Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt Eurokod 2

Transkript

1 ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE Examensarbete 15 hp November 2012 Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt Eurokod 2 Sprickbredders beroende av betongkvalité, tvångseffekter och armeringshalt Robert Edlinger Karls Svansbo

2

3 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Sprickbredders beroende av betongkvalité, tvångseffekter och armeringshalt Robert Edlinger Karl Svansbo Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik Byggteknik, Uppsala universitet Examensarbete 2012

4 Denna rapport är tryckt på Polacksbackens Repro, Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet, Box 337, Uppsala Copyright Robert Edlinger och Karl Svansbo WSP Byggprojektering, Stockholm Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik, Byggnadsteknik, Uppsala universitet ii

5 Abstract Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt Eurokod 2 Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box Uppsala Telefon: Telefax: Hemsida: Axial and gradient shrinkage of concrete slabs according to Eurocode 2 Robert Edlinger och Karl Svansbo Concrete foundation slabs are usually exposed to unilateral drying during the curing process. The unilateral drying causes an axial shrinkage and a concave curvature of the construction. The curvature results from the fact that the upper part of the slab is drying and shrinking faster than the lower part. This is called gradient shrinkage. A problem occurs when the slab is considered fully restrained by adjoining structural parts. The deformations caused by axial contraction due to the constant part of the shrinkage and the curvature caused by gradient shrinkage of the slab are then prevented by the fact that the slab is fully restrained. When the shrinkage and the curvature are prevented, constraints occur in terms of an axial force and a bending moment. These constraints cause cracking in the upper part of the slab. These cracks can cause inconveniences for the user of the slab and the cracks should therefore be minimized. It is important to determine the precise magnitude of the constraints so that sufficient amount of reinforcement can be applied into the concrete and the crack widths can be reduced. The construction consultancy company WSP has an interest in structural design methods for reducing the risk for concrete cracking through establishing engineering guidelines for the structural design of foundation slabs which are exposed to axial and gradient shrinkage. The result in this report shows the magnitude of the constraints for slabs of varying thickness and molded with different types of concrete. The constraints are later used to determine the crack widths. Two different reinforcement standards, both in compliance with the minimum requirements of Eurocode 2, are included in the study. A conclusion based on the results shows that the amount of reinforcement can be reduced in foundation slabs up to 300 millimeters thickness without significant impact on the crack widths. Handledare: Kent Arvidsson Ämnesgranskare: Ali Farhang Examinator: Patrice Godonou ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE Tryckt av: Polacksbackens Repro, Institutionen för informationsteknologi, Uppsala universitet

6 SAMMANFATTNING Betonggolv på mark utsätts för ensidig uttorkning. Den ensidiga uttorkningen orsakar en axial krympning och ger en konkav krökning av konstruktionen, s.k. kantresning. Krökningen uppkommer då golvplattans överkant torkar och krymper snabbare än underkanten. Detta kallas gradientkrympning. Ett problem uppstår då betongplattan är fast inspänd i närliggande konstruktionsdelar. De deformationer som orsakas av axiell sammandragning på grund av den konstanta delen av krympningen, och krökningen orsakad genom krympningsgradienten av plattan, förhindras av det faktum att plattan är helt fastspänd. När krympning och krökning förhindras uppstår tvång i form av axialkraft och böjande moment. Dessa tvång ger upphov till sprickbildning i plattans överkant. Dessa sprickor kan medföra olägenheter för beställaren och bör därför minimeras. Det är viktigt att fastställa tvångets storlek så att tillräcklig armeringsmängd kan användas i konstruktionen för att minska sprickbredderna. Konsultföretaget WSP har ett intresse av att upprätta ingenjörsmässiga riktlinjer för dimensionering av golv på mark utsatta av axial- och gradientkrympning så risken för dessa sprickor kan minimeras. Resultatet i denna rapport redovisar tvångens storlek för varierande plattjocklekar gjutna med olika sorters betong. Tvången används sedan som underlag för att beräkna sprickbredder, som också redovisas i rapporten. I studien har två olika armeringshalter använts enligt Eurokod 2:s minimiarmerings krav. Slutsatsen av resultaten är att armeringsmängden kan reduceras i plattor upp till 300 millimeters tjocklek utan någon påtaglig förändring av sprickbredder sker. iv

7 FÖRORD Med detta examensarbete avslutar vi vår högskoleingenjörsutbildning i byggteknik vid Uppsala universitet. Vårt examensarbete har utförts under våren 2012 på WSP Byggprojektering i Stockholm med Tekn. Dr. Kent Arvidsson som upprättat programmet för examensarbetet. Vi vill tacka Mattias Ek på WSP som har varit till stor hjälp med stöd och vägledning i de datorprogram vi använt. Framförallt vill vi tacka vår handledare Kent Arvidsson som har varit ett enormt stöd under resans gång. Vi skulle även vilja tacka Mikael Hallgren adjungerad professor och Måns Thulin, doktorand i matematisk statistik. Mikael skulle vi vilja tacka för rådgivning och tolkning av Eurokod 2. Måns skulle vi vilja tacka för hjälp och rådgivning. Vi skulle till sist vilja tacka vår ämnesgranskare Ali Farhang Tekn. Dr. för sitt engagemang och granskningssynpunkter. Uppsala i maj 2012 Robert Edlinger och Karl Svansbo v

8 vi

9 INNEHÅLL 1 Introduktion Inledning Bakgrund Betong och dess egenskaper Platta på mark Gjutningsklimat Vattencementtal Betongens krympning Uttorkningskrympning Autogen krympning Tvångseffekter Krypning Åtgärder mot sprickbildning Normer Avgränsningar 7 2 Företagsbeskrivning 9 3 Genomförande Beräkningsmodell Förutsättningar Val av betong Lösningsmetoder 12 4 Beräkning av tvång Beräkningsmodell Beräkningsgång Beräkning av total krympning Uttorkningskrympning Autogen krympning Beräkning av kryptal 16 vii

10 Inverkan av relativ fuktighet Inverkan av betongens ålder vid pålastning Inverkan av krypningens utveckling med tiden Delresultat Verifiering av kryptal Beräkning av effektiv elasticitetsmodul Beräkning av axialtvång Beräkning av neutrala lagret Beräkning av momenttvång 23 5 Beräkning av deformationer Beräkningsgång Beräkning av yttröghetsmoment Beräkning av böjmotstånd Beräkning av spänning Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar Spänningsbidraget av normalkraften Spänningsbidraget av det böjande momentet Beräkning av medelkrympning och medelkryptal Beräkning av vinkelförändring Beräkningsnoggrannhet Delresultat och kommentarer 30 6 Beräkning av sprickbredder Beräkningsgång Armeringshalt Modell i Ramanalys Beräkningsnoggrannhet Delresultat och kommentarer 33 7 Resultat och analys Sprickbreddsdiagram 35 viii

