Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner

Transkript

1 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras utan författarens tillstånd. Denna text är tänkt att på ett enkelt sätt förklara en del grundläggande begrepp angående motkoppling i audio förstärkare. Texten är medvetet skriven på ett förenklat sätt och därför har jag ej tagit med mer komplexa uttryck eller synsätt tex Nykvist diagram eller betingat stabila förstärkare. Det verkar vara svårt att hitta något enkelt och lättfattligt i detta ämne skrivet på Svenska, däremot finns mycket engelsk text i detta ämne. Exemplen i detta papper är för stabilisering av motkopplade förstärkare är relativt enkla men är kan vara en realistisk beskrivning av tex en enkel rörförstärkare med 3 steg. Metoden med faskorrigerande nät som är beskriven kan förstås användas i mer komplicerade fall med fler faskorrigerande nät både i förstärkningskedjan och i återkopplingskedjan. Reservation för eventuella mindre fel i text och formler Vad menas med poler och nollställen? För att enkelt förklara vad som menas med poler och nollställen är det bäst att använda några enkla exempel. Om vi tänker oss ett enkelt lågpassfilter med ett motstånd R och en kondensator C så kan vi uttrycka spänningen över kondensatorn enligt följande: Vut = ( jωrc + ) Vin R Vut C Fig detta är en komplex ekvation där: Vut är utspänning Vin är inspänning J = - ω = *π*f π = 3.4 F = frekvens i Hz R är motståndets värde i ohm C är kondensatorns värde i Farad

2 I detta fall så säger vi att denna krets har en pol vid frekvensen F = Eftersom kretsen innehåller både resistiva och reaktiva komponenter så kommer kretsen att fasvrida utspänningen. Amplituden på utspänningen kan uttryckas enligt: π RC Vut = Vin* ( πrc) + eller i db 0* LOG ( πrc) + Och fasen genom ( ) ATAN πfrc För frekvensen F = πrc fås amplituden / = eller -3dB och fasen = ATAN (-) = -45 grader Om vi gör ett något mer komplicerat nät enligt denna figur så får vi: Vin Vut = där: ( T jω + ) ( Tjω + ) T = R*C T = (R+R)*C Vin R Vut R C Fig Denna krets har ett nollställe och en pol, nollstället är där F = π ( C( R + R) ) F = och polen fås ur πrc Det går förstås att tänka sig mer komplicerade kretsar som har fler nollställen och poler, tex ( Tajω + )( Tbjω + )( Tcjω + ) ( Tdjω + )( Tejω + )( Tfjω + )( Tgjω + ) som har 3 nollställen för /*π*ta, /*π*tb och /*π*tc och 4 poler för /*π*td, /*π*te, /*π*tf och /*π*tg

3 Hur fungerar motkoppling, (negativ återkoppling)? Detta är den klassiska kretsen för att förklara motkoppling: In + A Ut Fig 3 B Vi tänker oss en förstärkare med förstärkningen A där en del B av utsignalen kopplas tillbaka till utgången. Då kan man uttrycka förstärkningen för den motkopplade förstärkaren: A AB Ett exempel:, För negativ återkoppling, (motkoppling) så har B negativt tecken En förstärkare med förstärkningen A = 000 ggr och där B = -/00, då får vi förstärkningen för den återkopplade förstärkaren till 000/(+000*) = 90.9 ggr, man kan också se att för mycket stora värden på A så närmar sig förstärkningen för den återkopplade förstärkaren värdet /B, tex om A är och B är så blir förstärkningen för den återkopplade förstärkaren dvs ca 00 I uttrycket ovan så kan A och B vara mer komplicerade uttryck tex av typen ( Tajω + )( Tbjω + )( Tcjω + ) ( Tdjω + )( Tejω + )( Tfjω + )( Tgjω + ) Man kan också visa att tex distorsion påverkas av motkoppling på samma sätt som förstärkningen, dvs A distorsionen miskas med en faktor AB Också utimpedans hos en förstärkare påverkas av motkoppling, för den vanligaste formen av A motkoppling så sjunker utimpedansen med en faktor AB Vad är loopstabilitet? Det går att visa att en motkopplad förstärkare är stabil dvs inte självsvänger om produkten A*B < när fasvridningen är 80 grader, eller uttryckt på ett annat sätt, en förstärkare är stabil om fasvridningen är mindre än 80 grader vid den frekvens där produkten A*B =.

