Homogena sträckor. Fridtjof Thomas

Transkript

1 Homogena sträckor Sammanfattning av doktorsavhandlingen A Bayesian Approach to Retrospective Detection of Change-points In Road Surface Measurements CDU-Projekt R12 Fridtjof Thomas CDU: Centrum för forskning och utbildning i drift och underhåll av infrastruktur CDU, KTH, Stockholm, Tel , Fax

2 Förord En stor del av landets förmögenhet utgörs av de värden som bokstavligen är nedlagda i infrastrukturen. När det gäller landtrafiken samlar Vägverket och Banverket varje år in stora mängder data som beskriver infrastrukturens tillstånd. Dessa data används emellertid i förvånansvärt liten utsträckning för analyser som kan ge vägledning för hur infrastrukturen bör förvaltas. I själva verket är det sällan möjligt att ens följa hur tillståndet förändras från ett år till ett annat. Flera av skälen till detta har att göra med övergripande frågor kring hur den offentliga förvaltningen styrs och vilka krav på redovisning och beslutsunderlag som ställs. Men det finns även problem som är av en mer grundläggande metodmässig natur. I denna skrift redovisar Fridtjof Thomas ett avhandlingsarbete som ser ut att kunna vara ett genombrott när det gäller att lösa ett av de främsta metodproblemen. Om man vill följa utvecklingen över tiden måste man kunna dela in en väg eller järnväg i någorlunda homogena enheter för vilka data kan jämföras vid olika tidpunkter. Men hur ska det egentligen gå till? En vägs eller banas egenskaper påverkas på ett komplext sätt av bland annat hur och när den är byggd, av markförhållandena och av vilken trafikbelastning den utsätts för. Även om man hade uppgifter om hur sådana förutsättningar varierar vore det inte lätt att avgöra hur en indelning i olika segment skall göras. Thomas visar emellertid i sin avhandling att indelningen kan göras med statistisk metod med hjälp av de tillståndsvariabler som man har mätt, eventuellt med komplettering av annan information. Hur det går till beskriver han själv här. Hans metod är nu utgångspunkten för ett utvecklingsarbete som skall leda fram till en programvara som kan fungera i praktiskt bruk. Fridtjof Thomas avhandlingsarbete har utförts inom den transportforskningsgrupp i nationalekonomi och statistik som utvecklades vid Högskolan Dalarna och som nu förs vidare i samarbete med Väg- och transportforskningsinstitutet, VTI. Arbetet har ingått i CDU, dvs. det doktorandprogram inom forskning kring drift- och underhåll av infrastruktur som Högskolan och VTI bedriver i samarbete med KTH. Thomas har varit inskriven vid forskarutbildningen i statistik vid Stockholms universitet med professor Daniel Thorburn som huvudhandledare. Borlänge den 30 oktober 2002 Lars Hultkrantz Professor i nationalekonomi 2

3 1. Projektfakta Doktoranden Fridtjof Thomas genomförde sin forskarutbildning på Statistiska institutionen vid Stockholms universitet, men var anställd som doktorand vid Högskolan Dalarna (HDa). De sista månaderna i projektet hade Thomas redan påbörjat sin nuvarande anställning vid Statens Väg- och transportforskningsinstitut (VTI). Projektet R12 ingick i CDU-temat Management under arbetstiteln Optimering av drift och underhåll av vägar - Tillämpning av teorin för reala optioner och Bayesiansk beslutsteori. Ansvarig projektledare vid HDa var professor Lars Hultkrantz; handledare för avhandlingsarbetet på Statistiska institutionen, Stockholm universitet, var professor Daniel Thorburn. Utöver dessa ingick i CDU:s referensgrupp professor Per Olov Lindberg, Linköpings Tekniska Högskola, Jaro Potucek, Vägverket (VV), Johan Lang, VV, Lars-Göran Wågberg, VTI, och CDU:s föreståndare Hans Cedermark. Projektet började och avslutades med doktorandens disputation i ämnet statistik Finansiär var Kommunikationsforskningsberedningen (KFB; Dnr: ) och dess efterföljare, Verket för Innovationssystem (VINNOVA). 2. Sammanfattning 2.1 Bakgrund I Sverige har vi nästan mil statlig väg som förvaltas av VV. För de c:a milen asfalterad väg har VV byggt upp en omfattande databas. Ett syfte med databasen är att underlätta planeringsprocessen inom vägunderhållet. Därför beskrivs våra statliga vägar i denna databas i termer av vägbredd, slitlagrets ålder och typ, uppskattad trafikmängd osv. VV har även låtit utveckla särskilda mätbilar som mäter en vägs beskaffenhet. Dessa mätbilar har utvecklats hos VTI, men mätverksamheten bedrivs numera av ett privat företag. Sedan 1987 tillför mätbilarna databasen mätserier som beskriver en vägs guppighet och spårdjup. Varje inrapporterad mätpunkt representerar en 20 meter lång vägsträcka. Dessa punkter kan i VV:s datorsystem sammanföras med övrig information, så att vägingenjören har tillgång både till mätserierna och till bakgrundsfaktorer såsom slitlagrets ålder. En stor fördel med mätbilarna är att de kan mäta vägbanan under vanliga trafikförhållanden. De deltar i det vanliga trafikflödet, vilket är en fördel ur bilisternas synvinkel, eftersom trafiken inte behöver stoppas för mätningarnas skull. Dessutom kan mätningarna utföras under betryggande former. De snabba och smidiga mätningarna innebär dock tyvärr att man måste göra viss avkall på mätningarnas reproducerbarhet. Med andra ord: mäter man samma vägsträcka igen får man inte en identisk mätserie. Visserligen har upprepade mätningar samma mönster över lag och stora förändringar i t.ex. spårdjup syns tydligt. Men dels är man intresserad av att se mer än de stora förändringarna, och dels vet man att olika personer gärna ser olika mönster. Det senare gäller även då en och samma person tittar på samma mätserie vid olika tillfällen. 3

