BIOSTATISTISK GRUNDKURS

Transkript

1 BIOSTATISTISK GRUNDKURS ÖVNINGSMATERIAL VT 2014 Naturvetenskaplig fakultet Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM

2

3 Övningsmaterial 1 Övningsuppgifter 1. I en population röker 20 % och 15 % använder snus. Dessutom är det 5 % som både röker och snusar. Vi väljer en person slumpmässigt, vad är sannolikheten att personen gör minst en av aktiviteterna röker/snusar? Rita gärna ett Venndiagram. 2. I en stor befolkning har 3 % reumatism. Vi väljer två individer, A och B, slumpmässigt. (a) Vad är sannolikheten att både A och B har reumatism? (b) Vad är sannolikheten att minst en av dem har reumatism? (c) Vad är sannolikheten att ingen av dem har reumatism? (d) Vad är sannolikheten att precis en av dem har reumatism? 3. På en arbetsplats skadas 1 % av personalen under ett år. Vi vet att 40 % av alla skadade var kvinnor och att 30 % av de anställda var kvinnor. Vad är sannolikheten att en kvinnlig anställd råkar ut för en skada enligt denna undersökning? 4. På ett arbetsplats finns 110 personer, varav 50 är kvinnor. Genom en enkät har man fått reda på vilka som är vegetarianer. Uppdelat på män och kvinnor är det Vegetarianer Ej vegetarianer Män Kvinnor En av de anställda väljs ut slumpmässigt. (a) Beräkna sannolikheten för att personen är vegetarian. (b) Antag att man vet att en kvinna valdes. Vad är sannolikheten för att hon är vegetarian? (c) Är händelserna kvinna väljs och vegetarian väljs oberoende? Motivera svaret. 5. I en dal finns två fabriker som båda, oberoende av varandra, vissa dagar använder en kemisk process som ger upphov till att toxiska föroreningar sprids i luften. Användandet beror inte på veckodag eller säsong. Fabrik A använder den kemiska processen 150 dagar av de totalt 260 arbetsdagarna under ett år medan fabrik B gör det under 30 dagar. (a) Vad är sannolikheten att fabrik A sprider föroreningen i dalen en given arbetsdag? (b) Vad är sannolikheten att den toxiska föroreningen sprids i dalen en given arbetsdag? (c) Vad är sannolikheten att föroreningen inte sprids i dalen under en arbetsvecka om fem dagar? (d) Vad är sannolikheten att den toxiska föroreningen sprids i dalen minst en dag under en arbetsvecka om fem dagar? (e) En viss dag visar mätningar att den toxiska föroreningen finns i dalen, vad är sannolikheten att det var fabrik A som gjorde utsläppet? 6. Ett nytt test för att avslöja en allvarlig sjukdom har tagits fram. Det ger positivt utslag med sannolikheten 0.99 om personen har sjukdomen fast med sannolikheten 0.05 även om personen inte har den. Det anses vara känt att 1 % av patientmaterialet har sjukdomen. (a) Beräkna den intressanta sannolikheten att en patient har sjukdomen om testet är positivt.

4 2 Biostatistisk grundkurs (b) Vilken egenskap hos testet ska man försöka ändra för att få en högre sannolikhet i a)? Ska man försöka få 0.05 att bli 0 eller 0.99 att bli 1? (c) Antag att testet istället används i ett land där 50 % har sjukdomen. Vilket svar ger då frågan i (a)? 7. En medicin ger upphov till biverkan med sannolikhet Man ger denna medicin till 30 patienter. (a) Vad är sannolikheten att minst en patient får biverkan? (b) Vad är det förväntade antalet patienter som får biverkan? 8. I ett land är sannolikheten att smittas av HIV vid blodtransfusion 1 %. Antag att en person får blodtransfusion vid 20 tillfällen. Vad är sannolikheten att denna individ smittas någon gång med HIV genom blodtransfusion? 9. Vid ett tärningsspel får man flytta en spelpjäs det antal steg tärningen visar, utom då den visar 1, då får man flytta sex steg. Låt X vara det antal steg man får flytta spelpjäsen. (a) Vilka värden, x, kan X anta? (b) Vad är sannolikheten att man får flytta precis tre steg, d.v.s. vad är f (3) = P(X = 3)? (c) Vad är sannolikheten att man får flytta precis sex steg, d.v.s. vad är f (6) = P(X = 6)? (d) Ange hela sannolikhetsfunktionen, f (x) = P(X = x) för X, d.v.s. f (x) för de värden på x som X antar. Skissa funktionen! (e) Vad är sannolikheten att man får flytta högst tre steg, d.v.s. vad är P(X 3)? (f) Vad är det förväntade antalet steg man får flytta, d.v.s. vad är E(X )? 10. En stokastisk variabel X antar enbart värdena 0, 1, 2 och 3. Mat vet att X antar värdena 0, 1 och 2 med lika sannolikhet medan sannolikheten att X =3 är 0.4. (a) Ange sannolikhetsfunktionen för X och skissa funktionen. (b) Beräkna P(X 2) (c) Beräkna P(X > 1) (d) Beräkna P(X 2) (e) Beräkna E(X ) (f) Beräkna Var(X ) 11. En medicin ger upphov till biverkan med sannolikhet 0.2. Man ger denna medicin till 30 patienter. (a) Ange sannolikhetsfunktionen för X = antalet patienter av de 30 som får biverkan. (b) Beräkna sannolikheten att ingen får biverkan, d.v.s. P(X=0) (c) Beräkna sannolikheten att minst en får biverkan, d.v.s. P(X>0); jfr uppgift 7. (d) Beräkna sannolikheten att precis två personer får biverkan. 12. Ungefär vart 10:nde år översämmar ett vattendrag och ger upphov till skador. Antag att översvämningar olika år sker oberoende av varandra. (a) Berkna sannolikheten för översvämning under ett år.

5 Övningsmaterial 3 (b) Ange fördelningen för X = antal översvämningar under n år. (c) Beräkna sannolikheten för minst en översvämning under 5 år. 13. Antalet fall av leukemi i en befolkning kan ofta modelleras med hjälp av en poissonfördelning. Genom att jämföra med nationella cancerregistret förväntar man sig, under en viss tidsperiod, 9 fall i ett område. (a) Vad är sannolikheten att man observerar exakt 9 fall i området? (b) Vad är sannolikheten att man observerar minst 9 fall i området? (c) Inför statistikdelen i kursen: I området observerade man 19 fall. Tyder detta på att området är mer drabbat av leukemi än resten av landet? 14. Antalet jordskalv under ett år i ett område anses vara poissonfördelat med parameterλ, dvs om X = antalet jordskalv under ett år gäller X Po(λ). (a) Gör en konkret tolkning av parameternλ. (b) Antag attλ = 1.6. Vad är sannolikheten för högst 2 jordskalv under ett år? (c) Antag attλ = 1.6. Vad är sannolikheten för ett jordskalvsfritt decennium i området? 15. Från en busshållplats går punktligt en buss var 10:e minut. Du kommer till busshållplatsen vid en slumpmässigt vald tidpunkt, låt X = din väntetid. En lämplig modell är att X är rektangelfördelad (likformigt fördelad) i inter vallet (0, 10). Det innebär att täthetsfunktionen är f (x) = 1 10 då 0 x 10 och 0 för alla andra värden på x. Nedan är täthetsfunktion och motsvarande fördelningsfunktion ritade Täthetsfunktion f(x) x väntetid Fördelningsfunktion F(x) x väntetid (a) Vad är sannolikheten att du får vänta mindre än 2 minuter, d.v.s. vad är P(X 2)? Markera hur sannolikheten kan beräknas i de båda figurerna. (b) Vad är sannolikheten att du får vänta mer än 7 minuter, d.v.s. vad är P(X > 7)? Markera hur sannolikheten kan beräknas i de båda figurerna. (c) Vad är sannolikheten att du får vänta mellan 3 och 8 minuter, d.v.s. vad är P(3 X 8)? Markera hur sannolikheten kan beräknas i de båda figurerna. (d) Vad är den förväntade väntetidenμ?

