Numeriska simuleringar av betongplattor på mark med gradientkrympning och sprickfördelande armering

Transkript

1 ANTON AHLSTEN & ELLEN KARLSDOTTER EXAMENSARBETE STOCKHOLM 2014 Numeriska simuleringar av betongplattor på mark med gradientkrympning och sprickfördelande armering Numeriska simuleringar av betongplattor på mark med gradientkrympning och sprickfördelande armering ANTON AHLSTEN ELLEN K ARLSDOTTER TRITA-BKN, EXAMENSARBETE 410, BETONGBYGGNAD 2014 ISSN ISRN KTH/BKN/EX--410 SE KTH KTH SKOLAN FÖR ARKITEKTUR OCH SAMHÄLLSBYGGNAD

2

3 Numeriska simuleringar av betongplattor på mark med gradientkrympning och sprickfördelande armering Anton Ahlsten och Ellen Karlsdotter TRITA-BKN, Examensarbete 410, Betongbyggnad 2014 ISSN ISRN KTH/BKN/EX--410 SE

4

5 Sammanfattning Betongplattor på mark är en ofta använd grundläggningsmetod. Trots detta är sprickbildning ett vanligt problem där kraven på maximala sprickvidder ofta inte uppfylls. De sprickor som bildas i plattorna uppkommer bl.a. till följd av dess uttorkning, och då olika fuktförhållanden råder på var sida om plattan utvecklas en krympning som varierar med en gradient över tvärsnittet. Vid dimensionering av armeringen för denna inre last och sprickbildningen den orsakar, finns endast otillräckliga analysermetoder att tillgå i normer. Att analysera det tvång som uppstår vid krympningen är mycket svårt, speciellt då betongen spricker och lastfallet blir statiskt obestämt. I detta arbete undersöks sprickbildningen i krympande betongplattor på mark så att noggrannare dimensionering av den sprickfördelande armeringen skall kunna utföras. Analyserna har utförts med numeriska simuleringar i FEM-programmet Atena 2D där ett antal olika plattor med varierande betongklass, armeringsinnehåll och platthöjd undersökts. Arbetet omfattar en jämförelse av de erforderliga sprickfördelande armeringsinnehållen samt de analytiskt beräknade sprickvidder som erhålls dels enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 och dels enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Armeringen har då dimensionerats utifrån en spänningsfördelning som varierar linjärt över tvärsnittet, på samma sätt som krympningen varierar. Studien behandlar även en jämförande undersökning av sprickutvecklingen vid inre respektive yttre last för att påvisa skillnader i sprickbeteendet. De numeriska simuleringarna visade att en ökad sprickfördelande förmåga och en minskning av sprickvidder erhålls då armeringsinnehållet i en platta ökas. Av de undersökta plattorna nås armeringens flytspänning inte i något fall, vilket tyder på att mängden armering kan minskas ytterligare utan att s.k. single cracks uppstår. Även vid underarmering, då armeringen minskas till 64 % av vad Eurokods huvuddokument anger, behålls den sprickfördelande funktionen. Undersökningarna visade att den sprickbildning som sker av den inre lasten vid krympning är beroende av uppsprickningen, till skillnad från sprickbilning vid yttre last. Den jämförande studien över armeringsinnehåll enligt Eurokod 2 visar att dimensionering enligt tyska nationella bilagan under verkan av inre last ger en reducerad erforderlig armeringsarea med 20 % i förhållande till huvuddokumentet. De analytiska beräkningarna över sprickvidder tyder på att beräkningsmetoden enligt Eurokod 2 ger större sprickvidder än den som beräknats enligt den tyska nationella bilagan. Nyckelord: Gradientkrympning, plattor på mark, sprickfördelande armering, sprickvidder, icke-linjäritet, numeriska simuleringar. i

6 ii

7 Abstract Concrete slabs on ground are a common foundation method. Despite this, it is not uncommon to have cases where the requirements for maximum crack widths are not met. The cracks formed in the slabs arise as a consequence of drying shrinkage, and when each side of the plate is subjected to different moisture conditions a shrinkage gradient develops. For the design for this internal load and the cracking it causes, analysis methods available in the standards have proved insufficient. To analyze the constraints arising from the shrinkage is very difficult, especially when the concrete cracks and the load case becomes statically indeterminate. In this study, the cracking of shrinking concrete slabs on ground is analyzed, to enable a more precise reinforcement design. Analyzes were performed with numerical simulations in the FEM program Atena 2D, where a number of different slabs of varying concrete strength classes, amount of reinforcement and thickness were investigated. The study includes a comparison of the required reinforcement amounts for crack control and the analytically calculated crack widths obtained according to the main document of Eurocode 2 and according to the main document and the German National Annex. The reinforcement is designed for a stress distribution which varies linearly over the cross section. Furthermore, a comparative study of the crack development for internal and external load is carried out to explain differences in crack behavior. The numerical simulations showed an increased crack distributing ability and a reduction of crack widths, when the reinforcement content is increased. The yield stress was not reached in any of the investigated slabs, suggesting that the amount of reinforcement can be further reduced without formation of single cracks. Even when the slabs were under reinforced, with a reinforcement content reduced to 64% of what the Eurocode 2 main document indicates, crack control was still achieved. The investigations showed that crack formation due to shrinkage induced internal loads depend on the degree of cracking, unlike crack formation due to external load. The comparative study of reinforcement content according to Eurocode 2 shows the design in accordance with German national annex under the action of internal load gives a reduced required reinforcement area by 20% relative to the main document. The analytical calculations of crack widths indicate that the calculation method of the Eurocode 2 gives larger crack widths than when calculated with the German National Annex. Keywords: Gradient shrinkage, slabs on ground, crack control, crack widths, nonlinearity, numerical simulations. iii

8 iv

9 Förord Med detta examensarbete avslutar vi vår civilingenjörsutbildning i Samhällsbyggnad vid Kungliga Tekniska Högskolan. Studien har utförts under våren 2014 inom institutionen för Byggvetenskap vid Kungliga Tekniska Högskolan i samarbete med WSP Byggprojektering. Förslaget till arbetet har utformats av Tekn. Dr. Kent Arvidsson, som även handlett arbetet. Vi vill framför allt rikta ett tack till Kent för all hjälp och sitt engagemang under arbetets gång. Vi vill även tacka Professor Anders Ansell för rådgivning och granskningssynpunkter. Stockholm, Maj 2014 Anton Ahlsten & Ellen Karlsdotter v

10 vi

11 Beteckningar och förkortningar Latinska versaler Betongens area i dragen zon Effektiv dragen betongarea Minsta erforderlig armeringsarea Armeringsarea i underkant av plattan Armeringsarea i överkant av plattan Betongens effektiva långtids-elasticitetsmodul Betongens elasticitetsmodul Absolutvärdet av dragkrafterna inom flänsarna precis innan sprickbildning Egenvikt Underlagsreaktion Dimensionerande armeringskraft vid armeringslager i underkant Dimensionerande armeringskraft vid armeringslager i överkant Betongens specifika brottenergi Basvärdet av betongens brottenergi Betongens normenliga hållfasthet Fjäderkonstant Längd Moment av axiell kraft Böjande moment kring osprucken plattlängds mitt av vertikal last Axialkraft som verkar på ett tvärsnitt Sprickavståndets medelvärde Maximalt sprickavstånd Påförd deformation vid stödförskjutning Latinska gemener Tvärsnittsbredd Betongens täckskikt vii

12 Avstånd mellan armeringskammar Excentricitet för axiell kraft Största ballaststorlek Underlagsreaktionens excentricitet Karaktäristisk cylindertryckhållfasthet Medel tryckhållfasthet Tillägg för betongens tryckhållfasthet Medel draghållfasthet vid första sprickans uppkomst Övre fraktilen av betonghållfastheten vid första sprickans uppkomst Högt värde för draghållfasthet för den aktuella betongen Karaktäristisk medel draghållfasthet Medel kub tryckhållfasthet Tvärsnittets höjd Koefficient vid beräkning av minimiarmering Koefficient som tar hänsyn till ojämn fördelning av egenspänningar och kompenserar tvångskrafterna orsakade av dessa Koefficient som tar hänsyn till effekten av axialkrafternas påverkan på spänningsfördelningen vid armeringsdimensionering Koefficient som tar hänsyn till de vidhäftande egenskaperna vid sprickviddsberäkning Koefficient som tar hänsyn till töjningsfördelningen vid sprickviddsberäkning Koefficient vid beräkning av sprickvidder, ges av det nationella bilagan Koefficient vid beräkning av sprickvidder, ges av det nationella bilagan Koefficient som tar hänsyn till spänningsfördelningen omedelbart före att första sprickan bildas och förändringen av den inre hävarmen. Reaktionsförhållandet Koefficient som tar hänsyn till pålastningstid Kontaktlängd Maximala sprickavståndet Last av egentyngd Krökningsradie Glidning viii

13 Längd vid spricka, längs med vilken vidhäftningsspänningen är försumbar Koefficient för glidning Koefficient för glidning Koefficient för glidning Täckskiktets storlek underkant inklusive halva armeringsdiametern Täckskiktets storlek överkant inklusive halva armeringsdiametern Sprickvidd Karakteristisk sprickvidd Medelsprickvidd Grekiska gemener Faktor för spänningsfördelning Koefficient vid beräkning av vidhäftning Koefficient för spänningens storlek Är en empirisk faktor för att bedöma genomsnittlig tension stiffening Autogen krympning i betongen Uttorkningskrympning i betongen Medeltöjning i betongen mellan sprickor Totala krympningen i betongen Elastisk töjning i betongens överkant vid sprickning Totaltöjning i betongens underkant, mitt emellan sprickor Totaltöjning i betongens överkant, mitt emellan sprickor Medeltöjning i armeringen Ståltöjningen vid point of zero slip Ståltöjningen vid sprickan Koefficient for reducering alternativt ökning av den dimensionerande spänningsfördelningen Koefficient som beaktar inverkan av armeringens vidhäftning Minsta tillåtna armeringsprocent Densitet Effektiva armeringsförhållandet ix

14 Spänning Medelvärdet av spänningarna i betongen som verkar på ett tvärsnitt Maximala spänningen omedelbart efter uppsprickning Armeringens spänning i sprickor Armeringens spänning vid zero slip är värdet på vid spricklast, dvs. omedelbart efter att sprickan bildats Spänning i betongens överkant mitt emellan sprickor Skjuvspänning Undre fraktilen för genomsnittlig vidhäftningsspänning. Skjuvspänning vid vidhäftningsbrott Maximal skjuvspänning Poissons tal Koefficient som beaktar medverkan av dragen betong mellan sprickor Kryptal Armeringsstångdiameter x

15 Innehållsförteckning Inledning Bakgrund Syfte Avgränsningar... 2 Om betong Betongens hårdnande Hållfasthet Deformation av last Linjärelastisk deformation Krypning Krympning Typer av krympning Tvångets inverkan vid krympning Sprickor i betong Sprickutveckling Brottenergi Armerad betong Samband mellan last och sprickbildning Sprickor av yttre last Sprickor av inre last Betongplattor på mark Krav och skadefall Sprickor Kantresning Metoder för förebyggande av skador Fogar Reduktion av krympning Sprickfördelande armering Tvång Krympning Krympbeteende Spänningsfördelning vid ensidig uttorkning xi

16 3.5 Normer vid dimensionering Statens Betongkommitté (1968) American Concrete Institute (1978) CEB-FIP Model Code (1990) BBK 04 (2004) Eurokod 2 (2005) Sprickfördelande armering balanserad mot spänningsfördelning Analysmetoder Finita elementmetoden Ickelinjär FEM Newton-Raphsons metod Atena 2D WIN-Statik Förutsättningar för analys Erforderligt armeringsinnehåll enligt Eurokod Enligt EC 7.3.2(2) SS-NA Enligt EC 7.3.2(2) DIN-NA Enligt EC 7.3.2(1) Sprickbildning vid gradientkrympning Geometri Material Armering Belastning och randvillkor FE-egenskaper Referensmodeller Randvillkors inverkan på sprickbildning Underlag Stödförskjutning i horisontalled av ändupplag Sprickutveckling Analytisk beräkning av sprickvidder Resultat Jämförelse av erforderligt armeringsinnehåll Enligt EC 7.3.2(2) SS-NA och EC 7.3.2(2) DIN-NA Enligt EC 7.3.2(2) och EC 7.3.2(1) xii

17 Fördelning av armering Numeriska simuleringar av sprickbildning Sprickvidder Armeringsspänning Axialkrafter Referensmodeller Randvillkors inverkan på sprickbildning Underlag Stödförskjutning i horisontalled av ändupplag Sprickutveckling Sprickutveckling vid yttre last Sprickutveckling vid inre last Analytisk beräkning av sprickvidder Enligt Eurokod 2 och tyska nationella bilagan Analytisk beräkning och numeriska simuleringar Diskussion Erforderligt armeringsinnehåll Sprickbildning vid gradientkrympning Randvillkors inverkan på sprickbildning Sprickutveckling Analytisk beräkning av sprickvidder Felkällor Slutsatser Sprickvidder, armeringsspänning och axialkraft Randvillkor Fortsatta studier Referenser Bilagor xiii

18

19 1 Inledning Betongplattor på mark är en vanligt förekommande grundläggningsmetod för hus- och industribyggnader. Trots detta är problem med sprickbildning och situationer då kraven på sprickvidder inte uppfylls påtagligt återkommande. Sprickor i plattor på mark är problematiska då de kan leda till beständighets- och täthetsproblem, försvårad städning, och förfulning [1]. I brist på tillräckliga analysmetoder av sprickbildningen i plattor på mark saknas en klarhet i vilken part som bär ansvaret vid skador. Hur skulden delas mellan entreprenör och projektör är ofta en fråga för debatt. 1.1 Bakgrund Sprickutvecklingen och krympningen i betongplattor på mark är nära bunden till konstruktionens uttorkning. De olika fuktförhållanden som råder på respektive sida om plattan ger upphov till en fuktgradient över tvärsnittet. Detta ger en krympgradient, och dess genererade spänningsfördelning presenteras i arbetet Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt Eurokod 2 [2]. I de fall då betongplattan är förhindrad i sin krympning av ett tvång där plattan ges begränsade möjligheter till rörelse kan stora dragkrafter uppstå. Dessa dragkrafter kan bli så stora att betongens draghållfasthet ska nås och sprickor bildas. Sprickorna går generellt inte att undvika, men sprickvidderna kan begränsas genom lämplig armering. Armeringens funktion är då sprickfördelande och förmår fler små sprickor att uppstå, istället för ett fåtal med stora vidder. I examensarbetet Numeriska simuleringar av betongkonstruktioner med minimiarmering för sprickviddsbegränsning [3] undersöks simuleringar av fast inspända betongbalkar med jämn krympning över hela tvärsnittet undersökts. Undersökningarna visar att armeringsmängden kan minskas i förhållande till Eurokod utan att den sprickfördelande funktionen äventyras. Då sprickbildning istället sker i betongplattor på mark, där gradientkrympning råder, finns endast otillräckliga analysmetoder i normer. Att analytiskt utvärdera storleken på de tvång som uppstår vid krympning, och de sprickvidder respektive armeringshalter som det motsvarar, har visat sig svårt [1]. Då betongen spricker minskar tvånget, och lastfallet blir statiskt obestämt. Utöver detta omfattar de sprickviddsberäkningar som ges i normer, så som Eurokod, i första hand belastningssprickor av böjande moment av statiska laster [4], vilket ger ett statiskt bestämt lastfall. Tidigare har tumregler använts vid dimensionering då få ingenjörer har den tid som krävs för att utföra analyserna i det dagliga arbetet. En tydlig normenlig metod för dimensionering av sprickfördelande armering i krympande betongplattor på mark är därmed efterfrågad i branschen. 1

