Glimtar ur matematikens historia

Transkript

1 Glimtar ur matematikens historia HARRY LINDHOLM Rötterna till den västerländska kulturen kan man till stor del finna i det som greker presterade under den korta perioden 600 till 300 f Kr. Det var då som de konstnärer och författare verkade som blev stilbildande för lång tid framåt. Den europeiska naturvetenskapen uppstod också under denna period. I denna artikel skall Harry Lindholm redogöra för några av de betydelsefulla insatser som grekiska matematiker gjorde under periodens första hälft. 1. Miletos (Thales) 2. Samos (Pythagoras) 3. Abdera (Demokritos) 4. Kios (Hippokrates) 5. Athen (Platon) 6. Knidos (Endoxos) 7. Stagira (Aristoteles) 8. Delos 9. Delfi Ännu för hundra år sedan ansåg man att matematiken nästan uteslutande hade skapats av De gamle greker. Nu vet vi att de i inte obetydlig utsträckning hämtade kunskaper och stimulans från lärde män i Babylonien och Egypten, som gästfritt tog emot dem och delade med sig av sina kunskaper om astronomi, matematik och teknik. Man har spekulerat mycket över orsakerna till det kulturella uppsving som tog sin början omkring 600 f Kr. En positiv faktor anser man det ha varit att i de grekiska stadsstaterna spelade vid denna tid inte prästerna huvudrollen utan klassen av handelsmän. De första försöken till vetenskaplig forskning det gällde främst astronomi hade visserligen ägt rum i området kring Eufrat och Tigris, men det var grekiska läkare och handelsmän som först sökte göra sig fria från religiösa föreställningar och självständigt behandlade de kunskaper de mottog utifrån. Den grekiske handelsmannen behövde inte un-

2 derordna sig åsikterna hos någon härskare eller något prästerskap. Tack vare sitt yrke och en verksamhet, som alltmer byggde på att kroppsarbetet utfördes av slavar, fick han en fritid, som kunde användas till att fundera över vad han såg omkring sig och diskutera det med jämlikar. Sönerna till läkare och affärsmän hade råd att göra studieresor och att lyssna på de män som blev ryktbara därför att de sökte ge svar på frågor som: Vad är allt gjort av?, Hur ser jorden ut?, Vad är liv? I det politiska livet i dessa stadsstater spelade förmågan att argumentera en viktig roll. Dialektiken diskussionskonsten var därför av stort intresse för den klass som hade den politiska makten. Det stora intresse som ägnades matematiken i de grekiska stadsstaterna har delvis sin förklaring i detta; den betraktades som ett specialområde av dialektiken. Thales Han är de förste vetenskapsman som vi vet namnet på. Han föddes och verkade i Miletos, en av dessa grekiska handelsstäder i västra Mindre Asien där de s k joniska filosoferna utvecklade sina tankar. På grundval av vissa uppgifter om honom, bl a att han skall ha förutsagt en solförmörkelse, som vi vet ägde rum 585, säger man att han skall ha fötts omkring 624 och dött omkring 546. Det vi vet om Thales har vi i huvudsak från tre källor: Herodotos historia om grekerna och omgivande folk skriven omkring 440, Platons dialoger skrivna under några årtionden omkring 360 och utdrag ur Eudemos matematikhistoria skriven cirka 320, som finns i ett arbete som nyplatonikern Proclos skrev om Euklides första bok cirka 450 e Kr. Medan vi från det babyloniska området har kvar mängder av originalframställningar av matematiska arbeten, till och med lertavlor med skolelevers räkningar, saknar vi med undantag av några papyrusfragment samtida material om det antika Greklands matematik. Från och med Platons tid finns det däremot avskrifter av avskrifter av avskrifter osv av många arbeten med matematiskt innehåll. Många betydelsefulla arbeten före Platons tid och delvis också efter denna tid har emellertid gått förlorade därför att de som bestämt vilka papyrusblad som skulle skrivas av inte ansett att innehållet varit intressant eller lämpligt att föra vidare. Thales från Miletos betraktades senare som den äldste av Greklands sju vise män och det tycks som om de som följde i hans spår hade en önskan att