6 4 Biostatistisk grundkurs 16. Från en stor population av kvinnor mellan år valdes slumpmässigt 225 och deras serumkolesterolhalt (mmol/l) mättes: Man ville undersöka om man kunde beskriva serumkolesterolhalten i den ursprungliga populationen med en lämplig statistisk standardmodell. När man ritade de 225 värdena i ett histogram (översta grafen i figuren nedan) såg man att en normalfördelning förmodligen var en rimlig modell (mittersta grafen). I understa grafen är täthetsfunktionen, f (x), för denna normalfördelning ritad antal serumkolesterol antal serumkolesterol Täthetsfunktion f(x) serumkolesterol Ett annat sätt att beskriva fördelningen är att rita kumulativ relativ frekvens för de 225 värdena (översta grafen i figuren nedan). Underst är fördelningsfunktionen, F(x), för normalfördelningen uppritad. 1 Kumulativ relativ frekvens serumkolesterol 1 Fördelningsfunktion F(x) Från den angivna modellen: serumkolesterol (a) Vad är väntevärdet (populationsmedelvärdet)μ? Markera det i figurernas båda understa grafer.

7 Övningsmaterial 5 (b) Uppskatta sannolikheten att serumkolesterolhalten understiger 6.5 mmol/l. Markera hur sannolikheten beräknas i figurernas båda understa grafer. (c) Uppskatta sannolikheten att serumkolesterolhalten överstiger 6 mmol/l. Markera hur sannolikheten beräknas i figurernas båda understa grafer. (d) Uppskatta den serumkolesterolhalt som överstigs av 20 % av populationen. Markera halten i figurernas båda understa grafer. (e) Uppskatta standardavvikelsen,σ, i normalfördelningen. 17. I en population av ammande kvinnor är retinol (A-vitamin) i serum approximativt normalfördelad med väntevärde 1.3 mikromol/l och standardavvikelsen 0.4 mikromol/l. (a) Hur stor andel kvinnor har en retinolnivå mellan 1.0 och 2.0 mikromol/l? (b) Ange den retinolnivå som överstigs av 2.5 % av kvinnorna. 18. Antag att fasteblodsockernivån är normalfördelad med förväntat värde (populationsmedelvärde) 4.6 mmol/l och standardavvikelsen 1.1 mmol/l. (a) Diagnosen diabetes definieras som fasteblodsockervärden som är större än 6.7 mmol/l enligt WHO. Hur stor andel av befolkningen skulle bli klassificerad som diabetiker enligt denna definition? (b) Det är vanligt att fasteblodsockernivån ligger mellan 4.0 och 6.0 mmol/l. Hur stor andel av befolkningen har värden som ligger inom detta intervall? (c) Antag att vi är intresserade av att undersöka personer med de allra högsta värdena på blodsockret, nämligen de som ligger över 99:e percentilen. Vilket blodsockervärde bör dessa personer minst ha? Skissa gärna normalfördelningens täthetsfunktion och markera den eftersökta percentilen. 19. I marsklandet på sydöstra Jylland ligger stora områden under havsytans nivå skyddade av vallar. Det maximala vattenståndet under ett år vid Höjer räknat från en given referensnivå kan antas vara normalfördelat med väntevärde 300 och standardavvikelse 75 (enhet: cm). Skyddsvallarnas höjd är 500 cm över referensnivån. Översvämning inträffar när vattenståndet når över skyddsvallarna. (a) Beräkna sannolikheten för översvämning ett år. (b) Beräkna sannolikheten för minst en översvämning under 100 år. 20. Årliga mängden regn i ett avrinningsområde varierar enligt en normalfördelning med väntevärde 1000 mm och standardavvikelse 200 mm. Antag att regnmängderna olika år är oberoende. Som en approximativ modell för relationen mellan regnmängd, X och avrinningen, Y, antar man att Y = X. (a) Vad är sannolikheten att regnmängden ett år understiger 900 mm? (b) Vilken regnmängd överstigs i 5% av åren? (c) Vad är sannolikheten att avrinningen ett år överstiger 600 mm? 21. Om bakteriehalten i dricksvatten överstiger 60 enheter anses det otjänligt. Bakteriehalten en slumpmässigt vald dag kan modelleras med hjälp av en normalfördelning med väntevärdeμoch standardavvikelse 7 enheter. (a) Man tar ett vattenprov och bedömer vattnets kvalitet efter detta. Antag attμär 50, vad är sannolikheten att dricksvattnet bedöms otjänligt?