11 7.2 Armeringspåkänning Verifiering Analys Jämförelse mellan EC 2 och BBK 43 8 Slutsats 45 9 Referenser 51 BILAGOR Bilaga 1, Beräkning i Mathcad Bilaga 2, Verifiering av kryptal Bilaga 3, Passningsberäkning i Ramanalys B1 B2 B3 ix

12 x

13 1 INTRODUKTION 1.1 Inledning Platta på mark är en betongkonstruktion där skador ofta inträffar. Ofta består skadorna i att betongen spricker. En sammanställning av betongrelaterade skadeutredningar visar att golv utgör 20 % av skadefallen och det vanligaste problemet hos golv är sprickor med oönskade sprickbredder [1]. Det finns många orsaker till varför betongplattor på mark spricker och det är av stor betydelse att minimera risken för icke önskade sprickbredder. Denna rapport behandlar en av orsakerna till sprickor som kallas axial- och gradientkrympning. När en betongplatta gjuts på mark uppkommer oliksidig uttorkning i plattan. Överkant platta befinner sig i kontakt med den omgivande luften medan underkanten befinner sig i en fuktigare miljö mot marken. Denna oliksidiga uttorkning ger upphov till ojämn krympning, s.k. gradientkrympning. Betongen krymper snabbare i plattans överkant än i dess underkant och detta i sin tur ger upphov till problem där plattan vill kröka sig uppåt längs dess kanter, s.k. kantresning. När plattans kanter reser sig kommer egentyngden att motverka denna resning och spänningar i plattan uppstår. Om plattan gjuts inspänd i anslutande konstruktioner, exempelvis väggar, motverkas plattans krympning i axialled av dessa. Plattans inspänning och dess egentyngd orsakar dragspänningar i plattan i form av ett axialtvång och ett momenttvång. Dessa tvång ger upphov till oönskade tvångssprickor i plattan när betongen krympt så pass mycket att dragspänningarna överstiger betongens draghållfasthet. Det är i dagens läge svårt att uppskatta sprickbredderna från axial- och gradientkrympning därför att det är ett komplext problem som varierar med plattors tjocklek. Detta leder till osäkerhet vid val av armeringshalt och branschen skulle gynnas om nya riktlinjer ritades upp. Syftet med denna rapport är att för fem plattor av olika tjocklek och tre olika sorters betonghållfastheter beräkna de tillhörande tvången samt 1

14 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 analysera vilka sprickbredder som erhålls vid användning av minimiarmering enligt Eurokod 2. Totalt studeras 15 plattor. Eurokod 2 även kallad EC 2 är Europas gemensamma dimensioneringsregler för bärverksdelar i betong. Ett tidigare examensarbete har skrivits om detta ämne vid lärosätet Kungliga tekniska högskolan, campus Haninge [2]. Detta har dock gjorts enligt Sveriges gamla normer, Boverkets bestämmelser för betongkonstruktioner även kallad BBK 04. Det finns därför ett stort intresse att bestämma minimiarmering och sprickbredder enligt EC 2. Målet med denna rapport är att jämföra resultaten enligt EC 2 och BBK 04 så att en slutsats om skillnaderna mellan normerna kan fastställas. 1.2 Bakgrund Betong och dess egenskaper Materialet betong har högre tryckhållfasthet än draghållfasthet, d.v.s. materialet går sönder lättare när det utsätts för drag- än tryckpåkänningar. Det är betongens låga draghållfasthet som gör att betong behöver armeras. Tryckhållfastheten brukar i beräkningar betecknas, draghållfastheten betecknas. Betongens medeltryckhållfasthet vid 28 dagar betecknas och hållfastheterna anges i MPa. Betongens elasticitet mäts i något som kallas elasticitetsmodul, även kallad E-modul. Dennas karakteristiska värde betecknas och varierar med hållfastheten. Medelelasticitetsmodulen efter 28 dagar betecknas. E-modulen anges i enheten GPa. När betong härdar krymper den. Betongens krympning betecknas och mäts i promille Platta på mark Platsgjutna golv på mark är en mycket vanlig golvkonstruktion i Sverige och används både till småhus och större industribyggnader. Konstruktionen innebär att en platta av betong gjuts med viss tjocklek, antingen mot markisolering eller direkt mot kapillärbrytande skikt. Under bärande väggar måste plattan förstärkas, plattan utformas tjockare så att den kan bära mer last. Dessa förstärkningar, eller voter som 2

15 Kap. 1 Introduktion de kallas, har en djupare grundläggningsnivå och låser fast plattan när den vill krympa. När krympningen förhindras töjs istället betongen och dragspänningar uppstår. Sprickorna som då uppkommer beror således på att plattans rörelsemöjligheter förhindras. Underlaget på vilken plattan gjuts avgör rörelsemöjligheten. Denna rapport behandlar det fall när plattan gjuts direkt mot kapillärbrytande skikt och kan anses vara fullständigt fastlåst. Se figur 1.1. Figur 1.1 Krympning förhindras i plattans längdled pga. friktion mot mark Gjutningsklimat Vid det ögonblick då betongen precis lämnat blandaren och placerats i formen har betongen 100 % relativ fuktighet. Betongens relativa fuktighet kommer sedan att minska mot det värde på den relativa fuktigheten som den omgivande miljön har. Då ingen markisolering används finns ingen temperaturgradient mellan marken och betongplattan. Detta medför att underkant platta initialt antar markens relativa fuktighet, 100 %, således samma som den startade med. Överkant platta som är i kontakt med luften kommer snabbare anta en lägre relativ fuktighet. Denna fuktgradient är det som gör att den ojämna krympningen uppkommer. I denna undersökning kommer det mest ogynnsamma gjutningsklimatet att undersökas, när det är som torrast i luften och störst fuktgradient uppstår. Detta klimat är gjutning inomhus i maj då den relativa luftfuktigheten är ca 55 % [2] Vattencementtal Andelen vatten i betongen anges med ett s.k. vct-tal och beskriver hur vattnet förhåller sig gentemot cementmängden. Andelen vatten i betongen bestämmer betongens hållfasthet och hur mycket betongen kommer att krympa. Detta beror på att betongen krymper när vattnet dunstar och 3