20 1.2 Syfte Syftet med detta arbete har varit att studera och förklara sprickbildning i krympande betongplattor på mark, så att en noggrannare armeringsdimensionering ska kunna utföras för att minska risken för skadefall, samt att kontrollera den sprickfördelande armeringens funktion för de enligt Eurokod 2 erforderliga armeringsinnehållen. Arbetet syftar även till att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av krympning respektive belastning i form av yttre last genom en studie av dess sprickbeteende. Den principiella skillnad dem emellan spelar en central roll då de gängse normerna gällande armeringsdimensionering och sprickviddsberäkningar omfattar fallet då en yttre last är orsaken till sprickbildning. Några viktiga normer och vägledande dokument som behandlar sprickbeteende sammanfattas, med särskild tonvikt på hur dessa behandlar skillnaden mellan krympbelastning och yttre belastning. 1.3 Avgränsningar Undersökningarna har avgränsats till att omfatta sprickutvecklingen och den sprickfördelande armeringens funktion i plattor på mark utsatta för uttorkningskrympning. Den av krympningen genererade spänningsfördelningen har baserats på tidigare undersökningar gjorda av Edlinger och Svansbo [2]. I dessa undersökningar har den relativa fuktigheten i undergrunden antagits till 100 % samt luftens relativa fuktighet 55 %. De plattor som ingått i detta arbete har haft en tvärsnittshöjd på 120 mm, 160 mm, 200 mm samt 300 mm. Variation har även gjorts i val av betongklass, varje platta har undersökts med klass C20/25, C30/37 och C40/50 där en ballaststorlek på 12 mm antagits. Dessa konfigurationer är valda för att representera de vanligast förekommande plattorna vid gjutning av betongplattor på mark. Undersökningarna har även omfattat en jämförelse av armeringsmängder som beräknats med två olika dimensioneringsmetoder enligt Eurokod. Armeringen fördelades på två nivåer där täckskiktet valts till 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Den lägsta tvärsnittshöjden har försetts med en nivå armering placerat i centrum. Armeringsstängernas diametrar har varierats för varje platthöjd. Kompletterande parameterstudier har även utförts där underlagets inverkan på sprickbildningen av plattorna undersökts. Tre underlag har analyserats motsvarande packad sand, cellplast samt ett oeftergivligt underlag. De kompletterande studierna har även omfattat de förhållanden då plattan har ett ofullständigt tvång. Fem olika variationer har därmed modellerats motsvarande en stödförskjutning. Stödets styvhet undersöks ej i denna rapport. Istället modelleras förskjutningen som en deformation vars storlek baseras på medelkrympningen för tvärsnittet. De undersökningar som utförts av plattorna har varit ickelinjära FEM-analyser. Plattorna har modellerats i programmet Atena 2D. Materialegenskaper som tilldelats modellerna gäller efter lång tid då betongen fått sina slutgiltiga egenskaper. Ingen tidshistorik har tillämpats utan värdet på krympningens gradient har stegats upp. Temperaturens inverkan på material- 2

21 1 Inledning parametrar och krympning har inte omfattats av undersökningarna. Plattorna har analyserats med enkla randvillkor och utan spänningskoncentrationer runt konstruktionsdelar då modellerna inte haft voter eller koppling till väggar, pålfundament osv. Modellens underlag har modellerats som friktionsfritt, men ett fullständigt tvång har satts vid modellernas ändar. Storleken på modellernas element har valts till den storleken som ger tillräckligt bra resultat, men utan att vara mindre än största ballastkorn. 3

22 4

23 2 Om betong Betong är ett material som i stor utsträckning används vid bärande konstruktioner där krav ställs på god beständighet, hög hållfasthet och formbarhet [5]. Betong består av en mix av ballast, cement och vatten. Utöver detta kan tillsatsmedel och tillsatsmaterial adderas vid blandningen av betong, med syftet att påverka materialets egenskaper innan, under och efter härdning. När delmaterialen blandas ihop reagerar cementen och eventuella tillsatser med vattnet och bildar en cementpasta. Cementpastan har en vidhäftande förmåga och binder ihop partiklarna i betongen [6]. Cementpastans egenskaper bestäms i huvudsak av dess vattencementtal, vct, vilket definieras som kvoten mellan den ingående mängden vatten och cement [5]. I sin tur påverkar vct betongens hållfasthet så att högre vct generellt sett ger en mer flyktig betong med minskad hållfasthet samtidigt som lägre vct ger en styvare betong med ökad hållfasthet. 2.1 Betongens hårdnande Under härdningen sker kemiska reaktioner i cementpastan som leder till ökad tillväxt i dess mikrostruktur. När betong härdar omvandlas cementet genom en kemisk reaktion med vatten, s.k. hydratation. Under de första 2-4 timmarna är betongmassan formbar [6]. Betongens konsistens och arbetbarhet är viktiga under denna fas då de påverkar betongstrukturens slutgiltiga egenskaper. En felaktig konsistens kan ge upphov till en separation av betongen under påverkan av transport, gjutning eller hydratation. En separerad massa är oönskad då den är inhomogen med varierande hållfasthetegenskaper. Betongens arbetbarhet möjliggör en gjutning där massan lätt rör på sig och omsluter armering och formar på ett önskat sätt [5]. Efter den första fasen anses betongen vara ung och hårdnandet sker i högre takt med kraftig värmeutveckling [6]. Under denna fas är betongen känslig för uttorkning, belastning och temperaturpåverkan, som kan orsaka tillväxt av sprickor och ofullständig härdning [5]. Under hållfasthetstillväxtfasen som pågår fram till dag 28 sker den huvudsakliga hållfasthetsökningen och de mekaniska egenskaperna anses vara fullt utvecklade efter denna period. Härdningen fortsätter så länge som det finns vatten i betongen. Detta innebär att hydratationsprocessen kan fortsätta i många år, vilket resulterar i en ökad hållfasthet [6]. 5

24 2.2 Hållfasthet Tryckhållfastheten i betong är den viktigaste hållfasthetsparametern vid dimensionering av betongkonstruktioner. Betong är ett poröst material, uppbyggt av beståndsdelar med olika egenskaper där ballasten generellt sett är starkare än cementpastan. Det medför att cementpastan och dess vct proportioneras utifrån önskad tryckhållfasthet. Experimentella provningar visar på ett samband mellan vct och tryckhållfasthet, vilket kan ses i Figur 2.1. Betongens tryckhållfasthet beror förutom av dess sammansättning även på tillverkningsprocessen. Det innebär att den faktiska hållfastheten i en betongkonstruktion inte nödvändigtvis motsvarar den använda betongklassen [6]. Betong är ett material som karaktäriseras av att dess draghållfasthet endast utgör en del av dess tryckhållfasthet. Då betongen är väldigt spröd och känslig för drag begränsas användningsområden där draghållfastheten kan utnyttjas [6]. I Eurokod klassificeras betong utifrån dess karaktäristiska tryckhållfasthet. I Tabell 2.1 visas hållfasthetsegenskaper för några utvalda betongklasser enligt Eurokod. Figur 2.1 Samband mellan vct och tryckhållfasthet för betong vid 28 dagar [5]. 6

25 2 Om betong Tabell 2.1 Hållfasthetsegenskaper enligt Eurokod 2. [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] Hållfasthetsklass C20/25 C30/37 C40/50 C50/60 Karaktäristisk Tryckhållfasthet Medel Tryckhållfasthet Medel Kub Analytisk relation Tryckhållfasthet Karaktäristisk Medel Draghållfasthet 2,2 2,9 3,5 4,1 2.3 Deformation av last Då ett material belastas uppstår dels en omedelbar deformation samt en med tiden ökande deformation. För att beskriva betongens förmåga att deformera används den s.k. elasticitetsmodulen som definieras utifrån dess tryckhållfasthet Linjärelastisk deformation Vid måttliga laster kan förhållandet mellan deformation och spänning beskrivas med hjälp av den så kallade elasticitetsmodulen, E-modul. I Eurokod definieras betongens E-modul, som en funktion av medeltryckhållfastheten,, se Ekv. (2.1). Detta visar sambandet mellan betongs förmåga att deformera och dess hållfasthetsegenskaper [7]. Gemensamt för de båda parametrarna är att de är kraftigt beroende av betongens vct [5]. I Tabell 2.2 redovisas värdena på elasticitetsmodulerna för utvalda betongklasser enligt Eurokod. ( ) (2.1) Tabell 2.2 Elasticitetsmodul enligt Eurokod 2 [7]. Elasticitetsmodul, [ ] Hållfasthetsklass C20/25 C30/37 C40/50 C50/

26 2.3.2 Krypning Vid belastning av ett material uppstår en omedelbar deformation. Om pålastningen sker under lång tid kommer en tidsberoende deformation som kallas för krypning att uppstå. Då materialet avlastas återgår den så kallade elastiska deformationen omedelbart. Med tiden sker även en långsam återhämtning av den kvarvarande deformation som orsakats av krypningen. Dock återgår inte den totala deformationen till ursprungligt läge, utan en permanent deformation kvarstår [6]. I Eurokod 2 uttrycks krypningen genom kryptalet och definieras som förhållandet mellan den elastiska deformationen samt krypningens tilläggsdeformation [5]. Krypningen i betong styrs av dess sammansättning, mognadsgrad, den omgivande luftens fuktighet, betongens ålder vid pålastning, betongelementets storlek samt lastens storlek och varaktighet [7]. Vid dimensionering i bruksgränstillståndet enligt Eurokod bör hänsyn tas till effekten av krypning. I brottgränstillståndet bör krypningen beaktas då dess effekter är betydande, exempelvis då andra ordningens effekter har stor inverkan [7]. Vid analys av en struktur påverkad av krypning används betongens effektiva E-modul, som beskriver materialets förhållande mellan deformation och mekanisk spänning vid vald last och belastningstid. I Eurokod definieras Ekv. (2.2) där kryptalet, och E-modulen är ingående parametrar [7]. (2.2) Krypning medför att krympspänningarna samt tvångsspänningarna i betongen minskar. Det medför att risken för att sprickor uppstår minskar med tiden [1]. 2.4 Krympning Krympning sker då ett material genomgår en volymminskning. Till skillnad från krypning är krympning oberoende av yttre last. Krympningen i betong beror istället på vattenavgivning och kemiska processer i cementpastan [6]. I betong uppgår krympningen generellt till 0,5-1 [1] Typer av krympning Krympningen kan delas upp i fyra olika typer, där mekanismerna bakom volymförändringarna är olika. Plastisk krympning är den krympning som sker under betongens första 24 timmar, då den ännu inte härdat klart och är formbar. Volymförändringen sker genom uttorkning vilket kan generera stora rörelser och ge upphov till sprickbildning. Under den här perioden då betongen är plastisk och har låg hållfasthet kan sprickor propagera djupt 8

27 2 Om betong in i konstruktionen. Den här typen av krympning styrs främst av uttorkningsförhållandena så som temperatur och omgivningens relativa fuktighet men även av vindförhållanden och betongens sammansättning. För att förhindra sprickbilning krävs god teknisk kunskap vid utförande [6]. Autogen krympning sker i fasen då betongen hårdnar och får sin hållfasthet. Den autogena krympningen sker på grund av hydratation i cementpastan. Om betongen har ett högt cementinnehåll och lågt vct kan krympningen bli så stor att sprickor bildas. Den autogena krympningen uppgår till ca 0,1-0,4 beroende på typ av betong [6]. Karbonatiseringskrympning sker då kalciumhydroxiden reagerar med koldioxid från luften och bildar karbonater. Karbonatiseringen är i sig en långsam process [6]. Uttorkningskrympning är den volymförändring som drivs fram på grund av uttorkning. Vattnet som avges är det från hydratationen överblivna vattnet i porsystemet. Den här uttorkningen startar efter ca en månad när betongen har härdat och hydratationen avtagit. Uttorkningskrympningen beror till stor del på omgivningens relativa fuktighet och framförallt vatteninnehållet i betongen [6]. Vid dimensionering enligt Eurokod i bruksgränstillståndet bör hänsyn tas till effekten av krympning. Liksom vid krypning bör krympningen beaktas i brottgränstillståndet då dess effekter är betydande, exempelvis då andra ordningens effekter har stor inverkan. Vid beräkning av krympning enligt Eurokod definieras den totala krympningen, som summan av uttorkningskrympningen, och den autogena krympningen,, se Ekv. (2.3). De ingående parametrarna beror av omgivningens relativa fuktighet, betongelementens storlek och betongens sammansättning [7]. (2.3) Tvångets inverkan vid krympning Då ett betongelement krymper kan volymförändringen ske med olika grad av hindrad rörelse. Krympningen som sker vid obehindrad rörelse brukar kallas fri krympning. Fri krympning innebär att ett element utsatt för krympning kan röra sig helt obehindrat och opåverkat av yttre krafter från omgivningen. Vid den fria krympningen motsvarar krympningens storlek den volymförändring som elementet genomgår. Vid fri krympning bildas inte några, av krympning orsakade, dragspänningar. I Figur 2.2 a) visas en schematisk bild över hur fri krympning påverkar en betongplatta med jämn uttorkning på två sidor. Här definieras plattans längdförkortning som krympningen, multiplicerat med plattans längd. 9

28 Figur 2.2 Av krympning uppkomna deformationer och spänningar a) fri krympning, b) ofullständigt tvång, c) fullständigt tvång [10]. Krympningen som sker vid hindrad rörelse brukar kallas förhindrad krympning. Vid förhindrad krympning verkar någon typ av tvång på elementet när den krymper. Detta innebär att volymförändringen hindras och dragande spänningar i materialet uppstår. Graden av tvång i en konstruktion kan variera från inget tvång till fullständigt tvång. Vid betongkonstruktion kan tvånget vara inspänningar till andra byggnadsdelar och friktion mot andra material. I Figur 2.2 b) visas ett betongelement som är utsatt för krympning vid ofullständigt tvång. Tvånget innebär att spänningar utvecklas i elementet. Storleken på dessa spänningar står i relation till tvångets storlek. Då jämvikt råder i systemet innebär det att längdförändringen inte blir lika stor som i fall a) med den fria krympningen. I samma figur i fall c) visas en schematisk bild över ett betongelement utsatt för fullständigt tvång. Då tvånget är fullständigt är tvångskrafterna så stora att de motverkar krympningens vilja att ge en förkortning av elementet och istället utvecklas dragspänningar med en storlek som motsvarar krympningen. Dessa dragkrafter som uppstår vid tvång kan bli så stora att de överskrider betongens hållfasthet och sprickor bildas [6]. Vid fullt tvång och dragspänningar lägre än betongens draghållfasthet kan förhållandet mellan tvångsspänningen, och krympningen, beskrivas enligt: (2.4) 10

29 2 Om betong 2.5 Sprickor i betong Då betong spricker innebär det att spänningarna i betongen har överskridit dess hållfasthet. Den energi som krävs för att en öppen spricka ska bildas kallas för brottenergin. Denna energi definieras som en materialparameter vilken beskriver betongens sprickbeteende Sprickutveckling Vid sprickbildning i en betongstruktur kommer tillväxten av sprickor att initieras på den plats där spänningen i betongen överskrider dess hållfasthet, vilket oftast är där en naturlig svaghet finns. Exempel på en svaghet är mikrosprickor som bildats under härdningsfasen [8]. När en spricka initieras i betongen bildas en spänningszon vid sprickans spets där brottmekanismen sedan fortgår, kallad fracture process zone (FPZ). Denna kan delas upp i två delar enligt Figur 2.3 där den första zonen är där brott i mikrostrukturen (microcracking) sker och den andra är den där sprickor börjar uppstå i betongpastan mellan ballastkornen (bridging). Spänningen längs sprickan i FPZ uppgår som maximalt till betongens draghållfasthet vid sprickans spets och avtar sedan längs sprickan. Spänningen når noll då sprickan anses ha sprickvidden och sägs därefter vara kontinuerligt öppen [8]. Detta beteende kan beskrivas av förhållandet mellan den tillslutande spänningen och sprickans vidd. Beteendet ger ett icke-kontinuerligt tillstånd där materialets egenskaper förändras med uppsprickningen. Då denna zon som utvecklas är oelastisk, kan inte linjär elastisk brottmekanik användas vid sprickanalyser [8]. Figur 2.3 Sprickprocessen i betong och betongspänningarnas fördelning utmed sprickan [8]. 11