8 6 Biostatistisk grundkurs (b) Man överväger att ändra provtagningen genom att basera bedömningen på medelvärdet av tre oberoende prover av bakteriehalten. Beräkna nu sannolikheten att dricksvattnet anses otjänligt om ett prov kan modelleras enligt N (50, 49). 22. Ett företag köper ammoniaklösning som skall ha en ammoniakhalt på 20 %. Vid ankomstkontrollen gör man tre oberoende mätningar av halten. Om summan av de tre halterna understiger 59 %, så slår laboratoriet larm, och partiet undersöks noggrannare. Antag att den sanna ammoniakhalten verkligen är 20 % i en sändning, och att en bestämning av halten varierar enligt N(20, 0.04). Vad är sannolikheten att laboratoriet ändå slår larm? 23. Vikten (enhet: gram) hos en slumpmässigt vald magnecyltablett är en s.v. med väntevärdet 0.65 och standardavvikelsen (a) Beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för sammanlagda vikten av 100 magnecyltabletter (antag deras vikter är oberoende). (b) Beräkna med hjälp av centrala gränsvärdessatsen approximativt sannolikheten att 100 magnecyltabletter väger högst 65.3 g. 24. Arsenik finns i små men mätbara mängder i avloppsvattnet från hushållen och man funderar på hur mycket arsenik som släpps ut från samhället Wik som består av 67 hushåll. Från tidigare undersökningar antar man att mätningarna följer en stokastisk variabel X som har en mycket sned fördelning (kanske lognormalfördelning?) där man uppskattat väntevärdet μ till μg och variansenσ 2 till Beräkna approximativt sannolikheten att den totala As-mängden från Wik överstiger 3.7μg. 25. En laboratorieassistent utför en viss rutinmätning ett stort antal gånger under en arbetsdag. Han har noterat att 50 % av mätningarna tar 1 minut att genomföra, 40 % tar 2 minuter medan resten tar 3 minuter. Han tror inte att arbetet under dagens lopp påverkas av inlärningseffekter eller förtröttningseffekter. Låt X = antal minuter att genomföra en mätning. (a) Vad är sannolikhetsfunktionen för X? (b) Bestäm E(X ) och Var(X ). (c) Vad är sannolikheten att han hinner med 100 mätningar på mindre än 170 arbetsminuter? 26. En person uppskattar sannolikheten att det finns en ledig parkeringsplats utanför bostaden när hon kommer hem från jobbet till 0.7. (a) Beräkna sannolikheten att hon hittar en plats under minst 8 av totalt 10 dagar. (b) Beräkna sannolikheten att hon hittar en plats under minst 80 av totalt 100 dagar genom att använda normalapproximation. (c) Undersök om du har en räknare som kan beräkna sannolikheten i (b)-uppgiften exakt. Gör det i så fall och jämför svaret med det du fick i (b). 27. Man studerar vikten hos 10-åriga flickor i Lund och antar att vikterna kan beskrivas av en N (μ,σ 2 ). För att estimera populationsmedelvärdetμ, väljer person A slumpmässigt ut 20 flickor, väger dem och beräknar sedan medelvärdet x. Person B väljer ut 40 flickor och motsvarande medelvärde betecknas ȳ. Båda personerna har då gjort var sin estimator avμ. (a) Vad är standard error of mean för A:s estimator, d.v.s. beräkna Var( x).

9 Övningsmaterial 7 (b) Vad är standard error of mean för B:s estimator? Vem av de två har den effektivaste estimatorn, d.v.s. den estimator som har minst varians? (c) A säger till B: Om vi ska kombinera våra skattningar till en gemensam kan vi ta uttrycket c 1 x + c 2 ȳ men då bör vi ha ett villkor på konstanterna c 1 och c 2, nämligen att c 1 + c 2 = 1. Har A rätt? 28. För att bestämma kvicksilverhalten hos gäddor i en viss sjö lades ett antal nät ut. Genom tidigare studier i liknande sjöar anser man sig veta att kvicksilverhalten är normalfördelad med väntevärde μ och standardavvikelseσ = 0.2 mg/kg. (a) Man fångade 10 gäddor och medelvärdet var 1.2 mg/kg. Beräkna ett 95 % konfidensintervall för μ. (b) Är det troligt att den förväntade halten av kvicksilver hos gäddor i denna sjö är 1.0 mg/kg? (c) Vilket är det minsta antalet gäddor man måste få om man vill göra ett 95 % konfidensintervall förμsom är högst 0.05 mg/kg brett? 29. Fortsättning från uppgift 28. Gör man ett tvåsidigt 95 % konfidensintervall för μ, den förväntade Hg-halten i fisk får man I μ = (1.08, 1.32). Vilka av följande påståenden är falska och vilka är sanna? (a) Gör en mätning av Hg-halten på en ny gädda kommer denna halt att ligga i intervallet med sannolikhet (b) Om jag vill halvera bredden på intervallet måste jag ta ungefär dubbelt så många gäddor. (c) Om jag vill göra ett 99 % konfidensintervall förμ, baserat på samma mätningar, blir det bredare än det angivna intervallet. (d) Om jag gjorde mätningar på många gäddor skulle ca 95 % av mätningarna ligga i intervallet. (e) Sjöns gäddbestånd har en genomsnittlig Hg-halt mellan 1.08 och 1.32 mg/kg (med 95 % säkerhet). 30. En forskare har konstruerat ett konfidensintervall för 15 olika okända parametrar. Varje konfidensintervall har konfidensgraden 0.90 och alla intervallen härrör från av varandra oberoende mätserier. Vissa av konfidensintervallen i bästa fall alla är korrekta, d.v.s. innehåller den avsedda parametern, medan något eller några nog missar sitt mål. Vilka av de 15 intervallen som missar vet man inte, men man kan överväga hur många intervall som rimligen kan vara fel. (a) Om man använder den beskrivna metoden, hur stor är sannolikheten att vart och ett av de 15 intervallen innehåller den avsedda parametern? (b) Vad är det förväntade värdet på antal intervall som missar den avsedda okända parametern? (c) Vilket är det mest sannolika värdet på antal intervall som missar den avsedda okända parametern? 31. Från laboration pipetteringsövning i kursen cellbiologi: För att kalibrera en Gilsonpipett användes pipettinställningen 200 (μl). Vid fem mätningar användes en analysvåg för att registrera vikten av vattnet som kom från pipetten. Eftersom vattnets densitet vid 20 C är (g/ml) kunde man med en enkel division, för varje försök, bestämma volymen vatten från pipetten. Resultat: Pipettinställning (μl) Volymmätning (μl) (a) Ange medelvärde, standardavvikelse och variationskoefficient för de fem mätningarna.

10 8 Biostatistisk grundkurs (b) Ange medelfelet ( standard error of the mean ) för medelvärdet. (c) Antag att mätningarna varierar enligt en normalfördelning som är centrerad kring μ, där μ tolkas som den förväntade volymen hos pipetten när den är inställd på 200 (μl). Bestäm ett 95 % konfidensintervall förμ. (d) Använd resultatet i (c) för att avgöra om pipetten verkar vara felinställd. 32. Man valde slumpmässigt ut 50 stycken 10-åriga flickor i Skåne och mätte deras vikt. Undersökningen gav x = 35.3 kg och s = 3.75 kg. (a) Gör ett 95 % konfidensintervall för förväntad vikt (populationsmedelvärde) hos 10-åriga skåneflickor. Normalfördelade vikter är ett rimligt antagande. (b) Antag att för 10-åriga flickor i Sverige gäller att förväntad vikt är 33.5 kg. Kan man anse att skåneflickor väger annorlunda än populationsmedelvikten? (c) Under samma förutsättningar som i (b), kan man anse att skåneflickor väger mer än populationsmedelvikten? 33. Man vill undersöka halten av bly på en viss arbetsplats. Vid mätning av halten uppkommer ett analysfel varför ett mätresultat kan anses vara ett utfall av en slumpvariabel som är N (μ, ) därμär den verkliga halten (i ppm) och standardavvikelsen σ = 1.3 är ett mått på analysmetodens precision. Vid en undersökning görs fem oberoende mätningar och man får följande resultat (a) Gör ett tvåsidigt 95 % konfidensintervall förμ. (b) Ur de anställdas synpunkt är det mer intressant att studera ett ensidigt konfidensintervall. Vilken typ av intervall är det? Beräkna intervallet. 34. Gräns för rattfylleri är 0.2 promille. Vid trafikkontroll görs på varje person tre mätningar av alkoholhalten i blodet, x 1,...,x 3. Som modell antar man att de tre mätningarna är observationer från en normalfördelning N(μ,σ 2 ) därμär genomsnittlig alkoholhalt i blodet ochσär ett mått på mätmetodens precision. Från ett stort antal tidigare mätningar tror man sig veta att σ = När mätningar gjordes på Kalle visade det sig att medelvärdet av hans alkoholhalter var (a) Problemet om Kalle ska dömas eller inte kan angripas med hjälp av ett hypotestest, sätt upp lämplig nollhypotes och mothypotes. (b) Utför testet antingen med hjälp av ett konfidensintervall, med en testkvantitet eller med hjälp av ett prob-värde. Var noga med att ange vilka dina slutsatser från testet är. 35. Vid en laboration mäts halten koppar i trä. Injicerat var en kopparstandard med koncentration 200 ng/l. En grupp laborationsovana studenter gjorde 9 mätningar och fick följande resultat: Som modell antar vi att deras mätningar kan beskrivas av en normalfördelning med populationsmedelvärde (väntevärde)μoch standardavvikelseσ. Om X är gruppens resultat gäller alltså N(μ,σ 2 ). Vi ska fundera på om vi kan påvisa att gruppen har ett systematiskt fel i sina mätningar d.v.s. om derasμ avviker signifikant från det sanna värdet 200. (a) Sätt upp lämplig nollhypotes och mothypotes kringμ.