4 Notera att en mycket spridd missuppfattning är att detta villkor för loopstabilitet gäller för frekvenskurvan före motkoppling dvs A men detta är inte korrekt. Tex en förstärkare som utan motkoppling fasvrider mer än 80 grader vid en hög frekvens där förstärkningen är högre eller lika med är fortfarande stabil om uttrycket ovan är uppfyllt för den motkopplade förstärkaren, se också exemplet nedan. Fas marginal: Fas marginal är skillnaden mellan 80 grader och det aktuella värdet på fasvridningen vid den frekvens där produkten A*B =, tex om fasvridningen i en förstärkare är 50 grader vid den frekvens där produkten A*B = så säger man att förstärkaren har 30 grader fasmarginal. 30 grader fasmarginal anses som ett minimum för att en förstärkare skall anses som stabil. 30 grader fasmarginal ger ganska stora toppar i frekvenskurvan och översvängar för fyrkantpulser så normalt försöker man få högre fasmarginal, tex 45 eller 60 grader är ganska vanligt. För att förklara loopstabilitet på ett enkelt sätt så kan vi använda figuren nedan som visar förstärkning och fasvridning för en förstärkare som har 3 poler, på 00kHz, 00kHz och 500kHz. Förstärkningsfaktorn A är här för låga frekvenser 00ggr. Man kan se att fasvridningen ökar och når ett asymtotiskt värde av 70 grader vilket är det förväntade för ett system med 3 poler. -3dB punkten ligger på ca 00kHz dvs förstärkningen har minskat 3dB från sitt maxvärde vid frekvensen 00kHz. Ostabiliserad förstärkare Gain db Hz Intressant är att fasvridningen där förstärkningen är 0dB dvs är ca 30 grader, utifrån detta kan vi dra slutsatsen att denna förstärkare kommer att självsvänga för vissa värden på motkoppling. Detta gäller Phase degrees Mag A*B Phase -0 grader -50 grader -80 grader

5 alltid om fasvridningen vid förstärkning 0dB är mer än 80 grader. Däremot är inte den icke motkopplade förstärkaren ostabil och inte heller den motkopplade förstärkaren vid låga värden på motkoppling. För att se vid vilket värde på motkoppling som gör förstärkaren ostabil så kan man plotta en kurva för A*B, och justera värdet på B tills man får 80 grader fasvridning vid A*B= dvs 0dB. Detta visas av den bruna kurvan, fasvridning 80 grader inträffar ungefär vid frekvensen 400kHz och det är den frekvens som förstärkaren skulle självsvänga på om den justerades på detta sätt, B i detta fall är 7 vilket betyder att förstärkningen för den motkopplade förstärkaren har ett värde vid låga frekvenser på 00/(+00*7) = 3.3ggr eller ca.5db. Stabilisering av motkopplade förstärkare Vi skall nu se på olika sätt att stabilisera den motkopplade förstärkaren. Vi vet att förstärkaren är stabil om fasmarginalen är 30 grader dvs vi vill nå ett läge där fasvridningen där AB = är mindre än 50 grader. Metoden med dominant pol Om vi sänker frekvensen för den lägsta polen tills AB = vid fasvridningen 50 grader så upptäcker vi att i detta fall den lägsta polen måste sänkas från 00000Hz till ca 0000 Hz för att uppnå en fasmarginal på 30 grader. Ampltudkurvan före motkoppling påverkas nu också och -3dB punkten ligger nu på ca 0kHz, fasfelet ökas också och är ca 3 grader vid 0kHz. Stabiliserad förstärkare, (dominant pol) Gain db Hz Phase degrees Mag A*B Phase -0 grader -50 grader -80 grader