tillskriva honom större upptäckter än han verkligen gjort. Frimärke med "Babylons hängande trädgårdar". Efter att i unga år ha skaffat sig en förmögenhet genom handel med säd och andra jordbruksprodukter skall han ha ägnat sitt senare liv åt resor och studier. Enligt de nämnda källorna skall han en tid ha vistats i Egypten och Babylonien. När han kom hem ägnade han sig bl a åt matematiska problem. Senare antika matematiker ansåg att Thales var den förste som sökte bevisa geometriska satser genom en serie av argument och genom logiska tankesteg. Med andra ord han påstås vara den som uppfann den deduktiva matematiken, som 250 år senare fulländades av Euklides. Enligt vad Proclos säger sig citera från Eudemos skall Thales ha utvecklat de logiska bevisen för följande satser: 1. En cirkel halveras av sin diameter. 2. I varje likbent triangel är basvinklarna lika stora. 3. När två räta linjer skär varandra så är motstående vinklar lika stora. 4. Två trianglar är kongruenta när de har en sida och två (närliggande) vinklar lika stora. Men Thales beundrades också för att han löste praktiska problem. Han skall i Egypten ha väckt uppmärksamhet genom att beräkna höjden hos en av pyramiderna med hjälp av dess skugga. Satsen om kongruenta trianglar skall han ha använt för att bestämma avståndet från stranden till ett fartyg till sjöss. Praktisk matematik Det finns en rad efterföljare till Thales, som verkade i städerna på Mindre Asiens västkust och öarna där utanför, de joniska filosoferna. Dessa och i ännu högre grad Platon och hans efterföljare värderade filosofiska spekulationer högre än praktiska värv. Detta resulterade i att grekiska ingenjörers och uppfinnares arbeten ej uppmärksammades. Det som har skrivits om deras insatser har nästan helt försvunnit.

3 Ett bevis på hur väl man vid denna tid praktiskt kunde utnyttja geometriska kunskaper fann man 1882 på ön Samos. En tysk arkeolog, som grävde efter antika föremål, fann då en 1 km lång tunnel, som byggts för att leda vatten genom ett berg. Det visade sig att allt stämde med en beskrivning av ett tunnelbygge som Herodotos lämnat och som enligt honom ägt rum omkring 530 f Kr. Studier av tunneln visade att man arbetat från båda hållen och att felet då man möttes var förvånansvärt litet, van der Waerden, som redogör för detta i sin bok Science awakening, anser att det varit möjligt tack vare att man redan då hade mycket noggranna vinkelmätningsinstrument, som bl a utnyttjade vattenpass och kugghjul. Det fanns fler sådana grundare av religiösa samfund bland grekerna vid denna tid och i Indien förde Buddha ungefär samtidigt fram delvis samma idéer som Pythagoras. Liksom denne omhuldade Buddha matematiken. Framför allt var det aritmetiken som fick högt anseende inom buddismen. Om vi får tro Jamblichos så skall Thales ha givit Pythagoras rådet att fortsätta sina studier i astronomi och geometri hos de egyptiska prästerna och från Egypten skall han ha kommit till Babylonien. Efter att ha vistats där under flera år kom han hem till Samos för att finna det andliga klimatet otrevligt sedan Mindre Asien råkat under persisk överhöghet. Han utvandrade därför till Croton, en av de grekiska kolonierna i södra Italien. Det bör ha skett år 530 f Kr. Klotet skall påminna om att man ansåg att Pythagoras var den förste som antog att jorden är ett klot. Pythagoras Bland dem som påstås ha lyssnat till Thales utläggningar i Miletos nämns den omkring femtio år yngre Pythagoras. Han föddes och växte upp på den närbelägna ön Samos. Det finns en hel del uppgifter om honom i antika skrifter, bland annat en biografi på latin, som skrevs av en Pythagorasbeundrare, Jamblichos, omkring 300 e Kr. Enligt dessa bör Pythagoras ha levat från ca 582 f Kr till ca 497 f Kr. Pythagoras efterföljare, pythagoréerna, betraktade honom som grundare av ett religiöst samfund och sökte på olika sätt öka hans anseende. Det berättas om underverk som han skall ha utfört, att han befunnit sig på två platser samtidigt osv. Han skall ha