11 Övningsmaterial 9 (b) Till att börja med antar vi (kanske något orealistiskt) att vi kännerσoch attσ = 10. Gör ett 95 % konfidensintervall förμ. Är det troligt attμ = 200? Vad är alltså er slutsats om H 0? (c) Gör även 99 % konfidensintervall och 99.9 % konfidensintervall förμ. Gör en sammanfattande slutsats: verkar gruppen ha ett systematiskt fel i sina mätningar? Med vilken säkerhet uttalar ni er? (d) Utför nu analysen genom att göra ett test på nivåα = Vad noga med att ni förstår vad signifikansnivån (felrisken) 0.05 står för. (e) Utför även testet på nivåernaα = 0.01 ochα = Gör en sammanfattande slutsats och jämför med resultaten då ni gjorde konfidensintervall. (f) Svårare: Antag att gruppens systematiska fel är 10, d.v.s. de mäter alltid i genomsnitt 10 enheter för lågt såμ = 190. Beräkna sannolikheten att vi med vårt test i (d) kommer att upptäcka att H 0 är falsk, d.v.s. förkastar H 0. Det som efterfrågas är testets styrkefunktion i punkten 10. (g) Beräkna testets exakta signifikansnivå (felrisk) genom att beräkna testets s.k. p-värde (probvärdet). Vad drar ni för slutsats av det? Ange även resultatet i stjärnsystemet. (h) Antag nu attσär okänd och måste skattas med s. Använd er räknare för att göra detta. (i) Utför nu testet på nivåα = 0.05 igen under antagandet om ett okäntσ. Detta kallas ofta för t-testet. 36. Vid tillverkning av ett visst läkemedel är det viktigt att viktandelen av ett visst ämne inte ligger allt för långt under 18%. Vid en processkontroll tar man med jämna mellanrum slumpmässigt ut 5 prov ur produktionen och bestämmer viktprocenten av ämnet, x 1,...,x 5. Om x understiger 18% alltför mycket, d.v.s. om x < k, anser man att processen är ur kontroll och slår larm. Eftersom man studerat tillverkningsprocessen en längre tid ansåg man att x 1,...,x 5 är observationer från en normalfördelning med väntevärdeμ(som alltså är 18 då processen är under kontroll) och en standardavvikelse 1.1. (a) I processkontrollen löper man en viss risk att slå larm även om processen är under kontroll. Bestäm k så att sannolikheten för falskt larm är (b) Om man använder den alarmgräns som du bestämt i (a), vad är sannolikheten att upptäcka att processen är ur kontroll då den verkliga viktprocenten är 17%? 37. Hög kolesterolhalt i blodet är en riskfaktor för hjärt- och kärlsjukdomar. I en studie ville man undersöka om ett aktiveringsprogram bestående av flera faktorer (rökstopp, mental och fysisk träning) hade någon effekt. 20 män med för höga halter av kolesterol ingick i studien och 10 av dessa (Agrupp) valdes slumpmässigt ut för att genomgå aktiveringsprogrammet. De övriga 10 (B-grupp) levde som vanligt. Efter ett halvår mätte man kolesterolhalten (mmol/l) på samtliga 20 män igen. A-grupp: person A-före A-efter B-grupp: person B-före B-efter (a) Innan man påbörjade studien ville man försäkra sig om att det inte fanns några skillnader mellan A-och B-gruppen beträffande genomsnittlig kolesterolhalt. Kan man vara lugn på den punkten?

12 10 Biostatistisk grundkurs (b) Använd data från grupp A för att undersöka om aktiveringsprogrammet sänker förväntad kolesterolhalt hos män. 38. En kemist undersöker föroreningarna i ett vattendrag. Bland annat är hon intresserad av föroreningarna från en viss industri längs ån. Hon tar därför under 20 olika dagar prover uppströms och under 25 andra dagar prover nedströms räknat från den aktuella industrin och mäter storleken av en viss förorening i samtliga prov. Följande data erhölls: Medelvärde Standardavvikelse Antal prover Uppströms Nedströms Som modell antar hon att mätningarna uppströms kommer från en normalfördelning med väntevärde μ upp och variansσ 2, medan mätningarna nedströms beskrivs av en normalfördelning med väntevärde μ ned och samma variansσ 2. (a) Hon vill använda båda mätserierna när hon ska skattaσ, hur blir skattningen? (b) Hur bör hon skatta den förväntade nedsmutsningen från industrin, d.v.s.μ ned μ upp? (c) Vad är variansen för denna skattning, d.v.s. vad är Var(μ ned μ upp)? (d) Vad är standardavvikelsen för denna skattning, d.v.s. vad är D(μ ned μ upp)? (e) Ange medelfelet för denna skattning, d.v.s. vad är d(μ ned μ upp)? (f) Kombinera dina resultat från (b) och (e) för att göra ett 95% konfidensintervall förμ ned μ upp. (g) Utifrån intervallet i föregående deluppgift, tyder data på att förväntad halt av föroreningen skiljer sig vid de två mätplatserna? (h) Föreslå en bättre försöksplan för kemisten, d.v.s. ge henne tips hur hon borde utföra sina mätningar för att mäta industrins nedsmutsning. (i) Jämför din försöksplan i (d) med kemistens ursprungliga. Vilken av dem ger upphov till modellen två oberoende stickprov och vilken till modellen stickprov i par? 39. Vid en hälsoundersökning mätte man kolesterolvärdet (mmol/l) hos 168 slumpmässigt urvalda kvinnor samtidigt som deras yrke noterades: Antal Medelvärde Standardavvikelse Arbetare Tjänstemän (a) Tyder data på att det finns en skillnad i kolestrolhalt mellan de två grupperna? Vilka antaganden om data gör du i analysen? (b) Finns det någon annan variabel som du skulle vilja mäta i denna undersökning? 40. Daghemmet Bullerbyn är beläget nära en kraftigt trafikerad väg. I samma stad, men omgiven av ett stort grönområde, är daghemmet Ängslyckan placerad. Från vart och ett av de två daghemmen valde man slumpmässigt ut fem barn och mätte deras halt av bly i blodet: Blykoncentration (ng/ml) Bullerbyn Ängslyckan

