»Från åskådning till begrepp» eller kanske ännu hellre.»genom åskådning till begrepp» Jir eller åtminstone borde

Transkript

1 »Från åskådning till begrepp» eller kanske ännu hellre»genom åskådning till begrepp» Jir eller åtminstone borde vara grundprincipen vid all undervisning. Vi säga afsiktligt genom åskådning, ty det är ej nog, att åskådning föregått begreppet, utan det senare skall organiskt ha framvuxit ur det förra. Detta är ju själfklart. Att det emellertid finnes fall, där man till och med inom våra allmänna läroverk ej tillämpar nämnda maxim, torde ej vara svårt att påpeka. existera Jag tänker nu närmast på det samband, som borde mellan geometriundervisningen och den s. k. linearritningen eller geometriska teckningen, såsom den äfven med ett mera expressivt uttryck numera kallas. Som det nu är, sköta ritläraren och läraren i geometri hva.r och en sin syssla, en sak, hvarom ej annat än godt är att säga. Den senare ger med rätta sitt erkännande åt den förres arbete. Att gossarne kunna vara ganska duktiga ritmästare, blir han ju i tillfälle att konstatera vid de utställningar, som åtfölja examen vid läsårets slut. Att teckningsundervisningen äfven är matematikstudiet till direkt gagn, märkes särskildt vid behandlingen af stereometrien i sjunde klassen. De lärjungar, som äro goda perspektivtecknare, öfvervinna lättare ämnets svårigheter än de, som sakna denna färdighet. Den, som varit i tillfälle att undervisa kvinnliga studenter i rymdgeometri, har ej kunnat undgå att iakttaga, huru uppfattningen af själfva de geometriska bilderna gör dem mera besvär än deras manliga kamrater, äfven i de fall, där dessa senare äro dem underlägsna med afseende på begåfningen. Skillnaden kan ej enbart förklaras därmed, att geometrien försummas i flickskolorna, och att de kvinnliga studenterna sålunda fått ägna mindre tid ät nämnda ämne. Den torde snarare i detta fall bero på, att teckningsundervisningen bedrifves till långt mindre omfattning i flickskolorna än i de allmänna läroverken. Flickorna

2 få därigenom mindre tillfälle än gossarne att'utbilda den för geometristudiet så viktiga»riimsåskådningsförmågan». Det nyssnämnda fallet, med perspektivteckningen (klotsritningen) som omedelbar vägrödjare åt stereometrien, är tyvärr enastående. 1 de fall, där teckningsundervisningen tager sina objekt från den rena geometriens område, går det vanligen så, att satsen för det mesta är ritad, långt innan den blifvit bevisad; detta enligt uppgift af en ritlärare, som särskildt bemödar sig om att sätta de två ämnena i samband med hvarandra. Ofver bufvud taget skulle ritlärarne nog ej ogärna se, att matematiklärarne visade litet mera intresse för linearritningen, än hvad som nu tyckes vara fallet. Felet med den nuvarande anordningen, äfven där den är som bäst tillämpad, är, som ofvan påpekades, till en del det, att det ligger för lång tid mellan den åskådning, som teckningen ger, och den begreppsutredaing, som matematikundervisningen sedermera lämnar; för att nu ej tala om, att det tinnes fall, då denna utredning aldrig kan komma till stånd, af det skäl, att teckningsundervisningen behandlar uppgifter, som ligga utom skolmatematikens program, såsom fallet är med många uppgifter inom projektionsläran. Att få något organiskt samband till stånd mellan matematik- och teckningsundervisning kan under sådana förhållanden ej bli fråga om. Teckningen själf blir då ett mål, ej ett medel. Men, äfven om tidsintervallet mellan teckningen och det matematiska beviset för satsen minskades, är ej saken därmed af hjälpt. Ett annat tillvägagångssätt än det nu öfliga måste därför tillgripas. Den åskådning, soin skall föregå och förmedla begreppsbildningen, bör åstadkommas på matematiktimmen och ej i ritsalen. Vi antaga, att det är fråga om ett s. k. problem. Uppgiften löses då först med hjälp af en på svarta taflan uppritad figur. Här ha vi den verkliga åskådning, som föregår begreppet, och ur hvilken begreppet utbildas. Min mening är nu, att denna åskådning skall förstärkas genom en på lämpligt sätt efteråt utförd linearritning. Den geometriska figur, som på nu gängse sätt åstadkommes i ritsalen, har däremot föga att skaffa med begreppsbildningen. Dess gagn är, att den bidrager till ordningssinnets utbildande på grund af den noggrann^