16 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 lämnar betongmassan, s.k. uttorkningskrympning. I denna studie undersöks tre olika vct: 0.38, 0.43, Betongens krympning Betongens krympning kan delas upp i två komponenter, uttorkningskrympning och autogen krympning. Krympningens storlek beror främst på: Konstruktionsdelens geometri och uttorkningsytor Mängden cementpasta gentemot vatten i betongen Omgivningens fuktighet och temperatur Betongens behandling Betongens ålder [3] Uttorkningskrympning Uttorkningskrympning är den krympning som sker pga. fuktutbytet mellan betong och omgivande miljö, det är också den som pågår under längst tid. I betong lagras en betydande del av vattnet i betongens porsystem. När betongen lämnar blandaren kommer denna inlagrade mängd vatten att med tiden avta och betongen krymper. Uttorkningskrympningen som sker under de första månaderna efter gjutning kallas för förstagångskrympningen. Viktigt att nämna är att under betongens livscykel kommer omväxlande uttorkning och nedfuktning över månadernas gång bidra till krympning respektive svällning, dock mindre än förstagångskrympningen. [4] Autogen krympning Autogen krympning är en krympning som kan ske utan fuktutbyte med omgivningen. Denna form av krympning beror på den kemiska process som sker i cementpastan när betongen härdar. Autogen krympning är av större betydelse i betong med låga vct då den större delen av det totala vatteninnehållet binds och förbrukas när betongen härdar. Den andel vatten som lagras i porerna för att med tiden torka ur blir därmed mindre. Betong med lägre vct har högre hållfasthet och ett tätare porsystem som bidrar till mindre mängd lagrat vatten [3]. 4

17 Kap. 1 Introduktion I de gamla normerna, BBK 04, beaktas inte den autogena krympningen när krympberäkningar utförs. Detta blir därför en ny aspekt att ta hänsyn till när beräkningarna genomförs enligt EC Tvångseffekter När plattan är fastinspänd i angränsande konstruktioner, t.ex. vid etappvis gjutning av stora betonggolv, begränsas dess rörelsemöjligheter. Detta innebär att när plattan krymper förhindras dess rörelse och tvångskraft i form av axial dragkraft uppstår. Den axiala kraftens storlek beror såväl på plattans storlek som på gjutningsunderlaget. Den ojämna uttorkningen ger i sin tur upphov till ett böjande momenttvång som inte kan elimineras. När luften i den omgivande miljön har en låg relativ fuktighet torkar plattan ut snabbt och ojämnt. Då kan dessa tvång bli så pass stora att sprickor erhålls. När betongen spricker minskar tvångskrafterna. Detta sker därför att betongen inte kan hålla emot den axiala dragkraften i samma utsträckning som när den var osprucken. När betongen med tiden fortsätter torka kommer tvångsspänningarna igen att öka tills betongens draghållfasthet åter är uppnådd och nya sprickor uppstår i nya snitt i plattan. När betongen spricker kommer armeringen att ta större delen av dragkraften. Det är därför viktigt att armeringen kan ta upp dessa spänningar och inte ger efter så att stora sprickor, s.k. single cracks uppstår. Armeras betongen på rätt sätt, med tillräcklig mängd armering, förhindras dessa single cracks och flera små sprickor uppträder istället [3]. Detta är mer gynnsamt ur användarsynpunkt Krypning När en konstruktion pålastas deformeras den omedelbart. Denna deformation kommer sedan att växa med tiden. Detta fenomen kallas krypning. Krypning är en deformation som beror av spänningen i betongen och antas nå ett slutligt värde efter ungefär 70 år. [3] Krypningen definieras med ett så kallat kryptal och betecknas desto större krypdeformation.. Ju större kryptal, 5

18 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 I fallet som studeras, när plattan är fastlåst och krymper ojämnt, uppkommer krypdeformationen till följd av de tvång som plattan belastas av. Betongens egenskap att krypdeformeras har en gynnsam inverkan på konstruktionen då dragkraften minskar, betongen relaxeras, när plattan töjs ut. Denna minskning av dragkraft kan liknas med den som sker när plattan spricker, d.v.s. att betongen inte längre kan hålla emot [5]. Krypningen beaktas i beräkningarna Åtgärder mot sprickbildning Gradientkrympning kan till viss del reduceras. Det finns idag tekniker för att sakta ned krympning och avdunstning genom att få överkanten av plattan att torka långsammare. Detta sker genom vattenbehandling och övertäckning med plastfolie. Friktionen mot underlag, som ger upphov till axialtvång, kan reduceras genom gjutning mot glatt underlag. Problemen går dock inte att eliminera helt. I de gamla normerna, BKR och BBK 04, beaktas problemet med ojämn krympning och riktvärden för krympskillnaden vid oliksidig uttorkning finns att tillgå. Detta återfinns inte i EC 2 [3]. Idag finns möjligheter att påverka betongen genom tillsatsmedel. Det finns tillsatser för många olika ändamål, bland annat krympreducerande. Vacuumsugning är ett alternativ där vatten avlägsnas från betongplattans överkant. På så sätt kan ytkrympningen reduceras upp till 50 % [6]. I denna rapport undersöks endast hur stora sprickbredder som uppkommer utan användning av tillsatser eller krympreducerande åtgärder. Problemet med axial- och gradientkrympning är omfattande och resulterar ibland i juridiska konflikter mellan berörda parter. Om detta problem kan lösas kan branschen besparas mycket tid och pengar [5]. 6

19 Kap. 1 Introduktion Normer Det finns betydande skillnader i hur BBK 04 skiljer sig mot EC 2, bland annat när det gäller beräkning av krympning och kryptal. I BBK 04 beaktas inte den autogena krympningen, vilken beaktas i EC 2. EC 2 har infört noggrannare metoder för beräkning av kryptal där kryptalet är beroende av tiden, till skillnad från BBK 04 där tiden inte beaktas. Det finns också skillnader i hur minimiarmering beräknas. EC 2 finns i flera olika upplagor för olika länder. I denna studie följs EC 2 med svenskt annex. 1.3 Avgränsningar Femton olika plattor studeras och inverkan av temperaturvariationer beaktas inte. Inverkan av cementtyp på betongens kryptal studeras inte, och heller inga yttre laster. Ingen behandling av eftergivlighet i plattans inspänning. 7