13 Övningsmaterial 11 Man misstänker att den genomsnittliga blykoncentrationen i blodet är högre hos Bullerbybarn än hos barn från Ängslyckan. Undersök om denna misstanke är befogad genom att göra ett lämpligt konfidensintervall. Antag att variationen i blyhalt inom ett daghem är normalfördelad med en varians som antas vara den samma för de två daghemmen. 41. Ett farmaceptiskt företag gjorde ett experiment för att studera hur snabbt en ny typ av smärtstillande medicin kunde lindra smärta. Det smärtstillande medlet gavs i 2 olika doser (låg dos om 2 g och hög dos om 10 g) till en grupp av kvinnliga patienter med liknande typ av smärta. Vid ett tillfälle fick patienten en en dos (man lät slumpen avgöra om det skulle vara låg eller hög) och några dagar senare den andra doseringen. Vid varje tillfälle mäter man tiden (i minuter) som det tog tills patienten upplevde en märkbar förändring: Kvinnlig patient Låg dos Hög dos Senare gjorde man motsvarande undersökning på 5 män: Manlig patient Låg dos Hög dos (a) Undersök om kvinnor upplever en förkortad tid till smärtlindring då de får en hög dos i stället för låg. Hur stor är den skillnaden i så fall? Antag lämpliga normalfördelningar. (b) Undersök om det finns en skillnad mellan kvinnor och män beträffande den genomsnittliga tid det tar till dess de upplever smärtlindring vid den höga dosen. Antag lämpliga normalfördelningar. (c) Undersök om skillnaden mellan upplevd smärtlindring vid låg respektive hög dos är den samma för båda könen. Antag lämpliga normalfördelningar. 42. Vid en undersökning av alkohols inverkan på reaktionstiden på 6 slumpmässigt utvalda personer fick man följande resultat (tid i sekunder) före alkohol efter alkohol Vad kan man säga om hur reaktionstiden påverkas av alkohol? Vad gör du för antaganden i analysen? 43. Man jämför årsmax av vattenflödet (m 3 /s) i ett vattendrag under en period då inga regleringar hade skett med en period med kraftiga regleringar: Medelvärde Skattad n standardavvikelse Ej reglerat Reglerat (a) Då man tittar närmare på data ser man att årsmax av vattenflödet approximativt kan modelleras med normalfördelningar. Undersök om det är rimligt att anta samma varians i de två fördelningarna, d.v.s. testa H 0 :σ 2 1 =σ2 2. (b) Gör ett approximativt 95 % konfidensintervall för skillnaden i förväntad årsmax mellan de två perioderna, d.v.s. testa H 0 :μ 1 =μ 2.

14 12 Biostatistisk grundkurs (c) Antag att antagandet om normalfördelade mätningar inte håller. Behöver detta bekymra dig i analysen? 44. Man vet av erfarenhet, när det gäller blodgrupper, att av svenskar är ca 15 % s.k. Rh-negativa. I ett stickprov om 75 personer med en viss blodsjukdom var 20 % Rh-negativa. (a) Konstruera ett 95 % konfidensintervall för andelen Rh-negativa med blodsjukdomen och tolka intervallet. (b) Var andelen Rh-negativa annorlunda bland personer med sjukdomen än bland friska personer? 45. I en influensaepidemi blev 532 barn i en skola med 1264 elever sjuka. Uppskatta, med ett konfidensintervall, sannolikheten att ett barn fick influensa. 46. Sedan länge har man använt det smärtstillande medlet A efter operation och noterat att det fungerade bra för 80 % av patienterna. Nu vill man pröva medlet B som anses vara bättre. Av de 200 patienter som fick B kände 170 en lindring av smärta. Är det från dessa data motiverat att byta smärtlindringsmedel? 47. Man ville göra en jämförelse mellan två olika läkemedels botande förmåga. Sammanlagt 110 patienter med urinvägsinfektion förosakad av en viss bakterie ingick i försöket. Antibiotikum A gavs till 60 kvinnor varav 80 % blev friska. Antibiotikum B gavs till 50 kvinnor varav 60 % blev botade. Kan vi påstå att det finns någon skillnad mellan andelen botade med de respektive läkemedlen? 48. Det neurologiska tillståndet stiff person syndrome (svenskt namn tycks saknas) kännetecknas av fortskridande muskelstelhet, smärtsamma kramper och ibland ofrivilliga muskelryckningar. För att undersöka om förekomsten av detta syndrom är kopplat till förekomsten av anti-gad-autoantikroppar (GAD är en förkortning av glutaminsyredekarboxylas) gjordes en undersökning på totalt 550 personer varav 370 hade syndromet. Har anti-gad- Har ej anti-gadautoantikroppar autoantikroppar Normal Stiff person syndrome Finns det ett signifikant skillnad mellan grupperna då det gäller förekomst av anti-gad-autoantikroppar? Lös uppgiften genom att (a) undersöka om andelen som har anti-gad-autoantikroppar är den samma i de två grupperna (b) göra ettχ 2 -test. 49. Vid ett försök med en viss medicinsk behandling registreras för varje patient hurvida patienten förbättras eller inte efter behandlingen. När data om n = 10 patienter insamlats visar det sig att åtta av dem förbättrats. Tyder dessa data på att behandlingen är effektiv, d.v.s. kan vi anta att p > 0.5 där p = P(en patient förbättras)? 50. Antalet personer i en population som under ett år drabbas av en viss typ av cancer är poissonfördelat med ett väntevärde som beror på ålders- och könssammansättningen och om populationen är (eller har varit) utsatt för någon extra riskfaktor eller ej. Man misstänker att arbetare i en viss kemisk industri har större risk att få lungcancer än svensken i gemen och tar därför reda på antalet inträffade fall under perioden Man finner att 14 personer drabbats mot ett förväntat antal på 7.5, om risken varit lika med genomsnittsrisken i Sverige. Testa på nivån 5 % nollhypotesen att fabrikens arbetare har samma risk som genomsnittssvensken att få lungcancer mot att risken är högre.