30 2.5.2 Brottenergi Brottenergin, är den energi som fordras för att en öppen spricka ska bildas. Brottenergin betraktas ofta som en materialegenskap som beskriver materialets sprickbeteende. Icke-linjära analyser med brottenergi som materialparameter omfattas inte av Eurokod. Uttryck för brottenergin finns däremot i den internationella normen, CEB-FIP Model Code 1990 [9] som legat till grund för utvecklandet av flertalet nationella koder samt Eurokod. I Model Code 1990 finns Ekv. (2.5) som beskriver brottenergin utifrån sambandet mellan tryckhållfastheten, och basvärdet på brottenergin,. Dessa basvärden beror på ballaststorleken i betongen, relationen mellan dessa kan ses i [9]. ( ) (2.5) Tabell 2.3 Basvärden för brottenergi [9]. Basvärden brottenergi [mm] [Nmm/mm 2 ] * är ballastkornens storlek I Model Code 2010 [10] förändrades metoden för beräkning av brottenergin till att endast bero på betongens hållfasthet, och inte ballastkornens storlek, se Ekv. (2.6). Däremot sägs brottenergin även bero på den maximala ballaststorleken, vattencementtalet, betongens ålder, storleken på konstruktionselementet samt härdningsförhållandena. Förändringen av formeln har inneburit att storleken på brottenergierna beräknade med de olika publikationerna av Model Code visar stora skillnader. Som störst är skillnaden mellan brottenergin i Model Code 1990 vid lägre ballastgraderingar och Model Code Dessa skillnader kan ses i Tabell 2.4 [10]. (2.6) 12

31 2 Om betong Tabell 2.4 Beräknade värden på brottenergi enligt Model Code 1990 och C20/25 C30/37 C40/50 C50/60 Model Code 1990 Model Code 2010 = 8 mm = 16 mm = 32 mm Alla * är ballastkornens storlek 2.6 Armerad betong En förutsättning för att en armerad betongkonstruktion ska kunna verka på ett optimalt sätt är att armeringen är väl förankrad i betongen. Förankringen möjliggör att krafter kan överföras mellan materialen. En tillfredsställande förankring kan uppnås med armeringens vidhäftning mot betongen samt speciellt utformade änd-ankare i stångens ändar [6]. Armeringens vidhäftning är den spänning,, som verkar längsmed armeringens mantelyta då en armerad struktur är belastad. Spänningen längs mantelytan byggs upp av den friktion som uppstår vid glidning, lim-effekten av adhesionen med cementen, det mekaniska greppet mellan betongen och ojämnheter på armeringen samt det mekaniska greppet mellan betongen och armeringens kammar [6]. Den längd där vidhäftningsspänningen uppstår kallas för överföringslängden. Längs denna överföringslängd kommer en glidning av betongen i förhållande till armeringen att ske. Denna glidning är en deformation som står i relation till storleken på den vidhäftande spänningen. Glidningen är störst i armeringens belastade ändar, där dragkrafterna är som störst, och varierar sedan med de avtagande dragkrafterna längs överföringslängden [11]. Om armeringen inte har tillräcklig förankring riskerar armeringen att dras ut från betongen vilket ger ett förankringsbrott. När detta sker anses armeringen som helt verkningslös och strukturen kan inte längre bära laster [6]. Det finns i huvudsak två olika förväntade förankringsbrott. Pull-out failure är den typ av brott som sker genom krossning och skjuvning av betongen mellan armeringens kammar. Denna brottstyp förekommer då betongen är en s.k. confined concrete [9]. Detta menas vid att betongen har en tillräckligt stor omslutningseffekt och kan ta emot de dragkrafter som uppträder runt armeringsjärnen. Omslutningseffekten kan förbättras genom ökat betongtäckskikt samt ökat avstånd mellan armeringsstängerna [6]. Den andra typen av förankringsbrott kallas för splitting failure och sker när betongen spricker genom täckskiktet eller mellan armeringsstängerna. Denna brottstyp förekommer då betongen inte har tillräcklig omslutande effekt, s.k. unconfined concrete. För att hantera splitting failure kan konstruktionen förses med transversell armering. Brottstypen blir då en kombination av pull-out failure och splitting failure [11]. CEB-FIP Model Code behandlar vidhäftningsteorin med en analytisk modell som beskriver förhållandet mellan den vidhäftande spänningen längs armeringen och betongens förmåga att 13

32 glida. I Model Code 1990 introduceras en modell som beskriver vidhäftningen utifrån den armeringstyp som används, diametern på armeringsstängerna, betongens tryckhållfasthet samt huruvida betongen är confined eller unconfined. I Figur 2.4 redovisas den statistiska medelvärdeskurvan för det analytiska sambandet mellan spänning-glidning som används i Model Code. Den första delen av medelvärdeskurvan avser stadiet då armeringens kammar tränger in i betongen, det första flacka stadiet nås för en confined concrete där avskjuvning av betongen mellan armeringen kammar sker. Vid unconfined concrete ses stadiet med splitting failure som ett plötsligt fall i vidhäftningen redan under första fasen. Utifrån medelvärdeskurvan beräknas vidhäftningsspänningen som en funktion av glidningen [9]. De parametrar som används vid i modellen kan ses i Tabell 2.5. Upplagan av Model Code som publicerades 2010 presenterar en analytisk modell baserad på upplagan från Båda bygger på teorin kring medelvärdeskurvan, men den uppdaterade modellen beaktar fler varierande fall med splitting failure. I Tabell 2.6 redovisas de ingående parametrarna i Model Code 2010 i beskrivandet av förhållandet mellan spänning och glidning. ( ) för (2.7) för (2.8) ( ) ( ) för (2.9) för (2.10) Figur 2.4 Medelvärdeskurva för sambandet mellan spänning och glidning. 14

33 2 Om betong Tabell 2.5 Vidhäftning enligt Model Code Pull-out failure Splitting failure God vidhäftning All annan vidhäftning God vidhäftning All annan vidhäftning Confined Confined Unconfined Unconfined mm mm mm mm 0 mm mm mm mm mm mm * är avståndet mellan armeringskammarna Tabell 2.6 Vidhäftning enligt Model Code Pull-out failure Splitting failure God vidhäftning All annan vidhäftning God vidhäftning All annan vidhäftning Confined Confined Unconfined Stirrups Unconfined Stirrups mm mm mm mm ( ) ( ) ( ) ( ) * är avståndet mellan armeringskammarna 2.7 Samband mellan last och sprickbildning Som beskrivs i avsnitt 2.5 initieras en spricka då betongspänningarna i ett element överskrider betongens hållfasthet. Uppkomsten av dessa spänningar och dess sprickor kan delas in i två olika fall. Det första fallet då uppkomsten av spänningarna är oberoende av yttre last, vilket är fallet för krympsprickor, eller stå i relation till en yttre last, vilket är fallet vid belastningssprickor [4]. 15

34 2.7.1 Sprickor av yttre last Belastningssprickor är de sprickor utvecklade i ett betongelement på grund av böjande moment, vridande moment, skjuvande krafter eller axialkrafter inducerade från direkt yttre lastpåverkan. Dessa verkande krafter ger upphov till dragspänningar i betongen. Om de yttre lasterna är tillräckligt stora kan betongens påkänning bli så stor att hållfastheten överskrids och sprickor bildas [6]. I Figur 2.5 visas ett betongelement med en principiell beskrivning av sprickbildning vid yttre last. Sprickbildning sker då det inducerade momentet når sprickmomentet där spänningarna nått draghållfastheten. Här bör påpekas är att den yttre lasten och momentet är oberoende av sprickbildningen. Momentet ger en töjning av betongen och armeringen. I ett osprucket tvärsnitt är dessa lika stora, men vid sprickor kan armeringen töjas ytterligare. Detta medför att hela armeringen kommer att vara dragen, se Figur 2.5. Spänningen i armeringen varierar parabelformat längs det ospruckna elementet. I elementets ändar eller vid sprickor uppgår armeringsspänningen till, och avtar sedan mot mitten av ett element. Avståndet mellan sprickorna betecknas i Figur 2.5 som [4]. Figur 2.5 Axialkraft i betong och armering vid sprickor orsakade av yttre last [12]. 16

35 2 Om betong Sprickor av inre last Vid krympning under förhindrad rörelse leder volymförändringen i betongen till att spänningar uppstår och om dessa överstiger betongens draghållfasthet utvecklas så kallade krympsprickor. Dessa är därmed oberoende av yttre last och uppkommer av de inre laster (tvångsspänningar) som är resultatet av den förhindrade rörelsen [6]. När sprickor har uppstått är rörelsen inte längre förhindrad och spänningarna i plattan beror av uppsprickningen. Vid krympningen där tvånget förhindrar rörelser innebär att armeringen kommer vidhålla sin längd. Då armeringen ej töjs innebär det att armeringens tryckta respektive dragna sträckor måste balansera upp varandra så att den totala armeringstöjningen blir noll. Likt fallet för sprickor av yttre last varierar även spänningen och töjningen i armeringen parabelformat med elementets längd. Principen för detta kan ses i Figur 2.6. Att notera här är att då spänningarna växer med en parabel och de tryckta respektive dragna sträckorna måste balansera upp varandra innebär det att läget på parabeln i Figur 2.6 måste skära axeln där spänningen är noll. Detta i sin tur medför att armeringsspänningen i en spricka inte längre kan vara. Då balans mellan spänningarna råder kommer därför de största dragspänningarna i armeringen vid krympning bli 67 % av den i belastningsfallet. Figur 2.6 Axialkraft i betong och armering vid sprickor orsakade av inre last [12]. 17

36 18

37 3 Betongplattor på mark Platsgjutna betongplattor är en vanlig grundläggningsmetod i Sverige som används för många typer av byggnader, från småhus till större industribyggnader. Plattor på mark bidrar generellt sett inte till en hel strukturs stabilitet, utan ska främst kunna ta emot fria laster, last från inredning och sin egenvikt. Utbredda laster som verkar på en platta på mark överförs till undergrunden, vilket ställer krav på undergrundens bärighet och bäddmodul. I regel används makadam eller sand som bas för betongplattan. Mellan basen och betongplattan läggs generellt sett ett isolerande skikt och/eller kapillärbytande skikt [13]. 3.1 Krav och skadefall Krav ställs ofta på betongens yta då inget täckande material läggs över, till exempel för industribyggnader där betongens yta är slitytan [14]. De krav som ställs kan även omfatta betongplattans beständighet, sprickbildning, bärighet, kemisk beständighet, temperaturmotstånd, korrisonsmotstånd samt täthet [13]. De krav som ställs på en konstruktion kan vara yttrade från beställare eller uttryckta i normer Sprickor Sprickor i betongplattor är oönskade ur ett beständighetsperspektiv. Sprickor medför att vatten, klorider och andra ämnen lättare tränger in i betongen. Detta kan i sin tur leda till nedbrytning av betongen samt korrosion av armeringen [5]. Det är inte alltid krav på sprickvidder är explicita då beställare generellt sett förväntar sig ett golv med normala sprickvidder. Det är därför viktigt att som projektör vara tydlig med vilket resultat som kan förväntas [4]. I Tabell 3.1 redovisas krav för olika sprickbreddsklasser. 19

38 Tabell 3.1 Krav för olika sprickbreddsklasser i BBK 04 [15]. Sprickbreddsklass Max sprickbredd vid betongytan I II III Mycket höga krav på säkerhet mot sprickor Måttliga krav på säkerhet mot sprickor Kraven på sprickbredder begränsas till krav på lastöverföring i sprickorna < 0,3 mm < 1,0 mm Inga krav Referenskrympning 0,5 0,6 0,8 Högt värde på draghållfasthet vid spricarmering enligt BBK 04, avsnitt a = 1,5 a = 1,5 a = 0, Kantresning Kantresning är fenomenet då en från början plan betongplatta kröker sig så att dess kanter böjs upp. Den bakomliggande orsaken till detta är att elementet har en gradientkrympning och kantresningens storlek beror på gradientens storlek. När kantresningen sker vill dess egenvikt hålla tillbaka resningen och spänningar bildas i plattan, se Figur 3.1. Spänningarna kan med tiden bli relaxerade av krypningen, men om de blir tillräckligt stora bildas sprickor [16]. Då kanterna vid kantresning höjer sig kan det medföra problem vid utnyttjande i lokaler där betongplattan utgör golv. Resningen av kanterna ger ojämna övergångar dels mellan plattdelarna men även i randen. Detta kan medföra att dörrar och öppningar bli obrukbara på grund av en förhöjd plattkam. Ojämnheter i golvet påverkar även komforten och stabiliteten för de olika transporter som sker på golvet [13]. Figur 3.1 a) Ensidig uttorkning av platta på mark. b) Ojämn krympning i över- och underkant. c) Kantresning sker och bildande av interna spänningar [17]. 20

39 3 Betongplattor på mark 3.2 Metoder för förebyggande av skador För att minimera problemen med sprickbildning i betongplattor på mark finns metoder för att förhindra att och kontrollera var de uppstår. För att förhindra sprickbildningen presenteras nedan två metoder, dels en reduktion av krympningen samt en reduktion av strukturens tvång genom införande av fogar. Fogarna är även ett verktyg för att styra var sprickbildning skall ske. En ytterligare metod för att kontrollera sprickbildningen är användandet av sprickfördelande armering Fogar En metod för att förhindra sprickbildning i golv på mark är minska tvånget genom att förse betongplattan med fogar. Genom att använda fogar delas en stor betongyta upp i mindre delar. Plattdelarna kan då röra sig mer obehindrat, tvånget går ner och risken för sprickor reduceras samt att eventuell sprickbildning kan styras [18]. Då en fog utgör en svaghetszon i golvet bör den användas med omsorg då golvet får ett ökat behov av underhåll t.ex. på grund av att fogar samlar smuts, men fler fogar ger även fler möjligheter till kantresning [14]. För att golvet ska hålla önskad kvalitet krävs en tidig planering och lokalisering av fogarna där särskild hänsyn tas till extra utsatta ytor, t.ex. genom att reducera placeringen av fogar på de ytor av industrigolv som trafikeras [18]. Undermåligt utförda fogar samt felaktig placering och indelning av plattan ökar risken för att kantresning och sprickbildning inträffar [13] Reduktion av krympning Den viktigaste parametern för att minska risken för krympsprickor och förebygga kantresning är att minimera krympningen. Som nämnts i avsnitt 2.4 påverkas krympningen dels av de uttorkningsförhållanden som råder samt av betongens sammansättning, då främst av dess vattencementtal, cementpastans andel i betongen samt krympminimerande tillsatsmedel [17]. Val av cementtyp kan göras utifrån målet att minska krympningen. T.ex. har anläggningscement inte lika kraftig krympning som byggcement då hydratationen fortgår långsammare för anläggningscement [13] Sprickfördelande armering Armering är en av metoderna för att minska den maximala sprickvidden och fördela sprickorna till flera mindre sprickor. Armeringen börjar verka då en spricka uppstått och armeringen får då en kraftöverförande funktion. Om armeringen är efterspänd bidrar den även till minskad risk för uppkomst av sprickor, se punkt tre nedan [13]. 21

40 Det förekommer fyra konventionella metoder för att armera betongplattor i syfte att minska sprickvidder. 1) Oarmerade betongplattor med täta fogavstånd lämpar sig till konstruktioner där punktlaster sällan förekommer. Dessa golv är försedda med många fogar som tar upp plattans rörelser. Plattorna är gjutna på väl packad undergrund, som möjliggör att utbredda laster kan tas upp [13]. 2) Slakarmering är den vanligaste armeringsmetoden för att minska sprickrisken i plattan. Denna platta kan delas in ytterligare beroende på armeringens placering i plattan. a) Överkantsarmerade betongplattor har en armeringsnivå i överkant där spänningarna från plattans rörelser tas upp. Denna platta är i behov av ett stabilt underlag för att inte spricka. b) Underkantsarmerade betongplattor har en armeringsnivå i underkant av plattan. Dessa golv är känsliga för stora krympningar och där plattans rörelse förhindras av tvång. Fördelen är att de kan ta upp punktlaster som ger stora moment. c) Dubbelarmerade betongplattor har två armeringsnivåer. På så vis får ett sprucket tvärsnitt största möjliga motstånd mot böjning. De har en god förmåga att fördela sprickorna i plattan och ta upp punktlaster. d) Centriskt armerade betongplattor har en armeringsnivå i mitten av plattan. Generellt sett är dubbelarmerade och underkantsarmerade betongplattor bättre på att ta upp punktlaster än centrikt armerade. Punktlaster är dock normalt inget problem [4]. Armeringen fördelar däremot sprickor och begränsar sprickvidder under inverkan av tvångslaster [13]. 3) Spännarmerade betongplattor är betongplattor försedda med för- eller efterspänd armering. Syftet är att få höga dragkrafter i armeringen som i sin tur ger tryckkrafter i betongen [6]. 4) Stålfiberarmerade betongplattor har en betongsammansättning med tillsatser i form av stålfibrer. Denna betong har en högre seghet vanlig konventionell betong. Stålfibrerna som tillsätts kan väljas utifrån önskade egenskaper där dess form och hållfasthet varierar [13]. 3.3 Tvång Som beskrevs i avsnitt uppkommer tvång då ett elements rörelse förhindras helt eller delvis. Vid konstruktion av plattor på mark kan den förhindrade rörelsen bero på anslutningar till pelare, väggar och äldre konstruktioner. Generellt sätt bör inte plattor på mark vara en del av stabiliseringen av byggnadens statiska system, eftersom inspänningar påverkar det tvång som uppstår i plattan. Men i de fall då en platta måste ta vertikala laster av betydande storlek samt tvärkrafter och moment i olika riktningar kan plattan förstärkas med fundamentsplattor och voter [13]. 22