4 Mätserierna kostar VV c:a 15 miljoner kronor om året. Då vill man förstås använda dem på bästa möjliga sätt. Idag aggregerar man ofta data från 20 mätpunkter för att erhålla genomsnittsvärden för vägsträckor som är 400 meter långa. Dessa framräknade mätserier uppvisar betydligt mindre variation än de ursprungliga, och ett övergripande mönster träder fram tydligare. Men 400 meter är en ganska lång sträcka, och vissa vägar blir både sämre och bättre över en sådan distans. Problemet är således att detaljrikedomen i dessa framräknade mätserier inte är tillräckligt stor för många frågeställningar som en vägingenjör brottas med. En viktig och ständigt återkommande frågeställning är var någonstans en väg blir sämre eller bättre. Sådana övergångs- eller ändringspunkter måste hittas för att kunna identifiera sammanhängande sträckor där vägen är likartad med avseende på spårdjup och/eller ojämnhet, så kallade homogena sträckor. Ändringar i spårdjupet och ojämnheten sammanfaller självfallet ofta med de registrerade ändringarna i slitlagrets ålder eller trafikmängd. Men så är inte alltid fallet. Dels händer det att en väg plötsligt blir mycket ojämn trots att den är belagd vid samma tillfälle och med samma material som angränsande vägavsnitt. Dels händer det att en väg fortfarande är mycket slät trots att slitlagret är betydligt äldre än på angränsande vägavsnitt. Eftersom VV förfogar över mätserierna som avser just spårdjup och guppighet, är det väl bara att titta på dessa för att se hur det förhåller sig? Här uppenbarar sig dock det tidigare nämnda problemet: Tittar jag på de registrerade värdena för 20-meterssträckorna, är det inte lätt att se vad mätserien egentligen säger, men räknar jag om serierna till 400 meter långa sträckor, förstör jag mycket av den information jag egentligen vill komma åt. Detta är på inget sätt en moment 22 situation! Tricket är att extrahera den information mätserien innehåller om en övergång från bra till dålig väg, och strunta i annan information. Du ser ett exempel på detta på denna skrifts titelsida. Det dominerande fönstret i den återgivna skärmbilden visar i sin övre del en mätserie avseende guppighet. Stolpdiagrammet i nedre delen visar var en ändringspunkt är trolig: dubbelt så hög stolpe dubbelt så sannolik; högsta stolpen mest sannolik. Svårare än så är det inte. Nedan utvecklar jag den ovan skisserade analysen. Tillvägagångssättet är tämligen invecklat och kan studeras i detalj i avhandlingen. Men resultatet är inte svårt att förstå! Ett väl skrivet program gör alla nödvändiga beräkningar med ett musklick! 2.2 Analys av brytpunkter Brytpunkter Låt oss antaga att vi har observerat t.ex. det maximala spårdjupet i millimeter (mm) på olika delar av en vägbana med konstant avstånd mellan mätpunkterna. Då kan vi tänka oss en situation som den i följande figur. 4