predikat tron på själavandring och att djuren är av samma art som människan och att man därför borde avstå från att äta kött. Inte långt från Croton låg den grekiska kolonin Paestum, vars tempel visar att byggherrarna kunde tillämpa geometri för att uppnå önskade optiska effekter. De höga pelarna gavs sådan lutning att de syntes vara parallella, då de betraktades från marken. Pythagoras tog avstånd från Thales och de andra joniska filosofernas rationalism och grundade i Croton ett religiöst samfund. Av medlemmarna fordrade han att de skulle föra ett asketiskt liv och att de skulle ägna sig åt vad vi skulle kalla vidskepliga riter. Han predikade att målet för människan skulle vara att rena och befria själen. Ett av medlen som han anvisade var studier, bland annat av astronomi, matematik och musik. Musiken spelade en stor roll för pythagoréerna. Pythagoras skall ha upptäckt att toner som frambringas av lika spända och lika tjocka strängar, vars längder förhåller sig som små hela tal, ljuder vackert tillsammans eller efter varandra. Dessa iakttagelser fick avgörande betydelse för hans uppfattning om världen och speciellt matematiken. De gav honom tanken att hela universum kan beskrivas med hjälp av de hela talen. Han tillskrev dem också alla möjliga mystiska egenskaper.

4 Att tillägna talen mystiska egenskaper var inte något nytt, men hos Pythagoras utvecklades detta oerhört. Det var inte bara så att man associerade talet 1 med en punkt, 2 med en linje, 3 med en yta och 4 med rymden. Han förband också 2 med omdöme och manlighet och talet 3 med kvinnlighet; 5 symboliserade äktenskapet osv. Enligt Pythagoras fanns inget ädlare studium än det av de hela talen. Pythagoréerna sökte efter tal med egenartade egenskaper. Tal som man sökte efter var t ex perfekta tal, dvs tal som är summan av sina faktorer. och vänliga tal, dvs talpar där det ena är summan av alla möjliga faktorer hos det andra. Man konstruerade också samband mellan tal och geometriska figurer och med deras hjälp bevisade men regler för beräkning av talföljders summa. Man talade om triangeltal (1, 3, 6, 10,...), kvadrattal (1,4, 9, 16,...), pentagonaltal (1, 5, 12, 22,...) osv. Bild av frimärke med strängaspel. Det var kanske studiet av strängar som gjorde att Pythagoras och hans lärjungar ägnade proportionsläran så stor uppmärksamhet. Det är pythagoréerna som infört begreppen aritmetiskt, geometriskt och harmoniskt medium. Beteckningen harmoniskt medium för 2ab/(a + b) skall ha införts på grund av att pythagoréerna vid försök med svängande strängar skall ha funnit att då de gav harmoniska toner så förhöll sig deras längder som de hela talen 6, 8, 9 och 12. En utförligare redogörelse lämnar Thorleif Johansen i Forntidens matematik. Något som också stimulerade talmystiken var att grekerna utnyttjade det från fenicierna upptagna alfabetet för att beteckna siffror. De använde till att börja med talsymboler som påminner om vad vi kallar romerska siffror, dvs de använde, förutom det raka strecket för ett, begynnelsebokstäverna i de grekiska orden för fem, tio, hundra osv. Under Pythagoras livstid började man använda de små bokstäverna i alfabetet för att beteckna tal. Enheterna från 1 t o m 9 fick särskilda tecken (a, ß osv), likaså tiotalen från 10 t o m 90 (t, x osv) och hundratalen från 100 t o m 900 (e, Σ osv). För större tal började man om från början, men för satte man ett litet streck (komma) framför α. De grekiska, liksom de egyptiska, symbolerna för tal var mycket olämpligare än de babyloniska, då det gällde att göra numeriska beräkningar. Papyrusblad var också dyrare än lertavlor och detta kom att påverka den grekiska matematikens inriktning. Liksom andra samtida folk använde grekerna räkneram eller räknebord vid de beräkningar som gjordes i vardagslivet av t ex affärsmän, byggmästare och skatteindrivare. Hos grekerna kallades en sådan anordning för abax, vilket på latin blev abacus. Räkningen på räknebordet utfördes med hjälp av småstenar. Av romarnas namn på liten