41 3 Betongplattor på mark En plattas tvång kan även uppkomma genom friktion mot undergrunden. Det material som packas under plattan och utgör basen har stor inverkan på interaktionen och friktionen mellan betongplattan och undergrunden. Ett grovt makadamlager ger t.ex. högre friktion till plattan än ett lager av sand [19]. Om det är önskvärt att friktionen minskas ytterligare kan ett plastbaserat glidlager läggas på undergrunden innan plattan gjuts [16]. 3.4 Krympning Som beskrevs i avsnitt 2.4 är krympningen ett materials volymförändring orsakad av uttorkning och kemiska processer i cementpastan. Speciellt för en betongplatta på mark är att uttorkningen sker med olika takt vid plattans kanter där olika fuktförhållanden råder, vilket ger en ojämn krympning över dess tvärsnitt Krympbeteende Då en betongplatta på mark härdar kommer den största uttorkningen ske i överkant. Underkanten av plattan bidrar mycket lite till uttorkningen då undergrunden allt som oftast har en högre relativ fuktighet än luften ovanför. Fukthalten i plattan kan beskrivas som avtagande med plattans höjd. Detta medför att en ojämn krympning sker i plattans tvärsnitt, överkanten får en större krympning än underkanten [20]. En förklarande bild av denna mekanism visas i Figur 3.2 där den ojämna krympningen ger en böjande effekt på plattan. Figur 3.2 Krympningens påverkan vid ensidig uttorkning av platta på mark [20] Spänningsfördelning vid ensidig uttorkning Krympningen vid ensidig uttorkning medför att de spänningar som uppstår på grund av att krympningen varierar med en gradient över tvärsnittet. Studier av denna spänningsgradient har gjorts i ett tidigare examensarbete initierat av WSP [2]. I rapporten antas en relativ fuktighet på 100 % under plattan och 55 % på översidan, vilket ger en ickelinjär krympgradient över tvärsnittet. Krympgradienten beräknades för ett antal plattor av varierande höjd och betongklass. Beräkningarna tog hänsyn till fuktgradientens inverkan på E-modul, krypning samt krympning, och utfördes efter Eurokod och dess svenska annex. Krymp- 23

42 gradienten representerar den autogena krympningen och uttorkningskrympningen. Även krympningens stegvisa pålastning beaktades i beräkningen av E-modulen. Beräkningar av gradienten utfördes genom indelning av plattorna i längsgående tunna strimlor. Då krympningen och den effektiva E-modulen beräknats för varje strimla, kunde krympgradienten omvandlas till en axialkraft och ett moment, som uppfyller tvärsnittsjämvikt för fullt axialtvång. Omvandlingen, då axialkraft och moment används, ger en linjär spänningsgradient över tvärsnittet. Med detta arbete som grund har WSP upprättat en intern guide [21] i vilken spänningsgradienten för dimensionerande dragpåkänning beskrivs med hjälp av koefficienten, som är en faktor för förhållandet mellan spänningen överkant och underkant, se Figur 3.3 och Tabell 3.2. Figur 3.3 Spänningsgradient vid gradientkrympning av platta på mark, faktor α beskriver förhållandet mellan spänningen i överkant och underkant [21]. Tabell 3.2 Förhållandet mellan spänning överkant och underkant platta, α. Platthöjd [mm] C40/50 0,2 0,2 0,2 0,2 0,3 C50/60 0,2 0,2 0,2 0,35 0,5 C55/67 0,2 0,2 0,2 0,4 0,5 3.5 Normer vid dimensionering Följande är en genomgång av ett antal normskrifter för att belysa hur sprickbildning i betongkonstruktioner behandlats, med särskild hänsyn till betongplattor på mark. Det bör nämnas att då betongplattor på mark dimensioneras i bruksgränstillstånd, är normerna kortfattade eller omfattar ej konstruktionstypen. 24

43 3 Betongplattor på mark Statens Betongkommitté (1968) Sprickfördelande armering I skriften Bestämmelser för betongkonstruktioner Allmänna konstruktionsbestämmelser [22] anges att då ett visst värde på betongens hållfasthet överskrids i drag, så ska, om inte särskilda krav föreligger, dimensioneringen göras så att kraven på sprickvidd uppfylls enligt konstruktionsbestämmelsernas avsnitt 6. I avsnitt 8:2 i bestämmelserna ges ett uttryck för minsta tillåtna armeringsprocent, i massiva betongplattor vid största fält- och stödmoment. För övriga områden, vilket kan sägas gälla en krympande platta på mark, anges att halva denna armeringsprocent är tillräcklig. Uttrycket beror endast av betongens normenliga hållfasthet, och armeringens sträckgräns, enligt: (3.1) Sprickviddsberäkning Beräkningen av sprickvidd, som presenteras i avsnitt 6 i konstruktionsbestämmelserna, kan utföras för fall med ren böjning, centrisk dragning, böjning och samtidig dragning, samt för böjning och samtidigt tryck. Detta förutsätter att armeringspåkänningen i ett sprucket tvärsnitt är känd. Som diskuterats tidigare, är armeringspåkänningen inte enkelt bestämbar i krympbelastade fall då lastfallet är statiskt obestämt. Även om påkänningen var känd, är det inte självklart att uttrycket är applicerbart på krympning American Concrete Institute (1978) ACI [23] anger armeringsförhållanden för armering mot krympning och temperaturspänningar. Detta förhållande ska minst vara 0,0014, men då armering av Grade 60 (vilket motsvarar flytspänning på 420 MPa) används ska det vara minst 0,0018. I kommentarerna till byggkoden [24] sägs dock att principen ej är applicerbar för slabs on grade, dvs. betongplattor på mark CEB-FIP Model Code (1990) Av de normer som behandlas är Model Code den mest utförliga inom sprickteori [9]. Model Code är en föregångare till Eurokod, och mycket av den teoretiska bakgrund som saknas i Eurokod tas upp i denna norm. Även sprickbildning i bruksgränstillstånd tas upp, vilket saknas i många andra normer. 25

44 Sprickfördelande armering Uttrycket för sprickfördelande minimiarmeringsarea i avsnitt i Model Code, se Ekv. (3.2), är mycket likt det som presenteras i Eurokod 2. Det är i grunden ett uttryck för balanserad armeringsmängd där den minsta erforderliga armeringsarean, beräknas utifrån betongens hållfasthet vid första sprickans uppkomst,, betongens area i den draga zonen, och armeringens sträckgräns,. Ett lägre värde för armeringsspänningen än flytspänning kan användas för att tillfredsställa krav på sprickvidder. Hänsyn tas även till spänningsfördelningen genom koefficienten samt koefficienten som korrigerar mot de verkliga värdena på med hänsyn till ojämn spänningsfördelning. Uttrycket kan användas i brist på en mer rigorös metod, och ska ses som en förenklad procedur. Omdistribution av interna spänningar såväl som brottsmekaniska effekter kan beaktas då minimiarmeringsmängden beräknas. I avsnitt i Model Code anges att även förenklade beräkningar baserade på experiment kan användas för dimensionering av armering. (3.2) Sprickviddsberäkning Den grundläggande sprickviddsformeln enligt Model Code 1990, se Ekv. (3.3), ges i Model Code avsnitt För stabil sprickbildning är lika med maximala sprickavståndet. Avståndet beskrivs som överföringslängden enligt avsnitt Stål- och betongspänningar som uppstår inom denna längd bidrar till sprickans vidd. För samtliga fall och kan Ekv. (3.5). beräknas enligt Ekv. (3.4) och för stabil sprickbildning enligt (3.3) ( ) (3.4) där: Den genomsnittliga ståltöjningen inom Den genomsnittliga betongtöjningen inom Töjningen på grund av betongens krympning Längd vid spricka, längs med vilken vidhäftningsspänningen är försumbar. Denna kan sättas till 25 mmi brist på mer precisa värden. Armeringens spänning i sprickor 26

45 3 Betongplattor på mark Armeringens spänning vid zero slip Armeringsdiameter Undre fraktilen för genomsnittlig vidhäftningsspänning. Kan antas vara för deformed bars och för plain bars, där är medelvärdet för draghållfastheten hos betongen vid tid t då sprickan uppkom. För stabil sprickbildning kan beräknas enligt: ( ) (3.5) där: (3.6) Töjningen är ståltöjningen vid sprickan vid krafter som orsakar inom den effektiva betongarean. Om de interna krafterna är mindre eller lika med dessa krafter så är (ståltöjningen vid sprickan). Töjningen definieras som ståltöjningen vid point of zero slip vid sprickkrafter som når. Denna töjning är, för fallet med en yttre belastning, lika med den maximala betongtöjningen mellan två sprickor precis innan bildandet av en ny spricka. För krympningsfallet har denna töjning omvänt tecken, eftersom armeringen trycks ihop av den krympande betongen. Om så kan villkoret för stabil sprickbildning antas vara uppfyllt, annars ska bildning av single cracks beaktas, där definieras som medelvärdet för betongens draghållfasthet, som den effektiva dragna betongarean och där definieras som det effektiva armeringsförhållandet. Ekv. (3.3) leder till följande uttryck där tension stiffening: är en empirisk faktor för att bedöma genomsnittlig (3.7) I avsnitt anges att om sprickning uppstår på grund av last och tvång, ska ståltöjningen vid sprickorna på grund av påförd last, i Ekv. (3.7), ökas med det som orsakas av tvånget. Model Code 1990 anger ingen metod som är applicerbar för gradientkrympning med två eller fler armeringsnivåer. Den metod som presenteras ovan är applicerbar för konstruktionsdelar med jämn krympning, eller konstruktionsdelar med en armeringsnivå. Även för detta är metoden svår att applicera för krympningsfall, då stålspänningen i 27

46 sprickorna måste vara känd för att längden ska kunna beräknas. I ett fall då en yttre belastning entydigt bestämmer axialkraft och moment är töjningen på grund av krympning oberoende av töjning i stål och betong. Denna beror då endast av axialkraften, och krympningstöjningen kan läggas till algebraiskt, som skriften uttrycker det. I krympningsfallet är axialkraften beroende av graden av uppsprickning samt krympningens storlek, och därmed är även töjning i stål och betong beroende av dessa. Skriftens definition av blir då tvetydig eftersom all töjning då kan sägas vara till följd av krympning. En förenkling kan göras av Ekv. (3.3). Förutsätts att sprickor ej förflyttas relativt varandra, kan den genomsnittliga ståltöjningen mellan två sprickor sättas till noll, eftersom den totala armeringslängden är oförändrad. Den genomsnittliga betongtöjningen,, beror av axialkraftens storlek. En förutsättning för att detta ska gälla är att plattan ej utsätts för en yttre last, utan en begränsning i sin rörelse i form av tvång. Även då är det inte säkert att detta stämmer eftersom en inhomogen betongplatta kan ha sektioner med lägre elasticitetsmodul, vilket skulle ge sådana sektioner större töjning i förhållande till andra delar, som i sin tur skulle medföra att avståndet mellan eventuella sprickor vid sektionens ändar ökade BBK 04 (2004) Sprickfördelande armering Uttrycket för sprickfördelande minimiarmering i avsnitt i Boverkets handbok om betongkonstruktioner (BBK) [25], baseras på principen om balanserad armering där den minsta armeringsarean, beräknas utifrån ett högt värde för draghållfasthet för den aktuella betongen,, betongens effektiva area, och dragspänning i armeringen, vilken är begränsad till eller flytspänningen om denna är lägre. (3.8) För platta på mark anger skriften att minimiarmeringen kan minskas till 0,7 gånger värdet på, om friktionskoefficienten mellan betongplatta och underlag kan visas uppgå till minst 1,0. Sprickviddsberäkning Om villkoren i avsnitt är uppfyllda, kan den karakteristiska sprickvidden beräknas med uttrycken nedan, enligt avsnitt i BBK. Nedan gäller för belastningssprickor men är ej fullt ut användbart för sprickviddsberäkning vid krympning. (3.9) 28

47 3 Betongplattor på mark (3.10) (3.11) där: Karakteristisk sprickvidd Medelsprickvidd Armeringens elasticitetsmodul Sprickavståndets medelvärde Koefficient som beaktar inverkan av långtidslast eller lastupprepning Koefficient som beaktar inverkan av armeringens vidhäftning Koefficient som beaktar medverkan av dragen betong mellan sprickor Är, för ospänd armering, armeringsspänning i sprickan beräknad enligt BBK avsnitt 4.3 är värdet på vid spricklast, dvs. omedelbart efter att sprickan bildats Då ska beräknas, anger avsnitt 4.3 i BBK att betongens krympning kan beaktas genom metod i Betonghandbok Konstruktion avsnitt [26]. Dessa avsnitt ger ett samband mellan krökning, armeringsspänning och krympning, men även här förutsätts ett statiskt bestämt lastfall. I övrigt anvisas i avsnitt 4.3 att betongen ej tar dragspänningar i sprucket tvärsnitt. Ingen anvisning görs om hur tvärsnittskrafterna ska beräknas, vilket kvarlämnar problemet med att lastfallet är statiskt obestämt Eurokod 2 (2005) Eurokod är en samling normer som definierar de regler som skall följas vid dimensionering av bärverk inom Europa. Utöver det gemensamma huvuddokumentet finns så kallade nationella bilagor. I dessa bilagor finns möjlighet för varje land att styra över parametrar anpassade för sina förutsättningar. I Eurokod 2, som omfattar betongkonstruktioner, fastslås att uppsprickning i betongkonstruktioner ska minimeras till den omfattningen att de inte påverkar konstruktionens funktion, dess hållbarhet eller leda till oacceptabelt beteende. Sprickfördelande armering enligt huvuddokumentet Då en kontrollerad sprickbildning önskas behövs enligt Eurokod armering i de delar av konstruktionen som är i drag. Enligt avsnitt 7.3.2, paragraf 1, kan armeringsmängden, då sprickviddsbegränsning krävs, uppskattas från jämnvikt mellan dragkraften i betongen precis 29

48 innan sprickning och dragkraften i armering vid flytspänning, eller lägre spänning om det krävs för att begränsa sprickvidder. Enligt Eurokod avsnitt 7.3.2, paragraf 2, sägs att om inte mer omfattande beräkningar visar att mindre armeringsmängder är tillräckliga för sprickbreddsbegränsning skall den erforderliga armeringsmängden beräknas med Ekv. (3.12). Den minsta erforderliga armeringsarean, beräknas utifrån betongens medel draghållfasthet vid första sprickans uppkomst,, betongens area i den draga zonen, och maximala spänningen i armeringen omedelbart efter uppsprickning,. I metoden tas hänsyn till ojämn spänningsfördelning av egenspänningar och tvångskrafter orsakade av dessa, representerat av. Denna koefficient är 1,0 för liv eller flänsar mindre än 300 mm och 0,65 för liv eller flänsar större än 800 mm. Spänningsfördelningen precis innan sprickning, beaktas även genom koefficienten, vilken tar hänsyn till spänningsfördelningen omedelbart före att första sprickan bildas och förändringen av den inre hävarmen. Denna koefficient är 1,0 vid ren dragning. Vid böjning kombinerat med axialkrafter kan beräknas med Ekv. (3.13) för rektangulära tvärsnitt samt liv i låd- och T-tvärsnitt. För Flänsar i låd-t och T-tvärsnitt kan beräknas med Ekv. (3.14). Med metoden beräknas en total armeringsarea som ska fördelas i den dragna zonen. Hur denna ska fördelas mellan olika armeringsnivåer beskrivs ej. Den dragna zonen antas vara den delen av sektionen som är i drag precis innan sprickbildningen tar vid. (3.12) [ ] (3.13) (3.14) där: (3.15) I ekvationerna ovan är medelvärdet av spänningarna i betongen som verkar på tvärsnittet och absolutvärdet av dragkrafterna inom flänsarna precis innan sprickbildning orsakad av sprickmomentet beräknad med. Axialkraften som verkar på tvärsnittet,, skall bestämmas från det karaktäristiska värdet av axialkrafter och förspänningar. Då är en tryckande kraft är koefficienten enligt Ekv. (3.16) samt då är en dragande kraft är koefficienten enligt Ekv. (3.17). Höjden definieras enligt Ekv. (3.18) då tvärsnittets höjd är mindre än 1 meter och enligt Ekv. (3.19) då tvärsnittets höjd är lika med eller överstiger 1 meter. 30