20 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 8

21 2 FÖRETAGSBESKRIVNING Folke Jacobson Och Hans Wildmark bildade 1938 företaget J&W, Jacobson & Wildmark. J&W växte starkt och introducerades 1976 på Stockholmsbörsen med 750 anställda sammanslogs J&W med WSP (ursprungligen Williams Sayles Partnership), ett brittiskt bolag grundat 1970 och noterat på Londonbörsen sedan WSP är idag ett av världens största konsultföretag med mer än 9000 medarbetare på 200 kontor i 35 länder världen över. Det är ett globalt analys- och teknikkonsultbolag som deltar i samhällsbyggande över hela världen. WSP har sina huvudsakliga säten i Storbritannien, Sverige, övriga Europa, USA, Afrika, Indien, Mellanöstern, Asien och Australien. De erbjuder sina kunder kvalificerade helhetslösningar med hjälp av kunniga team som har erfarenhet från olika delar av världen. WSP erbjuder konsulttjänster inom fastighet, transport & infrastruktur, miljö & energi och industri. I Sverige är WSP ett rikstäckande företag med ca 2400 medarbetare. WSP byggprojektering är en del av WSP Group och har idag ca 360 medarbetare i Sverige. Syftet med detta examensarbete från WSP:s sida är att kunna upprätta en handbok för praktiskt ingenjörsarbete. I denna ska ingenjören kunna påvisa sprickrisker i betonggolv för konstruktörer och framför allt beställare. 9

22 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 10

23 3 GENOMFÖRANDE 3.1 Beräkningsmodell Beräkningsmodellen som används har erhållits av handledare Kent Arvidsson, teknisk doktor. Beräkningsmodellen bygger på att plattans tvärsnitt som studeras delas upp i millimeterstrimlor i höjdled. På så sätt kan fuktgradienten över tvärsnittet studeras mycket noggrant och en axial dragkraft kan beräknas för varje millimeterstrimla. Plattorna studeras per meter strimla i breddled. Beräkningarna följer EC Förutsättningar Oliksidig uttorkning råder Fullständig fastlåsning, plattan utsätts för fullt tvång Plattor av tjocklekar 120, 160, 200, 300 och 400 millimeter Betong av vct 0.38, 0.43 och 0.53, svensk standardbetong används Snabbhärdande cement används, cementklass R Plattans gjuts i maj, inomhusklimat, luftens relativa fuktighet 55 % Markens relativa fuktighet 100 % Minimiarmering enligt det underlag som finns att tillgå i EC 2 Två armeringshalter studeras Beräkningarna utförs i brukgränstillstånd Långtidslast betraktas Plattorna betraktas efter 365 dygn 3.3 Val av betong Betongens hållfasthet är en osäker parameter som kan variera, även inom samma hållfasthetsklass. Hållfastheten i betong anses variera enligt normalfördelningen [3] och det är mycket viktigt att rätt hållfasthet väljs då beräkningarna i stor utsträckning är beroende av hållfastheten. Enligt tidigare examensarbete kan följande vct kopplas till respektive hållfasthetsklass [2]. Detta gäller för svensk standardbetong. 11

24 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 vct 0.38 motsvarar C54/65, och vct 0.43 motsvarar C50/60, och vct 0.53 motsvarar C40/50, och I fallet med platta på mark som utsätts för tvång så kommer en hög draghållfasthet att verka ogynnsamt. Detta beror på att större spänningar byggs upp i plattan när betongen förblir osprucken [3]. 3.4 Lösningsmetoder Beräkningsmodellen appliceras i datorprogrammet Mathcad, där en generell algoritm för beräkning av tvång kan skapas. Utifrån algoritmen kan sedan alla 15 plattor analyseras och deras tillhörande tvång bestämmas. Indata för beräkningarna är uttorkningsprofiler som tillhandahålls av Jonas Carlswärd på Betongindustri AB. Uttorkningsprofilerna är simuleringar från ett datorprogram, BI dry, där de tidigare nämnda förutsättningarna kunnat matas in. Dessa uttorkningsprofiler är data över hur relativa fuktigheten varierar i plattans höjdled över tiden. Indatafilerna erhölls i Excelformat och noggrannheten är mätvärden av den relativa fuktigheten för var femte millimeter i plattans höjdled med tidsintervallet 9.1 dagar under ett år. Beräkningen av de sprickbredder som uppträder som följd av tvången beräknas i datorprogrammet Ramanalys. I Ramanalys beaktas uppsprickningen, och på så sätt även minskningen av tvång när betongen spricker med tiden. Lösningen erhålls genom passningsberäkning avseende vinkeländring och axiell töjning av en betraktad plattstrimla. Det aktuella systemet är således ett statiskt obestämt system av grad två. När sprickbredderna beräknats görs sedan en överskådlig resultatsammanställning varifrån man kan analysera resultatet och dra slutsatser. 12

25 4 BERÄKNING AV TVÅNG 4.1 Beräkningsmodell Beräkningar av tvångskrafter över tvärsnittet sker enligt elasticitetsteorin då Hookes lag gäller: (4.1) Vidare blir den axiala tvångskraften för en millimeterstrimla (4.2) Krympningen och kryptalet varierar över tvärsnittshöjden pga. den ojämna uttorkningen. Det första steget är att bestämma dessa. Arean A är konstant och representerar en millimeterstrimla. är medelvärdet på betongens E-modul och är en konstant. Formel 4.2 beräknas således för varje strimla. Summeras alla axialkrafter för varje millimeterstrimla erhålls den totala axiala dragtvångskraften för hela tvärsnittet. Det böjande momentet kan sedan beräknas. 4.2 Beräkningsgång Följande beräkningsgång tillämpas för samtliga plattor. Figurer i kapitel 4 till 6 och bilaga 1 baseras på en 400 millimeters platta med vct Beräkningarna sker i varje millimeterstrimla om inget annat anges. Beräkningarna baseras på fuktprofilerna från Betongindustri AB. 1. Beräkning av total krympning 2. Uttorkningskrympning 3. Autogen krympning 4. Beräkning av kryptal 5. Ingående faktorer för kryptal 6. Beräkning av effektiv E-modul 7. Beräkning av axiala tvångskrafter 13