sten, calculus, har vi fått orden kalkyl och kalkylera. Grekernas användning av bokstäver för att beteckna tal gjorde också att de inte som babylonierna kunde använda tecken för orden längd, area och volym för att symbolisera okända storheter. Dessa olägenheter med det grekiska talsystemet var en bidragande orsak till att praktiskt taget all grekisk matematik under denna tid gavs en geometrisk framställning. Men upptäckten av de irrationella talen var säkert det viktigaste skälet. Upptäckten har samband med satsen som bär Pythagoras namn. I flera antika skrifter anges att han upptäckt satsen att kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna på de två kateterna. Detta sam-

5 band var, som tidigare nämnts, redan känt av babylonierna omkring 1800 f Kr, men det är säkert så att det är genom Pythagoras som västerlandet fått kännedom om satsen. Därom är källorna eniga, liksom att han skall ha varit den förste som givit ett allmängiltigt bevis för satsen. Hur han bevisade den vet vi emellertid inte. Pythagoréernas intresse för olika slag av medelvärden kan ha lett dem till att söka svar på frågan: Vilket är det geometriska medelvärdet av 1 och 2 (dvs med vårt beteckningssätt 1 2)? Denna fråga kunde sedan med hjälp av Pythagoras sats överföras till en fråga om vilket förhållandet är mellan diagonalen och sidan i en kvadrat. Det blev en chock för pythagoréerna då de fann att förhållandet inte kunde uttryckas med tal. För grekerna var tal alltid hela, positiva tal. De uteslöt för övrigt 1 från de egentliga talen och ansåg det vara både jämnt och udda. Upptäckten har kanske inte inträffat under Pythagoras levnad, men i varje fall före 430. Det bevis pythagoréerna utarbetade är sannolikt det som återges i den tionde boken av Euklides Elementa, sammanställd omkring 290. Det kan återges så här: Om diagonalen AC och sidan AB i kvadraten ABCD är kommensurabla (sammätbara), låt deras kvot, förkortad så mycket som möjligt, vara m/n. Av detta följer att (AC) 2 /(AB) 2 = m 2 n 2, men eftersom (AC) 2 = 2(AB) 2 leder detta till att m 2 = 2n 2, dvs att m 2 är ett jämnt tal. Då måste också m vara jämnt. Då m/n ej kan förkortas så måste n vara udda. Men är m jämnt så måste m 2 vara delbart med 4, alltså n 2 delbart med 2 och följaktligen n jämnt. Men då n inte kan vara både jämnt och udda kan inte AC/AB skrivas som en kvot av heltal. Det här givna s k indirekta beviset är det äldsta bevarade exemplet på ett bevis av detta slag. Som tidigare nämnts hade babylonierna redan omkring 1700 f Kr beräknat ett approximativt värde som mycket noggrant satisfierade ekvationen x 2 = 2, men beviset för denna ekvation inte har någon exakt lösning, som kan anges med rationella tal, var ett betydande matematiskt framsteg. Längden av en diagonal i en kvadrat med t ex sidan 1 kunde således inte anges med grekernas tal. Den var outsägbar, som grekerna uttryckte det. Vi säger att den anges av ett irrationellt tal. Däremot kunde man genom en enkel geometrisk konstruktion åskådliggöra talet. Geometrin ansågs därför vara ett överlägset redskap för en exakt framställning av matematiken. Enligt vissa källor skall pythagoréerna ha visat att 5 var outsägbart, innan de visade att det gällde för 2. Det skall ha skett i samband med studiet av den regelbundna femhörningen, som skall ha fascinerat Pythagoras. Med hjälp av diagonalerna konstruerade han femstjärnan, som blev det tecken som pythagoréerna använde som ett slags medlemsmärke. Genom ytterligare linjer kunde han dela upp femhörningen i 30 småtrianglar och till sin glädje finna att förhållandena mellan vinklarna kunde uttryckas med hjälp av små hela tal. Vid studiet av sambanden mellan sträckor i figuren skall man så funnit att 5 var ett outsägbart tal. Andra menar att pythagoréerna visat detta i samband med sina undersökningar av det gyllene snittet (Se Nämnaren nr 1, 84/85). Pythagoréerna studerade sannolikt också förhållandet mellan sidorna hos femhörningar inskrivna i varandra som nedanstående frimärke visar.