49 3 Betongplattor på mark (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) Sprickviddsberäkning enligt huvuddokumentet Enligt Eurokod 2 skall Ekv. (3.20) användas vid beräknande av den karaktäristiska sprickvidden, utifrån skillnaden mellan betongens och armeringens töjning samt det maximala sprickavståndet. Då vidhäftande armering är placerad i dragzonen med någorlunda nära avstånd kan det maximala sprickavståndet beräknas med Ekv. (3.22). Vid beräkning av den karaktäristiska sprickvidden tas ingen hänsyn till last typen (yttre- och inre last). (3.20) ( ) (3.21) (3.22) där: Karaktäristisk sprickvidd Maximalt sprickavstånd Medeltöjning i armeringen Medeltöjning i betongen mellan sprickor Armeringsspänning i en uppsprucken sektion förhållandet ( ) enligt Eurokod (3), 0 vid avsaknad av spännarmering 31

50 Faktor som tar hänsyn till pålastningstid Koefficient som tar hänsyn till de vidhäftande egenskaperna Koefficient som tar hänsyn till töjningsfördelningen enligt [27] enligt [27] Betongens täckskikt Armeringsdimension Sprickfördelande armering enligt huvuddokumentet och tyska nationella bilagan Dimensionering av den sprickfördelande armeringen enligt den tyska nationella bilagan [28] bygger på samma grundmetod som beskrivits i avsnitt Sprickfördelande armering enligt huvuddokumentet. I enighet med detta avsnitt skall Ekv. (3.12) användas om inte omfattande beräkningar visar att mindre armeringsmängder är tillräckliga. I den tyska nationella bilagan har ändringar införts för del 7.3.2, paragraf 2, där koefficienten skall reduceras med faktorn 0,8. I tyska bilagan definieras utifrån om de krafter som ger deformationen är uppkomna av yttre- eller inre last. Vid deformation orsakad av inre last och då lägsta värdet av tvärsnittets bredd och höjd är mindre än 300 mm är samt då lägsta värdet av tvärsnittets bredd och höjd är högre än 800 mm är. Vid deformation orsakad av yttre last är. Som beskrivits tidigare är krympning ett exempel på deformation orsakad av inre last. Deformation av yttre last kan t.ex. vara en sättning av betongen. Detta tillägg ger generellt sett en minskad armeringsmängd vid deformationer av inre laster jämfört med huvuddokumentet. I den tyska nationella bilagan NCI Zu 7.3.2, paragraf 2, sägs även att den erforderliga armeringsmängden i huvudsak ska placeras i den dragna zonen så att större sprickvidder undviks. 32

51 3 Betongplattor på mark Sprickviddsberäkning enligt huvuddokumentet och tyska nationella bilagan Beräkning av den karaktäristiska sprickvidden enligt den tyska nationella bilagan [28] följer metoden beskriven i avsnitt sprickviddsberäkning enligt huvuddokumentet. De skillnader som anges är i uträknande av det maximala sprickavståndet. Förändringarna i ekvationen är som följer: Vilket ger att det maximala sprickavståndet är: (3.23) Sprickfördelande armering balanserad mot spänningsfördelning Den sprickfördelande armeringen som behövs i en platta där hela tvärsnittet är draget kan dimensioneras utifrån den spänningsfördelning som råder enligt Eurokod 2, avsnitt 7.3.2, paragraf 1. Som beskrivs i avsnitt har en spänningsgradient definierats utifrån ett tidigare examensarbete skrivet på WSP [2]. Spänningsgradienten är framtagen för de fall då krympning sker med en gradient. Den spänningsfördelning som uppkommer kan ses i Figur 3.3 där faktorn α beskriver förhållandet mellan spänningen i överkant och underkant. Den erforderliga mängden armering i varje armeringslager kan beräknas utifrån den dimensionerande armeringskraft som verkar i övre och undre armeringslagret, och, samt armeringens sträckgräns,. Minimiarmeringen i överkant, beräknas med Ekv. (3.24) och minimiarmeringen i underkant, beräknas med Ekv. (3.25). (3.24) (3.25) 33

52 De dimensionerande armeringskrafterna beräknas genom att balansera dessa mot spänningens storlek och fördelning. Metoden för beräkning är att se spänningsfördelningen som en utbredd last på två stöd som representerar de dimensionerande armeringskrafterna ses i Figur 3.4. De okända armeringskrafterna kan sedan lösas ut ifrån en uppställd momentjämvikt i underkant av plattan enligt Ekv. (3.26) samt kraftjämvikt i systemet enligt Ekv. (3.27). Täckskiktens storlek inklusive halva armeringsdiametern för över- och underkant betecknas med respektive. Figur 3.4 Spänningsgradient vid gradientkrympning och fullt axialtvång av platta på mark. (3.26) (3.27) 34

53 4 Analysmetoder 4.1 Finita elementmetoden Finit elementanalys (FEA), också kallad finita elementmetoden (FEM) är en numerisk metod för att lösa fältproblem [29], d.v.s. ett problem där en viss kvantitets spatiala variation ska bestämmas. En sådan kvantitet kan till exempel vara temperatur eller spänning. Ett fältproblem beskrivs matematiskt med antingen differentialekvationer eller ett integraluttryck. Den geometriska strukturen i ett FEA-problem delas upp i element, och inom varje element tillåts fältkvantiteterna variera enligt enkla funktioner. Den verkliga spatiala variationen är generellt sett mer komplicerad än vad dessa funktioner kan beskriva, så FEA ger en approximativ lösning. Genom att dela in strukturen i fler element, alltså att minska storleken på varje element, nås en lösning där varje elements funktion bättre beskriver den verkliga. Detta brukar kallas för meshkonvergens. Elementen i en struktur sitter ihop i gemensamma noder, arrangerade i ett s.k. mesh. Numeriskt så representeras ett FE-mesh av algebraiska ekvationer som löses för okända fältkvantiteter vid noderna. Metoden kan användas för att analysera strukturer för vilka analytiska uttryck är svåra att formulera. Olika komponenter med olika beteende kan kombineras och materialparametrar kan variera mellan element [29]. 4.2 Ickelinjär FEM Inom strukturmekanik finns huvudsakligen tre typer av ickelinjäritet: geometrisk, materiell och kontaktickelinjäritet. Geometrisk ickelinjäritet uppstår då deformationerna blir så stora att jämviktsekvationerna bör skrivas om för att representera den deformerade formen, så som knäckningsfallet för en slank pelare i Figur 4.1 a). Exempel på materiell ickelinjäritet är ståls beteende då flytgränsen nås, och krypning i betong. I Figur 4.1 b) visas en typisk form för en arbetskurva för stål, där beteendet är ickelinjärt då flytspänningen överskrids. Kontaktickelinjäritet uppstår till exempel då öppningar sluts eller öppnas, så som exemplifieras i Figur 4.1 c) med ett block fäst i en fjäder. I dessa ickelinjära problem blir en strukturs styvhet, och ibland även last, en funktion av deformationen. Det innebär att de utgångspunkter som normalt skulle ge lösningen inte uppfyller jämvikten, utan en iterativ process måste användas. Ickelinjäritet innebär också att principen om lastsuperpositionering inte är applicerbar [29]. 35

54 Figur 4.1 Exempel på typer av icke-linjäritet. 4.3 Newton-Raphsons metod Newton-Raphsons metod är en numerisk metod som ofta används för att hitta en rot till ett polynom. Newton-Raphsons metod är även den vanligaste iterativa metoden för att uppnå jämvikt i ett laststeg, se Figur 4.2. I ett laststeg kan en ickelinjär ekvation formuleras för strukturens beteende, där strukturens styvhet och interna krafter baseras på deformationen i föregående iteration. Newton-Raphsons metod lämpar sig väl för att finna ett maximum på en arbetskurva, men kan inte beskriva s.k. snap-back -beteende, analogt med en nedåt- och bakåtgående arbetskurva. För detta kan Arc-length metoden användas, där iterativa ökningar av last och deformation inom varje nytt laststeg justeras till att ligga inom en cirkel med centrum i utgångspunkten [29]. Figur 4.2 Iteration med Newton-Raphsons metod [3]. 36

55 4 Analysmetoder 4.4 Atena 2D Atena 2D är ett finit elementprogram specialiserat på betongmodellering. Det är utvecklat av tjeckiska Červenka Consulting. För att modellera betong i Atena används grundläggande materialmodellen SBETA. I materialmodellen används ett utsmetat (även kallat smeared) angreppssätt för materialegenskaper definierade för en punkt [30]. Materialmodellen inkluderar bland annat uppsprickning av dragen betong baserat på ickelinjär brottmekanik, ickelinjärt beteende i kompression, reducering av tryckhållfasthet efter uppsprickning och två sprickmodeller; roterad och fixerad sprickriktning. De två sprickmodellerna hanterar ortotropin i sprucken betong olika. När betong spricker är den ej längre isotrop, eftersom styvheten längs med en spricka är större än styvheten tvärs en spricka. I den fixerade sprickriktningsmodellen bestäms sprickans riktning av huvudspänningsriktningen vid spricktillfället, och hålls konstant vid följande pålastning. Sprickans riktning representerar då ortotropins huvudaxel. I den roterade sprickmodellen roterar sprickorna med töjningens huvudaxlar. Töjningens huvudaxlar sammanfaller då med spänningens huvudaxlar, så ingen skjuvtöjning uppstår på sprickplanet. Oavsett vilken sprickmodell som väljs är de beräknade sprickvidderna ungefärliga [31]. Då betong modelleras kan inte elementstorleken minskar så mycket, att den största ballasten ej får plats inom ett element [31]. Detta beror på att sprickningen sker mellan ballastkorn, och sådana små element skulle ge en orepresentativ sprickning i materialet. Två armeringsmodeller finns; diskret och utsmetad armering. Den diskreta armeringstypen modelleras med stångelement. Båda formerna av armering modelleras i enaxiell spänning och kan ges bl.a. linjära, bilinjära eller multilinjära arbetskurvor. Armeringens bindning till betongen är en egen materialtyp, och kan baseras på CEB-FIP 1990 Model Code, Bigajs bindningslag eller definieras av användaren [30]. 4.5 WIN-Statik WIN-Statik är ett program som hanterar vanligt förekommande konstruktionsproblem. Dimensionering kan utföras av pelare, balkar, sektioner, ramar och förspända element vilka bygger på statiska analyser enligt Eurokod 1992: I dess betongbalksmodul baseras dimensioneringen av det erforderliga armeringsinnehållet på analytiskt beräknade moment och skjuvande krafter som verkar i strukturen. I bruksgränstillstånd kan analyser utföras över spruckna sektioner utifrån, av användaren, fördefinierade deformationskrav. Sprickor och deformationer kan även beräknas utifrån armeringsinnehållet. [32] 37

56 38

57 5 Förutsättningar för analys Studien av sprickbildningen i en krympande betongplatta på omfattar ett antal olika analyser. De plattor som undersökts har varierats med betongklass C20/25, C30/37 och C40/50 samt fyra olika plattjocklekar, 120 mm, 160 mm, 200 mm och 300 mm. Underlaget har antagits vara oeftergivligt och friktionsfritt. Dels har en undersökning gjorts över den erforderliga mängd sprickfördelande armering som krävs enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Armeringsinnehållet har beräknats med fem olika metoder där storleken på de erforderliga armeringsmängderna jämförts. Tre av dessa armeringsinnehåll har sedan ingått i en numerisk simulering i programmet Atena, för att förklara sprickbildningen i plattor på mark. En kompletterande studie har även utförts där numeriska simuleringar behandlat underlagets och tvångets inverkan på sprickbildningen. Då arbetet även syftar till att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av krympning respektive belastning i form av yttre last har en studie över plattornas sprickbeteende genomförts. Jämförelsen har gjorts mellan de resultat som erhållits vid analytiska beräkningar av belastningssprickor enligt Eurokod 2 samt numeriska simuleringar av en platta utsatt för krympning i Atena. Studien har även omfattat analytiska beräkningar av sprickvidder som beräknats enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Jämförelser har sedan gjorts över de sprickvidder som de olika tolkningarna i Eurokod 2 ger. De analytiskt beräknade sprickvidderna har även jämförts med de maximala sprickvidder som erhållits i de numeriska simuleringarna för att se hur väl de normenliga uppskattade sprickvidderna stämmer med de som beräknats med FEM. 5.1 Erforderligt armeringsinnehåll enligt Eurokod 2 En undersökning av den erforderliga mängd sprickfördelande armering som krävs i en platta på mark utsatt för gradientkrympning har utförts för fem olika beräkningsalternativ. Då plattan är grundlagd på mark som ger 100 % RF är denna utsatt för en gradientkrympning. Hela tvärsnittet har antagits vara draget i samtliga beräkningsfall. Spänningsfördelningen som induceras av den med plattans höjd växande krympningen antas som den spänningsfördelning presenterad i avsnitt 3.4. Koefficienten α, som beskriver förhållandet mellan spänningen i överkant och underkant, baseras på Tabell 3.2 och antas vara 0,2 för samtliga fall. Beräkningarna har omfattat tre olika betongklasser, C20/25, C30/37 och C40/50 samt fyra olika plattjocklekar, 120 mm, 160 mm, 200 mm och 300 mm. Den lägsta plattjockleken förses med en armeringsnivå i mitten av plattan. Övriga plattor förses med två armeringshöjder, där täckskikten är 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Armeringens stångdiameter vid olika platthöjder redovisas i Tabell

58 Tabell 5.1 Armeringsstångsdiameter vid olika plattjocklekar. Plattjocklek [mm] Armeringsstångsdiameter [mm] Enligt EC 7.3.2(2) SS-NA Minsta armeringsinnehåll beräknat enligt Eurokod 2 avsnitt 7.3.2, paragraf 2, vilken är beskriven i denna rapport under avsnitt Då krympningen i plattan sker med en gradient måste hänsyn tas till denna. Gradientkrympningen kan då skildras som en böjning med axialkrafter, detta innebär att den axialkraft som påverkar tvärsnittet, skall tas med i beräkningarna. Då gradientkrympning sker är hela tvärsnittet draget, vilket vid beräkning enligt Eurokod erhålls en total minimiarea för armeringen i tvärsnittet. De ingående parametrarna för de gradientkrympbelastade plattorna ses i Tabell 5.2. Tabell 5.2 Indata kontrollmodeller. Parameter Indata med platthöjden och bredden m 500 MPa Enligt Tabell 2.1 då mm Enligt Ekv. (3.13) Enligt spänningsfördelning avsnitt Enligt Tabell 3.2 Enligt Ekv. (3.17) Enligt Ekv. (3.18) 40

59 5 Förutsättningar för analys Enligt EC 7.3.2(2) DIN-NA Minsta armeringsinnehåll beräknat enligt Eurokod 2 avsnitt 7.3.2, paragraf 2, vilken är beskriven i avsnitt och den tyska nationella bilagan. De ingående parametrarna för de gradientkrympbelastade plattorna är samma som i SS-EN 1992 [7] men med en skillnad förekommer i definitionen för koefficienten, där denna sätts till 0,8 då plattjockleken är lika med eller mindre än 300 mm Enligt EC 7.3.2(1) Minsta armeringsinnehåll beräknat enligt Eurokod 2 avsnitt 7.3.2(1), vilken är beskriven i avsnitt Armeringsinnehåll beräknas i tre olika utföranden: Underarmerad då spänningsfördelningen är reducerad till 80 % Balanserad då spänningsfördelningen är 100 % Överarmerad då spänningsfördelningen är ökad till 130 % De ingående parametrarna för de gradientkrympbelastade plattorna ses i Tabell 5.3. Tabell 5.3 Indata kontrollmodeller. Parameter Indata 500 MPa Enligt Tabell 2.1 0,8 Underarmerat 1,0 Balanserat 1,3 Överarmerat Enligt Tabell mm samt halva armeringsdiametern enligt Tabell 5.1 mm samt halva armeringsdiametern enligt Tabell