15 Övningsmaterial För ett antal år sedan slog en lundaläkare larm i en brett upplagd tidningsartikel om att i ett område i Lund, beläget i närheten av en kemisk industri, var antalet fall av en sällsynt cancersjukdom ovanligt stort. I det aktuella området hade nio personer (sex kvinnor och tre män) drabbats av sjukdomen under en femårsperiod. Då läkaren studerade det rikstäckande cancerregistret såg han att i en population lika stor som den i det aktuella området borde man under denna femårsperiod förväntat sig att antalet sjukdomsfall skulle vara fyra. (a) Undersök om det aktuella lundaområdet är speciellt drabbat av cancersjukdomen genom att göra ett test på 5 %-nivån. Du får anta att antalet cancerfall under tidsperioden är poissonfördelat. (b) Läkaren förvånades över att företrädesvis kvinnor drabbades av sjukdomen men presenterade i tidningen en medicinsk teori. Vad är din reaktion? Ger denna undersökning stöd för att kvinnor är mer drabbade än män? Motivera tydligt ditt svar genom att t.ex. göra ett lämpligt test. Ange tydligt noll- och mothypotes. 52. Varje individ i en viss population hör i genetiskt hänseende till en av fyra kategorier K 1, K 2, K 3, K 4. Teoretiskt skall de fyra kategoriernas storlekar förhålla sig som 9 : 3 : 3 : 1. Vid en undersökning av 160 slumpmässigt utvalda ur populationen fick man följande resultat: kategori K 1 K 2 K 3 K 4 frekvens Hur många individer skulle man vänta sig att få i respektive kategori om teorin är riktig? Hur stor blir den testkvantitet med vars hjälp man kan testa om (med lättbegripliga beteckningar) H 0 : p 1 = 9/16, p 2 = p 3 = 3/16, p 4 = 1/16 är sann? Utför testet på nivån I en enkät till ett slumpmässigt urval skolbarn i åldrarna 8 13 år (n = 241, varav 135 var pojkar och 106 flickor) ställdes bl.a. frågan Känner du dig ensam? med svarsalternativen Aldrig, Sällan, Ibland och Ofta. Studien skall ge svar på hurvida det är någon skillnad mellan pojkars och flickors ensamhetskänsla. Svarsfördelningen blev: Svar Pojkar Flickor Totalt Aldrig Sällan Ibland Ofta Totalt Tyder data på att det finns en skillnad mellan pojkar och flickor i sjävrapporterad ensamhetskänsla? 54. Från ett register över trafikolyckor noterade man om olyckan hade dödlig utgång eller inte samtidigt som man undersökte om den skadade använt bilbälte vid olyckstillfället: Dödlig Ej dödlig Använt bälte Ej använt bälte Verkar de två faktorerna använda bilbälte och olyckan är dödlig vara statistiskt oberoende? 55. Högt blodtryck är en känd riskfaktor för olika typer av hjärtskjukdomar. En studie gjordes för att undersöka om det fanns ett signifikant samband mellan blodtrycket hos barn och deras fäder. Om

16 14 Biostatistisk grundkurs ett sådant samband finns var tanken att genom att undersöka blodtrycket på individer i ena gruppen kunna finna högriskindivider i den andra gruppen. På 90 elever i klass 9 och på deras fäder mättes därför blodtrycket. För samtliga individer klassificerades blodtrycket som tillhörande den undre, mellersta eller övre tredjedelen i respektive grupp. Barnens blodtryck Undre Mellersta Övre tredjedelen tredjedelen tredjedelen Fädernas Undre tredjedelen blod- Mellersta tredjedelen tryck Övre tredjedelen (a) Undersök, med ett lämpligt test, om blodtrycken hos barn och fäder kan anses vara oberoende av varandra. (b) Ebbe påpekar att man kan använda de ursprungliga blodtrycksmätningarna (och alltså inte göra en klassificering i grupper) för att undersöka om det finns ett samband mellan barns och fäders blodtryck. Antag alltså att de ursprungliga mätningarna betecknas Barnens blodtryck: x 1,...,x 90 Fädernas blodtryck: y 1,...,y 90 Beskriv hur ett test skulle gå till. Ange dina modellantaganden, hypoteser, testkvantitet och när nollhypotesen ska förkastas. 56. I en undersökning fick 20 slumpmässigt utvalda kvinnor mellan 17 och 19 år blåsa i en spirometer för att undersöka sin lungkapacitet (liter). Samtidigt noterades kvinnornas vikt och man var intresserad om det fanns något samband mellan de två variablerna. Person Vikt (kg) Lungkap. (l) Person Vikt (kg) Lungkap. (l) Räknehjälp: SP xy = ; SS x = ; SS y = ; x = ; ȳ = LUNGKAPACITET (liter) VIKT (kg)

17 Övningsmaterial 15 (a) Beräkna korrelationskoefficienten r och testa om det finns ett samband mellan vikt och lungkapacitet. (b) Antag en linjär regressionsmodell och skatta linjen. Testa om det finns ett samband mellan vikt och lungkapacitet. Hur mycket förändras lungkapaciteten om en kvinna ökar sin vikt med ett kilo? 57. Från laboration Proteinbestämning enligt Bradfordmetoden i kursen cellbiologi. I laborationen undersöktes absorbansen hos prov med olika spädningar av Bovint Serum Albumin (BSA)-standard. En laborationsgrupp uppmätte följande värden: Konc (mg/l) Absorbans Enligt Lambert-Beers lag gäller att absorbansen (A) kan beskrivas som en linjär funktion av koncentrationen (c): A = k c där konstanten k beror på ämnets molära absorptionskoefficient vid en viss våglängd samt kyvettens längd. Vid mätningar får man naturligtvis räkna med en viss slumpmässig variation, en rimlig modell är att absorbansen vid mätning nr i, A i, beskrivs linjärt av koncentrationen c i plus ett slumpmässigt fel: A i =β 0 +β 1 c i + e i där e i är oberoende och e i N(0,σ 2 ). Här motsvaras konstantenβ 1 av den tidigare k medanβ 0 är absorbansen i den lösning som BSA:n är löst, (buffert eller vatten). (a) Undersök om den linjära regressionsmodellen ovan är rimlig att anpassa till data. (b) Om värdet påβ 0 är signifikant skilt från noll, hur ska vi tolka detta? (c) Hur mycket ökar absorbansen då man ökar koncentrationen en enhet? Ange ett 95% konfidensintervall för denna storhet. (d) Vad är genomsnittlig absorbans för prov med koncentration 50 (mg/l)? Ange ett 95 % konfidensintervall för denna storhet. (e) Vi har ett prov med koncentration 50 (mg/l). Ange ett 95 % prediktionsintervall för absorbansen i just detta prov. (f) Huvudsyftet med mätningarna var att erhålla en standardkurva för hur absorbansen påverkas av koncentrationen. Anta att vi på ett prov med okänd koncentration c 0 uppmätte absorbansen Ange ett 95 % kalibreringsintervall för c I en studie av riskfaktorer för typ-2 diabetes undersöktes män i åldern år. Nedan ges värden på diastoliskt blodtryck och ålder för ett urval av 30 av dessa män:

18 16 Biostatistisk grundkurs Ålder Blodtryck (mm Hg) Ålder Blodtryck (mm Hg) Ålder Blodtryck (mm Hg) Man analyserade data enligt enkel linjär regression och fick följande datorutskrifter. ANOVA-tabell: Model Sum of df Mean square F Sig Squares Regression Residual Total Skattning av koefficienter: Skattning Std.error t sig. Konstant Ålder Några figurer: Överst skattad linje med 95 % konfidensintervall för linjen samt prediktionsintervall för enstaka värde; nederst till vänster ses en residualplot mot ålder; nederst till höger visas residualer i normalfördelningsdiagram 110 Linear Regression blodtryck alder Residuals Normplot of Residuals Lite räknehjälp: SP xy = ; SS x = ; SS y = ; x = ; ȳ =

19 Övningsmaterial 17 (a) Ange den antagna modellen. (b) Är det rimligt att anta denna modell? (c) Vad är skattningen avβ 0 interceptet i regressionslinjen? Vad är tolkningen av denna skattning? (d) Vad är skattningen avβ 1 lutningen i regressionslinjen? Vad är tolkningen av denna skattning? (e) Vad är skattningen av modellens σ? Hur påverkas denna skattning om observationerna ligger mer samlade kring linjen? (f) Vad kan du säga om hur mycket blodtrycket ökar, i genomsnitt, när en man blir ett år äldre i det aktuella åldersintervallet? (g) Vad är det förväntade blodtrycket hos en man i 50-årsåldern? (h) Vad skulle du säga det förväntade blodtrycket hos en man i 20-årsåldern är? (i) Du ska mäta blodtrycket på 50-årige Anders. Mellan vilka värden kommer hans blodtryck att ligga med 95 % sannolikhet? (j) Blodtrycket påverkas naturligtvis även av andra faktorer än ålder uppskatta hur stor del av variationen i blodtrycket vi förklarat med faktorn ålder? 59. Man ville undersöka om uppgifter om vikt givna i en enkät stämmer med verkliga viktuppgifter. Därför genomfördes ett test bland kvinnor i åldrarna år anställda i en viss organisation. I en enkätundersökning inkluderades frågor om bl.a. längd och vikt. Kort tid efter det att enkätsvaren lämnats, togs kvinnorna in för provtagning av företagshälsovården. Då kontrollerades även vikten. Om viktuppgiften från enkäten är y-variabel och den verkliga vikten x-variabel, erhölls följande resultat för sambandet mellan de båda viktuppgifterna. Båda vikterna anges i kg och variationsområdet är kg. n = 84; r = 0.82; y = x (a) Om det varit perfekt överensstämmelse mellan verklig vikt och uppgiven vikt, vad borde vi fått för värden på r samt påβ 0 ochβ 1 i linjen? (b) Gör en tolkning av hur väl viktuppgifterna från enkäten stämmer med den verkliga vikten.

20 18 Biostatistisk grundkurs

21 Svar 19 Svar 1. A-röker; B-snusar; P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= = (a) (b) (c) (d) (a) 110 (b) (c) Nej, eftersom P(veg) P(kvinna) P(veg kvinna) 5. (a) P(A) = (b) P(toxisk förorening sprids i dalen) = P(minst en av fabrikerna sprider föroreningar) = = = (c) ( ) 5 = (d) 1 ( ) 5 = (e) = (a) Pos: Positivt utslag, S: Sjuk, S : Frisk. P(Pos S) P(S) Sökt: P(S Pos) = P(Pos S) P(S)+P(Pos S ) P(S ) = = 1 6 (b) Om man lyckas ändra 0.05 till 0 fås den sökta sannolikheten till 1. En ändring av 0.99 (obs. inte den som har med 99 % av patienterna att göra) till 1 ger att den sökta sannolikheten ökar från ca till ca Dessvärre går det nog inte i verkligheten att minska antalet falsklarm utan att minska chansen till önskade larm. (c) Den sökta sannolikheten blir då (samma resonemang som i a) fast andra värden) (a) (b) Förväntat antal med biverkan är 6 (c) Standardavvikelsen är (a) X antar värdena 2, 3, 4, 5 och 6 (b) f (3) = 1 6 (c) f (6) = 2 6

22 20 Biostatistisk grundkurs (d) f (x) = { 1 6, x = 2, 3, 4, 5 2 6, x = 6 (e) P(X 3) = 2 6 (f) 26 6 = 4.33 { 0.2, x = 0, 1, (a) f (x) = 0.4, x = 3 (b) 0.6 (c) 0.6 (d) 0.6 (e) 1.8 (f) (a) X Bin(30, 0.2) (b) (c) (d) (a) 1 10 (b) X Bin(n, 1 10 ) (c) (a) (b) (c) P(observera minst 19 fall om det förväntas 9) = (a)λ tolkas som det förväntade antalet jordskalv under ett år. (b) P(högst 2 jordskalv under ett år) = (c) P(jordskalvsfritt decennium) = = (a) 0.2 (b) 0.3 (c) 0.5 (d) 5 minuter 16. (a)μ = 5.5 (b) Ungefär 0.90 (c) Ungefär 0.25 (d) Ungefär 6.2 mmol/l (e) Ungefär (a) 73.3 % (b) 2.08 mmol/l

23 Svar (a) 2.8 % (b) 60.7 % (c) 7.16 mmol/l 19. (a) (b) (a) (b) 1329 mm (c) (a) P(vattnet bedöms otjänligt) = (b) Medelvärdet av tre mätningar är en observation av X N (50, 49 3 ). P(vattnet bedöms otjänligt) = 1 Φ(2.474) = = X i = ammoniakhalt ; X i N(20, 0.04); 3 Y = total halt = X i N(60, ) ty ( i=1 3 ) E(Y ) = E i=1 X i = 3 i=1 E(X i) = 3 20 = 60; 3 ) Var(Y ) = Var( i=1 X i = 3 i=1 Var(X i) = ; D(Y ) = 0.2 3; ( ) P(Y < 59) =Φ 0.2 =Φ( 2.89) = 1 Φ(2.89) = = (a) Väntevärdet för sammanlagda vikten är = 65; standardavvikelsen är = (b) X =antalet minuter att genomföra en mätning. 0.5 x = x = 2 (a) f (x) = 0.1 x = 3 0 för övriga x (b) E(X ) = 1.6, E(X 2 ) = 3, Var(X ) = (c) P( X i < 170) Φ( ) =Φ(1.508) = i=1 26. (a) (b) (med normalapproximation)