26 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 8. Beräkning av neutrala lagret för hela tvärsnittet 9. Beräkning av momenttvång i tvärsnittets neutrala lager Beräkning av total krympning Den totala krympningen beräknas generellt som summan av uttorkningskrympningen och den autogena krympningen. (4.3) motsvarar uttorkningskrympningen, motsvarar autogena krympningen och är den totala krympningen. För varje millimeterstrimla i höjdled kommer en total krympning att beräknas. På detta sätt beaktas krympvariationen över tvärsnittet Uttorkningskrympning Uttorkningskrympningen beräknas enligt formeln: ( ) (4.4) De ingående faktorerna beror av cementtyp, betonghållfasthet, hur lång tid betongen har krympt, en fiktiv höjd av tvärsnittet och av den relativa fuktigheten. Den faktor som beaktar den relativa fuktigheten,, är en delfaktor i och beaktar enligt EC 2 omgivningens relativa luftfuktighet, RH. Se bilaga 1 för detaljerad information. Betraktas en enskild millimeterstrimla är omgivningen den överliggande och den underliggande millimeterstrimlan. Medelvärdet av den relativa fuktigheten av dessa två blir det representativa värdet av omgivningens relativa fuktighet. Det visar sig att medelvärdet av den över och underliggande strimlan motsvarar värdet för den betraktade strimlans RH, med en mycket liten felmarginal. Därför kan den betraktade strimlans RH anses tillräckligt noggrann och användas i beräkningarna. Figur 4.1 visar hur den relativa fuktigheten varierar med plattans höjd. För plattan som studeras kommer 14

27 h (m) Kap. 4 Beräkning av tvång således denna faktor som tar hänsyn till relativa fuktigheten,, att beräknas för varje millimeterstrimla i plattan. För den faktor som tar hänsyn till hur lång tid betongen har krympt, ( ), så anges betraktad tidpunkt till 365 dagar. Betongens ålder vid början av uttorkningskrympning,, anges till en dag. Den fiktiva höjden, som bestämmer värdet på, anges till halva tvärsnittshöjden [3]. Denna faktor, ( ), är samma för alla millimeterstrimlor. Se bilaga 1 för utförliga beräkningar Fuktfördelning platta 400,maj, inne, vct 0.38 dag z Figur 4.1 Fuktfördelningen över tvärsnittshöjden efter ett år, indata från Betongindustri AB RH RH (%) Autogen krympning Den autogena krympningen beräknas enligt formeln: ( ) ( ) (4.5) Den autogena krympningen beror av två faktorer. Faktorn ( ) som beror av betongens ålder vid betraktad tidpunkt,, och faktorn ( ) som beror av betongens karakteristiska hållfasthet. Se bilaga 1. 15

28 Tvärsnittshöjden (m) AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Summeras uttorkningskrympningen och autogena krympningen enligt formel 4.3 i varje millimeterstrimla erhålls krympningsgradienten över tvärsnittshöjden. Se figur Krympningen över tvärsnittshöjden dag p Figur 4.2 Totala krympningen över tvärsnittshöjden efter ett år cs Kry mpning (promille) Beräkning av kryptal De med tvärsnittshöjden varierande kryptalen beror av betonghållfasthet, relativ fuktighet, pålastningstid och lastens varaktighet. Vad som menas med de tre sist nämnda effekterna förklaras mer ingående nedan. Kryptalet beräknas enligt formeln: ( ) ( ) ( ) (4.6) Inverkan av relativ fuktighet Faktorn som korrigerar för den relativa fuktigheten,, beaktar enligt EC 2 den relativa luftfuktigheten i omgivande miljö. I de studerade fallen är miljön inomhus i maj månad med den relativa fuktigheten 55 %. Faktorn är även beroende av den fiktiva höjden och betongens hållfasthet. Eftersom faktorn beror av luftens relativa fuktighet kommer faktorn att ha samma värde för samtliga millimeterstrimlor. 16

29 Kap. 4 Beräkning av tvång Inverkan av betongens ålder vid pålastning Den totala krypdeformationen är beroende av när betongen första gången pålastas och får en påkänning. Det bör noteras att i normer är kryptalet vanligen relaterat till att hela pålastningen sker vid 28 dagar. Vid senare pålastning blir kryptalet mindre än det för pålastning efter 28 dagar. Pålastas betongen sent blir följaktligen krypdeformationen mindre. Pålastningsåldern i det studerade fallet blir vid den tidpunkt då betongen har krympt och spänningar uppträtt. Pålastningsåldern blir tidig för överkant platta och senare för underkanten på grund av den ojämna uttorkningen. Enligt uttorkningsprofilerna från Betongindustri AB har hela tvärsnittet en påkänning först efter 9.1 dagar. Detta värde är det som används i beräkningar då noggrannare värde inte kunnat bestämmas via indata från Betongindustri AB. Detta värde visade sig gälla för alla plattor som studeras. Denna faktor blir därför samma för samtliga studerade plattor Inverkan av krypningens utveckling med tiden Krypdeformationen påverkas även av hur länge lasten har verkat på konstruktionen. I EC 2 beaktas detta med en faktor, ( ). I EC 2 förutsätts det vara en konstant last som belastar plattan. Pålastningen sker enligt EC 2 vid en specifik tidpunkt som avgör hur lång tid lasten har verkat på konstruktionen. Eftersom att krympningen och därmed tvångslasterna växer med tiden kan lasten inte anses som konstant och den specifika tidpunkten för pålastning, som dessutom ska motsvara en konstant last, blir därför svår att bestämma. Tvångslasterna växer dessutom olika snabbt över tvärsnittshöjden pga. den ojämna uttorkningen. Detta problem måste lösas då normen annars inte kan följas, detta förklaras nedan. Krympningens utveckling för ett antal millimeterstrimlor studeras över tiden, från dag ett till dag 365. Se figur

30 Krympningsförändring (promille) Krympning (promille) AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD Krympning i olika snitt som funktion av tiden 0.4 cs.överkant 0.3 cs.mitt cs.underkant t dag Tid (dagar) Figur 4.3 Krympningen som funktion av tiden i överkant, mitt och underkant platta under ett år Som figur 4.3 visar ökar den totala krympningen för varje dag som går, men krympningsförändringen minskar med tiden. Studeras krympningsförändringen som funktion av tiden erhålls följande graf, se figur Krympningsförändringen som funktion av tiden cs.överkant cs.mitt 0.01 cs.underkant tid (dagar) Figur 4.4 Krympningsförändringen som funktion av tiden, överkant, mitt och underkant platta under ett år t dag 18