60 5.2 Sprickbildning vid gradientkrympning Som utgångspunkt i analyserna av sprickbildning i betongplattor på mark utsatta för krympning har numeriska simuleringar utförts i Atena 2D. Undersökningarna har varit huvudalternativet i ledet att uppnå syftet med att förklara sprickbildning i krympande betongplattor på mark. Resultaten av analyserna har legat till grund för slutsatserna för armeringsmängdens, tvärsnittshöjdens och betonghållfasthetens påverkan på sprickbildningen. I de numeriska simuleringarna har plattornas geometri, hållfasthetsklass samt armeringsinnehåll varierats. De alternativa armeringshalterna för respektive platta hämtas från undersökningarna i avsnitt 5.1. I de numeriska simuleringarna har endast det underarmerade, balanserade samt överarmerade alternativen av EC 7.3.2(1) använts. Utdata från de numeriska simuleringarna har utvärderats utifrån uppkomna sprickvidder, sprick-fördelning, spänningar i armering samt axialkrafter. Sammanställningar i relation till krympningen har gjorts för sprickvidder på armeringsnivå, armeringsspänning samt axialkrafter. Bilder över sprickutvecklingens förlopp vid valda steg har även hämtats från Atena 2D Geometri Samtliga undersökta modeller har en längd om fem meter och bredd om en meter. Modellens längd måste begränsas för att FE-analysen ej ska bli alltför omfattande och tidskrävande, men tillräckligt lång för att randvillkoren inte ska styra över sprickbildningen i alltför hög grad. Modellens djup är inte avgörande vid 2D-analys i plant spänningstillstånd. Tvärsnittshöjderna har varierats genom att 120 mm, 160 mm, 200 mm samt 300 mm har använts, se Figur 5.1. Dessa höjder undersöktes då de ansågs representera det vanligaste spannet för höjder för betongplattor på mark samt att data om krympgradienten vid dessa höjder fanns att tillgå i den tidigare utförda undersökningen av krympgradienten [21]. Modellerna försågs med en imperfektion i överkantens mitt. Denna imperfektion minskade tvärsnittshöjden med 2 mm och infördes för att den första sprickan ska initieras på samma plats i samtliga modeller, samt för att undvika att de första sprickorna initieras i modellens kanter på grund av spänningskoncentrationer vid stöden. Samma metod användes i [3] för att kontrollera sprickornas startpunkt. Figur 5.1 Modeller av plattjocklekarna 120 mm, 160 mm, 200 mm och 300 mm i Atena 2D. 42

61 5 Förutsättningar för analys Material De hållfasthetsklasser för betongen som ingår i undersökningen är C20/25, C30/37 samt C40/50. Indata för hållfasthetsegenskaperna definieras enligt Eurokod och kan ses i Tabell 5.4. Betongens effektiva E-modul har beräknats utifrån betongens E-modul, Tabell 2.2, med hänsyn till dess kryptal. De för undersökningen aktuella kryptalen erhålls från [21] där deras utveckling med tiden vid ensidig uttorkning av en platta har tagits fram. Den effektiva långtids E-modulen för valda betongklasser kan ges i Tabell 5.5 och beräkningar av dessa återfinns i Bilaga 6. Den specifika brottenergin som tillämpats vid analyserna för respektive betongklass har beräknats enligt Model Code 1990 då Atena baseras på denna, vilket kan ges i Tabell 5.6. Beräkningsmetoden sker enligt avsnitt där en maximal ballaststorlek om 12 mm antas. Beräkningarna återfinns i Bilaga 7. Tabell 5.4 Indata betonghållfasthet. [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] Karaktäristisk Tryckhållfasthet Medel Tryckhållfasthet Medel Kub Tryckhållfasthet Karaktäristisk Medel Draghållfasthet Hållfasthetsklass C20/25 C30/37 C40/ ,2 2,9 3,5 Poissons tal 0,2 0,2 0,2 Tabell 5.5 Indata effektiv E-modul [GPa]. Platthöjd [mm] Hållfasthetsklass C20/25 C30/37 C40/ ,65 9,98 12, ,15 10,4 12, ,6 10,8 11, ,25 11,6 13,9 43

62 Tabell 5.6 Indata Brottenergi. Brottenergi, [ ] Hållfasthetsklass C20/25 C30/37 C40/50 56,5 70,0 82, Armering Plattorna har försetts med två lager armering där täckskiktet i överkant valts till 30 mm samt 50 mm i underkant. Den 120 mm höga modellen är enkelarmerad, då fler armeringsnivåer ej får plats utan att täckskikt och avstånd mellan stänger blir alltför små. Mängden armering har varierats utifrån armeringsängder beräknat efter EC 7.3.2(1) för det underarmerade, balanserade samt överarmerade alternativen enligt avsnitt 5.1. Dimensionerna på armeringen har varierat beroende på plattjocklek enligt Tabell 5.1. Armeringen utgör kamstänger som ges en bilinjär arbetskurva med 500 MPa som flytgräns och elasticitetsmodulen 200 GPa. I Atena beskrivs vidhäftningen mellan armeringen och betongen enligt Model Code Armeringen antogs ha en god vidhäftning med en icke-tillfredställande inneslutande effekt och med en förhindrad glidning i dess ändar Belastning och randvillkor Den belastning som antas påverka strukturen är dess egenvikt samt krympning. Krympgradienten som används antas ha samma form som spänningsgradienten. Den spänningsgradient som används har antagits utifrån tidigare undersökningar gjorda av WSP där den relativa fuktigheten i undergrunden antagits till 100 % samt luftens relativa fuktighet 55 %, se avsnitt Koefficienten α, som beskriver förhållandet mellan spänningen överkant och underkant ansätts till 0,2 i alla de undersökta fallen enligt Tabell 3.2. Krympgradienten ska ses som approximativ, då den från den linjära spänningsfördelningen förenklats till en linjär gradient. I analysen uppgår den maximala krympningen i överkant till 1,0. Plattans tvång utgörs av dess underlag, inspänning och egenviktens verkan. I Atena modellerades en förhindrad horisontell rörelse av plattans ändar, men fri rörelse i vertikalled, se Figur 5.1. Detta innebär ett fullt axiellt tvång, vilket är att se som ett värsta fall när det gäller uppsprickning. Vissa plattor, till exempel plattor med mycket stor utbredning, kan antas komma i närheten av detta tvång. Undersidan av plattan lades upp på så kallade kontaktfjädrar. Dess fjädrar är endast aktiva i kompression med en styvhet om 200 GPa och längden 5 m. I praktiken är detta ett nära oeftergivligt underlag. Underlaget inverkan utreds ytterligare i avsnitt Ingen friktion verkar mellan plattan och underlaget, vilket kan liknas vid grundläggning mot cellplast. 44

63 5 Förutsättningar för analys FE-egenskaper Betongmodellen i Atena byggdes upp av 2D makroelement där de finita elementen är av typen kvadratiska isoparametriska element som integrerar mellan nio punkter. Armeringsstängerna i sin tur byggdes upp av endimensionella diskreta element. Det mesh som angetts i modellen är kvadratiskt med sidan 20 mm, där alla element har samma storlek. De faktiska storlekarna på elementen anpassas efter den geometriska formen, dvs. efter platthöjden, se Figur 5.1. Storleken på meshet har valts utifrån den storlek som ger en så representativ bild av det verkliga fallet som möjligt samt att minst ett element ska få plats mellan armering och kant på plattan. Vid mindre storlek på meshet, som närmar sig ballastens storlek, riskerar resultatet att bli missvisande då elementen är icke-representativa för materialet [3]. Vid ökad storlek på meshet fås en mindre detaljeringsnivå av sprickbildningen. Då de undersökta plattorna modelleras i Atena 2D kan plattstrimlan ses som den skrafferade delen i Figur 5.2 med längden, m och bredden, m. Figur 5.2 Plan-vy över fast inspänd plattstrimla i plant töjningstillstånd. Egenvikten som verkar av plattan definieras i Atenas inbyggda egentyngdsfall. Krympningen definieras som en med tvärsnittet växande linjär gradient i Atenas inbyggda lastfall för linjär krympning, med värdet 0,5 i överkant. Hela plattans egenvikt pålastas i första steget och sedan följer 200 steg då krympningen i betongen stegas upp med en faktor om 0,01, vilket innebär att krympningen i överkant når till ett maximalt värde på 1,0. Materialen i modellen definieras i Atenas materialmodell SBETA. 45

64 5.2.6 Referensmodeller Referensmodellernas egenskaper samstämmer med de som ges i Tabell 5.7, om inget annat anges. Tabell 5.7 Indata kontrollmodeller. Parameter Indata Platthöjd 200 mm Längd 5 m Elementstorlek 20 mm Fjäderkonstant för underlag MPa/m Tvång Fast inspänd Betongklass C30/37 Armering Balanserad mot spänningsfördelning Konvergensanalys Modeller av en 200 m hög platta och en 120 mm hög platta har analyserats, för att bedöma mesh-konvergens. För dessa platthöjder gjordes modeller, vars inbördes skillnad var elementens storlek. Positionen för den punkt som bestämmer imperfektionens placering har också ändrats, men högst med dubbla elementlängden, och endast längs med plattan. Denna korrigering har gjorts för att det skapade meshet ska ha ett gott utseende. Modellerna är i övrigt baserade på de balanserat armerade modellerna som beskrivs i avsnitt 0. De undersökta elementstorlekarna är 40 mm, 30 mm, 25 mm, 20 mm, 16 mm och 12 mm. I meshgenereringen anpassas dock storleken på elementen till geometrin, så de föreskrivna elementstorlekarna är inte nödvändigtvis de som skapas. Det är främst platthöjden som bestämmer hur elementens storlek anpassas. Konvergensen bör därför inte främst bero på den föreskrivna elementstorleken, utan på det faktiska antalet lager element som bildas i plattan. Det mesh som skapades i den 200 mm höga plattan för de olika elementstorlekarna kan ses i Figur 5.3, som också anger antalet element i höjdled. Bedömningen av konvergensen baseras på de uppkomna största sprickvidderna vid översta armeringsnivå, axialkraft för olika värden på krympning, samt sprickmönster. 46

65 5 Förutsättningar för analys Figur 5.3 Olika elementstorlek i konvergensanalys, platthöjd 200 mm. Endast halva modellen visas i bilden. Variation av modellängd För att se inverkan av modellens längd, har modeller med olika längd skapats. För att undersöka om en liten förändring av modellängden kan påverka resultatet har modeller av längderna 4 m, 4,5 m, 5,2 m och 5,5 m gjorts, för att jämföras med den i undersökningen använda modellängden 5 m. För att se inverkan av en större förändring av modellängden har en 10 m lång modell gjorts. Bedömningen av inverkan av modellängd baseras på de uppkomna största sprickvidderna vid översta armeringsnivå och sprickmönster. Approximation krympgradient I de analyser som gjorts används en linjär spänningsgradient över tvärsnittet, se avsnitt Detta innebär en förenkling då den verkliga krympgradienten, liksom den som tidigare beräknats av [2] (Figur 5.4) ej är linjärt varierande över tvärsnittet. För att undersöka om den linjära approximationen av spänningsfördelningen för krympgradienten är god, jämförs den med en krympgradient som ligger nära den ickelinjära krympgradient som beräknats av [2]. Undersökningarna har gjorts med FEA i Atena där två olika modeller byggts upp. Den första modellen har analyserats med en spänningsbelastning motsvarande den antagna spänningsfördelningen enligt avsnitt Den andra modellen har modellerats med en tredelad krympgradient. Genom att approximera krympgradienten i Figur 5.4 till en tredelat linjär gradient erhålls god överensstämmelse. Den linjära approximationen och den närmare tredelade approximationen kan ses i Figur 5.5. Den tredelat linjära krympgradienten har inte använts i den övriga studien eftersom det inte är möjligt att lägga in de makroelement som krävs för att en sådan gradient ska kunna representeras i alla platthöjder utan att elementstorleken blir otillåtet liten. Referens-modellerna har byggts upp för att överens-stämma med exemplet i [2]. Betongplattan har därmed getts en tvärsnittshöjd om 0,4 m, en betongklass motsvarande en karaktäristisk tryckhållfasthet om 54 MPa, samt armering så som angivits i exemplet. 47

66 Figur 5.4 Krympgradient av platta på mark med tvärsnittshöjden 400 mm och tryckhållfastheten 54 MPa ett år efter gjutning [2]. Figur 5.5 Linjära approximationer av krympgradient. 48

67 5 Förutsättningar för analys 5.3 Randvillkors inverkan på sprickbildning En kompletterande studie har utförts där numeriska simuleringar behandlat underlagets och tvångets inverkan på sprickbildningen i plattorna. Underlaget undersöks då storleken på de dragspänningar som uppstår i plattan vid kantresning beror på underlagets styvhet. Inverkan av tvångets storlek undersöks då ett teoretiskt fullt axiellt tvång inte uppstår i praktiken Underlag Utbredda lasters inverkan på sprickbildning När en platta krymper mer i överkant än i underkant fås kantuppböjning, så som diskuterats tidigare. Kantuppböjningen sker inte endast vid fria ändar, utan även där sprickor uppstår. Utbredda laster, så som egentyngd, kommer att verka för att trycka ned dessa uppböjningar. Underlagets tryck mot undersidan av plattan blir koncentrerat runt punkten med störst nedsjunkning, och tryckets form kommer att bestämmas av underlagets styvhet. Ett styvare underlag kommer att ge ett mer koncentrerat tryck, och därmed ett högre böjande moment mellan två sprickor. Det böjande momentet medför en högre dragspänning i överkant på plattan, och större tendens till nybildande av sprickor. Sprickvidder, bilder av sprickbildningen och kantresning presenteras som resultat. Kantresningen bedöms här som skillnaden mellan största och minsta vertikala nodförskjutningen. I Tabell 5.8 sammanfattas de underlag som modellerna kan anses representera, samt de fjäderlängder, elasticitetsmoduler och motsvarande fjäderkonstanter som definierar underlaget. Tabell 5.8 Indata för olika underlag Elasticitetsmodul E [MPa] Lagerdjup l [m] Fjäderkonstant K [MPa/m] Oeftergivligt underlag Packad sand 30 [33] Cellplast 2 [34] ,25 8 0,

68 Oeftergivligt underlag Modeller med ett mycket styvt underlag har gjorts, där kontaktfjädrar används för att betongplattan ska kunna släppa från underlaget. Kontaktfjädrarna är ickelinjära fjädrar som endast är aktiva i kompression. Modellen kan tolkas som att plattan ligger på en helt friktionsfri och oeftergivlig botten. Eftergivligt underlag Två eftergivliga underlag har också modellerats, för att närmare beskriva samverkansbeteende med ett normalt underlag. En exakt styvhet för underlaget har inte eftersökts, utan endast en ungefärlig, för att kunna visa tendenser i beteendet gentemot ett oeftergivligt underlag. Även för detta används kontaktfjädrar. De eftergivliga underlagens fjäderstyvhet baseras på: Ett relativt styvt underlag, ungefärligen motsvarande hårt packad sand, Ett mjukt underlag som ungefärligen motsvarar cellplast. Den hårt packade sanden har en ungefärlig elasticitetsmodul av 30 MPa [33]. Cellplasts elasticitetsmodul varierar mellan olika typer och fabrikat, så det ungefärliga värdet 2 MPa har valts då det är något lägre än en typisk grundisolerande markskiva [34]. Även dessa modeller saknar friktion mellan underlag och betongplatta. Begränsningar hos modellen Kontaktfjädrarna är linjärt elastiska i kompression, och definieras av en styvhet (en elasticitetsmodul) och en längd. Hur längden på fjädrarna ska väljas för den packade sanden är inte självklart, då det kan anses motsvara olika djupa jordlager. Det bör inte vara meningsfullt att modellera ett mycket djupt jordlager, då endast samverkan mellan olika partiers nedsjunkning relativt varandra är av intresse. Att öka djupet på jordlaget, eller längden på fjädrarna, innebär också att spänningen från underlaget blir jämnare fördelad. Fjäderkonstantens storlek är beroende av fjäderns längd, vilket kan härledas från transformationen från elasticitetsmodul till fjäderkonstant, se Ekv. (5.4). Detta innebär att för en viss skillnad i nedsjunkning Δu mellan olika partier av modellen, blir spänningsskillnaden σ(δu) mindre då fjäderns längd l ökar, se Ekv. (5.3). Spänning kan uttryckas med elasticitetsmodul och töjning, se Ekv. (5.1) eller med fjäderkonstant och deformation, se Ekv. (5.2). Töjning definieras som kvoten av deformationen, u och ett lagers tjocklek i belastningsriktningen, l. (5.1) (5.2) 50