5 enhet n De första sju mätpunkterna visar ett spårdjup om 10 mm, medan mätpunkterna 8 till 12 visar ett spårdjup om 12 mm. Är avståndet mellan mätpunkterna 20 meter, så täcker de 12 punkterna sammanlagt 220 meter av vägbanan. De första sju punkterna avser de första 120 metrarna av vägbanan, och punkt 8 till 12 de sista 80 metrarna. Mellan mätpunkt 7 och 8 finns ett språng där spårdjupet övergår från 10 mm till 12 mm. Exakt var övergången sker kan ej fastställas, eftersom det saknas mätvärden mellan punkt 7 och 8. Eftersom mätserien inte medger en närmare bestämning av språngets position i vägens längsled är det praktiskt att referera antingen till punkt 7 eller 8 som brytpunkt, beroende på om man vill referera till den sista observationen till vänster eller till den första observationen till höger om språnget i mätserien. Vi väljer här att referera till den sista mätpunkten till vänster om språnget som brytpunkt. Således är brytpunkten enligt vår definition den sista observationen innan språnget Hur kan man upptäcka en brytpunkt? Verkliga mätserier är inte lika tydliga som i den stiliserade situationen i figuren ovan. Istället finns det en hel del brus med i bilden som försvårar upptäckten av brytpunkter. IRI n Ett mått på vägens guppighet är International Roughness Index (IRI) som anges i enheten mm/m. Diagrammet visar IRI-värden från ett körfält av riksväg 60 mellan Ludvika och Borlänge. Mätvärdena är så kallade 20m-värden, vilket betyder att varje mätpunkt normalt representerar 20 meter av körfältet. (Data har tillhandahållits av VV, och avser vägens högra körfält.) Ett enkelt linjediagram som det som visas ovan ger en mycket bra överblick över själva mätserien. Det är t.ex. tydligt att det finns en brytpunkt någonstans kring mätpunkt

6 Problemet är dock att det inte alltid är klart hur en serie skall tolkas. Finns det en brytpunkt kring mätpunkt 90? Svaret på en sådan fråga beror mycket på om den subjektive betraktaren för tillfället koncentrerar sig på mätseriens stora drag eller om hon/han scannar av mätserien på ett mera detaljerat sätt. Bortsett från mycket tydliga situationer är det svårt att bedöma om ett språng beror på bruset i mätserien eller om det möjligen föreligger ett nivåskifte för IRI-värdena. Nackdelen är således att olika personer (och troligen även en och samma person vid olika tillfällen) kommer fram till olika uppsättningar av brytpunkter och därmed till olika homogena sträckor. Det är därför önskvärt att man använder sig av en metodik som garanterar att samma slutsats kommer att dras om man bearbetar samma information. AASHTO-guiden (1986, App. J) rekommenderar en indelning av en väg i homogena sträckor där indelningen baseras på så kallade kumulativa differenser. Dessa differenser bildas över mätvärdena och kan enkelt visas i ett linje- eller punktdiagram. AASHTO-guidens metod är egentligen ett sätt att visa själva mätserien i en annorlunda form för att underlätta upptäckten av brytpunkter. Problemet är att detta fungerar bra i prydliga situationer, men mindre bra i situationer där det är en hel del brus med i bilden, som t.ex. i mätserien från väg 60. Sett i ett statistiskt perspektiv är det grundläggande problemet i AASHTO-guidens metodik att man ej försöker beskriva bruset i mätserien. Istället använder man sig av en perfekt situation i resonemanget, och litar på att bruset inte överskuggar de väsentliga dragen i diagrammet med kumulativa differenser. (Även en metod utvecklad av Rübensam och Schulze (1996) är behäftad med i grunden samma problem.) Jag föreslår därför i min avhandling ett formellt hållbart sätt att dra slutsatser om brytpunkter som är baserad på en statistisk modell som även försöker fånga bruset. Att beskriva bruset med hjälp av sannolikhetsteorin betyder ingalunda att man förnekar eventuella kausala orsaker som ger upphov till detta brus. Snarare använder man sig av sannolikhetsteorin för att beskriva den del av mätserien som man inte kan förklara med hjälp av den tillgängliga informationen Bayesiansk inferens om brytpunkter Vi konstaterade ovan att upptäckten av en brytpunkt egentligen är ett inferensproblem som består i att få en uppfattning om förekomsten, och den troliga placeringen, av en brytpunkt. Om vi utgår ifrån en modell som beskriver mätseriens struktur under antagandet att det inte finns någon brytpunkt samt en modell som beskriver mätseriens struktur under antagandet att det finns en brytpunkt, så kan vi jämföra dessa modellers rimlighet. Detta sätt att genomföra statistisk inferens består väsentligen av tre steg: 1. Formulera en modell som ger upphov till en simultan täthet för observationerna. 2. Beräkna rimligheten av modellen betingad på de faktiska observationerna (och modellantaganden). 3. Jämför olika modeller med varandra med hänsyn till de faktiska observationerna. Principerna som jag följer i avhandlingen går under namnet Bayesiansk inferens. En exakt beskrivning av metodiken presenteras i avhandlingen, som även innehåller referenser till den teoretiska litteraturen inom området. 6