3 het, med hvilken den måste utföras. Emellertid vill jag ej härmed hafva sagt, att den geometriska teckningen bör helt och hållet öfverflyttas från ritläraren till matematikern. Det är tvärtom en fördelning af arbetet dem emellan och ett pä visst sätt bedrifvet samarbete, som jag anser önskvärdt. I Tyskland ha sedan några år tillbaka röster förnummits, hvilka yrka på, att niatematikläraren helt och hållet bör öfvertaga undervisningen i geometrisk teckning. Friedrich Schilling säger uttryckligen detta i ett föredrag»ueber darstellende Geometrie», hållet vid feriekursen för»oberleh-.rer» i Göttingen En liknande uppfattning häfdas äfven af Dr. C. Hildebrandt i Braunschweig uti en uppsats med titel:»ueber die Behandlung des gebundenen Zeichuens auf den höheren Lehranstalten, besonders auf dem Realgymnasium.», 2 Målet är för honom:»die Mathemätik mehr zu veranschaulichen und das Zeichnen mehr zu vertiefen», Det första villkoret för, att rnatematikläraren skall aktivt kunna betjäna sig af det viktiga hjälpmedel, som står honom till buds i linearritningen, är emellertid, att han själf besitter tillräcklig färdighet däri. Detta åstadkommes i Tyskland därigenom, att man infört den»tillämpade matematiken», som där till väsentlig del består i s. k. beskrifvande geometri, bland de examensämnen, som medföra lärarekompeteus, om ämnet nämligen är kombineradt med betyg i ren matematik. 1 Preussen är det ännu så länge valfritt, men framtidsmålet torde vara att göra det obligatoriskt, såsom det redan är i Bayern. Studiet af den beskrifvande geometrien sker i Göttingen vid universitetet, som för detta ändamål har särskilda ritsalar. I Berlin följa studenterna däremot undervisningen i nämnda fack vid tekniska högskolan i Charlottenburg. Visserligen besitter Uppsala universitet en liten ritsal, där den, som så önskar, kan erhålla undervisning, men som hjälpmedel vid matematikstudiet begagnas teckningen ej hos oss. Se F. Klein und E. Kiecke: Ueber angewandte Mathemätik 1 und Physik in ihrer Bedeutung fur den Unterricht an den höheren Schulen, sid Publicerad i Unterrichtsblätter fiir Mathemätik und Natur? wissenschaften, Berlin 1899 S:t 2 och 3.

4 I detta sammanhang må påpekas den vikt, som man i Tyskland fäster vid utvecklingen af»die Raumsanschauung». Studerar irran där en matematisk yta, nöjer man sig ej som hos oss med en torr formel eller ens en teckning, utan man skaffar sig en gips- eller pappmodell däraf. Göttingens ritinstitution är för detta ändamål försedd med ett särskildt verkstadsrum, där studenten är i tillfälle att själf tillverka sina modeller. Hur skall nu ett samband mellan linearritningen och geometriundervisningen åstadkommas, eller hur skall den senare kunna begagna sig af den förras hjälp? Mången matematiklärare torde säga:»det är alldeles för omständligt och fordrar för mycken apparat att kombinera geometri och teckning. Antingen skall geometriundervisningen då ske i ritsalarna, hvilket är alldeles omöjligt, ty dessa kunna ej räcka till, då flera klasser antagligen ha geometri på en och samma timme. Eller också måste ritbrädena tagas med i klassrummet; men detta går ej heller för sig, ty de stora ritbrädena få ej plats på de vanliga skolpulpeterna.» Jag skulle vilja föreslå: Stanna i klassrummet, men använd i stället för ritbräde ett skissblock af lämpliga dimensioner t. ex, 25 X 35 cm. Block af denna storlek finnas redan i handeln. Det nämnda formatet är alldeles tillräckligt stort. Enligt den nuvarande anordningen sker ritningen på halfark, som med mycket besvär klistras fast på ritbrädet, hvarvid det förut måste fuktas för att bli väl spändt. Och när ritningen väl är färdig, måste den särskildt klippas ut eller skäras loss från ritbrädet, som sedan måste befrias från de kvarsittande kanterna för att ånyo kunna användas. Allt detta undvikes medelst blocket. Man har papperet redan förut spändt, och. den färdiga teckningen lossas med lätthet från de öfriga bladen, utan att papperets kant förstöres. Block är lämpligare än ritbok, ty det möjliggör användande af vinkellinjal, hvarigenom teckningen blir noggrannare samt blir fortare färdig. Vi tänka oss nu, att en sats (t. ex. ett problem) blifvit vederbörligen genomgången genom konstruktion på svarta taflan och ty åtföljande bevis. Sedan detta skett, utföra eleverna samma konstruktion, livar och en på sitt skissblock,