69 5 Förutsättningar för analys (5.3) (5.4) Att lagerdjupet påverkar hur pass utjämnat trycket mot underlaget är, hör samman med att fjädrarna inte samverkar med varandra. En realistisk jordmassa skulle samverka, så att en nedsjunkning i en punkt påverkade nedsjunkningen i en annan. Därmed skulle nedsjunkningen, där den är som störst, ge en nedsjunkning i hela underlaget och ett mindre tryck mot plattan där nedsjunkningen är mindre. Denna spänningskoncentrerande effekt fångas inte då underlaget modelleras med fjädrar. Inverkan av denna effekt bör vara relativt liten, speciellt då sprickavstånden är stora, underlaget styvt och fjäderlängden kort. Det kan vara intressant att påpeka att effekten eventuellt kan ha en positiv inverkan på resultatets korrekthet. I verkligheten är underlaget inte linjärelastiskt, utan en plastisk deformation sker då kornen packas av lasten. Effekten av detta är också ett utjämnande av trycket. Hur väl dessa effekter motsvarar varandra har dock inte undersökts. För fjädrar som motsvarar cellplast har den övre längden valts till 25 cm, en längd som ligger något över vad som ungefärligen motsvarar vanlig isoleringstjocklek. Genom att öka tjockleken på cellplasten kan en del av den deformation som skulle uppstå i lager under isoleringen kompenseras för. Det antas att detta ger ett underlag med något överdriven mjukhet. För det styva underlaget, har den övre längden valts till 5 m. Detta är en grovt vald längd, som ger en överdrift av den spänningsutjämnande effekten, vilket avspeglas av den låga fjäderkonstanten. Det styva underlaget har ingen egentlig i praktiken förekommande motsvarighet. Materialet under plattan kan sägas motsvara stål, vilket sällan betong gjuts mot på ett sådant sätt att mötet blir friktionsfritt. I realistiska tillämpningar, då underlaget har en styvhet i närheten av denna, är betongen ofta fastgjuten i underlaget. Detta kan vara vid exempelvis gjutning mot berg eller underliggande betong. Denna modell är inte applicerbar för dessa fall, utan har gjorts för att utvärdera den maximala inverkan som styvheten kan ha på sprickbildningen. De modeller med mjukt underlag representerar troligen bättre realistiska fall, där underlaget består av sten, grus, jord eller cellplast. Dock bör det åter nämnas att modellerna förutsätter en mycket låg friktion mot underlaget Stödförskjutning i horisontalled av ändupplag I praktiken uppstår aldrig fullt axiellt tvång, eftersom detta skulle kräva oändligt styva stöd. Hur stora axialtvången faktiskt blir är sällan känt. För att se inverkan av axialtvångets storlek har fem olika variationer av stödförskjutning modellerats. Analys av tvångets inverkan baseras på axialkrafter och sprickvidder. Stödförskjutningen modelleras i fyra av fallen som en andel av medelkrympningen, se Tabell 5.9. I det femte fallet är kanten helt fri. En vinkeländring tillåts ej i de förskjutna stöden, utan endast i fallet då kanten är fri. Förskjutningen kan beräknas enligt Ekv. (5.5). Eftersom förhållandet mellan överkants- och 51

70 underkantskrympning α är 0,2 för samtliga fall är förhållandet mellan överkantskrympning och medelkrympning också detsamma för alla fall, se Ekv. (5.6). där (5.5) (5.6) Tabell 5.9 Påförd deformation vid olika stödförskjutning. Stödförskjutning Andel av medelkrympning, Påförd deformation, [mm] vid krympning i överkant 25 % 0,25 0,75 50 % 0,5 1,50 75 % 0,75 2, % 1,0 3,00 Fri kant - - Med modelleringen som beskrivits ovan är stödförskjutningen oberoende av axialkraften. I verkligheten bör stödförskjutningen vara starkt beroende av axialkraften. Att modellera stödet med en fjäder bör därmed ge en bättre approximation av stödets beteende, förutsatt att fjäderns kraft-deformationskurva är tillräckligt representativ för verkliga fall. Att hitta ett lämpligt sådant förhållande mellan kraft och deformation ligger utanför denna rapports omfattning. Istället redovisas kraft-deformationskurvan för de ovan beskrivna krympningsbaserade stödförskjutningarna 5.4 Sprickutveckling Undersökningar har gjorts för att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av yttre och inre belastning. Jämförelserna har gjorts mellan de resultat som erhållits vid analyser av belastningssprickor vid yttre last samt numeriska simuleringar av en platta utsatt för krympning. Vid tolkning av jämförelser har fokus varit på uppkomna sprickvidder, sprickfördelande funktion och tillväxt av sprickorna. De analyser som utförts över belastningssprickorna har utförts i två olika program, Atena samt WIN-Statik. Som tidigare nämnts i avsnitt 4.4 är Atena specialiserat på betongmodellering och använder FEM vid skildringen av betongplattornas sprickutveckling samt beräknande av sprickvidder. WIN- 52

71 5 Förutsättningar för analys Statik, med dess betongbalksmodul, utför statiska analyser för kontinuerliga balkar, vilket beskrivs i avsnitt 4.3. Sprickor vid yttre last har undersökts utifrån fyra fall där den yttre lasten samt armeringsinnehåll och armeringsdimension varierats. I samtligafall modellerades plattan som en fritt upplagd balk belastad med en utbredd last. Den utbredda lasten som användes i de olika fallen var skalad för att ge sprickbildning genom att betongens draghållfasthet skalats med en faktor. För den utbredda lasten i fall 1 och 2 motsvarar den två gånger betongens draghållfasthet och i fall 3 och 4 fem gånger betongens draghållfasthet, se Tabell Framräkning av den utbredda lasten återfinns i Bilaga 1. Gemensamt för varje fall är att betongens hållfasthet är C40/50, samt att plattans höjd är 200 mm och längd 5 m. Betongens täckskikt i samtliga fall är 30 mm. Armeringsinnehållet i de olika fallen dimensionerades i WIN-statik utifrån de av lasten inducerade momenten samt skjuvspänningar. Det motsvarande fallet i Atena har försågs med samma armeringsmängd. De analyser som utförts för krympsprickorna är för en gradientkrympbelastad platta på mark. En modell har använts, vilken har analyserats i Atena enligt avsnitt 5.2, där plattan har haft höjden 200 mm och betongklassen C40/50. Plattan har utsatts för en gradientkrympning samt egenvikt. Armeringsinnehållet har dimensionerats enligt EC 7.3.2(1) för ett tvärsnitt i jämvikt. Tabell 5.10 Indata för modellering. Fall Spänningslast Utbredd last [kn/m] Armeringsinnehåll [1/m] 1 14,93 9ф ,93 6ф ,33 16ф ,33 10ф Analytisk beräkning av sprickvidder I de analytiska beräkningarna har den karaktäristiska sprickbredden vid armeringsnivån,, beräknats enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan, se avsnitt De beräknade sprickvidderna har legat till grund för en jämförelse mellan de sprickvidder som de olika tolkningarna i Eurokod 2 ger. De analytiska beräkningarna jämförs även mot de maximala sprickvidder på armeringens nivå som erhållits vid 1 krympning i de numeriska simuleringarna enligt avsnitt 5.2. Detta utförs för att se hur väl de normenligt uppskattade sprickvidderna stämmer med de som beräknats med FEM. Sprickvidderna har beräknats med antaganden om att armeringsspänningen i den spruckna zonen når 500 MPa samt att detta sker vid långtidsfallet då den effektiva E-modulen används. Sprickvidderna har beräknats för det balanserade armeringsinnehållet enligt EC 7.3.2(1) med ett täckande betongskikt om 30 mm i överkant och 50 mm i underkant samt stångdiametrar enligt Tabell

72 54

73 6 Resultat I detta avsnitt redovisas de resultat som erhållits vid studien av sprickbildningen i en krympande betongplatta på mark. Resultatet presenteras från jämförelsen av det erforderliga armeringsinnehåll som krävs enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Även resultat från de numeriska simuleringarna presenteras utifrån uppkomna sprickvidder, sprickfördelning samt spänningar i armering. I kapitlet påvisas även de skillnader som finns mellan sprickor som uppkommer till följd av krympning respektive belastning i form av yttre last genom en sammanställning av dess sprickbeteende. En sammanställning återfinns även över de resultat som erhållits vid jämförelsen av de analytiskt beräknade sprickvidderna, samt hur väl dessa stämmer med de som beräknats med FEM. 6.1 Jämförelse av erforderligt armeringsinnehåll En analytisk jämförelse av den mängd sprickarmering som krävs i en platta på mark har utförts. Armeringsinnehållet för de olika plattorna har beräknats med fem alternativa förfaringssätt enligt Eurokod 2 vilka beskrivs i avsnitt 5.1. De beräknade armeringsinnehållen för samtliga alternativ av de undersökta platthöjderna samt betongklasserna återfinns i Bilaga 2-4. Beräkningarna har utförts med ett täckskikt i överkant om 30 mm och 50 mm i underkant. Armeringsstängernas dimension varieras med platthöjden enligt Tabell 5.1. Nedan redovisas armeringsinnehållet i platta på mark för betongklasser C20/25, C30/37 och C40/50, se Figur Figur 6.1 Armeringsinnehåll vid olika platthöjder, hållfasthetsklass C20/25. 55

74 Figur 6.2 Armeringsinnehåll vid olika platthöjder, hållfasthetsklass C30/37. Figur 6.3 Armeringsinnehåll vid olika platthöjder, hållfasthetsklass C40/ Enligt EC 7.3.2(2) SS-NA och EC 7.3.2(2) DIN-NA De dimensioneringsalternativ som jämförelsen avser bygger på samma beräkningsmetod i Eurokod 2. Skillnaden dem emellan är hur koefficienten definieras. I den tyska nationella bilagan har reducerats med faktorn 0,8, samt att hänsyn tas till om deformationen orsakas av inre eller yttre last, se Tabell 6.1. I de undersökningar som utförts har tvärsnittets höjd som störst varit 300 mm vilket medför att armeringsdimensioneringen enligt EC 7.3.2(2) SS-NA utförts med samt i EC 7.3.2(2) DIN-NA med värdet. Detta har inneburit att armeringsinnehållet enligt tyska nationella bilagan ger en 20 % lägre armeringsmängd än huvuddokumentet. 56

75 6 Resultat Tabell 6.1 Jämförelse av koefficienten k i Eurokod 2 huvuddokument samt den tyska nationella bilagan. SS-EN Alla deformationer: För mm: DIN EN /NA: Deformation orsakad av inre last: För mm: För mm: För mm: Där är det lägsta värdet av livet eller flänsar Där höjd är det lägsta värdet av tvärsnittets bredd och Deformation orsakad av yttre last: Enligt EC 7.3.2(2) och EC 7.3.2(1) För samtliga tre undersökta betongklasser kan ett samband utläsas från Figur där i stort sett samma armeringsinnehåll erhålls för EC 7.3.2(2) SS-NA och det 130 % överarmerade tvärsnittet enligt EC 7.3.2(1). Vid dimensionering enligt 7.3.2(2) SS-NA tas även hänsyn till koefficienten, samt koefficienten som beaktar spänningsfördelningen före första sprickan bildas. har beräknats med den tidigare framtagana spänningsfördelningen, se avsnitt Uttrycket för kan i detta fall förenklas till att endast uttryckas av enligt Ekv. (6.2) det vill säga förhållandet mellan spänningen i över- och underkant, se avsnitt Förfaringssättet för denna förenkling redovisas i Bilaga 5. (6.1) ( ) (6.2) Då spänningarna är fördelade med erhålls värdet vid beräkning enligt 7.3.2(2). Eftersom genomsnittspänningen vid dimensionering enligt 7.3.2(1) blir gånger betongens draghållfasthet, kan koefficienten jämföras med. Då k är 1 är det dessa koefficienter som ger skillnaden mellan den erforderliga arean i metoderna. Skillnaden motsvarar: 57

76 (6.3) Detta visar att den dimensionering som utförs enligt EC 7.3.2(2) SS-NA motsvarar ett armeringsinnehåll beräknat med en spänningsfördelning ökad till 130 %. Samma samband som redovisats ovan finns även mellan det erhållna armeringsinnehållet dimensionerat enligt EC 7.3.2(2) DIN-NA och det balanserade tvärsnittet enligt EC 7.3.2(1). I beräkningarna enligt tyska nationella bilagan har istället den överarmerade situationen hanterats genom justering av koefficienten i Ekv. (6.1). Som redovisats i avsnitt ger den tyska en reduktion i armeringsinnehåll med 20 %. Då denna reduktion införs fås en erforderlig area motsvarande 100 % av den i jämvikt Fördelning av armering Då dimensioneringsmetoden för armeringen i EC 7.3.2(1) utgår ifrån den armeringskraft som verkar i varje armeringsnivå fås de erforderliga armeringsinnehållen uppdelat för varje nivå. Fördelningen av armeringsinnehållet i över och underkant har i samtliga fall resulterat i att 61 % av den totala mängden skall placeras i överkant och 39 % av den totala mängden i underkant. I EC 7.3.2(2) fås endast den totala mängden armering vid beräkning. 6.2 Numeriska simuleringar av sprickbildning En numerisk simulering av betongplattor på mark har utförts för att förklara sprickbildningen i plattor på mark. I simuleringarna har plattornas geometri, hållfasthetsklass samt armeringsinnehåll varierats. Resultat från de numeriska simuleringarna har analyserats utifrån uppkomna sprickvidder, sprickfördelning samt spänningar i armering. Sammanställningar har gjorts över sprickvidder på armeringsnivå samt armeringsspänning i relation till krympningen Sprickvidder Armeringsinnehåll I de numeriska simuleringarna har armeringsinnehållet varierats för varje platthöjd enligt EC 7.3.2(1) i avsnitt Resultaten från undersökningarna har sammanställts i sprickviddsdiagram som återfinns i Bilaga 8. Samtliga undersökta modeller visar att det underarmerade tvärsnittet med lägre armeringsinnehåll ger större eller lika stora sprickvidder som det balanserade tvärsnittet, dock utan att single cracks uppstår, vilket ses sprickmönstren i Bilaga 9. Det överarmerade tvärsnitten med högst armeringsinnehåll ger i samtliga modeller lägst sprickvidder. I Figur 6.4 visas sprickvidder och i Figur 6.5 fördelningen av sprickor för en platta med tvärsnittshöjden

77 6 Resultat mm och betongklass C20/25. Där tydliggörs att den överarmerade plattan som representerar den nedre plattan i Figur 6.5 har lättare att fördela ut sprickorna vilket ger mindre sprickvidder än för underarmerade och balanserade plattor. Figur 6.4 Sprickvidder vid platthöjden 300 mm och hållfasthetsklass C20/25. Figur 6.5 Sprickfördelning, platthöjd 300 mm, betongklass C20/25 och armering enligt EC 7.3.2(1) för underarmerad, balanserad samt överarmerad. Hållfasthetklass Resultaten tyder på att skillnaderna i sprickvidder vid de tre undersökta betongklasserna C20/25, C30/37 samt C40/50 är mycket små. I stort sett fås samma sprickvidder för varje betongklass vid respektive platthöjd, vilket kan ses i Figur där sprickvidderna för platthöjden 200 mm visas. I Bilaga 8 återfinns sprickviddsdiagram för samtliga modeller. 59