7 När man vill jämföra olika modeller med varandra, har man huvudsakligen två frågor att brottas med. För det första måste man jämföra hur troligt det är att mätserien saknar en brytpunkt jämfört med hur troligt det är att det finns en brytpunkt någonstans i serien. Detta kan uttryckas som en sannolikhet, och i diagrammet nedan återges denna sannolikhet i det högra övre hörnet av den nedre figuren. Utifrån mätserien, som återges i den övre figuren, så blir sannolikheten att det finns en brytpunkt någonstans i serien 0,95. Del av riksväg 60 mellan Ludvika och Borlänge (20m-värden för IRI) logiri observation Aposteriori-sannolikheterna för placeringen av en brytpunkt 161 sannolikhet Pr(brytpunkt) = placering av brytpunkten Har jag bestämt mig för att lägga in en brytpunkt måste jag få svar på var jag lämpligen placerar denna brytpunkt. Även denna jämförelse sker med hjälp av sannolikheter, där de olika möjliga placeringarna konkurrerar med varandra. Dessa sannolikheter redovisas i nedre delen av figuren ovan i form av stolpar. Det är mycket tydligt att brytpunkten bör placeras vid observation 161, eftersom denna stolpe är helt dominerande. Om jag inför en brytpunkt vid denna observation finns det kanske ytterligare en brytpunkt kring observation 93? Denna fråga blir besvarad i bilden nedan, där endast en del av serien kring observation 93 har analyserats. 7

8 Del av mätserien kring observation 93 logiri observation Aposteriori-sannolikheterna för placeringen av en brytpunkt 93 sannolikhet Pr(brytpunkt) = placering av brytpunkten För det första går det att konstatera att sannolikheten för en brytpunkt någonstans i denna delserie är väldigt lågt, endast 0,09. Om det inte finns alldeles särskilda skäl bör man således avstå ifrån att introducera en brytpunkt i denna delserie. Men om man skulle insistera på att placera en brytpunkt någonstans, så är observation 93 en given kandidat. Detta framgår tydligt av stolparna i den nedre delen av bilden när man jämför deras relativa höjd. På liknande sätt kan man bilda sig en uppfattning om rimligheten och den eventuella placeringen av brytpunkter i valfria delar av en mätserie. 8

9 3. Implementering 3.1 Pågående aktiviteter Arbetet med att implementera den i avhandlingen utvecklade metoden inom VV:s Pavement Management System (PMS) har påbörjats. I ett första skede kommer en algoritm att utvecklas som tillåter en indelning av hela vägnätet i homogena sträckor. Algoritmen för att åstadkomma en sådan något grövre indelning kommer att kalibreras med hjälp av den mera exakta metod som har utvecklats i projektet CDU:R12. Därefter skall även denna exakta metod göras tillgänglig inom VV:s PMS som stöd för detaljstudier av välavgränsade delar av en väg. Metoden är även under utvärdering i Österrike, där gruppen kring professor Johann Litzka på Wiens Tekniska universitet (Institute for Road Construction and Maintenance, Vienna University of Technolog) utvecklar Österrikes PMS. De mest väsentliga resultaten från projektet samt en fallstudie kommer att publiceras i Journal of Transportation Engineering. Denna artikel är i tryck. 3.2 Konkreta tillämpningar Jag beskriver här fem (fiktiva) situationer, där den av mig utvecklade metoden kan komma till användning. Syftet är att ge en uppfattning om metodens användningsområde genom att sätta in den i konkreta sammanhang Övergång som inte finns i bakgrundsinformationen Jag har tillgång till en modell som beskriver en vägs nedbrytning över tiden. Modellen kräver information om slitlagrets ålder och typ, den årliga trafikmängden, andel tunga fordon, samt uppmätta värden på spårdjup och ojämnhet. Jag använder min bakgrundsinformation för att dela in vägen i avsnitt som kännetecknas av lika slitlager, trafikmängd och andel tunga fordon. För varje enskild sådan sträcka analyserar jag de tillhörande mätserierna med avseende på spårdjup och guppighet. Om jag får indikationer på att spårdjupet eller guppigheten ändras under en sträcka som i övrigt är likartad med avseende på bakgrundsvariablerna, så delar jag upp denna sträcka i flera delsträckor. Först därefter räknar jag fram värden för spårdjup och guppighet som skall representera en enskild sträcka i nedbrytningsmodellen. Dessa så kallade homogena sträckor är därmed homogena både med avseende på uppmätta värden och registrerade bakgrundsfaktorer, och jag kan därmed förvänta mig bättre prognoser av vägens framtida tillstånd. 9