24 22 Biostatistisk grundkurs 27. (a) (c) (exakt) (b) σ 20 σ ; B har den effektivaste estimatorn. 40 (c) Ja, eftersom den kombinerade estimatorn då blir väntevärdesriktig. 28. (a) I μ = (1.08, 1.32) (b) Nej, eftersom intervallet ej täcker över 1.0 (c) Man ska fånga minst 246 gäddor. 29. Påstående (c) och (e) är sanna, de övriga falska. 30. (a) (b) Förväntat antal är 1.5. (c) Mest sannolikt är att 1 intervall missar. 31. (a) x = ; s = ; CV = 1.82 % s (b) = (c) I μ = (201.1, 210.4) (d) Ja, eftersom intervallet ej täcker över (a) I μ = (34.23, 36.37) (95 % intervall) (b) Ja, eftersom intervallet ej täcker 33.5 (c) Ja, eftersom ett undre begränsat intervall förμär I μ = (34.41, ), täcker ej 33.5 (95 % intervall) 33. (a) (47.01, 49.29) (b) (, 49.11) eller alternativt (0, 49.11) eftersom halten alltid är positiv. Ett uppåt begränsat intervall är av intresse eftersom höga halter av bly är farliga. 34. (a) H 0 :μ 0.2; H 0 :μ>0.2 (b) ALT 1: 95 % konfidensintervall: I μ = (0.204, ) vilket ej täcker 0.2. ALT 2: Testkvantitet z = = 1.73 > 1.65 vilket är gränsen på signifikansnivå ALT 3: probvärde= P( X > 0.27 om X N(0.2, )) = < Samtliga alternativ ger naturligtvis samma slutsats: H 0 förkastas på nivå (a) H 0 :μ=200, H 1 :μ 200 (b) 95 % intervall: ( x± ) = (183.91, ). Eftersom intervallet ej täcker 200 förkastar vi H 0, konfidensgrad 95 % eller alternativt uttryckt på nivå (c) 99 % intervall: (181.86, ). Eftersom intervallet ej täcker 200 förkastar vi H 0 på nivå % intervall: (179.47, ). Eftersom intervallet täcker 200 kan vi ej förkasta H 0 på nivå På en konfidensgrad av 99 % kan vi påstå att gruppen har ett systematiskt fel. Detta fel är negativt och uppsakttas till ( , ) = ( 18.1, 7.0).

25 Svar 23 x 200 (d) x = ; z = 10/ 9 = Eftersom z = < 1.96 = z förkastas H 0 på nivå (e) Eftersom z = < = z förkastas H 0 på nivå Eftersom z = = z är slutsatsen att H 0 ej kan förkastas på nivå Då vi påstår att gruppen har ett systematisk fel är vår risk att uttala oss felaktigt (de har i själva verket inget systematisk fel) någonstans mellan 0.01 och (f) Styrka (g) 1 2 p-värdet= P( X < om X N(200, 10 9 )) = P(Z < om Z N(0, 1)) = = = p-värdet= Resultatet är två-stjärnigt signifikant. Då vi påstår att gruppen har ett systematisk fel är vår risk att uttala oss felaktigt (de har i själva verket inget systematisk fel) (h) ˆσ = s = 9.26 x 200 (i) t = 9.26/ 9 = Eftersom t < = t 0.975,8 förkastas H 0 på nivå Men eftersom t = t 0.995,8 kan vi nu inte förkasta H 0 på nivå När vi tvingas estimera det okändaσblir resultatet en-stjärnigt signifikant. 36. (a) k= (b) (a) Två oberoende stickprov : I μa μ B = ( 0.315, 0.175). Det verkar inte finnas någon skillnad mellan grupperna. (b) Stickprov i par : I μd 38. (a) σ = s p = (b) (μ ned μ upp ) = = 3.0 (c) Var((μ ned μ upp ) ) =σ 2 ( ) (d) D((μ ned μ upp ) ) =σ ( ) (e) d((μ ned μ upp ) ) = s p ( ) = (f) I μned μ upp = ( 0.22, 6.22) = (0.765, 1.055). Ja, programmet verkar ha effekt. (g) Eftersom intervallet täcker över 0 har hon inte påvisat en signifikant skillnad mellan de två mätplatserna beträffande förväntad förorening. (h) Hon borde under ett antal dagar mäta uppströms och nedströms samma dag. (i) Hennes ursprungliga försöksplan ger upphov till två oberoende stickprov, vårt förslag i föregående deluppgift ger modellen stickprov i par. 39. (a) I μ1 μ 2 = ((0.01, 0.79) mmol/l. Intervallet täcker ej 0, ja det tycks vara skillnader. Antaganden är normalfördelningar med samma varaians. (b) Förslagsvis ålder 40. Ett 95 % undre begränsat intervall förμ 1 μ 2 (Bullerbyn-Ängslyckan) är I μ 1 μ 2 = ( 0.145, ). Eftersom intervallet täcker över 0 kan vi med dessa data inte påvisa en högre blyhalt för Bullerbybarnen.

26 24 Biostatistisk grundkurs 41. (a) I Δ = (1.32, 14.35) (b) I μm μ k = ( 22.13, 3.33) (c) I Δm Δ k = ( 10.86, 7.72) 42. Antaganden: differenserna (efter-före) är normalfördelade med förväntat värde (populationsmedelvärde) Δ. Ett 95 % konfidensintervall förδär I Δ = (0.20, 0.70). Med 95 % säkerhet kan man påstå att den genomsnittliga reaktionstiden är mellan 0.20 och 0.70 sekunder längre efter alkohol än före. 43. (a) s2 1 s > F 0.99,39,30 = 2.52 Hypotesen förkastas på nivå 2%. (b) Antalet frihetsgrader är ungefär 65 med den krångliga formeln. Eftersom det är så stort fungerar det lika bra att approximera t-kvantilen med normalfördelningens kvantil. Detta ger approximativt intervallet (719, 1009). (c) Nej, eftersom enligt centrala gränsvärdessatsen gäller att de två medelvärdena är approximativt normalfördelade. 44. (a) I p = (0.11, 0.29) (b) Nej, eftersom intervallet täcker över I p = (0.394, 0.448) (95 % intervall) 46. Ett 95 % undre begränsat intervall för p är I p = (0.81, 1). Ja, det är motiverat att byta. 47. Ett 95 % intervall för p A p B är I pa p B = (0.031, 0.369). Eftersom intervallet ej täcker över 0 så har vi påvisat en skillnad mellan andelen botade av medlen. 48. (a) I p1 p 2 = (?,?) (b) chi 2 =? 49. Prob-värdet är vilket överstiger Vi kan på nivå 0.05 inte påstå att behandlingen är effektiv. 50. Testets p-värde (prob-värde) är 0.022; eftersom det understiger 0.05 kan nollhypotesen förkastas. Risken tycks vara högre i den kemiska industrin. 51. (a) Testets p-värde (prob-värde) är ; eftersom det understiger 0.05 kan nollhypotesen förkastas. Risken tycks vara högre i det aktuella området. (b) Testets p-värde (prob-värde) är Ingen skillnad mellan könen är påvisad. 52. Tabellen blir Observerat Förväntat och χ 2 = (78 90)2 + (42 30)2 + (27 30) H 0 kan inte förkastas på nivån (13 10) <χ (3) = χ 2 = > vilket är signifikansgränsen för 5 %. Det tycks finnas skillnader mellan flickor och pojkar.