78 Figur 6.6 Sprickvidder vid platthöjden 200 mm och hållfasthetsklass C20/25. Figur 6.7 Sprickvidder vid platthöjden 200 mm och hållfasthetsklass C30/37. Figur 6.8 Sprickvidder vid platthöjden 200 mm och hållfasthetsklass C40/50. 60

79 6 Resultat Två modeller visar skillnad i sprickvidder jämfört med övriga resultat. Dessa två modeller är med betongklass C30/37 och höjderna 120 mm samt 160 mm där något större sprickvidder fås. I Figur 6.9 visas sprickvidderna för den 120 mm höga plattan och hållfasthetsklass C30/37. Vid jämförelse med Figur 6.10 som visar sprickvidderna samma platta i hållfasthetsklass C40/50, kan skillnaderna i sprickvidd ses. Sprickfördelning för samma modeller visas i Figur där plattan i C30/37 har ett mindre antal sprickor än C40/50. Figur 6.9 Sprickvidder vid platthöjd 120 mm, betongklass C30/37. Figur 6.10 Sprickvidder vid platthöjd 120 mm, betongklass C40/50. Figur 6.11 Sprickfördelning, platthöjd 120 mm, betongklass C30/37 och armering enligt EC 7.3.2(1) för underarmerad, balanserad samt överarmerad. 61

80 Figur 6.12 Sprickfördelning, platthöjd 120 mm, betongklass C40/50 och armering enligt EC 7.3.2(1) för underarmerad, balanserad samt överarmerad Armeringsspänning När sprickbildningen i de undersökta plattorna når armeringens nivå uppstår drag- och tryckspänningar i armeringen. Vid en spricka blir armeringen dragen och mellan sprickor blir den tryckt. Detta beteende redovisas i Figur där en platta av höjden 200 mm och betongklassen C30/37 har simulerats med stegvis växande krympning. Figur 6.13 Armeringsspänning vid 0,30 krympning i överkant, platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. Maximal tryckspänning är 40 MPa och maximal dragspänning är 129 MPa. Figur 6.14 Armeringsspänning vid 0,65 krympning i överkant, platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. Maximal tryckspänning är 90 MPa och maximal dragspänning är 194 MPa. Figur 6.15 Armeringsspänning vid 1,0 krympning i överkant, platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. Maximal tryckspänning är 140 MPa och maximal dragspänning är 189 MPa. I samtliga undersökta modeller med armering enligt EC 7.3.2(1), det vill säga underarmerad, balanserad och överarmerad, nås inte armeringens flytgräns som är satt till 500 MPa, se Bilaga 10. I de undersökningar som gjorts har den maximala armeringsspänningen nått värden inom intervallet MPa. I samtliga modeller hade de överarmerade lägst och de underarmerade något högre dragspänningar. Spänningarnas storlek har här ett samband med de uppkomna sprickvidderna då sprickvidderna är större vid högre armeringsspänning. 62

81 6 Resultat Axialkrafter Då plattan krymper uppstår en dragande axialkraft. Vid ett visst värde på krympningen spricker plattan och axialtvånget minskar drastiskt, vilket kan ses i Figur 6.16 och Bilaga 11. Den axialkraft som plattan når upp till innan sprickning visar sig i analyserna vara upp till 1,08 gånger högre än den som förväntas i och med den spänningsfördelning som legat till grund för armeringsdimensioneringen. Axialkraften efter uppsprickning är i stort sett konstant eller ökar litet då krympningen ökar ytterligare. Den maximala axialkraften är 1,8 till 3,6 gånger högre än genomsnittet av axialkraften efter uppsprickning. För de dubbelarmerade plattorna kan förhållandet ses öka, då platthöjden ökar. Axialkraften efter uppsprickning är mindre för mindre armeringsmängder. Figur 6.16 Axialkraft vid platthöjd 200 mm och betongklass C30/ Referensmodeller Meshkonvergens Konvergensanalysen visar inte någon tendens till konvergens. Snarare medför en minskad storlek på elementen en divergens i resultatet, vilket kan ses i Figur 6.17 och 6.18 där varje dataserie representerar antal element i plattans höjd och den motsvarande storleken på dessa element så som de definierats i Atena. Skillnaden i sprickvidd mellan modeller minskar ej då elementen minskas. För den 120 mm höga plattan kan en ökning av skillnad i sprickvidd ses, då elementstorleken minskas. I båda modellerna uppnås den minsta sprickvidden då element med storlek 12 mm används, och en betydligt större för element med storlek 16 mm. 63

82 Figur 6.17 Sprickvidder vid olika mesh, höjd 120 mm och hållfasthetsklass C30/37. Figur 6.18 Sprickvidder vid olika mesh, höjd 200 mm och hållfasthetsklass C30/37. I den 120 mm höga plattan har två modeller fyra element över platthöjden. Sprickvidderna för dessa två modeller överensstämmer väl, men är ej identiska. Figur 6.19 och 6.20 visar sprickmönster och deformerad form för 0,5 överkantskrympning, där deformationerna förstorats med en faktor 50. Tendens till stora sprickor i modellens kant ökar med större elementstorlek. För mindre elementstorlekar bildas också sprickor nära kanten, men dessa är då inte störst. I modellen med endast två element i platthöjden bildas sprickorna uteslutande vid plattans kant vid detta värde på överkantskrympning, vilket motsvarar puckeln" på grafen över sprickvidder i Figur Antalet bildade sprickor av medelstorlek" liksom sprick-avstånden varierar beroende på elementstorlek. Speciellt den 120 mm höga plattan uppvisar stora skillnader i antalet bildade sprickor. 64

83 6 Resultat Figur 6.19 Sprickmönster och deformation av 120 mm hög platta med antal element i platthöjden: 10, 8, 6, 4, 4, Figur 6.20 Sprickmönster och deformation av 200 mm hög platta med antal element i platthöjden: 18, 12, 10, 8, 6, 4. Inverkan av modellängd En analys har utförts för att undersöka modellängdens inverkan på sprickbildningen. Den största skillnaden i sprickvidd mellan två modeller är i storleksordningen 0,14 mm, se Figur Då storleken på krympningen ökar, ökar också inverkan av modellängden, vilket kan ses i Figur I jämförelse mellan den fem meter långa grundmodellen och den tio meter långa modellen erhölls mycket lika sprickvidder upp till 0,6 krympning i överkant. För högre värden på krympningen gav den längre modellen upp till 0,12 mm lägre sprickvidder än grundmodellen. Största sprickvidd varierar ej linjärt med plattlängd, då längden ändras litet. Av de undersökta längderna utmärker sig den 4,5 m långa modellen, som ger högst värden på sprickvidder vid 0,5-0,9 krympning i överkant. För detta intervall ger denna modell konsekvent ca 0,06 mm högre värden på sprickvidder, jämfört med både den fem och den fyra meter långa modellen. Axialkraften per meter platta, för den fem meter och den tio meter långa plattan kan ses i Figur Sprickbildningen för samma plattor vid 0,5 och 1,0 krympning i överkant 65

84 kan ses i Figur Axialkraften är lägre vid stor krympning för den längre plattan. I den längre plattan bildas fler sprickor då krympningen ökar medan den kortare plattan inte visar någon tendens till bildande av fler sprickor då krympningen ökar, se Figur För 0,5 krympning i överkant, vilket representeras av Figur 6.24, är sprickvidden minst för 5,5 m platta och näst lägst för 5 m. Figur 6.21 Sprickvidder vid olika plattlängd, höjd 120 mm och hållfasthetsklass C30/37. Figur 6.22 Axialkraft per meter vid olika plattlängd. 66

85 6 Resultat 0,5 1,0 0,5 1,0 Figur 6.23 Sprickmönster för 10 m samt 5 m lång platta vid 0,5 och 1 krympning i överkant. Platthöjd 200 mm, hållfasthetsklass C30/37 och armering enligt EC 7.3.2(1) balanserad. 4 m 4,5 m 5 m 5,2 m 5,5 m 10 m Figur 6.24 Sprickmönster för olika plattlängder vid överkantskrympning 0,5. Platthöjd 200 mm, hållfasthetsklass C30/37 och armering enligt EC 7.3.2(1) balanserad. Approximation krympgradient För att undersöka om den linjära approximationen av krympgradienten är god har den jämförts med en krympgradient som ligger nära den ickelinjära krympgradienten. Tre genomgående sprickor uppstår i varje modell, men ej på samma ställen, se Figur 6.25 och Sprickvidderna vid övre armeringsnivån för modellen med tredelat linjär gradient är något större, se Tabell 6.2. Den tredelade krympgradienten visar större benägenhet till sprickor längs med överkant, precis innan en genomgående spricka bildas. En jämförelse mellan modellerna visar att efter att den första genomgående sprickan bildats är sprickorna i överkant av likartad storlek och spridning. Den största töjningen i armeringen överensstämmer mycket väl med 1,196 för modellen med tredelat linjär krympgradient och 1,197 för modellen med linjär krympgradient vid medelkrympning 0,264. I Figur 6.27 och 6.28 kan diagram över armeringstöjningen ses. Figur 6.25 Sprickmönster, tredelat linjär krympgradient, medelkrympning 0,264. Platthöjd 400 mm, hållfasthetsklass motsvarande karaktäristisk tryckhållfasthet om 54 MPa och armeringsinnehåll enligt [2]. 67

86 Figur 6.26 Sprickmönster, linjär krympgradient, medelkrympning 0,264. Platthöjd 400 mm, hållfasthetsklass motsvarande karaktäristisk tryckhållfasthet om 54 MPa och armeringsinnehåll enligt [2]. Tabell 6.2 Sprickvidder vid övre armeringsnivå. Modell Sprickvidd vid övre armeringsnivå, genomgående sprickor [mm] Tredelat linjär krympgradient Linjär krympgradient 0,271 0,265 0,218 0,245 0,229 0,226 Figur 6.27 Töjning i armering, tredelat linjär krympgradient, medelkrympning 0,264. Figur 6.28 Töjning i armering, linjär krympgradient, medelkrympning 0, Randvillkors inverkan på sprickbildning En kompletterande studie har utförts där numeriska simuleringar behandlat underlagets och tvångets inverkan på sprickbildningen i plattorna. Resultatet från underlagets inverkan har analyserats utifrån uppkomna sprickvidder och kantresning. Inverkan av tvångets storlek har analyserats utifrån uppkomna sprickvidder och axialkrafter vid ett antal olika stödförskjutningar. 68

87 6 Resultat Underlag Fem olika variationer av underlagets styvhet har undersökts, genom en variation av underlagets fjäderkonstant, K. Då fjäderkonstanten ges värdet 40 GPa/m kan underlaget anses vara oeftergivligt. Fjäderkonstanter med värden 20 och 30 MPa/m kan anses representera normalstyva underlag vid grundläggning, medan 6 och 8 MPa/m bör ses som mjuka underlag, så som ett tjockt lager cellplast. I Figur 6.29 kan formen på underlagsreaktionen ses för 200 mm höga plattor vid 0.5 krympning i överkant. Plattorna består av betong av klass C30/37 och balanserad armering enligt EC 7.3.2(1). En teoretisk formel för spänningen i en osprucken betongsektion som innefattar underlagets styvhet redovisas i Bilaga 14. Detta samband ger dock betydligt större sprickavstånd än vad som observerats i FE-analyserna. I Figur 6.30 visas det teoretiska sambandet mellan överkantsspänning och sprickavstånd för det fall då kontaktlängden mellan jord och platta är lika med sprickavståndet, vilket ungefärligen motsvarar modeller med fjäderkonstanten 30 MPa/m. I Figur 6.31 visas motsvarande samband för ett oeftergivligt underlag. K=6 MPa/m K=8 MPa/m K=20 MPa/m K=30 MPa/m K=40 GPa/m Figur 6.29 Underlagsreaktionens form för olika fjäderkonstanter. 200 mm, 0.5 ökkrympning, balanserad armering mot spänning, C30/37. 69

88 Figur Teoretiskt samband mellan sprickavstånd och spänning i betongens överkant mitt emellan sprickor vid 0,3 överkantskrympning. Underlagsreaktionen motsvarar ungefärligen en fjäderkonstant av 30 MPa/m. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. Figur Teoretiskt samband mellan sprickavstånd och spänning i betongens överkant mitt emellan sprickor vid 0,3 överkantskrympning. Underlagsreaktionen motsvarar ungefärligen ett oeftergivligt underlag. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. 70

89 6 Resultat Sprickvidder Sprickvidder för de fyra olika platthöjderna för betongklass C30/37 kan ses i Figur För den 200 mm höga plattan undersöktes även betongklass C20/25 och C40/50, vars sprickvidder presenteras i Figur 6.36 respektive Sprickvidderna blir generellt sett mindre med ett styvare underlag. Sprickvidder i den 160 mm höga plattan är mindre påverkad av variation av underlagets styvhet, där den största skillnaden i sprickvidd uppgick till ca 0,1 mm. För de undersökta underlagen, ger en högre betongklass större spridning av sprickvidder, vilket kan ses då Figur 6.34, 6.36 och 6.37 jämförs. Skillnaden ökar i takt med att krympningen ökar. För betongklass C20/25 är den största skillnaden i sprickvidd ca 0,2 mm. För betongklass C40/50 är den största skillnaden i sprickvidd ca 0,3 mm. De lägsta sprickvidderna uppnås i modeller med det mycket styva underlaget. Figur 6.32 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 120 mm. Figur 6.33 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 160 mm. 71

90 Figur 6.34 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 200 mm. Figur 6.35 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 300 mm. Figur 6.36 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C20/25 och platthöjden 200 mm. 72

91 6 Resultat Figur 6.37 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C40/50 och platthöjden 200 mm. Kantresning Kantresning för plattor av betongklass C30/37 kan ses i Figur I figuren redovisas kantresning av de fyra platthöjderna för underlag med fjäderkonstant 40 GPa/m och 6 MPa/m. Kantresningen är högre då underlaget är mjukare, speciellt direkt efter upp-sprickning. Den enkelarmerade plattan utmärker sig med en högre kantresning än de dubbel-armerade, både då underlaget är mjukt och då det är hårdare. Figur 6.38 Kantresning för olika platthöjder vid mjukt och hårt underlag. 73

92 6.3.2 Stödförskjutning i horisontalled av ändupplag I Figur 6.39 visas sprickvidder mot krympning i plattans överkant vid stödförskjutning av ändupplag. Vid större förskjutning av stödet sker uppsprickningen senare, vid en större krympning. Vid 75 % och 100 % förskjutning blir sprickvidderna lägre än sprickvidderna för modellen av en fri kant. I Figur 6.40 visas axialkraft i plattan per meter bredd, mot förskjutningen av stödet. Vid en mindre förskjutning uppnås en större axialkraft. Vid 75 % och 100 % förskjutning uppstår tryckkrafter i plattan. I Figur 6.41 kan skillnader i sprickning ses mellan modellerna med fri kant och stöd-förskjutning. Finns ingen fri kant så bildas sprickor längs hela modellen. I figuren visas även momentdiagrammet för plattorna, för att visa hur momentet ändras vid uppsprickning, där ett moment som ritas ovanför plattans underkant ger dragning i plattans överkant. Figur 6.39 Sprickvidder vid olika stödförsskjutning. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. Figur 6.40 Axialkraft vid olika stödförsskjutning. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37. 74

93 6 Resultat Fri kant 75 % 100% Figur 6.41 Deformerade plattor överlagda med momentdiagram vid olika krympning. Överst: fri kant. Mitt: 75 % av stödförskjutning. Underst: 100 % av stödförskjutning. För varje modell är den övre bilden precis efter uppsprickning och den undre vid 1 krympning i överkant. Deformationen är 50 gånger förstorad. 6.4 Sprickutveckling Undersökningar över sprickutveckling vid yttre last respektive inre last har gjorts för att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av yttre och inre belastning. Resultaten redovisar de sprickvidder och den fördelning av sprickor som uppkommit i respektive fall samt en stegvis utveckling av sprickornas uppkomst Sprickutveckling vid yttre last En undersökning av sprickutvecklingen har utförts med programmen Atena och WIN-Statik. Analyserna har omfattat fyra fall, där fall 1 och 2 inneburit en yttre belastning motsvarande två gånger betongens draghållfasthet samt där fall 3 och 4 inneburit en yttre belastning motsvarande fem gånger draghållfastheten. Analyserna visade de uppkomna sprickvidderna och läget på dessa utefter plattan. Resultatet för sprickvidderna i fall 1-4 visas i Figur