10 3.2.2 Övergång som inte finns i mätserierna Jag vill beskriva en viss väg med avseende på spårdjupet. Hittills har jag för detta ändamål först delat in vägen i avsnitt som är homogena med avseende på de rapporterade bakgrundsfaktorerna, och sedan hoppats på att även spårdjupet är homogent på de erhållna delsträckorna. Ett problem med mitt tillvägagångssätt hittills är att det ganska ofta inträffar att bakgrundsvariablerna ändras i snabb följd, t.ex. ändras först den skyltade hastigheten och sedan efter några meter vägens bredd. Vid den senaste underhållsåtgärden har man lagt ett nytt slitlager, vilket börjar 40 meter innan vägen blir smalare. Detta medför att jag får ett antal väldigt korta sträckor som inte skiljer sig särskilt mycket åt. Därför bestämmer jag mig för att ersätta dessa tre övergångar med en enda. Men var skall den ligga? Skall den sammanfalla med en av ändringarna i bakgrundsvariablerna (i så fall vilken?), eller skall den ligga någonstans däremellan? Eller kan jag strunta i alla, när jag avser att beskriva vägens spårdjup? Jag analyserar mätserien från den relevanta vägsträckan och finner att det behövs en enda ändringspunkt. Såväl ändringen i vägens bredd som ändringen av slitlagrets ålder är möjliga kandidater. Ändringen i vägens bredd har dock starkare stöd i själva mätserien som kandidat till ändringspunkt. Därför placerar jag ändringspunkten där. Placeringarna mellan dessa punkter har tydligt mindre stöd i mätserien. Eftersom jag inte behöver hålla reda på så många (och ofta ganska korta) sträckor, har mitt arbete underlättats Spåra utvecklingen över tiden Jag upptäcker en del i en ny mätserie som verkar vara annorlunda än angränsande delar. Visserligen verkar nivån i mätserien oförändrad, men en bit av serien har mindre variation än de angränsande delarna. (Den i projektet utvecklade metoden upptäcker även ändringar i variationen eller mätseriernas struktur, inte enbart ändringar i nivån hos mätserien.) Jag bestämmer mig därför för att plocka fram förra årets mätserie avseende samma vägsträcka. Här ser jag mycket tydliga övergångar som sammanfaller med de något mystiska ändringspunkterna i den nya serien. Enligt den äldre mätserien är vägen klart sämre på den del som avviker i den nya mätserien. Eftersom de registrerade bakgrundsvariablerna inte ändras där den avvikande delen i mätserien ligger, förmodar jag att en icke rapporterad underhållsåtgärd ägt rum. Jag går till botten med denna fråga. Påföljande analyser, och därmed planeringsprocessen, får en högre kvalitet, eftersom tillförlitligheten i de rapporterade bakgrundsvariablerna höjs Placera mätserierna rätt (justering i längdled) Jag får in en ny mätserie för spårdjupet av en viss väg och vill kontrollera om dess geografiska läge är korrekt rapporterat. Därför jämför jag själva mätserien med den tillgängliga bakgrundsinformationen. 10