6 Metod med faskorrigerande nät Istället för att sänka frekvensen på en pol för att göra den dominant så kan man använda faskorrigerande nät. Ett faskorrigerande nät har jag redan beskrivit i fig Faskorrigerande nät beskrevs av Bode redan på 30 talet och användes allmänt i professionell kontrollutrustning och förstärkare under lång tid men under senare tid används denna metod i audio förstärkare nästan inte alls. Det normala förfarandet är att införa en dominant pol på relativt låg frekvens, ibland så lågt som 00 Hz och nästan inte i något fall utanför det hörbara området, för att förbättra fyrkantsvar så används oftast också en kondensator parallellt med seriemotståndet i återkopplingsslingan, denna kondensator inför ett nollställe vilket inför viss faskorrektion. Hur fungerar faskorrigerande nät? Om vi tittar på kretsen nedan bestående av motståndet R och kondensatorn C så har vi följande samband mellan in och utspänning: Vut = ( jωrc + ) Vin R Vut C fig 4 Om vi nu parallelkopplar kondensatorn med en serie-kombination bestående av en kondensator C och ett motstånd R så händer följande: Vin R Vut R Fig 5 C C Vi inför en ny pol bestämd av F = πrc Vi inför ett nollställe bestämt av F = πrc Vi flyttar den ursprungliga polen bestämd av F = πrc till F = πrc

7 Om vi tänker oss ett nät enligt ovanstående beskrivning med ett nollställe på 00 khz och en ny pol på 70kHz och applicerar detta på vår ursprungliga förstärkare så kan vi vi också uppnå en fasmarginal på 30 grader men en del andra saker händer, tex så blir amplitud kurvan före motkoppling flatare än i föregående fall, -3dB punkten ligger nu på ca Hz, detta betyder förstås att motkopplingen har större effekt vid högre frekvenser, fasfelet vid 0 khz är nu också bara 4 grader. Notera att den ursprungliga polen som låg på 500 khz har flyttats till 3 MHz. Stabiliserad förstärkare, (faskorrigerande nät) Mag A*B db Grader Phase -0 grader -50 grader -80 grader ,000,000 Hz 5,000 0,000 0,000 50,000 00,000 00, ,000,000,000,000,000 5,000,000 0,000,000 0,000,000 50,000,000 Detta är väl ganska intressant att man kan få samma fasmarginal med dessa metoder men i övrigt så pass olika resultat. Det är väl inte mindre intressant att man i böcker och på internet ibland kan läsa att man måste införa en dominant pol så att amplituden sjunker vid högre frekvens och på det sättet uppnå stabilitet detta är uppenbarligen inte sant! I transistor slut-steg används ofta Miller kompensering för att införa en dominant pol dvs man inför en kondensator parallellt med bas kollektor på ett transistor steg, man får då en sk Miller effekt där kondensatorn verkar som om den vore större med samma faktor som förstärkningen i steget

8 Som synes av min enkla räkneövning så kan man få stabiltet med bibehållande av hög bandbredd före motkoppling genom att använda faskorrigerande nät, varför används då inte denna metod mer allmänt i dag? Den troligaste anledningen är nog att det är enklare att använda metoden med dominant pol eftersom man inte behöver mäta upp fasgången över ett stort frekvensområde utan istället kan genom att införa en dominant pol som är av mycket lägre frekvens en någon av de existerande naturliga polerna vara säker på att uppnå tillräcklig fasmarginal. Det kan vara ganska svårt och komplicerat att räkna ut eller att igenom simulering designa faskorrigerande nät speciellt för förstärkare med många poler och komplicerad fasgång. Oftast behövs också mer än ett faskorrigerande nät om hög fasmarginal är önskvärt eftersom ett faskorrigerande nät max teoretiskt kan ge max 90 grader korrektion men mer vanligt är att begränsa korrektion i varje nät till tex 45 grader Jag tycker själv att metoden med faskorrigerande nät är attraktiv pga att man kan bibehålla högre bandbredd och lägre fasfel före motkoppling, det kan inte vara fel att utgå ifrån en bra bred förstärkare innan man applicerar motkoppling tex så kan man slippa det vanliga beteendet att distorsionen ökar vid högre frekvens eftersom råförstärkningen och därigenom motkopplingsgraden minskar. Referenser H. W Bode, Network Analysis and Feedback amplifier design G. E. Walley & H. Wallman Vacuum Tube Amplifiers F. E Terman, Radio Engineers Handbook ITT, Reference Data for Radio Engineers