31 Kap. 4 Beräkning av tvång Denna graf visar hur stor krympning som tillkommer varje dag och är derivatan av grafen i figur 4.3. Eftersom att det finns ett samband mellan krympning och kraft, se formel 4.2, kan grafen i figur 4.4 anses representera hur stor last som tillkommer per dag. Plattan kan således anses ha 365 olika pålastningstillfällen där olika mycket last tillkommer per dag. Se figur 4.5. Figur 4.5 Krympningsökningen per dag avtar med tiden Det gäller att bestämma en ekvivalent tidpunkt för millimeterstrimlan där den, över tiden ett år, kan anses belastas med en konstant last istället för en varierande. Detta utförs genom en viktningsberäkning av krympningsförändringen över ett år. Se ekvation 4.7 (4.7) Krympningen som uppkommer första dagen belastar plattstrimlan i 365 dagar om den betraktas efter ett år, krympningen som uppkommer den andra dagen belastar plattstrimlan i 364 dagar o.s.v. På detta sätt beräknas pålastningstiden för en ekvivalent konstant last för en millimeterstrimla, se bilaga 1. Detta måste upprepas för varje 19

32 Tvärsnittshöjd (m) AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 millimeterstrimla för att ta hänsyn till den varierande lastvaraktigheten över tvärsnittshöjden. Beräkningarna för varje millimeterstrimla är mycket omfattande och sker i denna studie för var tjugonde millimeter i höjdled. En kurva kan sedan anpassas från dessa framräknade värden. Se figur 4.6. Det bör noteras att viktningen av krympförändringskruvan som anses representera lastförändringskurvan inte tar hänsyn till det varierande kryptalet, utan endast krympningen. Kryptalets beroende verifieras i avsnitt Framviktad pålastningstid som funktion av tvärsnittshöjd p ds Tid (dagar) Figur 4.6 Pålastningstiden för en ekvivalent konstant last i varje millimeterstrimla efter ett år Kurvan interpoleras sedan så att pålastningstid för alla millimeterstrimlor erhålls och ( ) över höjden kan bestämmas. Faktorn ( ) kommer därför att variera med tvärsnittets höjd. 20

33 Tvärsnittshöjd (m) Kap. 4 Beräkning av tvång Delresultat När hänsyn tagits till de ingående faktorerna kan formel 4.6 beräknas för varje studerad millimeterstrimla. Se figur Kryptalet över tvärsnittshöjden dag z Kryptal Figur 4.7 Kryptalet i varje millimeterstrimla efter ett år Verifiering av kryptal I beräkningen för pålastningstiden i varje millimeterstrimla så beaktas inte kryptalets variation med pålastningstiden. Det är möjligt att beakta kryptalets variation med pålastningstiden men beräkningsarbetet blir ännu mer omfattande. En verifieringsberäkning ger att om kryptals variation beaktas ökar kryptalet med 1.5 till 2.5 % i millimeterstrimlorna. Beräkningen av kryptalet i denna rapport kan därför anses som konservativ då ett lägre kryptal används i beräkningarna. Se bilaga Beräkning av effektiv elasticitetsmodul Den s.k. effektiva E-modulen tar hänsyn till att betongen krypdeformeras och beräknas för varje millimeterstrimla med formeln: (4.8) 21

34 Tvärsnittshöjd (m) Tvärsnittshöjd (m) AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Rekommenderat värde på enligt EC 2. Kryptalet varierar i studien med tvärsnittshöjden. Den effektiva E-modulen varierar därmed också över tvärsnittet. Se figur Effektiv E-modul z E c.eff E (Gpa) Figur 4.8 Den varierande effektiva E-modulen över tvärsnittet efter ett år Beräkning av axialtvång Ekvation 4.2 kan nu lösas. Resultatet visas i figur Axial dragtvångskraft över tvärsnittet dag z F t1 Kraft (N) Figur 4.9 Axiala dragkraftens variation över tvärsnittshöjden efter ett år 22

35 Kap. 4 Beräkning av tvång Det bör noteras att summan av axiala tvångskrafternas inte angriper i plattans tyngdpunkt. Detta ger därmed upphov till böjande moment i plattan vilket studeras mer ingående nedan Beräkning av neutrala lagret I belastade betongtvärsnitt finns något som kallas det neutrala lagret. Detta är för ospruckna, oarmerade konstruktioner med samma effektiva E-modul över tvärsnittet beläget i mitten av tvärsnittet. Detta för att tvärsnittet är lika elastiskt i tvärsnittets höjdled. I studien där effektiva E- modulen varierar med tvärsnittshöjden måste därför läget för det neutrala lagret beräknas fram, se figur Detta sker genom en viktningsberäkning där effektiva E-modulen viktas på lika sätt som pålastningstiden i avsnitt Detta ska senare användas för beräkning av det böjande momenttvånget. Figur 4.10 Placering av neutrala lagret Beräkning av momenttvång De storleksvarierande krafterna över tvärsnittets höjd som angriper i varje millimeterstrimlas mitt ger upphov till ett böjande moment. Till en början beräknas detta moment i underkant platta. Varje millimeterstrimlekraft har således sin egen hävarm mätt från underkant platta. Detta moment reduceras sedan och flyttas till plattans neutrala lager. Momentet i det neutrala lagret används senare för beräkning av spänningar. Det neutrala lagret är beläget under plattans mitt eftersom betongens effektiva E-modul ökar från överkant platta mot underkant platta. Se figur

36 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Datorprogrammet Ramanalys kräver att momentet verkar i plattans mitt för beräkningar av sprickbredder. Därför reduceras åter igen momentet och förflyttas till plattans mitt. Se bilaga 1 för detaljer. 24