11 Jag letar upp ett ställe på vägen som bör ha en tydlig övergång från litet till stort spårdjup beroende på att slitlagret växlar från nästan nytt till tio år gammalt. Ett sådant ställe hittar jag vid vägens löpande längd meter. Jag plockar fram en lagom lång del av mätserien som täcker denna position. Jag analyserar mätserien och finner mycket riktigt ett enda ställe i mätserien som är en helt övertygande kandidat för en sådan övergång. Men jag upptäcker även att mätserien visar att denna övergång finns vid löpande längd meter, alltså 40 meter tidigare än vad jag förväntar mig med hänsyn till bakgrundsinformationen. Eftersom jag vet att mätserierna inte kan relateras helt exakt till det fysiska vägnätet, misstänker jag att den rapporterade mätserien är förskjuten i vägens längdled. Jag överväger att ta hänsyn till detta i den efterföljande analysen Kalibrera andra algoritmer Utöver ovan skissade detaljstudier har jag behov av att snabbt sträckindela stora områden av det svenska vägnätet, t.ex. en riksväg i hela sin längd, eller det statliga vägnätet i ett helt län. Jag vill därför utveckla ett sätt att åstadkomma detta snabbt och effektivt. Därvid kan jag göra avkall på detaljrikedomen i analysen, eftersom jag i vilket fall som helst inte orkar titta på alla diagram som kan vara till hjälp i varje enskilt delproblem. Jag tänker ut ett sätt att åstadkomma en sådan indelning på ett snabbt sätt. Men hur skall jag testa om sättet fungerar? Återigen har jag god hjälp av analysen som extraherar mycket information från mätserierna, dvs. den metod som har utvecklats i projektet CDU:R12. Jag kan nämligen använda den för att i några testsituationer kontrollera om det snabba och grova sättet missar väsentliga ändringspunkter, eller lägger in för många av dessa. Därefter kan jag förbättra det snabba sättet och testa igen, tills jag är nöjd med resultatet. Med andra ord: jag kan kalibrera andra (och i teorin mindre väl förankrade) algoritmer tills de uppför sig så som jag hade tänkt mig. Den teoretiskt väl förankrade metoden använder jag här för att bedöma hur bra andra metoder fungerar. Dessa andra metoder kan ha fördelar såsom väsentligt kortare beräkningstider. Därför kan det vara bra att utveckla ett sådant snabbt sätt som gör grovjobbet i sträckindelningen. Och om jag behöver mer detaljkunskap kring en avgränsad del av en väg kan jag ju när som helst plocka fram den metod som ger mig denna detaljkunskap. 11

12 4. Referenser i urval AASHTO (1986). AASHTO guide for design of pavement structures. American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C. Bhattacharya, P.K. (1994). Some aspects of change-point analysis. In Changepoint Problems, E. Carlstein, H.-G. Müller, and D. Siegmund, eds., vol. 23 of IMS Lecture Notes Monograph Series, Institute of Mathematical Statistics, Hayward California, pp Booth, N.B., and A.F.M. Smith (1982). A Bayesian approach to retrospective identification of change-points. Journal of Econometrics, 19, pp Ó Ruanaidh, J.J.K., and W.J. Fitzgerald (1996). Numerical Bayesian Methods Applied to Signal Processing. Springer-Verlag, New-York. Rübensam and Schulze (1996). Entwicklung einer Methodik zur zweckmäßigen Zusammenfassung maßnahmebedürftiger Abschnitte der BAB-Betriebsstrecken auf der Grundlage von Zustands- und Bestandsdaten. Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 736, Bundesministerium für Verkehr, Abteilung Straßenbau, Bonn-Bad Godesberg. Smith, A.F.M. (1975). A Bayesian approach to inference about a change-point in a sequence of random variables. Biometrika, 62, pp Smith, A.F.M. (1980). Change-point problems: approaches and applications. In Bayesian Statistics, J.M. Bernardo, M.H. DeGroot, D.V. Lindley, and A.F.M. Smith, eds., University Press, Valencia, Spain, pp and (discussion). Thomas, F. (2001). Databaserad indelning i homogena sträckor: hur skall metodiken implementeras? Rapportsammanställning av föredrag vid forskardagarna i Linköping, januari CD. Thomas, F. (2001). A Bayesian Approach to Retrospective Detection of Change-points in Road Surface Measurements. PhD-thesis, Department of Statistics, Stockholm University, Stockholm, Sweden, ISBN Thomas, F. (2002). Statistical Approach to Road Segmentation. Journal of Transportation Engineering, in press. Zacks, S. (1983). Survey of classical and Bayesian approaches to the change-point problem: Fixed sample and sequential procedures of testing and estimation. In Recent Advances in Statistics Papers in Honor of Herman Chernoff on His Sixtieth Birthday, M.H. Rizvi, J.S. Rustagi, and D. Siegmund, eds., Academic Press, New York, pp