5 först med blyerts, men med användande af linjal och passare; sedan ifylles detta utkast medelst tusch, detta i öfyerensstämmelse med den vanliga anordningen. Fördelen med, att ritningen sker i klassen i omedelbar anslutning till problemets teoretiska behandling, ligger ej blott däri, att eleven slipper göra en konstruktion, hvars betydelse han ej förstår, hvarigenom teckningsundervisningen tydligen vinner i»djup», utan det är fastmer geometrien själf, som drager största vinsten, ity att l:o konstruktionen blir utförd med önskvärd noggrannhet, så att cirklar förbli cirklar, liksidiga trianglar få behålla sin form o. s. v.; 2:o teckningen på svarta taflan behöfver ej alltid ske med linjal och passare och tager därigenom mindre tid; 3:o hvarje elev får själf utföra teckningen, ej blott de få, som hinna komma fram till taflan; 4:o elevens uppfattning af satsen blir skarpare och klarare... Hur stor del af linearritningen bör sålunda öfverföras till matematiktimmarna? De rent geometriska satserna samt mera direkta tillämpningar af desamma. Ritläraren skall som hittills lära eleverna att behandla dragstiftet och tuschen genom teckning af geometriska mönster, sådana som t. ex. plansch II, VI, VIII X uti Ekströms»Lärokurs i linearritning», 1 Sedan, när lärjungarne väl inneha de matematiska förutsättningarna, kan teckningsundervisningen naturligtvis fortgå på vanligt sätt, byggande på den nn säkra grunden. Genom det nu sagda har jag velat framhålla, hvilket stort gagn geometriundervisningen kan ha af liearritningen. Jag skulle emellertid vilja gå ett.steg längre, i det jag håller före, att i vissa fall geometristudiet kan..ersättas af eller, bättre uttryckt, bestå i noggrant utförda konstruktioiisupp: gifter (se nedan moment III och IV). Vi skola nu i korthet skärskåda de olika partierna af skolgeometrien i deras förhållande till teckningen. I. Vi hålla oss då först till begynnelsestadiet, de s. k. åskådningsöfningarna. Det stora intresse, som lärjungarne 'Mycket lämpligt vore naturligtvis, om teckningsliiraren dä ocli då granskade de geometriska, teckningarna med afseende på det praktiska utförandet.

6 visa härför, torde mest bero just på, att deras själfverksamhet tages i anspråk samt att de vinna kunskapen genom åskådning, ej blott genom att mekaniskt utföra gifna regler. Endast genom mätning och åskådning kan deras uppfattning af talen utbildas. De räkneuppgifter, som kunna behandlas på så sätt, att talen få representeras af en geometrisk bild, lösas alltid bättre och uppfattas fullständigare än t. ex. de schablonmässiga reguladetri-uppgifterna. På detta stadium göres ritningen lämpligen i en ritbok med rutadt papper, och utföres blott med blyerts, men med linjal och passare. II. Vi komma så till den rena eumideiska geometrien. Om densamma gäller framför allt, hvad som blifvit sagdt i det föregående om det praktiska ordnandet af linearritningen på klassrummet. III. Planimetriens behandling. Här är det ej nog med, att man uppritar de olika slagen. af figurer, (parallelltrapetser, cirkelsektorer, 5-hörningar, 6-hörningar o. s. v.) i godtyckligt format, utan det bör ske efter bestämda måttuppgifter, så att man ej nöjer sig med att låta en viss godtycklig längd föreställa centimetern, då nian har det verkliga måttet att tillgå. Eleven får nu teoretiskt lära sig, att likformiga ytor förhålla sig till hvarandra som kvadraterna på homologa sidor. Skall han således beräkna sidan i en 6-hörning, hvars yta är dubbelt så stor som en gifven 5-hörning, så vet han, att den sökta sidan förhåller sig till den gifna som V 2 till 1; men, skulle han efter ögonmått rita upp den nya sexhörningen, skulle han säkert göra den åtskilligt större än två gånger den gifna. Många äro så ovana att begagna sig af teckningen som matematiskt hjälpmedel, att de, ehuru de ritat noggrann figur till en planimetrisk uppgift med enkla siffervärden, ej lägga märke till den af dessa siffervärden betingade speciella form på figuren, som i väsentlig grad underlättar uppgiftens lösning. Af 17 lärjungar, som behandlade ett visst problem, var det 7 stycken, således 41 / 0, som ej upptäckte, att en i problemet ingående triangel var rätvinklig, och detta, fastän de framför sig hade en figur, uppritad i riktiga proportioner.