37 5 BERÄKNING AV DEFORMATIONER 5.1 Beräkningsgång Följade beräkningsgång tillämpas för beräkning av deformationer: 1. Beräkning av yttröghetsmoment 2. Beräkning av böjmotstånd 3. Beräkning av spänning 4. Beräkning av spänning med varierande effektiv E-modul 5. Beräkning av spänningsbidrag av normalkraft 6. Beräkning av Spänningsbidrag av moment 7. Beräkning av medelkrympning och medelkryptal 8. Beräkning av vinkelförändring 5.2 Beräkning av yttröghetsmoment I hållfasthetsläran används något som kallas yttröghetsmoment som ett mått på hur styvt ett materialtvärsnitt är mot böjdeformation. Yttröghetsmomentet beror av det belastade tvärsnittets geometri. I de studerade fallen varierar dock tvärsnittets elasticitet vilket komplicerar beräkningen av yttröghetsmoment och därmed deformationen. Detta löses genom att man antar tvärsnittets effektiva E-modul till överkantens och låter tvärsnittets geometri ändras. Detta kan liknas med att beräkna yttröghetsmomentet för ett samverkanstvärsnitt. Tvärsnittets bredd varierar med förhållandet mellan effektiva E-modulen i överkant och effektiva E-modulen i millimeterstrimlorna. Detta betyder i det studerade fallet att bredden ökar mot underkanten och tvärsnittets area ökar, se figur 5.1. För mer ingående förklaring av breddökningen, se avsnitt Figur 5.1 Tvärsnitsarean som yttröghetsmomentsberäkningen baseras på 25

38 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Med hjälp av Steiners sats kan yttröghetsmomentet beräknas. ( ( )) (5.1) är en millimeterstrimlas area och är avståndet mellan en millimeterstrimlas tyngdcentrum och det neutrallagret för tvärsnittet Vid beräkning av Steiners sats försummas faktorn för varje millimeterstrimla eftersom den har försumbar påverkan på yttröghetsmomentet, vilket ger: ( ) (5.2) 5.3 Beräkning av böjmotstånd Böjmotståndet används vid beräkningar av spänningar i tvärsnitt. På samma sätt som yttröghetsmomentet beror böjmotståndet av tvärsnittets geometri. Böjmotståndet varierar med avståndet från det neutrala lagret och kan beräknas i över och underkant enligt: (5.3) (5.4) betecknar böjmotståndet i överkant av tvärsnittet och betecknar böjmotståndet i underkant av tvärsnittet. är avståndet från det neutrala lagret till överkanten av tvärsnittet och är avståndet från det neutrala lagret till underkanten av tvärsnittet. 5.4 Beräkning av spänning Plattan som studeras är utsatt för böjande moment. De största spänningarna uppkommer i över och underkant platta. Dessa är de mest intressanta snitten. Plattan påverkas även av en normalkraft. Detta gör att Naviers formel används vid beräkningarna för spänning. 26

39 Kap. 5 Beräkning av deformationer (5.5) ( ) (5.6) betecknar spänningen som uppkommer i överkant av plattan på grund av normalkraften och det böjande momentet. betecknar spänningen som uppkommer i underkant av plattan på grund av normalkraften och det böjande momentet. betecknar normalkraften som verkar på tvärsnittet. betecknar arean av tvärsnittet. betecknar momentet i det beräknade neutrala lagret. ( ) betecknar en multiplikator som förstorar upp inverkan av momentet i underkant platta. Mer ingående förklaring av denna faktor följer Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar Nedan redovisas hur Naviers formel tillämpas i beräkningarna Spänningsbidraget av normalkraften Spänningsbidraget från normalkraften är samma, oavsett vilken av plattkanterna som studeras. När antagandet att hela tvärsnittets effektiva E-modul är den samma som överkantens så ändras tvärsnittets area, se figur 5.1. Normalkraften,, kommer dock inte att fördelas över denna förstorade area. Det betyder att arean är tvärsnittets verkliga area, inte den förstorade Spänningsbidraget av det böjande momentet Tvärsnittet betraktas som ett samverkanstvärsnitt. Den varierande effektiva E-modulen över tvärsnittet ger ett böjande moment. Detta eftersom den axiala tvångskraften inte verkar i det faktiska tvärsnittets geometriska tyngdpunkt utan i det fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt. Det fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt är belägen i det beräknade neutrala lagret. Det böjande momentet betraktas som att det verkar på det fiktiva tvärsnittet. De beräknade påkänningarna i det fiktiva tvärsnittet måste korrigeras för att påkänningarna uppträder i det faktiska tvärsnittet. Erhållen påkänning i det fiktiva snittet verkar på en bredd som är ( ) mot i det faktiska tvärsnittet. De verkliga påkänningarna blir 27

40 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 således ( ) gånger högre i det faktiska tvärsnittet än i det fiktiva. Se figur 5.2 och 5.3. ( ) (5.7) varierar i varje millimeterstrimla vilket gör att också varierar i varje millimeterstrimla. För spänningsfördelningen över tvärsnittet. Se figur 5.4. Figur 5.2 Effektiva E-modulens förändring över tvärsnittet Figur 5.3 Effektiva E-modulen omsatt till areaökning av tvärsnittet 28

41 Tvärsnittshöjden (m) Kap. 5 Beräkning av deformationer 0.4 Spänningsfördelningen över tvärsnittet dag z Figur 5.4 Spänningsfördelningen över tvärsnittet efter ett år Spänningen (MPa) 5.5 Beräkning av medelkrympning och medelkryptal Medelkrympningen beräknas fram genom viktning av krympningen i varje millimeterstrimla efter 365 dagar. På samma sätt viktas medelkryptalet fram efter 365 dagar. Dessa medelvärden är de värden som senare används i Ramanalys. 5.6 Beräkning av vinkelförändring Beräkningen av vinkelförändringen sker genom elasticitetslärans formel för det aktuella lastfall som gäller, en fritt upplagd balk med i de två stöden verkande böjmoment. (5.8) Längden l på plattan anges värdet fem meter och momentet är momentet som verkar i tvärsnittets mitt. är den framviktade effektiva E- modulen över tvärsnittet och är tröghetsmomentet [8]. Vinkeländringen tillsammans med den beräknade medelkrympningen är nu bestämda och kan matas in i Ramanalys för vidare passningsberäkningar och beräkning av sprickbredder. 29