6 De antika grekiska matematikerna kände troligen till babyloniernas algebra men fann den tydligen inexakt och ej anpassbar till deras siffersystem. De klädde därför algebran i geometrisk dräkt. Mycket av denna geometriska algebra har tillskrivits pythagoréerna och det är sannolikt att många av de satser och bevis för algebraiska samband som finns i Euklides Elementa kommer från dem. Regeln att (a + b){a - b) = a 2 - b 2 "bevisas" i nedanstående figur där P är mittpunkt på AB. Babylonierna löste andragradsekvationer ungefär som vi, medan grekerna använde geometriska metoder. Anledningen var problemet med de irrationella talen, som var outsägbara, men som logiskt invändningsfritt kunde tänkas representerade av sträckor. Ekvationen x 2 -px + q 2 = 0 löstes t ex genom följande konstruktion, som finns i Euklides Elementa. Uppgiften är att dela en given sträcka (AB = p) så att rektangeln, som bildas av dess delar (AQ och QB), är lika med en given area (q 2 ), där arean inte får vara större än kvadraten på halva sträckan (dvs q 2 (p/2) 2 ). För att göra detta konstruerar man PC = q på mittpunktsnormalen till AB. Med C som medelpunkt och PB som radie drar man en cirkelbåge som skär AB i Q. Enligt den föregående satsen är AQ QB = (PB) 2 -(PQ) 2 men då PB = CQ erhålles med hjälp av Pythagoras sats att AQ QB = (CP) 2 = q 2. Om r och 5 är rötterna till andragradsekvationen så gäller att r + s = p och r s = q 2. Men AQ + QB = p och AQ QB = q 2. Därför representerar AQ och QB rötterna till andragradsekvationen. Med liknande metoder visade man hur man skulle geometriskt bestämma de reella lösningarna till andra typer av andragradsekvationer x 2 ± px ± q 2 = 0. Zenon Det var inte endast de outsägbara talen som vållade de grekiska matematikerna bekymmer. Från staden Elea i Syditalien, endast några mil från Croton, där Pythagoras hade verkat, kom ca 450 f Kr filosofen Zenon till Athen och pekade på andra svårigheter i det matematiska tänkandet. Skall man anta att en storhet är oändligt delbar eller att den består av ett mycket stort antal små odelbara delar? I sina paradoxer, bl a den om Akilles och sköldpaddan pekade Zenon på de logiska problem som båda antagandena ledde till. En del av svårigheten låg i att man trodde att summan av ett oändligt antal positiva storheter måste vara oändligt stor, även om varje storhet var oerhört liten. Det skulle dröja till 1600-talet innan man ordentligt studerade konvergenta serier. Zenons paradoxer, som sedan behandlades utförligt av Aristoteles i hans Logik, verkade mycket stimulerande på det matematiska tänkandet. Men de svårigheter för tanken som följde med uttryck som det oändligt lilla och det oändligt stora eller summan av oändligt många kvantiteter förde med sig att de grekiska matematikerna undvek att använda ordet oändligt. LITTERATUR utöver den som nämnts i artikeln i Nämnaren nr 1, 1985/86. Aaboe, Asger: Antikens matematik från babylonierna till Ptolemaios, Stockholm Brun, Viggo: Alt er tall, Matematikkens historiefra oldtid til renessanse, Bergen Eves, Howard: An Introduction to the History of Mathematics, New York Newman, James: Sigma, En matematikens kulturhistoria, Stockholm 1965 del 1 s 27 48, , och del 4 s