7 IV. Trigonometrien. Här är det särdeles lämpligt att genom konstruktion bestämma de olika trigonometriska talen eller linjerna, som de med fullt skäl kunna benämnas i detta sammanhang. Detta bör ej vara svårt, om hvarje ritbestick är försedt med gradskifva för vinkelmätning. V. Stereometrien. Har stereometrien, såsom i det föregående påpekats, för sitt förstående stort gagn af färdigheten i frihandsteckning (klotsritning), så existerar å andra sidan ej det ringaste samband mellan stereometriundervisningen och den del af linearritningskursen, som på grund af innehållet borde därmed sammanföras, och som lika mycket är rymdgeometri som teckning. Beaktades detta samband, skulle åtskilliga intressanta partier af stereometrien kunna erhålla en något fylligare behandling, särskildt sfärens geometri. Så t. ex. skulle de viktigaste kartografiska projektionerna kunna genomgås, äf vensom Steiners syntetiska behandling af maximioch minimiuppgifter beträffande de sfäriska trianglarna. Vidare borde perspektivläran genomgås i samband med den matematiska behandlingen af likställighetsläran. 1 stället kunde en del andra uppgifter inom den stereometriska teckningens område uppskjutas till ett senare stadium, såsom teckningen af»kroppar som genomtränga hvarandra», uppgifter, intressanta i och för sig, men stående utan samband med den geometriska kursen. Förstå lärjungarne ej den projektionsritning, som de själf va gjort,, blir den blott en vacker väggdekoration på examensdagen, utan det pedagogiska värde, som den egentligen kunde ha. VI. Analytiska geometrien. Redan i nedre sjätte, ja, stundom äfven i femte klassen på reallinjen få lärjungarne under teckningstimmarna göra bekantskap med de koniska sektionerna ellipsen, hyperbeln och parabeln. Att de få veta, hur dessa kurvor se ut, är ju mycket bra. Men nu är att märka, att vissa af de konstruktioner, som de redan på detta stadium få utföra, förutsätta en ganska ingående kännedom om kurvornas egen-

8 skaper, en kunskap, som ej förvärfvas förrän i öjre sjunde klassens matematikkurs. Att detta ej kan vara pedagogiskt riktigt, är uppenbart. Förklaringen till detta egendomliga förhållande ligger kanske däri, att den lärogång, sonl varit liormgifvande vid ordnandet af linearritningen, ytterst härrör från de tekniska skolorna, hvilka som bekant ha ett helt annat mål med teckningsundervisningen än de allmänna läroverken. Den blifvande teknikern måste ju för öfrigt göra sina ritningar med långt större ackuratess än den, man kan och bör fordra af en skolyngling. Tendensen att göra reallinjen till ett slags förberedaude teknisk skola är endast ett förfuskande af denna linjes ursprungliga idé, nämligen att ge sina lärjungar en modern bildning i motsats till den förut härskande klassiska. En helt annan sak är, att rnatematikläraren borde ha en mera praktisk bildning än den, han ännu så länge erhåller vid våra universitet, detta icke minst hvad den geometriska teckningen beträffar. Men detta ämnes uppgift bör i skolan vara en rent pedagogisk. Ämnet skulle också bli af mycket större intresse, om det fullt utnyttjades i och för denna dess egentliga uppgift. Å andra sidan skulle äfven linearritningen i och för sig vinna mycket på, att den stöddes af matematikundervisningen, så att matematikläraren genomginge de teoretiska förutsättningarna för de viktigare teckningsuppgifterna. Villkoret för, att detta skulle vara utförbart, vore emellertid, att planen för teckningsundervisningen mera i detalj rättade sig efter läroverkens matematiska kurser. Den speciella teckningsundervisningen kunde då ägnas åt utförandet af praktiska ritningar, modellteckningar och dylikt, såsom ju redan nu sker.