42 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD Beräkningsnoggrannhet Indata för var femte millimeterstrimla från Betongindustri AB har interpolerats så den relativa fuktigheten för varje millimeterstrimla kan erhållas. Den relativa fuktigheten har även interpolerats över tiden så att den relativa fuktigheten erhålls för varje dag under året. Kryptalet är generellt definierat för betong utsatt för tryckpåkänningar. I denna studie utsätts betongen för dragpåkänningar. Samtliga beräkningar bygger således på antagandet att betongen krypdeformeras lika mycket utsatt för drag som för tryck. Som tidigare nämnts är ett stort kryptal och en stor krypdeformation gynnsam för plattan. Praktiska prövningar visar att kryptalet i drag är lika stort som kryptalet i tryck, eller större [9]. Beräkningarna kan därför anses som konservativa och på säker sida då beräkningarna bygger på det mer ogynnsamma kryptalet i tryck. Krypningens utveckling med tiden har beräknats med intervallet 20 millimeter, detta får anses ge tillräcklig noggrannhet för beräkningarna. 5.8 Delresultat och kommentarer Tabell 5.1 Platta 400, vct 0.38 Fullt axialtvång Startvärden D [kn] M [knm] θ [rad] δ [mm] ϕm ε[ ] ök+uk 1996,050 42,160 0,001 1, ök+0.5uk 1996,050 42,160 0,001 1, ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar underkantsarmeringen. betecknar tvångskraften och betecknar momenttvånget. betecknar vinkeländringen. betecknar längdförändringen av plattstrimlan. betecknar medelkryptalet över tvärsnittet och betecknar medeltöjningen över tvärsnittet i promille. Se tabell 5.1 Resultatsammanställning av samtliga belastande tvång, deformationer, medelkryptal och medelkrympning av respektive platta presenteras i bilaga 3. Information om val av armeringshalt följer i avsnitt

43 6 BERÄKNING AV SPRICKBREDDER Beräkningar av sprickbredder genomförs i programmet Ramanalys. Programmet räknar även fram stålpåkänningar i armeringsstängerna. För att beräkna sprickbredder i Ramanalys måste ett aktuellt lastfall appliceras. Det lastfall som används och motsvarar fullt axialtvång och momenttvång är ett böjande moment i respektive stöd och en dragande normalkraft, se figur 6.1. Sprickbredder och stålpåkänningar beräknas för samtliga femton plattor. Två olika armeringshalter kontrolleras för varje studerad platta. Första fallet är armeringsmängd i över och underkant av plattan enligt EC 2:s minimiarmeringskrav för sprickbreddsbegränsningen 0.4 millimeter. I det andra fallet halveras armeringsmängden i underkant platta. För beräkningarna är exponeringsklass är vald till XC3, måttligt fuktigt, och en livslängd på 50 år. Figur 6.1 Modell i Ramanalys 6.1 Beräkningsgång Följande beräkningsgång tillämpas i Ramanalys om inget annat anges. Minimiarmeringsmängd beräknas i Mathcad enligt EC 2 Plattans upplagsförhållanden anges i Ramanalys, se figur 6.1 Plattdimension anges Beräknad armeringsmängd med tillhörande täckande betongskikt appliceras i plattan Beräknade tvång appliceras på plattan Passning av tvång utförs så att beräknade deformationer i avsnitt 5.5 och 5.6 uppfylls 6.2 Armeringshalt Den studerade armeringskvalitén är B500B. Armeringen placeras i ett lager i överkant och ett i underkant. Denna placering gäller för plattjocklekarna 400, 300, 200 och 160 mm. Det täckande betongskiktet är valt till 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Den valda 31

44 AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 stångdiametern i platta 400 och 300 är 12 mm och för platta 200 och 160 är stångdiametern vald till 10 mm. Placeringen av armeringen i plattjockleken 120 mm är centrisk med ett täckande betongskikt på 54 mm och stångdiameter på 12 mm. Täckande betongskikt i överkant avser måttet från överkant platta ner till armeringsjärnets överkant. Det täckande betongskiktet i underkant mäts på samma sätt, dock från underkant platta till underkant armering. 6.3 Modell i Ramanalys Den statiska modellen som tillämpas i programmet Ramanalys är fritt upplagd med ett fast och ett rörligt upplag. Den verkliga plattstrimlan som studeras är fast inspänd i båda ändar, denna statiska modell har dock visat sig ge upphov till orimliga sprickbredder [2]. Längden på plattstrimlan tilldelas värdet fem meter. Axiala tvångskrafterna angriper som en dragkraft i plattstrimlans längdriktning och momenttvånget som moment ett i vartdera upplaget, se figur 6.1. De böjande momenten gör att plattstrimlan får en konvex krökning, och dragkraften en nodförskjutning i längdled. Krökningen som uppkommer av momenten ger en vinkeländring vid upplagen och nodförskjutningen ger en längdförändring av plattstrimlan, se figur 6.2. Vinkeländringen och längdförändringen i Ramanalys ska sedan stämma överens med de beräknade deformationerna i avsnitt 5.5 och 5.6 så att deformationsvillkoren uppfylls. Uppsprickningen innebär att plattans böjstyvhet och axialstyvhet kraftigt minskar och därmed minskar också uppträdande tvång påtagligt. Dessa minskade tvång uppnås genom passningsberäkning, resultatet av denna återfinns i bilaga 3. När deformationsvillkoren är uppfyllda kan sprickbredderna i betongens överkant och stålspänningarna i armeringen erhålls. De bör igen påpekas att systemet är 2-gradigt statiskt obestämt. Figur 6.2 Deformationen av plattelement 32

45 Kap. 6 Beräkning av sprickbredder 6.4 Beräkningsnoggrannhet Representativa värden på krympning och kryptal för hela tvärsnittet krävs för att kunna använda datorverktyget Ramanalys. Detta medför en viss felmarginal då datorprogrammet inte kan hantera de gradienter av krympning och krypning som egentligen råder. Passningen som utförts i Ramanalys är också en osäkerhetsfaktor som måste nämnas. Denna osäkerhetsfaktor hade kunnat elimineras om datorprogrammet hade kunnat analysera det aktuella systemet som ett statiskt andragradigt obestämt system, d.v.s. att deformationerna i form av vinkeländring och töjning hade kunnat matas in och uppträdande krafter och sprickbredder hade kunnat beräknas. 6.5 Delresultat och kommentarer Tabell 6.1 Platta 400, vct 0.38, Ø12s110 Fullt axialtvång wk,ök [mm] σs.uk [Mpa] σs.ök [Mpa] ök,uk 0, , ,000 ök,0.5uk 1, , ,000 ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar underkantsarmeringen. betecknar sprickbredden i överkant platta. betecknar stålspännigen i underkant platta och betecknar stålspännigen i överkant platta. Se tabell 6.1 Resultatsammanställning av stålspänningar, sprickbredder för samtliga plattor och armeringshalter presenteras i kapitel 7 samt bilaga 3. 33