson Avdelningen för teknisk databehandling Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet MATLAB the Matrix Laboratory utvecklat av MathWorks, Inc. Matematisk

Läs mer

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt. "!$#"%'&)(*,&.-0/ 177 Syftet med denna övning är att ge en introduktion till hur man arbetar med programsystemet MATLAB så att du kan använda det i andra kurser. Det blir således inga matematiska djupdykningar,

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Använda några av de vanligaste PROC:arna. Sammanställa och presentera data i tabeller och grafiskt

Använda några av de vanligaste PROC:arna. Sammanställa och presentera data i tabeller och grafiskt Datorövning 1 Statistisk teori med tillämpningar Repetition av SAS Syfte Syftet med Datoröving 1 (D1) är att repetera de SAS-kunskaperna från tidigare kurser samt att ge en kort introduktion till de studenter

Läs mer

Inledning till OpenOffice Calculator Datorlära 2 FK2005

Inledning till OpenOffice Calculator Datorlära 2 FK2005 Inledning till OpenOffice Calculator Datorlära 2 FK2005 Mål Lära sig att skapa och använda ett räkneblad med OpenOffice Calculator Beräkna medelvärde och standardavvikelsen med räknebladet Producera en

Läs mer

Matematikcentrum 1(11) Matematisk Statistik Lunds Universitet. R - a guided tour

Matematikcentrum 1(11) Matematisk Statistik Lunds Universitet. R - a guided tour Matematikcentrum 1(11) Matematisk Statistik Lunds Universitet R - a guided tour VT 2013 2 Introduktion till R Denna övning kommer steg för steg att lära oss de grundläggande funktionerna i R. Programmet

Läs mer

3 Man kan derivera i Matlab genom att approximera derivator med differenskvoter. Funktionen cosinus deriveras för x-värdena på följande sätt.

3 Man kan derivera i Matlab genom att approximera derivator med differenskvoter. Funktionen cosinus deriveras för x-värdena på följande sätt. Kontrolluppgifter 1 Gör en funktion som anropas med där är den siffra i som står på plats 10 k Funktionen skall fungera även för negativa Glöm inte dokumentationen! Kontrollera genom att skriva!"#$ &%

Läs mer

Arbeta med normalfördelningar

Arbeta med normalfördelningar Arbeta med normalfördelningar I en större undersökning om hur kvinnors längd gjorde man undersökning hos kvinnor i ett viss åldersintervall. Man drog sedan ett slumpmässigt urval på 2000 kvinnor och resultatet

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 VT2017 NA, KTH 16 januari 2017 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Laboration 1: Beskrivande statistik

Laboration 1: Beskrivande statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 1: Beskrivande statistik 1 Syfte Syftet med den här laborationen

Läs mer

Att göra före det schemalagda labpasset.

Att göra före det schemalagda labpasset. Institutionen för teknikvetenskap och matematik S0001M Matematisk statistik LABORATION 1 Laborationen avser att illustrera några grundläggande begrepp inom beskrivande statistik och explorativ dataanalys.

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Department of Physics Umeå University 27 augusti Matlab för Nybörjare. Charlie Pelland

Department of Physics Umeå University 27 augusti Matlab för Nybörjare. Charlie Pelland Matlab för Nybörjare Charlie Pelland Introduktion till Matlab Matlab (matrix laboratory) är ett datorprogram och ett programspråk som används av ingenjörer runt om i världen. Ni kommer att använda er av

Läs mer

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17 1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,

Läs mer

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik, VT 2018 Laboration 1 för CELTE2/CMATD3

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik, VT 2018 Laboration 1 för CELTE2/CMATD3 Matematisk Statistik SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik, VT 2018 Laboration 1 för CELTE2/CMATD3 1 Introduktion Denna demonstration är inte poänggivande, men utgör en förberedelse för den andra

Läs mer

Instruktion för laboration 1

Instruktion för laboration 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik ANL/TB SANNOLIKHETSTEORI I, HT07. Instruktion för laboration 1 De skrifliga laborationsrapporterna skall vara skrivna så att

Läs mer

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT-15 Syftet med denna laboration är att du skall bli förtrogen med två viktiga områden

Läs mer

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Stokastiska signaler. Mediesignaler Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet

Läs mer

Användarmanual till Maple

Användarmanual till Maple Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort

Läs mer

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.

Innehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi. Grunderna i MATLAB stefan@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Exempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat

Läs mer

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14 1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet

Läs mer

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden

Läs mer

Beräkningsvetenskap och Matlab. Vad är MATLAB? Vad är MATLAB? Användningsområden. Vad är MATLAB? Grunderna i Matlab. Beräkningsvetenskap == Matlab?

Beräkningsvetenskap och Matlab. Vad är MATLAB? Vad är MATLAB? Användningsområden. Vad är MATLAB? Grunderna i Matlab. Beräkningsvetenskap == Matlab? Beräkningsvetenskap och Matlab Beräkningsvetenskap == Matlab? Grunderna i Matlab Beräkningsvetenskap I Institutionen för, Uppsala Universitet 1 november, 2011 Nej, Matlab är ett verktyg som används inom

Läs mer